Функциональное уравнение

В математике, А функциональное уравнение является любое уравнение, в котором неизвестная представляет собой функцию. Часто уравнение связывает значение функции (или функций) в одной точке с ее значениями в других точках. Например, свойства функций можно определить, рассматривая типы функциональных уравнений, которым они удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно относится к уравнениям, которые нельзя просто свести к алгебраическим уравнениям или дифференциальным уравнениям.

• 1 Примеры
• 2 Решение
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

• Функциональное уравнение

${\ Displaystyle f (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) f ( 1-с)}$

удовлетворяется дзета-функцией Римана. Капитал Γ обозначает гамма - функцию.

• Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений:

${\ Displaystyle е (х) = {е (х + 1) \ над х} \, \!}$

${\ displaystyle f (y) f \ left (y + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ {2y-1}}} f (2y)}$

${\ Displaystyle е (Z) е (1-Z) = {\ пи \ над \ грех (\ пи z)} \, \! \, \, \,}$       ( Формула отражения Эйлера )

• Функциональное уравнение

${\ displaystyle f \ left ({az + b \ over cz + d} \ right) = (cz + d) ^ {k} f (z) \, \!}$

где a, b, c, d - целые числа, удовлетворяющие условию, т.е. = 1, определяет f как модульную форму порядка k.${\ displaystyle ad-bc = 1}$${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a amp; b \\ c amp; d \ end {vmatrix}}}$

• Разные примеры, не обязательно связанные со стандартными или именованными функциями:

${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у) \, \!}$( Функциональное уравнение Коши ), которому удовлетворяют линейные отображения

${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) е (у), \, \!}$удовлетворяются все экспоненциальные функции

${\ Displaystyle е (ху) = е (х) + е (у) \, \!}$, удовлетворяющий всем логарифмическим функциям

${\ Displaystyle е (ху) = е (х) е (у) \, \!}$, удовлетворяющие всем степенным функциям

${\ Displaystyle е (х + у) + е (ху) = 2 [е (х) + е (у)] \, \!}$(квадратное уравнение или закон параллелограмма )

${\ Displaystyle е ((х + у) / 2) = (е (х) + е (у)) / 2 \, \!}$ (Дженсен)

${\ Displaystyle г (х + Y) + г (ху) = 2 [г (х) г (у)] \, \!}$ (Даламбер)

${\ Displaystyle е (час (х)) = час (х + 1) \, \!}$ ( Уравнение Абеля )

${\ Displaystyle е (час (х)) = ср (х) \, \!}$ ( Уравнение Шредера ).

${\ Displaystyle е (час (х)) = (е (х)) ^ {с} \, \!}$ ( Уравнение Бёттхера ).

${\ Displaystyle е (час (х)) = час '(х) е (х) \, \!}$( Уравнение Джулии ).

${\ Displaystyle \ омега (\ омега (х, и), v) = \ омега (х, и + v)}$( Уравнение перевода )

${\ Displaystyle е (ху) = \ сумма g_ {l} (х) h_ {l} (y) \, \!}$ (Леви-Чивита),

и пара уравнений

${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) г (у) + е (у) г (х) \, \!}$( формула сложения синуса и формула сложения гиперболического синуса ),

${\ Displaystyle г (х + у) = г (х) г (у) -f (у) е (х) \, \!}$( формула сложения косинуса ),

${\ Displaystyle г (х + у) = г (х) г (у) + е (у) е (х) \, \!}$( формула сложения гиперболического косинуса ).

• Простая форма функционального уравнения - это рекуррентное соотношение. Формально это касается неуказанных функций над целыми числами, а также операторов сдвига. Одним из таких примеров рекуррентного отношения является

${\ Displaystyle а (п) = 3а (п-1) + 4а (п-2) \, \!}$

• В коммутативных и ассоциативных законами являются функциональными уравнениями. В привычной форме ассоциативный закон выражается записью бинарной операции в инфиксной записи :

${\ Displaystyle (а \ CIRC B) \ CIRC C = A \ CIRC (B \ CIRC C) ~,}$

но если мы напишем ƒ ( a,  b) вместо a  ○  b, тогда ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение,

${\ Displaystyle е (е (а, Ь), с) = е (а, е (Ь, с)). \, \!}$

Общей чертой всех приведенных выше примеров является то, что в каждом случае две или более известных функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда функция идентичности ) находятся внутри аргумента неизвестных функций. для решения.

Когда дело доходит до запроса всех решений, возможно, следует применить условия математического анализа ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями, являются `` разумными '', в то время как другие решения, которые вряд ли найдут практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Хамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа - еще один хорошо известный пример.

Решение функциональных уравнений может быть очень сложным, но есть несколько распространенных методов их решения. Например, в динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана используются различные методы последовательного приближения, включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой. Некоторые классы функциональных уравнений могут быть решены с помощью компьютерных технологий.

Основным методом решения элементарных функциональных уравнений является подстановка. Часто бывает полезно доказать сюръективность или инъективность и, если возможно, доказать нечетность или четность. Также полезно угадывать возможные решения. Индукция - полезный метод, который можно использовать, когда функция определена только для рациональных или целочисленных значений.

Актуально обсуждение инволютивных функций. Например, рассмотрим функцию

${\ Displaystyle е (х) = 1-х \,.}$

Составление f с самим собой дает функциональное уравнение Бэббиджа (1820),

${\ Displaystyle е (е (х)) = 1- (1-х) = х \,.}$

Некоторые другие функции также удовлетворяют функциональному уравнению

${\ Displaystyle е (е (х)) = х}$

включая

${\ Displaystyle е (х) = - х \,,}$

${\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {а} {х}} \,,}$ а также

${\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {bx} {1 + cx}} ~,}$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Пример 1. Найдите все функции f, удовлетворяющие

${\ Displaystyle е (х + у) ^ {2} = е (х) ^ {2} + е (у) ^ {2} \,}$

для всех x, y ∈ ℝ в предположении, что ƒ - вещественная функция.

Пусть x  =  y  = 0,

${\ Displaystyle f (0) ^ {2} = f (0) ^ {2} + f (0) ^ {2}. \,}$

Итак, ƒ (0) ²  = 0 и ƒ (0) = 0.

Пусть теперь y  = - x,

${\ Displaystyle е (хх) ^ {2} = е (х) ^ {2} + е (-x) ^ {2} \,}$

${\ displaystyle f (0) ^ {2} = f (x) ^ {2} + f (-x) ^ {2} \,}$

${\ displaystyle 0 = f (x) ^ {2} + f (-x) ^ {2} ~.}$

Квадрат действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0.

Итак, ƒ (x) ²  = 0 для всех x и ƒ ( x) = 0 - единственное решение.

• Функциональное уравнение (L-функция)
• Уравнение беллмана
• Динамическое программирование
• Неявная функция
• Функционально-дифференциальное уравнение

1. ^ Rassias, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства. 3300 AA Dordrecht, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. п. 335. ISBN   0-7923-6484-8. CS1 maint: location ( ссылка )
2. ^ Хайерс, DH; Isac, G.; Рассиас, Th. М. (1998). Устойчивость функциональных уравнений от нескольких переменных. Бостон: Birkhäuser Verlag. п.  313. ISBN   0-8176-4024-X.
3. Перейти ↑ Jung, Soon-Mo (2001). Хайерс-Улам-Рассиас Устойчивость функциональных уравнений в математическом анализе. 35246 US 19 North # 115, Палм-Харбор, Флорида 34684 США: Hadronic Press, Inc. стр. 256. ISBN   1-57485-051-2. CS1 maint: location ( ссылка )
4. ^ Czerwik, Stephan (2002). Функциональные уравнения и неравенства от нескольких переменных. PO Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co., стр.  410. ISBN   981-02-4837-7. CS1 maint: location ( ссылка )
5. ^ Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Princeton University Press.
6. ^ Sniedovich, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис.
7. ^ Хази, Аттила (2004-03-01). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». Aequationes Mathematicae. 67 (1): 47–62. DOI : 10.1007 / s00010-003-2703-9. ISSN   1420-8903.
8. Перейти ↑ Ritt, JF (1916). «О некоторых реальных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики. 17 (3): 113–122. DOI : 10.2307 / 2007270. JSTOR   2007 270.

• Янош Акзел, Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям, Academic Press, 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN   0486445232.
• Янош Акзель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными, Cambridge University Press, 1989.
• К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения, AMS, 2011, ISBN   978-0-8218-5314-6  ; онлайн.
• Pl. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями, Springer, 2009.
• Марек Кучма, Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств, второе издание, Биркхойзер, 2009.
• Хенрик Штеткер, Функциональные уравнения на группах, первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
• Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения. Springer Science amp; Business Media. ISBN   978-0-387-48901-8.

• Функциональные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Функциональные уравнения: указатель на EqWorld: мир математических уравнений.
• Текст сборника IMO (в архиве) по функциональным уравнениям в решении задач.