Гамма-функция

Расширение факториальной функции Гамма-функция по части вещественной оси

В математике, гамма-функция (представлена ​​$\Gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma,\}$заглавной буквой гамма из греческого алфавита ) является одним из часто используемых расширений факториальной функции до комплексных чисел. Гамма-функция определена для всех комплексных чисел, кроме целых неположительных. Для любого натурального числа $n,\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\}$

$\Gamma \; (n)\; =\; (n\; -\; 1)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (n)\; =\; (n-1)!\; \backslash .\}$

Получено по Даниэлю Бернулли, для комплексных чисел с положительной действительной частью гамма-функция определяется с помощью сходящейся несобственный интеграл :

$\Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; xz\; -\; 1\; e\; -\; xdx,\; \Re \; (z)>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; \backslash \; qquad\; \backslash \; Re\; (z)>0\; \backslash .\}$аналитическое продолжение этой интегральной функции до мероморфной функции, которая голоморфна во всей комплексной плоскости, кроме неположительные целые числа, где функция имеет простые полюсы.

Гамма-функция не имеет нулей, поэтому обратная гамма-функция $1\; /\; \Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; Gamma\}$- это целая функция. Фактически, гамма-функция соответствует преобразованию Меллина отрицательной экспоненциальной функции :

$\Gamma \; (z)\; =\; \{\; M\; e\; -\; x\}\; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \}\; (z).\}$

Другие расширения факториальной функции делают существуют, но гамма-функция наиболее популярна и полезна. компонент sa в различных функциях распределения вероятностей, и как таковой он применим в полях вероятность и статистика, а также комбинаторика.

Содержание

• 1 Мотивация
• 2 Определение
  • 2.1 Основное определение
  • 2.2 Альтернативные определения
    • 2.2.1 Определение Эйлера как бесконечного произведения
    • 2.2.2 Определение Вейерштрасса
    • 2.2.3 В терминах обобщенных многочленов Лагерра
• 3 Свойства
  • 3.1 Общие сведения
  • 3.2 Неравенства
  • 3.3 Формула Стирлинга
  • 3.4 Остатки
  • 3.5 Минимумы
  • 3.6 Интегральные представления
  • 3.7 Разложение в ряд Фурье
  • 3.8 Формула Раабе
  • 3.9 Функция Pi
  • 3.10 Связь с другими функциями
  • 3.11 Частные значения
• 4 Логарифмическая гамма-функция
  • 4.1 Свойства
  • 4.2 Интегрирование по логарифмической гамме
• 5 Приближение
• 6 Приложения
  • 6.1 Проблемы интеграции
  • 6.2 Вычисление продуктов
  • 6.3 Аналитическая теория чисел
• 7 История
  • 7.1 XVIII век: Эйлер и Св. irling
  • 7.2 XIX век: Гаусс, Вейерштрасс и Лежандр
  • 7.3 XIX – XX века: характеристика гамма-функции
  • 7.4 Справочные таблицы и программное обеспечение
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 Далее чтение
• 11 Внешние ссылки

Мотивация

Гамма-функция интерполирует факториальную функцию к нецелым значениям.

Гамма-функцию можно рассматривать как решение следующей проблемы интерполяции :

"Найдите гладкую кривую, которая соединяет точки $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$, заданные как $y\; =\; (\; х\; -\; 1)!\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; (x-1)!\}$при положительных целочисленных значениях для $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$."

График первых нескольких факториалов показывает, что такая кривая может быть нарисованным, но было бы предпочтительнее иметь формулу, которая точно описывает кривую, в которой количество операций не зависит от размера $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Простая формула факториала $x!\; =\; 1\; \times \; 2\; \times \; \cdots \; \times \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x!\; =\; 1\; \backslash \; times\; 2\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; x\}$, не может использоваться непосредственно для дробных значений $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, поскольку он действителен только тогда, когда x является натуральным числом (или положительным целым числом). Условно говоря, таких простых решений для факториалов не существует; никакая конечная комбинация сумм, произведений, степеней, экспоненциальных функций или логарифмов не будет достаточной для выражения $x!\; \{\backslash \; displaystyle\; x!\}$; но можно найти общую формулу для факториалов, используя такие инструменты, как интегралы и пределы из исчисления. Хорошим решением этой проблемы является гамма-функция.

Существует бесконечно много непрерывных расширений факториала на нецелые числа: через любой набор изолированных точек можно провести бесконечно много кривых. Гамма-функция - это наиболее полезное решение на практике, поскольку она является аналитической (кроме неположительных целых чисел), и ее можно определить несколькими эквивалентными способами. Однако это не единственная аналитическая функция, которая расширяет факториал, так как добавление к нему любой аналитической функции, которая равна нулю для положительных целых чисел, например, k sin mπx, даст другую функцию с этим свойством.

Гамма-функция, Γ (z) синего цвета, построенная вместе с Γ (z) + sin (πz) зеленым цветом. Обратите внимание на пересечение в положительных целых числах, оба являются допустимыми аналитическими продолжениями факториалов до нецелых чисел

Более ограничивающим свойством, чем удовлетворение приведенной выше интерполяции, является удовлетворение рекуррентного отношения, определяющего переведенную версию факториальная функция,

$f\; (1)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (1)\; =\; 1,\}$

$f\; (x\; +\; 1)\; =\; xf\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; 1)\; =\; xf\; (x),\}$

для любого положительного действительного числа x. Но это позволило бы производить умножение на любую периодическую аналитическую функцию, которая дает значение 1 для положительных целых чисел, таких как e. Один из нескольких способов окончательно разрешить неоднозначность исходит из теоремы Бора – Моллерупа. Он утверждает, что когда добавляется условие, что f будет логарифмически выпуклым (или «супервыпуклым»), оно однозначно определяет f для положительных, реальных входов. Отсюда гамма-функция может быть расширена на все действительные и комплексные значения (кроме отрицательных целых чисел и нуля) с помощью уникального аналитического продолжения f.

Определение

Основное определение

Обозначение $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$связано с Legendre. Если действительная часть комплексного числа z положительна ($\Re \; (z)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (z)>0\}$), затем интеграл

$\Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; xz\; -\; 1\; e\; -\; xdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx\}$

сходится абсолютно и известен как интеграл Эйлера второго рода . (Интеграл Эйлера первого рода - это бета-функция.) Используя интегрирование по частям, видно, что:

$\Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; \int \; 0\; \infty \; xze\; -\; xdx\; =\; [-\; xze\; -\; x]\; 0\; \infty \; +\; \int \; 0\; \infty \; zxz\; -\; 1\; e\; -\; xdx\; =\; lim\; x\; \to \; \infty \; (-\; xze\; -\; x)\; -\; (-\; 0\; ze\; -\; 0)\; +\; Z\; \int \; 0\; \infty \; xz\; -\; 1\; е\; -\; xdx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Big\; [\}\; -x\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \{\backslash \; Big]\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; zx\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; (-\; x\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{\; -x\})\; -\; (-\; 0\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; 0\})\; +\; z\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; inft\; y\}\; x\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Признавая, что $-\; xze\; -\; x\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \; к\; 0\}$как $x\; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; to\; \backslash \; infty,\}$

$\Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \int \; 0\; \infty \; xz\; -\; 1\; е\; -\; xdx\; =\; z\; \Gamma \; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; z\; \backslash \; Gamma\; (z).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Мы можем вычислить $\Gamma \; (1):\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (1)\; \{\backslash \; text\; \{:\}\}\}$

$\Gamma \; (1)\; =\; \int \; 0\; \infty \; x\; 1\; -\; 1\; e\; -\; xdx\; =\; [-\; e\; -\; x]\; 0\; \infty \; =\; lim\; x\; \to \; \infty \; (-\; e\; -\; x)\; -\; (-\; e\; -\; 0)\; =\; 0\; -\; (-\; 1)\; =\; 1.\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Gamma\; (1)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{1-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Big\; [\; \}\; -e\; ^\; \{-\; x\}\; \{\backslash \; Big]\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; (-\; e\; ^\; \{-\; x\})\; -\; (-\; e\; ^\; \{-0\})\; \backslash \backslash \; =\; 0\; -\; (-\; 1)\; \backslash \backslash \; =\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Учитывая, что $\Gamma \; (1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (1)\; =\; 1\}$и $\Gamma \; (n\; +\; 1)\; =\; n\; \Gamma \; (n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1)\; =\; n\; \backslash \; Gamma\; (n),\}$

$\Gamma \; (\; п)\; знак\; равно\; 1\; \cdot \; 2\; \cdot \; 3\; \cdots \; (п\; -\; 1)\; знак\; равно\; (п\; -\; 1)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (n)\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdots\; (n-1)\; =\; (n-1)!\}$

для всех положительных целых чисел n. Это можно рассматривать как пример доказательства по индукции.

Тождество $\Gamma \; (z)\; =\; \Gamma \; (z\; +\; 1)\; z\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (\; z\; +\; 1)\}\; \{z\}\}\}$(или, с тем же результатом, может использоваться аналитическое продолжение ), чтобы однозначно расширить интегральную формулировку для $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$в мероморфную функцию, определенную для всех комплексных чисел z, кроме целых чисел, меньших или равных нулю. Именно эта расширенная версия обычно называется гамма-функцией.

Альтернативные определения

Определение Эйлера как бесконечного произведения

При приближении $z!\; \{\backslash \; displaystyle\; z!\}$для комплексного числа $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$эффективно сначала вычислить $n!\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\}$для некоторого большого целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Используйте это, чтобы приблизить значение для $(n\; +\; z)!\; \{\backslash \; displaystyle\; (n\; +\; z)!\}$, а затем используйте соотношение рекурсии $m!\; =\; м\; (м\; -\; 1)!\; \{\backslash \; displaystyle\; m!\; =\; m\; (m-1)!\}$назад $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$раз, чтобы приблизить его к $z!\; \{\backslash \; displaystyle\; z!\}$. Кроме того, это приближение является точным в пределе, поскольку $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$стремится к бесконечности.

В частности, для фиксированного целого числа $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$это тот случай, когда

$lim\; n\; \to \; \infty \; n!\; (П\; +\; 1)\; м\; (П\; +\; м)!\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\; \backslash ;\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{m\}\}\; \{(n\; +\; m)!\}\}\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

Если $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$не является целым числом, поэтому невозможно сказать, верно ли это уравнение, потому что мы еще (в этом разделе) не определили факториальную функцию для нецелых чисел. Однако мы действительно получаем уникальное расширение факториальной функции на нецелые числа, настаивая на том, чтобы это уравнение продолжало выполняться, когда произвольное целое число $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$заменяется произвольным комплексным число $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$.

$lim\; n\; \to \; \infty \; n!\; (N\; +\; 1)\; Z\; (N\; +\; Z)!\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\; \backslash ;\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{z\}\}\; \{(n\; +\; z)!\}\}\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

Умножение обе стороны на $z!\; \{\backslash \; displaystyle\; z!\}$дает

$z!\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; n!\; z!\; (п\; +\; з)!\; (n\; +\; 1)\; z\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; \cdots \; n)\; 1\; (1\; +\; z)\; \cdots \; (n\; +\; z)\; ((2\; 1)\; (3\; 2)\; \cdots \; (n\; +\; 1\; n))\; z\; =\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; [1\; 1\; +\; zn\; (1\; +\; 1\; n)\; z].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; z!\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; n!\; \{\backslash \; frac\; \{z!\}\; \{(n\; +\; z)!\}\}\; (n\; +\; 1)\; ^\; \{z\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; (1\; \backslash \; cdots\; n)\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; z)\; \backslash \; cdots\; (n\; +\; z)\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; справа)\; ^\; \{z\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{z\}\; \backslash \; right].\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это бесконечное произведение сходится для всех комплексных чисел $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$кроме отрицательных целых чисел, которые не выполняются из-за попытки использовать соотношение рекурсии $m!\; =\; м\; (м\; -\; 1)!\; \{\backslash \; displaystyle\; m!\; =\; m\; (m-1)!\}$назад через значение $m\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; 0\}$включает деление на ноль.

Аналогично для гамма-функции определение как бесконечное произведение из-за Эйлера действительно для всех комплексных чисел $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$кроме целые неположительные числа:

$\Gamma \; (z)\; =\; 1\; z\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; +\; 1\; n)\; z\; 1\; +\; zn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{z\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\}\}\; \backslash ,.\}$

По этой конструкции гамма-функция является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет $\Gamma \; (\; 1)\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (1)\; =\; 1\}$, $\Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$для всех комплексных чисел $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$кроме неположительных целых чисел, и $lim\; n\; \to \; \infty \; \Gamma \; (n\; +\; z)\; \Gamma \; (n)\; nz\; =\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n)\; \backslash ;\; n\; ^\; \{z\}\}\}\; =\; 1\}$для всех комплексных чисел $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$.

Определение Вейерштрасса

Определение для гамма-функции из-за Вейерштрасса также действительно для всех комплексных чисел z, кроме не -положительные целые числа:

$\Gamma \; (z)\; =\; e\; -\; \gamma \; zz\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; +\; zn)\; -\; 1\; ez\; /\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; гамма\; z\}\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; e\; ^\; \{z\; /\; n\; \},\}$

где e $\gamma \; \approx \; 0,577216\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash \; приблизительно\; 0,577216\}$- константа Эйлера – Маскерони. Это Произведение Адамара из $1\; /\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$в переписанном виде. Действительно, поскольку $1\; /\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$- это целое рода 1 с простым нулем в $z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 0\}$, имеем представление продукта

$1\; \Gamma \; (z)\; =\; ze\; A\; z\; +\; B\; \prod \; \rho \; (1\; -\; z\; \rho )\; ez\; /\; \rho ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\; =\; ze\; ^\; \{Az\; +\; B\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{\backslash \; rho\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{\; z\; /\; \backslash \; rho\},\}$

где произведение находится над нулями $\rho \; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; neq\; 0\}$of $1\; /\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$. Поскольку $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$имеет простые полюса при неположительных целых числах, из этого следует, что $1\; /\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$имеет простые нули при неположительных целых числах, поэтому приведенное выше уравнение становится формулой Вейерштрасса с $-\; A\; z\; -\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; -Az-B\}$вместо $-\; \gamma \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; gamma\; z\}$. Вывод констант $A\; =\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; gamma\}$и $B\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; 0\}$носит несколько технический характер, но может быть выполнено с использованием некоторых идентификаторов, включающих дзета-функцию Римана (см., например, этот идентификатор ). См. Также теорему факторизации Вейерштрасса.

В терминах обобщенных полиномов Лагерра

Представление неполной гамма-функции в терминах обобщенных полиномов Лагерра является

$\Gamma \; (z,\; x)\; знак\; равно\; xze\; -\; x\; \sum \; n\; знак\; равно\; 0\; \infty \; L\; n\; (z)\; (x)\; n\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z,\; x)\; =\; x\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{n\}\; ^\; \{(z)\}\; (x)\}\; \{n\; +\; 1\}\},\}$

который сходится для $\Re \; (z)>-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (z)>-\; 1\}$и $x>0\; \{\backslash \; displaystyle\; x>0\}$.

Свойства

Общие

Другими важными функциональными уравнениями для гамма-функции являются формула отражения Эйлера

$\Gamma \; (1\; -\; z)\; \Gamma \; (z)\; =\; \pi \; sin\; \; (\pi \; z),\; z\; \notin \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (1-z)\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; over\; \backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; z)\},\; \backslash \; qquad\; z\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

, что означает

$\Gamma \; (\epsilon \; -\; N)\; знак\; равно\; (-\; 1)\; N\; -\; 1\; \Gamma \; (-\; \epsilon )\; \Gamma \; (1\; +\; \epsilon )\; \Gamma \; (n\; +\; 1\; -\; \epsilon ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; varepsilon\; -n)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n-1\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (-\; \backslash \; varepsilon)\; \backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; varepsilon)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1-\; \backslash \; varepsilon)\}\},\}$

и Формула дублирования Лежандра

$\Gamma \; (z)\; \Gamma \; (z\; +\; 1\; 2)\; =\; 2\; 1\; -\; 2\; z\; \pi \; \Gamma \; (2\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; ^\; \{1-2z\}\; \backslash ;\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; (\; 2z).\}$

Вывод формулы Эйлера отражения

Поскольку $e\; -\; t\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; (1\; -\; tn)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; t\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\},\}$ гамма-функция может быть представлена ​​как $\Gamma \; (z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; \int \; 0\; нтз\; -\; 1\; (1\; -\; тн)\; ндт.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{n\}\; t\; ^\; \{z-1\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{n\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dt.\}$ Интегрирование по частям $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$раз дает $\Gamma \; (z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; nnz\; \cdot \; N\; -\; 1\; N\; (Z\; +\; 1)\; \cdot \; N\; -\; 2\; N\; (Z\; +\; 2)\; \cdots \; 1\; N\; (Z\; +\; N\; -\; 1)\; \int \; 0\; NTZ\; +\; N\; -\; 1\; dt,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{nz\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{n\; (z\; +\; 1)\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{n-2\}\; \{n\; (z\; +2)\}\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; (z\; +\; n-1)\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{n\}\; t\; ^\; \{z\; +\; n-1\}\; \backslash ,\; dt,\}$ что равно $\Gamma \; (z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; n!\; N\; N\; \prod \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (Z\; +\; К)\; -\; 1\; N\; Z\; +\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{n\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (z\; +\; k)\; ^\; \{-\; 1\}\; n\; ^\; \{z\; +\; n\}.\}$ Это можно переписать как $\Gamma \; (z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; nzz\; \prod \; k\; =\; 1\; nkz\; +\; k\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; nzz\; \prod \; к\; знак\; равно\; 1\; n\; 1\; 1\; +\; zk.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{z\}\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \}\; \{z\; +\; k\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{z\}\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{k\}\}\}\}.\}$ Тогда, используя функциональное уравнение гамма-функции, получаем $-\; z\; \Gamma \; (-\; z)\; \Gamma \; (z)\; =\; \Gamma \; (\; 1\; -\; z)\; \Gamma \; (z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; 1\; z\; \prod \; k\; знак\; равно\; 1\; n\; 1\; 1\; -\; z\; 2\; k\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; -z\; \backslash \; Gamma\; (-z)\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; Gamma\; (1-z)\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$ Может быть доказал, что $sin\; \; (\pi \; z)\; =\; \pi \; z\; \prod \; k\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; z\; 2\; k\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; z)\; =\; \backslash \; pi\; z\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right).\}$ Тогда $\pi \; sin\; \; (\pi \; z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; 1\; z\; \prod \; k\; =\; 1\; n\; 1\; 1\; -\; z\; 2\; k\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; z)\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$ Формула отражения Эйлера следующая: $\Gamma \; (1\; -\; z)\; \Gamma \; (z)\; =\; \pi \; sin\; \; (\pi \; z),\; z\; \notin \; Z.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (1-z)\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; z)\}\},\; \backslash \; qquad\; z\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Вывод формулы дублирования Лежандра

бета-функция может быть представлена ​​как $B\; (z\; 1,\; z\; 2)\; =\; \Gamma \; (z\; 1)\; \Gamma \; (z\; 2)\; \Gamma \; (z\; 1\; +\; z\; 2)\; знак\; равно\; \int \; 0\; 1\; tz\; 1\; -\; 1\; (1\; -\; t)\; z\; 2\; -\; 1\; dt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (z\_\; \{1\},\; z\_\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (z\_\; \{1\})\; \backslash \; Gamma\; (z\_\; \{2\})\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z\_\; \{1\}\; +\; z\_\; \{2\})\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; t\; ^\; \{z\_\; \{1\}\; -1\}\; (1-t)\; ^\; \{z\_\; \{2\}\; -1\}\; \backslash ,\; dt.\}$ Установка $z\; 1\; =\; z\; 2\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{1\}\; =\; z\_\; \{2\}\; =\; z\}$дает $\Gamma \; 2\; (z)\; \Gamma \; (2\; z)\; =\; \int \; 0\; 1.\; tz\; -\; 1\; (1\; -\; t)\; z\; -\; 1\; dt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ^\; \{2\}\; (z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (2z)\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; t\; ^\; \{z-1\}\; (1-t)\; ^\; \{\; z-1\}\; \backslash ,\; dt.\}$ После замены $t\; =\; 1\; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; x\}\; \{2\}\}\}$получаем $\Gamma \; 2\; (z)\; \Gamma \; (2\; z)\; =\; 1\; 2\; 2\; z\; -\; 1\; \int \; -\; 1\; 1\; (1\; -\; x\; 2)\; z\; -\; 1\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; ^\; \{2\}\; (z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (2z)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{2z-1\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (1-x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{z-1\}\; \backslash ,\; dx.\}$ Функция $(1\; -\; x\; 2)\; z\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-\; x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{z-1\}\}$четно, поэтому $2\; 2\; z\; -\; 1\; \Gamma \; 2\; (z)\; =\; 2\; \Gamma \; (2\; z)\; \int \; 0\; 1\; (1\; -\; x\; 2)\; z\; -\; 1\; дх.\; \{\backslash \; Displaystyle\; 2\; ^\; \{2z-1\}\; \backslash \; Gamma\; ^\; \{2\}\; (z)\; =\; 2\; \backslash \; Gamma\; (2z)\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{z-1\; \}\; \backslash ,\; dx.\}$ Теперь предположим, что $B\; (1\; 2,\; z)\; =\; \int \; 0\; 1\; t\; 1\; 2\; -\; 1\; (1\; -\; t)\; z\; -\; 1\; dt,\; t\; =\; s\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; z\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; t\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -1\}\; (1-t)\; ^\; \{z-1\}\; \backslash ,\; dt,\; \backslash \; quad\; t\; =\; s\; ^\; \{2\}.\}$ Тогда $B\; (1\; 2,\; z)\; =\; 2\; \int \; 0\; 1\; (1\; -\; s\; 2)\; z\; -\; 1\; ds\; =\; 2\; \int \; 0\; 1\; (1\; -\; x\; 2)\; z\; -\; 1\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; z\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (1-s\; ^\; \{2\})\; ^\; \{z\; -1\}\; \backslash ,\; ds\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{z-1\}\; \backslash ,\; dx.\}$ Отсюда следует $2\; 2\; z\; -\; 1\; \Gamma \; 2\; (z)\; =\; \Gamma \; (2\; z)\; B\; (1\; 2,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2z-1\}\; \backslash \; Gamma\; ^\; \{2\}\; (z)\; =\; \backslash \; Gamma\; (2z)\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; z\; \backslash \; right).\}$ Поскольку $B\; (1\; 2,\; z)\; =\; \Gamma \; (1\; 2)\; \Gamma \; (z)\; \Gamma \; (z\; +\; 1\; 2),\; \Gamma \; (1\; 2)\; =\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; z\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Gamma\; (z)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\},\}$ формула дублирования Лежандра следует: $\Gamma \; (z)\; \Gamma \; (z\; +\; 1\; 2)\; =\; 2\; 1\; -\; 2\; z\; \pi \; \Gamma \; (2\; z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; ^\; \{1-2z\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; (2z).\}$

Формула дублирования является частным случаем теоремы умножения (см. Уравнение 5.5.6)

$\prod \; k\; =\; 0\; m\; -\; 1\; \Gamma \; (z\; +\; km)\; =\; (2\; \pi )\; m\; -\; 1\; 2\; m\; 1\; 2\; -\; mz\; \Gamma \; (mz).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{m-1\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{m-1\; \}\; \{2\}\}\; \backslash ;\; m\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; mz\}\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; (mz).\}$

Простое, но полезное свойство, которое видно из определения предела, есть:

$\Gamma \; (z)\; ¯\; =\; \Gamma \; (z\; ¯)\; \Rightarrow \; \Gamma \; (z)\; \Gamma \; (z\; ¯)\; \in \; R.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\; =\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; overline\; \{z\}\})\; \backslash ;\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; overline\; \{z\}\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}.\}$

В частности, при z = a + bi этот продукт равен

$|\; \Gamma \; (a\; +\; b\; i)\; |\; 2\; =\; |\; \Gamma \; (a)\; |\; 2\; \prod \; К\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; 1\; +\; б\; 2\; (а\; +\; К)\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; \backslash \; Гамма\; (а\; +\; би)\; |\; ^\; \{2\}\; =\; |\; \backslash \; Гамма\; (а)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \{(a\; +\; k)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\}$

Если действительная часть целое или полуцелое число, это может быть конечно выражено в закрытой форме :

$| Γ (b i) | 2 = π b sh (π b) | Γ (1 2 + b i) | 2 = π ch ⁡ (π b) | Γ (1 + b i) | 2 = π b sh (π b) | Γ (1 + n + b i) | 2 = π b sinh ⁡ (π b) ∏ k = 1 n (k 2 + b 2), n ∈ N | Γ (- n + b i) | 2 = π b sinh ⁡ (π b) ∏ k = 1 n (k 2 + b 2) - 1, n ∈ N | Γ (1 2 ± n + b i) | 2 знак равно π cosh ⁡ (π b) ∏ К знак равно 1 N ((к - 1 2) 2 + b 2) ± 1, n ∈ N {\ Displaystyle {\ begin {выровнены} | \ Gamma (bi) | ^ { 2} = {\ frac {\ pi} {b \ sinh (\ pi b)}} \\ [6pt] | \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + bi \ right) | ^ {2} = {\ frac {\ pi} {\ ch (\ pi b)}} \\ | \ Gamma \ left (1 + bi \ right) | ^ {2} = {\ frac {\ pi b } {\ sinh (\ pi b)}} \\ | \ Gamma \ left (1 + n + bi \ right) | ^ {2} = {\ frac {\ pi b} {\ sinh (\ pi b) }} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (k ^ {2} + b ^ {2} \ right), \ quad n \ in \ mathbb {N} \\ | \ Gamma \ left ( -n + bi \ right) | ^ {2} = {\ frac {\ pi} {b \ sinh (\ pi b)}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (k ^ { 2} + b ^ {2} \ right) ^ {- 1}, \ quad n \ in \ mathbb {N} \\ | \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ pm n + bi \ right) | ^ {2} = {\ frac {\ pi} {\ cosh (\ pi b)}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left (k - {\ tfrac {1} {2}} \ right) ^ {2} + b ^ {2} \ right) ^ {\ pm 1}, \ quad n \ in \ mathbb {N} \ end {align}}}$

Доказательство формул для целой или полуцелой вещественной части

Сначала рассмотрим формулу отражения, примененную к $z\; =\; bi\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; bi\}$. $\Gamma \; (bi)\; \Gamma \; (1\; -\; bi)\; =\; \pi \; грех\; \; (\pi \; би)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Гамма\; (би)\; \backslash \; Гамма\; (1-би)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; пи\; \}\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; bi)\}\}\}$ Применяя рекуррентное соотношение ко второму члену, получаем $-\; bi\; \cdot \; \Gamma \; (bi)\; \Gamma \; (-\; bi)\; =\; \pi \; sin\; \; (\pi \; bi)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; -bi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Gamma\; (bi)\; \backslash \; Gamma\; (-bi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; bi)\}\}\}$ , что при простой перестановке дает $\Gamma \; (bi)\; \Gamma \; (-\; bi)\; знак\; равно\; \pi \; -\; bi\; sin\; \; (\pi \; bi)\; =\; \pi \; b\; sinh\; \; (\pi \; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (bi)\; \backslash \; Gamma\; (-bi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{-\; bi\; \backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; bi)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{b\; \backslash \; sinh\; (\backslash \; pi\; b)\}\}\}$ Во-вторых, рассмотрим формулу отражения, примененную к $z\; =\; 1\; 2\; +\; bi\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; bi\}$. $\Gamma \; (1\; 2\; +\; bi)\; \Gamma \; (1\; -\; (1\; 2\; +\; bi))\; =\; \Gamma \; (1\; 2\; +\; bi)\; \Gamma \; (1\; 2\; -\; bi)\; знак\; равно\; \pi \; грех\; \; (\pi \; (1\; 2\; +\; bi))\; =\; \pi \; соз\; \; (\pi \; bi)\; =\; \pi \; cosh\; \; (\pi \; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; bi)\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (1\; -\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; bi)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; bi)\; \backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; -\; bi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; pi\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; bi)\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \}\; \{\backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; bi)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; cosh\; (\backslash \; pi\; b)\}\}\}$ Формулы для других значений $z\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; z\}$, для которого действительная часть является целым или полуцелым числом, быстро следует индукция с использованием рекуррентного отношения в положительном и отрицательном направлениях.

Возможно, наиболее известное значение гамма-функции при нецелочисленном аргументе:

$\Gamma \; (1\; 2)\; =\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; справа)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\},\}$

, который можно найти, задав $z\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$в формулах отражения или дублирования, используя отношение к бета-функции, приведенной ниже, с $x\; =\; y\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; x\; =\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\}$, или просто сделав замену $u\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\}$в интегральном определении гамма-функции, в результате в интеграле Гаусса. В общем, для неотрицательных целочисленных значений $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$мы имеем:

$\Gamma \; (1\; 2\; +\; n)\; =\; (2\; n)!\; 4\; н\; н!\; \pi \; =\; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; 2\; N\; \pi \; знак\; равно\; (N\; -\; 1\; 2\; N)\; п!\; \pi \; \Gamma \; (1\; 2\; -\; п)\; знак\; равно\; (-\; 4)\; п\; п!\; (2\; п)!\; \pi \; знак\; равно\; (-\; 2)\; п\; (2\; п\; -\; 1)!\; !\; \pi \; знак\; равно\; \pi \; (-\; 1/2\; п)\; п!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\; =\; \{(2n)!\; \backslash \; over\; 4\; ^\; \{n\}\; n!\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2n-1)\; !!\}\; \{2\; ^\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \{n\}\}\; n!\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \backslash \; [8pt]\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; п\; \backslash \; право)\; =\; \{(-\; 4)\; ^\; \{п\}\; п!\; \backslash \; over\; (2n)!\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-2)\; ^\; \{n\}\}\; \{(2n-1)\; !!\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{\{\backslash \; binom\; \{-1/2\}\; \{n\}\}\; n!\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $n!\; !\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\}$обозначает двойной факториал числа n, а при $n\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0\}$, $n!\; !\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; !!\; =\; 1\}$. См. Частные значения гамма-функции для расчетных значений.

Может возникнуть соблазн обобщить результат, что $\Gamma \; (1\; 2)\; =\; \pi \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$путем поиска формулы для других индивидуальных значений $\Gamma \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (r)\}$где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$является рациональным, особенно потому, что согласно теореме Гаусса о дигамме, это возможно для тесно связанной функции дигаммы при любом рациональном значении. Однако неизвестно, что эти числа $\Gamma \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (r)\}$сами по себе выражаются в терминах элементарных функций. Доказано, что $\Gamma \; (n\; +\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (n\; +\; r)\}$является трансцендентным числом и алгебраически независимым из $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$для любого целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и каждой дроби $r\; =\; 1\; 6,\; 1\; 4,\; 1\; 3,\; 2\; 3,\; 3\; 4,\; 5\; 6\; \{\backslash \; textstyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{6\}\}\}$. В общем, при вычислении значений гамма-функции мы должны ограничиваться численными приближениями.

Еще один полезный предел для асимптотических приближений:

$lim\; n\; \to \; \infty \; \Gamma \; (n\; +\; \alpha )\; \Gamma \; (n)\; n\; \alpha \; =\; 1,\; \alpha \; \in \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; +\; \backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (n)\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; =\; 1,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$

Производные гамма-функции описаны с помощью полигамма-функции. Например:

$\Gamma \; \prime \; (z)\; =\; \Gamma \; (z)\; \psi \; 0\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \text{'}(z)\; =\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; (z).\}$

Для положительного целого числа m производная гамма-функции может быть вычислена следующим образом (здесь $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- это постоянная Эйлера – Маскерони ):

$\Gamma \; \prime \; (m\; +\; 1)\; =\; m!\; (-\; \gamma \; +\; \sum \; k\; =\; 1\; м\; 1\; к).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \text{'}(m\; +\; 1)\; =\; m!\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Для $\Re \; (x)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (x)>0\}$$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я производная гамма-функции:

Производная функции Γ (z)

$dndxn\; \Gamma \; (x)\; =\; \int \; 0\; \infty \; tx\; -\; 1\; e\; -\; t\; (ln\; \; t)\; ndt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\; \}\}\}\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{x-1\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; (\backslash \; ln\; t)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dt.\}$

(Это может быть получено путем дифференцирования интегральной формы гамма-функции относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и использования техники дифференцирования под знаком интеграла.)

Используя тождество

$\Gamma \; (n)\; (1)\; =\; (-\; 1)\; nn!\; \sum \; \pi \; ⊢\; n\; \prod \; i\; =\; 1\; r\; \zeta \; \ast \; (ai)\; ki!\; \cdot \; ai\; \zeta \; \ast \; (x)\; :\; знак\; равно\; \{\zeta \; (Икс)\; Икс\; \ne \; 1\; \gamma \; Икс\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; ^\; \{(n)\}\; (1)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; п!\; \backslash \; сумма\; \backslash \; пределы\; \_\; \{\backslash \; пи\; \backslash ,\; \backslash \; vda\; sh\; \backslash ,\; n\}\; \backslash ,\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{*\}\; (a\_\; \{i\})\}\; \{k\_\; \{i\}!\; \backslash \; cdot\; a\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; zeta\; ^\; \{*\}\; (x):\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; zeta\; (x)\; x\; \backslash \; neq\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; x\; =\; 1\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

где $\zeta \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (z)\}$- это дзета-функция Римана,, и $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$- это раздел из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, заданный как

$\pi \; =\; a\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; ⏟\; k\; 1\; термины\; +\; \cdots \; +\; ar\; +\; \cdots \; +\; ar\; ⏟\; kr\; термины,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; =\; \backslash \; underbrace\; \{a\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\}\; \_\; \{k\_\; \{1\}\; \{\backslash \; text\; \{terms\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; underbrace\; \{a\_\; \{r\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{r\}\}\; \_\; \{k\_\; \{r\}\; \{\backslash \; text\; \{terms\}\}\},\}$

мы имеем, в частности,

$\Gamma \; (z)\; =\; 1\; z\; -\; \gamma \; +\; 1\; 2\; (\gamma \; 2\; +\; \pi \; 2\; 6)\; z\; -\; 1\; 6\; (\gamma \; 3\; +\; \gamma \; \pi \; 2\; 2\; +\; 2\; \zeta \; (3))\; z\; 2\; +\; O\; (z\; 3).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\; -\; \backslash \; gamma\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{6\}\}\; \backslash \; right)\; z\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +2\; \backslash \; zeta\; (3)\; \backslash \; right)\; z\; ^\; \{2\}\; +\; O\; (z\; ^\; \{3\}).\}$

Неравенства

При ограничении положительными действительными числами гамма-функция является строго логарифмически выпуклая функция. Это свойство может быть указано любым из следующих трех эквивалентных способов:

• Для любых двух положительных действительных чисел $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$и $x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\}$, и для любого $t\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,1]\}$,

$\Gamma \; (tx\; 1\; +\; (1\; -\; t)\; x\; 2)\; \le \; \Gamma \; (x\; 1)\; t\; \Gamma \; (x\; 2)\; 1\; -\; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (tx\_\; \{1\}\; +\; (1-t)\; x\_\; \{2\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; Gamma\; (x\_\; \{1\})\; ^\; \{t\}\; \backslash \; Gamma\; (x\_\; \{2\})\; ^\; \{1-t\}.\; \}$

• Для любых двух положительных действительных чисел x и y, y>x,

$(\Gamma \; (y)\; \Gamma \; (x))\; 1\; y\; -\; x>exp\; \; (\Gamma \; \prime \; (x)\; \Gamma \; (x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (y)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{yx\}\}>\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \text{'}(x)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x)\}\}\; \backslash \; right).\}$

• Для любого положительного вещественное число $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$,

$\Gamma \; ″\; (x)\; \Gamma \; (x)>\Gamma \; \prime \; (x)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \text{'}\text{'}\; (x)\; \backslash \; Gamma\; (x)>\backslash \; Gamma\; \text{'}\; (x)\; ^\; \{2\}.\}$

Последний из этих операторов, по сути, по определению совпадает с утверждением, что $\psi \; (1)\; (x)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(1)\}\; (x)>0\}$, где $\psi \; (1)\; \{\backslash \; disp\; laystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(1)\}\}$- это полигамма-функция порядка 1. Чтобы доказать логарифмическую выпуклость гамма-функции, достаточно заметить, что $\psi \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{(1)\}\}$имеет представление ряда, которое для положительного действительного x состоит только из положительных членов.

Логарифмическая выпуклость и неравенство Дженсена вместе означают, что для любых положительных действительных чисел $x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\}$и $a\; 1,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$,

$\Gamma \; (a\; 1\; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; тревога\; 1\; +\; \cdots \; +\; an)\; \le \; (\Gamma \; (x\; 1)\; a\; 1\; \cdots \; \Gamma \; (xn)\; an)\; 1\; a\; 1\; +\; \cdots \; +\; an.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\})\; \{a\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; Gamma\; (x\_\; \{1\})\; ^\; \{a\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; Gamma\; (x\_\; \{n\})\; ^\; \{a\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{a\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\}\}.\}$

Также существуют ограничения на отношения гамма-функций. Наиболее известным является неравенство Гаучи, которое гласит, что для любого положительного действительного числа x и любого s ∈ (0, 1)

формула Стирлинга

Представление гамма-функция в комплексной плоскости. Каждая точка $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$окрашена в соответствии с аргументом $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$. Контурный график модуля $|\; \Gamma \; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; Gamma\; (z)\; |\}$также отображается. 3-мерный график абсолютного значения комплексной гамма-функции

Поведение $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\}$для возрастающей положительной переменной просто. Он растет быстро, быстрее, чем экспоненциальная функция на самом деле. Асимптотически при $z\; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; textstyle\; z\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \backslash ,\}$величина гамма-функции задается формулой Стирлинга

$\Gamma \; (z\; +\; 1)\; \sim \; 2\; \pi \; z\; (ze)\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; z\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{z\},\}$

где символ $\sim \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sim\}$подразумевает асимптотическую сходимость. Другими словами, отношение двух сторон сходится к 1 как $z\; \to \; +\; \infty \; \{\backslash \; textstyle\; z\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\}$.

Остатки

Поведение для неположительных $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$более сложный. Интеграл Эйлера не сходится для $z\; \le \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; leq\; 0\}$, но функция, которую он определяет в положительной комплексной полуплоскости, имеет уникальное аналитическое продолжение в отрицательную полуплоскость. Один из способов найти это аналитическое продолжение - использовать интеграл Эйлера для положительных аргументов и расширить область до отрицательных чисел путем повторного применения рекуррентной формулы

$\Gamma \; (z)\; =\; \Gamma \; (z\; +\; n\; +\; 1)\; z\; (z\; +\; 1)\; \cdots \; (Z\; +\; N),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (z\; +\; n\; +\; 1)\}\; \{z\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; cdots\; (z\; +\; n)\}\},\}$

выбор $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$так, чтобы $z\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; +\; n\}$было положительным. Произведение в знаменателе равно нулю, если $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$равно любому из целых чисел $0,\; -\; 1,\; -\; 2,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; 0,\; -1,\; -2.,\; \backslash \; cdots\}$. Таким образом, гамма-функция должна быть неопределенной в этих точках, чтобы избежать деления на ноль ; это мероморфная функция с простыми полюсами в неположительных целых числах.

Для функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$сложной переменной $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, на простом полюсе $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, остаток из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$определяется как:

$Res\; \; (f,\; c)\; =\; lim\; z\; \to \; c\; (z\; -\; c)\; f\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (f,\; c)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; c\}\; (zc)\; f\; (z).\}$

Для простого полюса $z\; =\; -\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -n,\}$перепишем рекуррентную формулу как:

$(z\; +\; n)\; \Gamma \; (z)\; =\; \Gamma \; (z\; +\; n\; +\; 1)\; z\; (z\; +\; 1)\; \cdots \; (z\; +\; n\; -\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (z\; +\; n)\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (z\; +\; n\; +\; 1)\}\; \{z\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; cdots\; (z\; +\; n-1)\}\}.\}$

Числитель в $z\; =\; -\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; -n,\}$равен

$\Gamma \; (z\; +\; n\; +\; 1)\; =\; \Gamma \; (1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Гамма\; (z\; +\; n\; +\; 1)\; =\; \backslash \; Gamma\; (1)\; =\; 1\}$

и знаменатель

$z\; (z\; +\; 1)\; \cdots \; (z\; +\; n\; -\; 1)\; =\; -\; n\; (1\; -\; n)\; \cdots \; (\; п\; -\; 1\; -\; п)\; =\; (-\; 1)\; пп!.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; cdots\; (z\; +\; n-1)\; =\; -\; n\; (1-n)\; \backslash \; cdots\; (n-1-n)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; n\; !.\}$

Таким образом, вычеты гамма-функции в этих точках равны:

$Res\; \; (\Gamma ,\; -\; n)\; =\; (-\; 1)\; nn!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Res\}\; (\backslash \; Gamma,\; -n)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

Гамма-функция не равна нулю везде вдоль действительного линия, хотя она сколь угодно близка к нулю при z → −∞. На самом деле комплексного числа $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$для wh не существует ich $\Gamma \; (z)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; 0\}$, и, следовательно, обратная гамма-функция $1\; \Gamma \; (z)\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\}$- это целая функция с нулями в $z\; =\; 0,\; -\; 1,\; -\; 2,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 0,\; -1,\; -2,\; \backslash \; cdots\}$.

Minima

Гамма-функция имеет локальный минимум в z min ≈ +1,46163214496836234126 (усеченный), где достигает значения Γ (z min) ≈ +0,88560319441088870027 (усечено). Гамма-функция должна чередовать знак между полюсами, поскольку произведение в прямом повторении содержит нечетное количество отрицательных факторов, если количество полюсов между $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$и $z\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; +\; n\}$нечетное число и четное число, если число полюсов четное.

Интегральные представления

Есть много формул, помимо Интеграл Эйлера второго рода, выражающий гамма-функцию как интеграл. Например, когда действительная часть z положительна,

$\Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; 1\; (log\; \; 1\; t)\; z\; -\; 1\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; log\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{z-1\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Первая интегральная формула Бине для гамма-функции гласит, что, если действительная часть z положительна, то:

$log\; \; \Gamma \; (z)\; =\; (z\; -\; 1\; 2)\; log\; \; z\; -\; z\; +\; 1\; 2\; log\; \; (\; 2\; \pi )\; +\; \int \; 0\; \infty \; (1\; 2\; -\; 1\; t\; +\; 1\; et\; -\; 1)\; e\; -\; tztdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; left\; (z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; log\; z-z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; (2\; \backslash \; pi)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{e\; ^\; \{t\}\; -1\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; tz\}\}\; \{t\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Интеграл в правой части можно интерпретировать как преобразование Лапласа. То есть

$log\; \; (\Gamma \; (z)\; (e\; z)\; z\; 2\; \pi \; z)\; =\; L\; (1\; 2\; t\; -\; 1\; t\; 2\; +\; 1\; t\; (e\; t\; -\; 1))\; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\}\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{z\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; z\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2t\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\; (e\; ^\; \{t\}\; -1)\; \}\}\; \backslash \; right)\; (z).\}$

Вторая интегральная формула Бине утверждает, что снова, когда действительная часть z положительна, тогда:

$log\; \; \Gamma \; (z)\; =\; (z\; -\; 1\; 2)\; log\; \; z\; -\; z\; +\; 1\; 2\; журнал\; \; (2\; \pi )\; +\; 2\; \int \; 0\; \infty \; arctan\; \; (t\; /\; z)\; e\; 2\; \pi \; t\; -\; 1\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; left\; (z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; log\; z-z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; (2\; \backslash \; pi)\; +2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; arctan\; (t\; /\; z)\}\; \{e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; t\}\; -1\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Пусть C будет a контур Ганкеля, означающий путь, который начинается и заканчивается в точке ∞ на сфере Римана, единичный касательный вектор которого сходится к −1 в начале пути и к 1 в конец, имеющий число обмотки 1 вокруг 0 ​​и не пересекающий [0, ∞). Зафиксируем ветвь $журнала\; \; (-\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (-t)\}$, взяв отрезок ветви вдоль [0, ∞) и взяв $log\; \; (-\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (-t)\}$быть действительным, когда t находится на отрицательной действительной оси. Предположим, что z не является целым числом. Тогда формула Ганкеля для гамма-функции:

$\Gamma \; (z)\; =\; -\; 1\; 2\; i\; sin\; \; \pi \; z\; \int \; C\; (-\; t)\; z\; -\; 1\; e\; -\; tdt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2i\; \backslash \; sin\; \backslash \; pi\; z\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; (-\; t)\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash ,\; dt,\}$

где $(-\; t)\; z\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (-t)\; ^\; \{z-1\}\}$интерпретируется как $exp\; \; ((z\; -\; 1)\; log\; \; (-\; t))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; ((z-1)\; \backslash \; log\; (-t))\}$. Формула отражения приводит к тесно связанному выражению

$1\; \Gamma \; (z)\; =\; i\; 2\; \pi \; \int \; C\; (-\; t)\; -\; ze\; -\; tdt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (z)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; (-\; t)\; ^\; \{-\; z\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash ,\; dt,\}$

снова допустимо, если z не является целым числом.

Разложение в ряд Фурье

Логарифм гамма-функции имеет следующее разложение в ряд Фурье для

$ln\; \; \Gamma \; (z)\; =\; (1\; 2\; -\; z)\; (\gamma \; +\; ln\; \; 2)\; +\; (1\; -\; z)\; ln\; \; \pi \; -\; 1\; 2\; ln\; \; sin\; \; (\pi \; z)\; +\; 1\; \pi \; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; ln\; \; nn\; sin\; \; (2\; \pi \; nz),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; z\; \backslash \; right)\; (\backslash \; gamma\; +\; \backslash \; ln\; 2)\; +\; (1-z)\; \backslash \; ln\; \backslash \; pi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; n\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; pi\; nz),\}$

который долгое время приписывался Эрнсту Куммеру, который вывел его в 1847 году. Однако обнаружил, что Карл Йохан Мальмстен впервые вывел этот ряд в 1842 году.

Формула Раабе

В 1840 году Джозеф Людвиг Раабе доказал, что

$\int \; aa\; +\; 1\; ln\; \; \Gamma \; (\; z)\; dz\; =\; 1\; 2\; ln\; \; 2\; \pi \; +\; a\; ln\; \; a\; -\; a,\; a>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{a\; +\; 1\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; 2\; \backslash \; pi\; +\; a\; \backslash \; ln\; aa,\; \backslash \; quad\; a>0.\}$

В частности, если $a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 0\}$, то

$\int \; 0\; 1\; ln\; \; \Gamma \; (z)\; dz\; =\; 1\; 2\; ln\; \; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash ,\; dz\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; 2\; \backslash \; pi.\}$

Последнее может быть выводится логарифмом в приведенной выше формуле умножения, которая дает выражение для суммы Римана подынтегрального выражения. Если взять предел для $a\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$, получаем формулу.

Функция Пи

Альтернативное обозначение, которое изначально было введено Гауссом и которое иногда использовалось, - это $\Pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\}$-функция, которая в терминах гамма-функции равна

$\Pi \; (z)\; =\; \Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; ttzdt,\; \{\backslash \; displayst\; yle\; \backslash \; Pi\; (z)\; =\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; z\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; t\; ^\; \{z\}\; \backslash ,\; dt,\}$

, так что $\Pi \; (n)\; =\; n!\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (n)\; =\; n!\}$для каждого неотрицательного целого числа $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

Используя функцию пи, формула отражения принимает форму

$\Pi \; (z)\; \Pi \; (-\; z)\; знак\; равно\; \pi \; z\; грех\; \; (\pi \; z)\; =\; 1\; грех\; \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (z)\; \backslash \; Pi\; (-z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; z\}\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; z)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; (z)\}\}\}$

где sinc - это нормализованная функция sinc, тогда как теорема умножения принимает форма

$\Pi \; (zm)\; \Pi \; (z\; -\; 1\; m)\; \cdots \; \Pi \; (z\; -\; m\; +\; 1\; m)\; =\; (2\; \pi )\; m\; -\; 1\; 2\; m\; -\; z\; -\; 1\; 2\; \Pi \; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{z-m\; +\; 1\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{m-1\}\; \{2\}\}\; m\; ^\; \{-\; z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; Pi\; (z)\; \backslash .\}$

Иногда мы также находим

$\pi \; (z)\; =\; 1\; \Pi \; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Pi\; (z)\}\}\; \backslash ,\}$

, которая представляет собой целую функцию, определенную для каждого комплексного числа, как и обратная гамма-функция . $\pi \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (z)\}$целиком влечет за собой отсутствие полюсов, поэтому $\Pi \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\}$, например $\Gamma \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\}$, не имеет нулей.

объем n-эллипсоида с радиусами r 1,..., r n можно выразить как

$V\; n\; (r\; 1,\dots ,\; rn)\; =\; \pi \; N\; 2\; \Pi \; (N\; 2)\; \prod \; k\; знак\; равно\; 1\; nrk.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; (r\_\; \{1\},\; \backslash \; dotsc,\; r\_\; \{n\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; r\_\; \{k\}.\}$

Связь с другими функциями

• В первом интеграле выше, который определяет гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. Верхняя и нижняя неполные гамма-функции - это функции, полученные путем изменения нижнего или верхнего (соответственно) предела интегрирования.
• Гамма-функция связана с бета-функцией по формуле

$B\; (x,\; y)\; =\; \int \; 0\; 1\; tx\; -\; 1\; (1\; -\; t)\; y\; -\; 1\; dt\; =\; \Gamma \; (x)\; \Gamma \; (y)\; \Gamma \; (x\; +\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; t\; ^\; \{x-1\}\; (1-t)\; ^\; \{y-1\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; Gamma\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (y)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x\; +\; y)\}\}.\}$

• Логарифмическая производная гамма-функции называется дигамма-функцией ; высшие производные - это полигамма-функции.
• Аналогом гамма-функции над конечным полем или конечным кольцом являются суммы Гаусса, a тип экспоненциальной суммы.
• обратная гамма-функция - это целая функция, которая изучалась как отдельная тема.
• Гамма-функция также показывает вверх в важной связи с дзета-функцией Римана, $\zeta \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (z)\}$.

$\pi \; -\; z\; 2\; \Gamma \; (z\; 2)\; \zeta \; (z)\; =\; \pi \; -\; 1\; -\; z\; 2\; \Gamma \; (1\; -\; z\; 2)\; \zeta \; (1\; -\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; (z)\; =\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1-z\}\; \{2\}\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1-z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\; \backslash \; zeta\; (1-z).\}$

Это также присутствует в следующей формуле:

$\zeta \; (z)\; \Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; uzeu\; -\; 1\; duu,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (z)\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{u\; ^\; \{z\}\}\; \{e\; ^\; \{u\}\; -1\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{u\}\},\}$

, который действителен только для $\Re \; (z)>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (z)>1\}$.

Логарифм гамма-функции удовлетворяет следующей формуле Лерха:

$log\; \; \Gamma \; (x)\; =\; \zeta \; H\; \prime \; (0,\; Икс)\; -\; \zeta \; \prime \; (0),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{H\}\; \text{'}(0,\; x)\; -\; \backslash \; zeta\text{'}\; (0),\}$

где $\zeta \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{H\}\}$- это дзета-функция Гурвица,, $\zeta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\}$- дзета-функция Римана и штрих (′) означает дифференцирование по первая переменная.

• Гамма-функция связана с растянутой экспоненциальной функцией. Например, моменты этой функции равны

$⟨\tau \; n⟩\; \equiv \; \int \; 0\; \infty \; d\; t\; t\; n\; -\; 1\; e\; -\; (t\; \tau )\; \beta \; =\; \tau \; n\; \beta \; \Gamma \; (n\; \beta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; tau\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; dt\; \backslash ,\; t\; ^\; \{n-1\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\; \}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{n\; \backslash \; over\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; right).\}$

Конкретные значения

Включая до первых 20 цифр после десятичной точки, некоторые конкретные значения гамма-функции:

$Γ (- 3 2) = 4 3 π ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (- 1 2) = - 2 π ≈ - 3,54490 77018 11032 05459 Γ (1 2) = π ≈ + 1,77245 38509 05516 02729 Γ (1) = 0! = + 1 Γ (3 2) = 1 2 π ≈ + 0,88622 69254 52758 01364 Γ (2) = 1! = + 1 Γ (5 2) = 3 4 π ≈ + 1,32934 03881 79137 02047 Γ (3) = 2! = + 2 Γ (7 2) = 15 8 π ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ (4) = 3! = + 6 {\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} \ Gamma \ left (- {\ tfrac {3} {2}} \ right) = {\ tfrac {4} {3}} {\ sqrt {\ pi}} \ приблизительно + 2.36327 \, 18012 \, 07354 \, 70306 \\\ Гамма \ left (- {\ tfrac {1} {2}} \ right) = - 2 {\ sqrt { \ pi}} \ приблизительно -3.54490 \, 77018 \, 11032 \, 05459 \\\ Гамма \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ приблизительно + 1.77245 \, 38509 \, 05516 \, 02729 \\\ Гамма (1) = 0! = + 1 \\\ Гамма \ left ({\ tfrac {3} {2}} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \ приблизительно + 0.88622 \, 69254 \, 52758 \, 01364 \\\ Гамма (2) = 1! = + 1 \\\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {2}} \ right) = {\ tfrac {3} {4}} {\ sqrt {\ pi}} \ приблизительно + 1.32934 \, 03881 \, 79137 \, 02047 \\\ Гамма (3) = 2! = + 2 \\\ Гамма \ left ({\ tfrac {7} {2}} \ right) = {\ tfrac {15} {8}} {\ sqrt {\ pi}} \ приблизительно + 3.32335 \, 09704 \, 47842 \, 55118 \\\ Гамма (4) = 3! = + 6 \ end { array}}}$

Комплексная гамма-функция не определена для неположительных целых чисел, но в этих случаях значение может быть определено в сфере Римана как ∞. обратная гамма-функция является хорошо определенной и аналитической при этих значениях (и во всей комплексной плоскости ):

$1\; \Gamma \; (-\; 3)\; знак\; равно\; 1\; \Gamma \; (-\; 2)\; =\; 1\; \Gamma \; (-\; 1)\; =\; 1\; \Gamma \; (0)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (-3)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (-2)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (-1)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (0)\}\}\; =\; 0.\}$

log-гамма-функция

Аналитическая функция log Γ (z)

Поскольку гамма- и факториальные функции растут так быстро для умеренно больших аргументов, многие вычислительные среды включают функцию, которая возвращает натуральный логарифм от гамма-функция (часто именуется lgammaили lngammaв средах программирования или gammalnв электронных таблицах); это растет намного медленнее, и для комбинаторных вычислений позволяет складывать и вычитать журналы вместо умножения и деления очень больших значений. Часто его определяют как

$ln\; \; \Gamma \; (z)\; =\; -\; \gamma \; z\; -\; ln\; \; z\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; [z\; k\; -\; ln\; \; (1\; +\; z\; k)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; -\; \backslash \; gamma\; z-\; \backslash \; ln\; z\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{k\}\}\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

Также часто встречается дигамма-функция, которая является производной от этой функции. В контексте технических и физических приложений, например с распространением волн функциональное уравнение

$ln\; \; \Gamma \; (z)\; =\; ln\; \; \Gamma \; (z\; +\; 1)\; -\; ln\; \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; -\; \backslash \; ln\; z\}$

часто используется, поскольку он позволяет определять значения функции в одной полосе шириной 1 по z из соседней полосы. В частности, начиная с хорошего приближения для z с большой действительной частью, можно шаг за шагом перейти к желаемому z. Следуя указанию Карла Фридриха Гаусса, Роктэшель (1922) предложил вместо $ln\; \; (\Gamma \; (z))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (\backslash \; Gamma\; (z))\}$приближение для больших Re (z):

$ln\; \; \Gamma \; (z)\; \approx \; (z\; -\; 1\; 2)\; ln\; \; z\; -\; z\; +\; 1\; 2\; ln\; \; (2\; \pi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; приблизительно\; (z\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\})\; \backslash \; ln\; z-z\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi).\}$

Это можно использовать для точного приближения ln (Γ (z)) для z с меньшим Re (z) с помощью (PEBöhmer, 1939)

$ln\; \; \Gamma \; (z\; -\; m)\; =\; ln\; \; \Gamma \; (z)\; -\; \sum \; k\; =\; 1\; m\; ln\; \; (z\; -\; k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (zm)\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; ln\; (zk).\}$

Более точное приближение можно получить, используя дополнительные члены из асимптотических разложений ln (Γ (z)) и Γ (z), основанных на приближении Стирлинга.

$\Gamma \; (z)\; \sim \; zz\; -\; 1\; 2\; e\; -\; z\; 2\; \pi \; (1\; +\; 1\; 12\; z\; +\; 1\; 288\; z\; 2\; -\; 139\; 51\; 840\; z\; 3\; -\; 571\; 2\; 488\; 320\; z\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; sim\; z\; ^\; \{z\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; z\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12z\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{288z\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{139\}\; \{51\; \backslash ,\; 840z\; ^\; \{3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{571\}\; \{2\; \backslash ,\; 488\; \backslash ,\; 320z\; ^\; \{4\}\; \}\}\; \backslash \; right)\}$

как | z | → ∞ при постоянном | arg (z) | < π.

В более «естественном» изложении:

$ln\; \; \Gamma \; (z)\; \sim \; z\; ln\; \; (z)\; -\; z\; -\; 1\; 2\; ln\; \; (z\; 2\; \pi )\; +\; 1\; 12\; z\; -\; 1\; 360\; z\; 3\; +\; 1\; 1260\; z\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; \backslash \; sim\; z\; \backslash \; ln\; (z)\; -z\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12z\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{360z\; ^\; \{3\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1260z\; ^\; \{5\}\}\}\}$

как | z | → ∞ при постоянном | arg (z) | < π.

Коэффициенты членов с k>1 числа z в последнем разложении равны просто

$B\; kk\; (k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{k\}\}\; \{k\; (k-1)\}\; \}\}$

где B k - это числа Бернулли.

Свойства

Теорема Бора – Моллерупа утверждает, что среди всех функций, расширяющих факториалами к положительным действительным числам, только гамма-функция является логарифмически-выпуклой, то есть ее натуральный логарифм является выпуклым на положительной действительной оси. Другая характеристика дается теоремой Виландта.

В определенном смысле функция ln (Γ) является более естественной формой; это делает некоторые внутренние атрибуты функции более понятными. Ярким примером является ряд Тейлора для ln (Γ) около 1:

с ζ (k), обозначающим дзета-функцию Римана в точке k.

Итак, используя следующее свойство:

$\zeta \; (s)\; \Gamma \; (s)\; =\; \int \; 0\; \infty \; tset\; -\; 1\; dtt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (s)\; \backslash \; Gamma\; (s)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{s\}\}\; \{e\; ^\; \{t\}\; -1\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}\}$

мы можем найти интегральное представление для функция ln (Γ):

$ln\; \; \Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; -\; \gamma \; z\; +\; \int \; 0\; \infty \; (e\; -\; zt\; -\; 1\; +\; zt)\; t\; (et\; -\; 1)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (\; z\; +\; 1)\; =\; -\; \backslash \; gamma\; z\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; zt\}\; -1\; +\; zt\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}\; \{t\; \backslash \; left\; (\; e\; ^\; \{t\}\; -1\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

или, задав z = 1, чтобы получить интеграл для γ, мы можем заменить член γ его интегралом и включить его в формулу выше, чтобы получаем:

$ln\; \; \Gamma \; (z\; +\; 1)\; =\; \int \; 0\; \infty \; (e\; -\; zt\; -\; ze\; -\; t\; -\; 1\; +\; z)\; t\; (et\; -\; 1)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z\; +\; 1)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; zt\}\; -ze\; ^\; \{-\; t\}\; -1\; +\; z\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}\; \{t\; (e\; ^\; \{t\}\; -1)\}\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,.\}$

Также существуют специальные формулы для логарифма гамма-функции для рационального z. Например, если $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$являются целыми числами с и $k\; \ne \; n\; /\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; neq\; n\; /\; 2\; \backslash ,,\}$, затем

$пер\; \; \Gamma \; (kn)\; =\; (n\; -\; 2\; k)\; пер\; 2\; \pi \; 2\; n\; +\; 1\; 2\; \{пер\; \pi \; -\; ln\; \; sin\; \; \pi \; kn\}\; +\; 1\; \pi \; \sum \; r\; =\; 1\; n\; -\; 1\; \gamma \; +\; ln\; \; rr\; \cdot \; sin\; \; 2\; \pi \; rkn\; -\; 1\; 2\; \pi \; sin\; \; 2\; \pi \; kn\; \cdot \; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; nx\; \cdot \; ln\; \; x\; ch\; \; Икс\; -\; соз\; \; (2\; \pi \; К\; /\; N)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \backslash !\; \{\backslash \; Frac\; \{k\}\; \{n\}\}\; \backslash !\; \{\backslash \; Biggr)\}\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; (n-2k)\; \backslash \; ln\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\}\; \{2n\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; ln\; \backslash \; pi\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right\; \backslash \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash !\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash ,\; \backslash \; gamma\; +\; \backslash \; ln\; r\; \backslash ,\}\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; 2\; \backslash \; pi\; rk\; \backslash ,\}\; \{n\}\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\; \{n\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash !\; \backslash \; Int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; Frac\; \{\backslash ,\; e\; ^\; \{\; -nx\}\; \backslash !\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; x\; \backslash ,\}\; \{\backslash ,\; \backslash \; cosh\; x-\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; pi\; k\; /\; n)\; \backslash ,\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; x\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

см. Эта формула иногда используется для численных расчетов, поскольку подынтегральное выражение уменьшается очень быстро.

Интегрирование по логарифмической гамме

Интеграл

$\int \; 0\; z\; ln\; \; \Gamma \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{z\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (\; x)\; \backslash ,\; dx\}$

можно выразить через G-функцию Барнса (см. G-функцию Барнса для доказательства):

$\int \; 0\; z\; ln\; \; \Gamma \; (Икс)\; dx\; знак\; равно\; Z\; 2\; пер\; \; (2\; \pi )\; +\; z\; (1\; -\; z)\; 2\; +\; z\; пер\; \; \Gamma \; (z)\; -\; пер\; \; G\; (z\; +\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{z\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\; (1-z)\}\; \{2\}\}\; +\; z\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (z)\; -\; \backslash \; ln\; G\; (z\; +\; 1)\}$

где Re (z)>−1.

Его также можно записать в терминах дзета-функции Гурвица :

$\int \; 0\; z\; ln\; \; \Gamma \; (x)\; dx\; =\; z\; 2\; ln\; \; (2\; \pi )\; +\; z\; (1\; -\; z)\; 2\; -\; \zeta \; \prime \; (-\; 1)\; +\; \zeta \; \prime \; (-\; 1,\; z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{z\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\; (1-\; z)\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; zeta\; \text{'}(-1)\; +\; \backslash \; zeta\text{'}\; (-1,\; z).\}$

Когда $z\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 1\}$следует, что

$\int \; 0\; 1\; пер\; \; \Gamma \; (x)\; dx\; =\; 1\; 2\; log\; log\; (2\; \pi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Gamma\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; log\; (2\; \backslash \; pi),\}$

, и это также является следствием формулы Раабе. О. Эспиноза и В. Молл вывели аналогичную формулу для интеграла от квадрата $log\; \; \Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; Gamma\}$:

$\int \; 0\; 1\; log\; 2\; \; \Gamma \; (x)\; dx\; =\; \gamma \; 2\; 12\; +\; \pi \; 2\; 48\; +\; 1\; 3\; \gamma \; L\; 1\; +\; 4\; 3\; L\; 1\; 2\; -\; (\gamma \; +\; 2\; L\; 1)\; \zeta \; \prime \; (2)\; \pi \; 2\; +\; \zeta \; \prime \; \prime \; (2)\; 2\; \pi \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; log\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; (x)\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\}\; \{12\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{48\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; L\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; L\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; +\; 2L\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (2)\}\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; (2)\}\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \},\}$

где $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$равно $1\; 2\; log\; \; (2\; \pi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; log\; (2\; \backslash \; pi)\}$.

D. Х. Бейли и его соавторы дали оценку

$L\; n:\; =\; \int \; 0\; 1\; log\; n\; \; \Gamma \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}:\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; log\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Gamma\; (x)\; dx\}$

когда $n\; =\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1,2\}$в терминах дзета-функции Торнхейма-Виттена и ее производные.

Кроме того, также известно, что

$lim\; n\; \to \; \infty \; L\; n\; n!\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; 1.\}$

Приближение

Гамма сравнения (синяя линия) с факториалом (синие точки) и приближение Стирлинга (красная линия)

Комплексные значения гамма-функции могут быть вычислены численно с произвольной точностью с использованием приближения Стирлинга или приближения Ланцоша.

Гамма-функция может вычисляться с фиксированной точностью для $Re\; \; (z)\; \in \; [1,\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; (z)\; \backslash \; in\; [1,2]\}$путем применения интегрирование по частям до интеграла Эйлера. Для любого положительного числа x гамма-функция может быть записана

$\Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; xe\; -\; ttzdtt\; +\; \int \; x\; \infty \; e\; -\; ttzdtt\; =\; xze\; -\; x\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; xnz\; (z\; +\; 1)\; \cdots \; (z\; +\; п)\; +\; \int \; x\; \infty \; e\; -\; ttzdtt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; t\; ^\; \{z\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{x\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; t\; ^\; \{z\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}\; \backslash \backslash \; =\; x\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\}\; \{z\; (z\; +\; 1)\; \backslash \; cdots\; (z\; +\; n)\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{x\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; t\; ^\; \{z\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Когда Re (z) ∈ [1,2] и $x\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; geq\; 1\}$, абсолютное значение последнего интеграла меньше, чем $(x\; +\; 1)\; e\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; 1)\; e\; ^\; \{-\; x\}\}$. Выбрав достаточно большой $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, это последнее выражение можно сделать меньше, чем $2\; -\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{-\; N\}\}$для любого желаемого значения $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$. Таким образом, гамма-функция может быть оценена с точностью $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$битов с помощью вышеуказанного ряда.

Быстрый алгоритм вычисления гамма-функции Эйлера для любого алгебраического аргумента (в том числе рационального) был построен Е.А. Карацуба,

Для аргументов, которые являются целыми числами, кратными 1/24, гамма-функцию также можно быстро вычислить с помощью итераций среднего арифметико-геометрического (см. конкретные значения гамма-функции и Borwein Zucker (1992) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFBorweinZucker1992 (help )).

Приложения

Один автор описывает гамма-функцию как «Возможно, наиболее распространенную специальную функцию или наименее« особенную »из них. Другие трансцендентные функции […] называются« специальными » потому что вы, вероятно, можете избежать некоторых из них, избегая многих специализированных математических тем. С другой стороны, гамма-функцию y = Γ (x) избежать труднее всего ».

Проблемы интеграции

Гамма-функция находит применение в таких различных областях, как квантовая физика, астрофизика и гидродинамика. гамма-распределение, которое сформулировано в терминах гамма-функции, используется в статистике для моделирования широкого диапазона процессов; например, время между возникновением землетрясений.

Основной причиной полезности гамма-функции в таких контекстах является преобладание выражений типа $f\; (t)\; e\; -\; g\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; e\; ^\; \{-\; g\; (t)\}\}$, которые описывают процессы, которые экспоненциально затухают во времени или пространстве. Интегралы таких выражений иногда могут быть решены в терминах гамма-функции, когда элементарного решения не существует. Например, если f - степенная функция, а g - линейная функция, простая замена переменных дает оценку

$\int \; 0\; \infty \; t\; b\; e\; -\; a\; t\; d\; t\; =\; \Gamma \; (b\; +\; 1)\; a\; b\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{b\}\; e\; ^\; \{-\; at\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (b\; +\; 1)\}\; \{a\; ^\; \{b\; +\; 1\}\}\; \}.\}$

Тот факт, что интегрирование выполняется по всей положительной действительной линии, может означать, что гамма-функция описывает накопление зависящего от времени процесса, который продолжается бесконечно, или значение может быть суммой распределения в бесконечное пространство.

Конечно, часто бывает полезно использовать пределы интегрирования, отличные от 0 и ∞, для описания кумуляции конечного процесса, и в этом случае обычная гамма-функция больше не является решением; тогда решение называется неполной гамма-функцией. (Обычная гамма-функция, полученная путем интегрирования по всей положительной вещественной линии, иногда называется полной гамма-функцией для контраста.)

Важной категорией экспоненциально убывающих функций является гауссовские функции

$ae\; -\; (x\; -\; b)\; 2\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ae\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(xb)\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

и их интегралы, такие как функция ошибок. Между этими функциями и гамма-функцией существует множество взаимосвязей; в частности, коэффициент $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$, полученный путем вычисления $\Gamma \; (1\; 2)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$"то же самое", что и найденное в нормирующем множителе функции ошибок и нормальном распределении.

Интегралы, которые мы обсуждали до сих пор, включают трансцендентные функций, но гамма-функция также возникает из интегралов чисто алгебраических функций. В частности, длины дуг эллипсов и лемнискаты, которые представляют собой кривые, определяемые алгебраическими уравнениями, задаются эллиптическими интегралами что в особых случаях может быть оценено с помощью гамма-функции. Гамма-функцию также можно использовать для вычисления "объема" и "площади" n-мерных гиперсфер.

Вычисления продуктов

Возможность гамма-функции немедленно обобщать факториальные произведения приводит к приложениям во многих областях математики; в комбинаторике, а также в таких областях, как теория вероятностей и вычисление степенных рядов. Многие выражения, включающие произведения следующих друг за другом целых чисел, могут быть записаны в виде некоторой комбинации факториалов, наиболее важным примером, возможно, является биномиальный коэффициент

$(n\; k)\; =\; n!\; к!\; (п\; -\; к)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{k!\; (nk)!\}\}.\}$

Пример биномиальных коэффициентов объясняет, почему свойства гамма-функции при расширении отрицательные числа естественны. Биномиальный коэффициент дает количество способов выбрать k элементов из набора n элементов; если k>n, то способов конечно нет. Если k>n, (n - k)! является факториалом отрицательного целого числа и, следовательно, бесконечным, если мы используем определение факториалов гамма-функцией - деление на бесконечность дает ожидаемое значение 0.

Мы можем заменить факториал на гамма-функцию, чтобы расширить любую такую ​​формулу к комплексным числам. Как правило, это работает для любого продукта, в котором каждый фактор является рациональной функцией индексной переменной, путем факторизации рациональной функции в линейные выражения. Если P и Q являются моническими многочленами степени m и n с соответствующими корнями p 1,…, p m и q 1,…, q n, имеем

$\prod \; i\; =\; ab\; P\; (i)\; Q\; (i)\; =\; (\prod \; j\; =\; 1\; m\; \Gamma \; (b\; -\; pj\; +\; 1)\; \Gamma \; (a\; -\; pj))\; (\prod \; k\; =\; 1\; n\; \Gamma \; (a\; -\; qk)\; \Gamma \; (b\; -\; qk\; +\; 1)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (i)\}\; \{Q\; (i)\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (b-p\_\; \{j\}\; +1)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (a-p\_\; \{j\})\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Гамма\; (a-q\_\; \{k\})\}\; \{\backslash \; Gamma\; (b-q\_\; \{k\}\; +1)\}\}\; \backslash \; right).\}$

Если у нас есть способ вычислить гамма-функцию численно, это несложно рассчитать числовые значения таких продуктов. Количество гамма-функций в правой части зависит только от степени полиномов, поэтому не имеет значения, равно ли b - a 5 или 10. Принимая соответствующие ограничения, уравнение также может выполняться, даже если левое произведение содержит нули или полюсы.

Принимая ограничения, некоторые рациональные продукты с бесконечно большим числом факторов могут быть оценены также с точки зрения гамма-функции. Согласно теореме факторизации Вейерштрасса, аналитические функции могут быть записаны как бесконечные произведения, а иногда они могут быть представлены как конечные произведения или частные гамма-функции. Мы уже видели один поразительный пример: формула отражения по сути представляет синусоидальную функцию как произведение двух гамма-функций. Исходя из этой формулы, экспоненциальная функция, а также все тригонометрические и гиперболические функции могут быть выражены через гамма-функцию.

Еще больше функций, включая гипергеометрическую функцию и ее частные случаи, могут быть представлены с помощью комплексных контурных интегралов произведений и частных гамма-функции, называемых Интегралы Меллина – Барнса.

Аналитическая теория чисел

Элегантное и глубокое применение гамма-функции заключается в исследовании дзета-функции Римана. Основное свойство дзета-функции Римана - это ее функциональное уравнение :

$\Gamma \; (s\; 2)\; \zeta \; (s)\; \pi \; -\; s\; 2\; =\; \Gamma \; (1\; -\; s\; 2)\; \zeta \; (1\; -\; s)\; \pi \; -\; 1\; -\; s\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; (s)\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1-s\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; (1-s)\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1-s\}\; \{2\}\}\}.\}$

Среди прочего, это обеспечивает явный вид аналитического продолжения дзета-функции до мероморфной функции на комплексной плоскости и приводит к немедленному доказательству того, что дзета-функция имеет бесконечно много так называемых «тривиальных» нулей на действительной прямой. Borwein et al. называют эту формулу «одним из самых прекрасных открытий в математике». Другим чемпионом этого титула может быть

$\zeta \; (s)\; \Gamma \; (s)\; =\; \int \; 0\; \infty \; t\; s\; e\; t\; -\; 1\; d\; t\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (s)\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; (s)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{s\}\}\; \{e\; ^\; \{t\}\; -1\}\}\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; frac\; \{dt\}\; \{t\}\}.\}$

Обе формулы были выведены Бернхардом Риманом в его основополагающей статье 1859 года «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe» («О числе простых чисел Числа меньше заданного количества »), одна из вех в развитии аналитической теории чисел - раздела математики, изучающего простые числа с помощью инструментов математического анализа. Факториальные числа, рассматриваемые как дискретные объекты, являются важным понятием в классической теории чисел, потому что они содержат много простых множителей, но Риман нашел применение их непрерывному расширению, которое, возможно, оказалось даже более важным.

История

Гамма-функция вызвала интерес некоторых из самых выдающихся математиков всех времен. Его история, особенно задокументированная Филипом Дж. Дэвисом в статье, которая принесла ему в 1963 г. премию Шовене, отражает многие из основных достижений математики с 18 века. По словам Дэвиса, «каждое поколение нашло что-то интересное, чтобы сказать о гамма-функции. Возможно, следующее поколение тоже найдет».

18 век: Эйлер и Стирлинг

Даниэль Бернулли » s письмо Кристиану Гольдбаху, 6 октября 1729 г.

Проблема расширения факториала на нецелые аргументы, по-видимому, впервые была рассмотрена Даниэлем Бернулли и Кристианом Гольдбахом в 1720-х годах и была решена в конце того же десятилетия Леонардом Эйлером. Эйлер дал два разных определения: первое - это не его интеграл, а бесконечное произведение,

$n!\; Знак\; равно\; \prod \; К\; знак\; равно\; 1\; \infty \; (1\; +\; 1\; к)\; n\; 1\; +\; nk,\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; \backslash \; Prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{k\}\}\}\}\; \backslash ,,\}$

о чем он сообщил Гольдбаху в письме от 13 октября 1729 г. Он снова написал Гольдбаху 8 января 1730 г., чтобы объявить об открытии им интегрального представления

$n!\; Знак\; равно\; \int \; 0\; 1\; (-\; пер\; \; s)\; nds,\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; \backslash \; Int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (-\; \backslash \; ln\; s)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; ds\; \backslash ,,\}$

, что является действительно для n>0. Заменой переменных t = −ln s это становится знакомым интегралом Эйлера. Эйлер опубликовал свои результаты в статье «De progressionibus transcendentibus seu Quarum termini generales algebraice dari nequeunt» («О трансцендентных прогрессиях, то есть тех, чьи общие термины не могут быть даны алгебраически»), представленной в St. Петербургская академия 28 ноября 1729 года. Эйлер далее открыл некоторые важные функциональные свойства гамма-функции, включая формулу отражения.

Джеймс Стирлинг, современник Эйлера, также попытался найти непрерывное выражение для факториала и придумал то, что теперь известно как формула Стирлинга. Хотя формула Стирлинга дает хорошую оценку n !, также для нецелых чисел, она не дает точного значения. Расширения его формулы, исправляющие ошибку, были даны самим Стирлингом и Жаком Филиппом Мари Бине.

XIX век: Гаусс, Вейерштрасс и Лежандр

Первая страница статьи Эйлера

Карл Фридрих Гаусс переписал произведение Эйлера как

$\Gamma \; (z)\; =\; lim\; m\; \to \; \infty \; mzm!\; z\; (z\; +\; 1)\; (z\; +\; 2)\; \cdots \; (z\; +\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{m\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{z\}\; m!\}\; \{z\; (z\; +\; 1)\; (z\; +\; 2)\; \backslash \; cdots\; (z\; +\; m)\}\}\}$

и использовал эту формулу для открытия новых свойств гамма-функции. Хотя Эйлер был пионером в теории комплексных переменных, он, похоже, не рассматривал факториал комплексного числа, как сначала сделал Гаусс. Гаусс также доказал теорему умножения гамма-функции и исследовал связь между гамма-функцией и эллиптическими интегралами.

Карл Вейерштрасс далее установил роль гамма-функции в комплексный анализ, начиная с еще одного представления продукта,

$\Gamma \; (z)\; =\; e\; -\; \gamma \; zz\; \prod \; k\; =\; 1\; \infty \; (1\; +\; zk)\; -\; 1\; ezk,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; gamma\; z\}\}\; \{z\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\; \}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{k\}\},\}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони. Первоначально Вейерштрасс писал свое произведение как единицу для 1 / Γ, и в этом случае оно берется по нулям функции, а не по ее полюсам. Вдохновленный этим результатом, он доказал так называемую теорему факторизации Вейерштрасса - что любую целую функцию можно записать как произведение над ее нулями на комплексной плоскости; обобщение фундаментальной теоремы алгебры.

Имя гамма-функция и символ Γ были введены Адрианом-Мари Лежандром около 1811 г.; Лежандр также переписал интегральное определение Эйлера в его современной форме. Хотя символ представляет собой греческую гамму в верхнем регистре, не существует общепринятого стандарта, определяющего, следует ли записывать имя функции «гамма-функция» или «гамма-функция» (некоторые авторы просто пишут «Γ-функция»). Альтернативное обозначение «функции пи» Π (z) = z! из-за Гаусса иногда встречается в более ранней литературе, но примечания Лежандра преобладают в современных работах.

Уместно спросить, почему мы различаем «обычный факториал» и гамма-функцию, используя разные символы, и, в частности, почему гамма-функцию следует нормировать на Γ (n + 1) = n! вместо простого использования «Γ (n) = n!». Учтите, что обозначение показателей x было обобщено с целых чисел на комплексные числа x без каких-либо изменений. Мотивация Лежандра к нормализации, по-видимому, не известна, и некоторые критиковали ее как громоздкую (математик 20-го века Корнелиус Ланцош, например, назвал ее «лишенной всякой рациональности» и вместо этого использовал бы z!). Нормализация Лежандра действительно упрощает некоторые формулы, но усложняет большинство других. С современной точки зрения, нормализация Лежандра гамма-функции представляет собой интеграл аддитивного символа e от мультипликативного символа x относительно меры Хаара $dxx\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{dx\}\; \{x\}\}\}$в группе Ли R. Таким образом, эта нормализация проясняет, что гамма-функция является непрерывным аналогом суммы Гаусса.

XIX – XX веков: характеристика гамма-функции

Несколько проблематично то, что большое количество определений дано для гамма-функции. Хотя они описывают одну и ту же функцию, доказать эквивалентность не совсем просто. Стирлинг так и не доказал, что его расширенная формула точно соответствует гамма-функции Эйлера; доказательство было впервые дано Чарльзом Эрмитом в 1900 году. Вместо поиска специального доказательства для каждой формулы было бы желательно иметь общий метод определения гамма-функции.

Один из способов доказать - это найти дифференциальное уравнение, которое характеризует гамма-функцию. Большинство специальных функций в прикладной математике возникают как решения дифференциальных уравнений, решения которых единственны. Однако гамма-функция, похоже, не удовлетворяет никакому простому дифференциальному уравнению. Отто Гёльдер доказал в 1887 году, что гамма-функция по крайней мере не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению, показав, что решение такого уравнения не может удовлетворять рекуррентной формуле гамма-функции, что делает его трансцендентно трансцендентная функция. Этот результат известен как теорема Гёльдера.

Определенная и общеприменимая характеристика гамма-функции не была дана до 1922 года. Харальд Бор и Йоханнес Моллеруп затем доказали, что такое известная как теорема Бора-Моллерупа : гамма-функция является единственным решением факторного рекуррентного отношения, которое является положительным и логарифмически выпуклым для положительного z и значение 1 равно 1 ( функция является логарифмически выпуклой, если ее логарифм выпуклый). Другая характеристика дается теоремой Виландта.

Теорема Бора – Моллерупа полезна, потому что относительно легко доказать логарифмическую выпуклость для любой из различных формул, используемых для определения гамма-функции. Двигаясь дальше, вместо того, чтобы определять гамма-функцию какой-либо конкретной формулой, мы можем выбрать в качестве определения условия теоремы Бора – Моллерупа, а затем выбрать любую понравившуюся формулу, которая удовлетворяет условиям, в качестве отправной точки для изучения гамма-функции.. Этот подход был использован группой Бурбаки.

Борвейн и Корлессом, изучившим три века работы над гамма-функцией.

Справочные таблицы и программное обеспечение

Хотя гамма-функцию можно вычислить практически так же легко, как любую математически более простую функцию с помощью современного компьютера - даже с помощью программируемого карманного калькулятора - это, конечно, не всегда кейс. До середины 20 века математики полагались на таблицы, сделанные вручную; в случае гамма-функции, в частности, таблица, вычисленная Гауссом в 1813 году, и таблица, вычисленная Лежандром в 1825 году.

Рисованный график абсолютного значения комплексной гамма-функции из таблиц высших функций по Янке и [de ].

Таблицы комплексных значений гамма-функции, а также нарисованные от руки графики были даны в Таблицах высших функций Янке и [de ], впервые опубликованный в Германии в 1909 году. Согласно Майклу Берри, «публикация в JE трехмерного графика, показывающего полюса гамма-функции в комплексной плоскости, приобрела почти культовый статус».

Фактически практически не было необходимости в чем-либо, кроме реальных значений гамма-функции, до 1930-х годов, когда приложения для сложной гамма-функции были обнаружены в теоретической физике. Когда в 1950-х годах стали доступны электронные компьютеры для производства таблиц, для удовлетворения спроса было опубликовано несколько обширных таблиц для комплексной гамма-функции, включая таблицу с точностью до 12 десятичных знаков из США Национальное бюро стандартов.

Абрамовиц и Стегун стал стандартным справочником для этой и многих других специальных функций после его публикации в 1964 году.

Реализации гамма-функции и ее логарифма с плавающей запятой двойной точности теперь доступны в большинстве научных вычислений. библиотеки программного обеспечения и специальных функций, например TK Solver, Matlab, GNU Octave и Научная библиотека GNU. Гамма-функция также была добавлена ​​в стандартную библиотеку C (math.h ). Реализации произвольной точности доступны в большинстве систем компьютерной алгебры, таких как Mathematica и Maple. PARI / GP, MPFR и содержат бесплатные реализации произвольной точности. Малоизвестная особенность приложения калькулятора, входящего в состав операционной системы Android, заключается в том, что оно принимает дробные значения в качестве входных данных для функции факториала и возвращает эквивалентное значение гамма-функции. То же самое и для Windows Calculator (в научном режиме).

См. Также

• Восходящий факториал
• Интеграл Каэна – Меллина
• Эллиптическая гамма-функция
• Константа Гаусса
• Гамма-функция Адамара
• Множественная гамма-функция
• Многомерная гамма-функция
• p-адическая гамма-функция
• k-символ Поххаммера
• q-гамма-функция
• Основная теорема Рамануджана
• приближение Спужа

Примечания

• Эта статья включает материалы из Citizendium статья «Гамма-функция », которая находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не по GFDL.

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, относящиеся к Гамма и связанные с ней функции.

• Цифровая библиотека математических функций NIST: Гамма-функция
• Паскаль Себах и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию. В форматах PostScript и HTML.
• Справочник по C ++ для std :: tgamma
• Примеры проблем, связанных с гамма-функцией, можно найти в.
• , Энциклопедия of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Средство оценки гамма-функции Wolfram (произвольная точность)
• «Гамма». Wolfram Functions Site.
• Объем n-сфер и гамма-функция на MathPages