Аналитическая механика

редактировать

Формализм механики, основанный на принципе наименьшего действия

В теоретической физике и математическая физика, аналитическая механика или теоретическая механика - это набор тесно связанных альтернативных формулировок классической механики. Он был разработан многими учеными и математиками в 18 веке и позже, после ньютоновской механики. Поскольку механика Ньютона рассматривает вектор количества движения, в частности ускорения, импульсы, силы, составляющих системы, альтернативным названием для механики, подчиняющейся законам Ньютона и законам Эйлера, является векторная механика.

Напротив, аналитическая механика использует скалярные свойства движения, представляющие систему в целом - обычно ее общую кинетическую энергию и потенциальную энергию - не векторные силы Ньютона отдельных частиц. Скаляр - это величина, а вектор - это количество и направление. Уравнения движения выводятся из скалярной величины с помощью некоторого основного принципа, касающегося вариации скаляра.

Аналитическая механика использует ограничения системы для решения проблем. Ограничения ограничивают степеней свободы, которые может иметь система, и могут использоваться для уменьшения количества координат, необходимых для определения движения. Формализм хорошо подходит для произвольного выбора координат, известного в контексте как обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергии системы выражаются с использованием этих обобщенных координат или импульсов, и уравнения движения могут быть легко составлены, таким образом, аналитическая механика позволяет решать многочисленные механические проблемы с большей эффективностью, чем полностью векторные методы. Это не всегда работает для не- консервативных сил или диссипативных сил, таких как трение, и в этом случае можно вернуться к механике Ньютона.

Две доминирующие ветви аналитической механики - это лагранжева механика (с использованием обобщенных координат и соответствующих обобщенных скоростей в конфигурационном пространстве ) и гамильтонова механика (с использованием координаты и соответствующие импульсы в фазовом пространстве ). Обе формулировки эквивалентны преобразованием Лежандра для обобщенных координат, скоростей и импульсов, поэтому обе содержат одинаковую информацию для описания динамики системы. Существуют и другие формулировки, такие как теория Гамильтона – Якоби, механика Рута и уравнение движения Аппелла. Все уравнения движения для частиц и полей в любом формализме могут быть выведены из широко применяемого результата, называемого принципом наименьшего действия. Одним из результатов является теорема Нётер, утверждение, которое связывает законы сохранения с соответствующими им симметриями.

Аналитическая механика не вводит новую физику и не является более общей, чем механика Ньютона. Скорее, это набор эквивалентных формализмов, имеющих широкое применение. Фактически те же принципы и формализмы могут использоваться в релятивистской механике и общей теории относительности, а с некоторыми изменениями в квантовой механике и квантовой теории поля.

Аналитическая механика широко используется, от фундаментальной физики до прикладной математики, в частности, теории хаоса.

Методы аналитической механики применяются к дискретным частицам, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы. Их можно модифицировать для описания непрерывных полей или жидкостей, которые имеют бесконечные степени свободы. Определения и уравнения имеют близкую аналогию с определениями механики.

Содержание

1 Собственное движение
2 Лагранжева механика
3 Гамильтонова механика
4 Свойства лагранжевых и гамильтоновых функций
5 Принцип наименьшего действия
6 Механика Гамильтона-Якоби
7 Механика Рута
8 Механика Аппелля
9 Расширения классической теории поля
10 Симметрия, сохранение и теорема Нётер
11 См. Также
12 Ссылки и примечания

Собственное движение

Обобщенные координаты и ограничения

В механике Ньютона обычно используются все три декартовой системы координат или другая трехмерная система координат для обозначения в положение тела во время его движения. В физических системах, однако, какая-то структура или другая система обычно ограничивает движение тела в определенных направлениях и путях. Таким образом, полный набор декартовых координат часто не нужен, поскольку ограничения определяют развивающиеся отношения между координатами, которые можно моделировать уравнениями, соответствующими ограничениям. В лагранжевом и гамильтоновом формализмах ограничения включаются в геометрию движения, сокращая количество координат до минимума, необходимого для моделирования движения. Они известны как обобщенные координаты и обозначаются q i (i = 1, 2, 3...).

Разница между криволинейными и обобщенными координатами

Обобщенные координаты включают ограничения на систему. Имеется одна обобщенная координата q i для каждой степени свободы (для удобства обозначена индексом i = 1, 2... N), то есть в каждом случае система может изменять свою конфигурация ; как криволинейные длины или углы поворота. Обобщенные координаты не то же самое, что криволинейные координаты. Количество криволинейных координат равно измерению рассматриваемого позиционного пространства (обычно 3 для трехмерного пространства), в то время как количество обобщенных координат не обязательно равно этому измерению; ограничения могут уменьшить количество степеней свободы (отсюда и количество обобщенных координат, необходимых для определения конфигурации системы), следуя общему правилу:

[измерение пространства позиций (обычно 3)] × [количество составляющие системы («частицы»)] - (количество ограничений )

= (количество степеней свободы ) = (количество обобщенных координат )

Для системы с N степенями свободы обобщенные координаты могут быть собраны в N- кортеж :

q = (q 1, q 2, ⋯ q N) {\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, \ cdots q_ {N})}

{\mathbf {q}}=(q_{1},q_{2},\cdots q_{N})

и производная по времени (здесь обозначена точкой) этого кортежа дают обобщенные скорости:

dqdt знак равно (dq 1 dt, dq 2 dt, ⋯ dq N dt) ≡ q ˙ = (q ˙ 1, q ˙ 2, ⋯ q ˙ N) {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt }} = \ left ({\ frac {dq_ {1}} {dt}}, {\ frac {dq_ {2}} {dt}}, \ cdots {\ frac {dq_ {N}} {dt}} \ справа) \ Equiv \ mathbf {\ dot {q}} = ({\ dot {q}} _ {1}, {\ dot {q}} _ {2}, \ cdots {\ dot {q}} _ {N})}

{\frac {d{\mathbf {q}}}{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\cdots {\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv {\mathbf {{\dot {q}}}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots {\dot {q}}_{N})

Принцип Д'Аламбера

Фундаментом, на котором построен предмет, является принцип Д'Аламбера.

Этот принцип утверждает, что бесконечно малая виртуальная работа, выполняемая силой через обратимые смещения, равна нулю, то есть работе, совершаемой силой, согласованной с идеальными ограничениями системы. Идея ограничения полезна, поскольку она ограничивает то, что система может делать, и может предоставить шаги для решения проблемы движения системы. Уравнение для принципа Даламбера:

δ W = Q ⋅ δ q = 0, {\ displaystyle \ delta W = {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} \ cdot \ delta \ mathbf {q} = 0 \,,}

\delta W={\boldsymbol {{\mathcal {Q}}}}\cdot \delta {\mathbf {q}}=0\,,

где

Q = (Q 1, Q 2, ⋯ QN) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} = ({\ mathcal {Q}} _ {1 }, {\ mathcal {Q}} _ {2}, \ cdots {\ mathcal {Q}} _ {N})}

{\boldsymbol {{\mathcal {Q}}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\cdots {\mathcal {Q}}_{N})

- это обобщенные силы (сценарий Q вместо обычного Q используется здесь для предотвращения конфликта с каноническими преобразованиями ниже) и q - обобщенные координаты. Это приводит к обобщенной форме законов Ньютона на языке аналитической механики:

Q = ddt (∂ T ∂ q ˙) - ∂ T ∂ q, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) - {\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {q}}} \,,}

{\boldsymbol {{\mathcal {Q}}}}={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\mathbf {{\dot {q}}}}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial {\mathbf {q}}}}\,,

где T - полная кинетическая энергия системы, а обозначение

∂ ∂ q = (∂ ∂ q 1, ∂ ∂ q 2, ⋯ ∂ ∂ q N) {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {q}}} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial q_ {1}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {2}}}, \ cdots {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {N}}} \ справа)}

{\frac {\partial }{\partial {\mathbf {q}}}}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)

- полезное сокращение (см. матричное исчисление для этого обозначения).

Голономные ограничения

Если криволинейная система координат определяется стандартным вектором положения r, и если вектор положения может быть записан в терминах обобщенных координат q и времени t в форме:

r = r (q (t), t) {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (\ mathbf {q} (t), t)}

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}({\mathbf {q}}(t),t)

и это соотношение выполняется для всех времен t, тогда q называются голономными связями. Вектор r явно зависит от t в случаях, когда ограничения меняются со временем, а не только из-за q (t). Для ситуаций, не зависящих от времени, ограничения также называются склерономическими, для зависящих от времени случаев они называются реономическими.

лагранжевой механикой

лагранжевыми и уравнения Эйлера – Лагранжа

Введение обобщенных координат и фундаментальной функции Лагранжа:

L (q, q ˙, t) = T (q, q, t) - V (q Q ˙, T) {\ Displaystyle L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) = T (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) -V (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}

L({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}},t)=T({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}},t)-V({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}},t)

где T - полная кинетическая энергия, а V - полная потенциальная энергия всей системы, то либо следуя вариационному исчислению, либо используя приведенную выше формулу - приводит к уравнениям Эйлера – Лагранжа ;

ddt (∂ L ∂ q ˙) = ∂ L ∂ q, {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} \,,}

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {{\dot {q}}}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}\,,

, которые представляют собой набор из N обычных дифф основные уравнения, по одному для каждого q i (t).

Эта формулировка определяет фактический путь, по которому следует движение, как выбор пути, на котором интеграл времени от кинетической энергии является наименьшим, предполагая, что общая энергия быть фиксированным и не накладывать никаких условий на время перевозки.

Пространство конфигурации

В формулировке Лагранжа используется пространство конфигурации системы, набор всех возможных обобщенных координат:

C = {q ∈ RN}, {\ displaystyle {\ mathcal {C}} = \ {\ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {N} \} \,,}

{\mathcal {C}}=\{{\mathbf {q}}\in {\mathbb {R}}^{N}\}\,,

где $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}$ $\mathbb {R} ^{N}$ - это N-мерное действительное пространство (см. Также нотацию конструктора множеств ). Частное решение уравнений Эйлера – Лагранжа называется (конфигурационным) путем или траекторией, то есть одним конкретным q (t) при требуемых начальных условиях. Общие решения образуют набор возможных конфигураций в зависимости от времени:

{q (t) ∈ RN: t ≥ 0, t ∈ R} ⊆ C, {\ displaystyle \ {\ mathbf {q} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {N} \,: \, t \ geq 0, t \ in \ mathbb {R} \} \ substeq {\ mathcal {C}} \,,}

\{{\mathbf {q}}(t)\in {\mathbb {R}}^{N}\,:\,t\geq 0,t\in {\mathbb {R}}\}\subseteq {\mathcal {C}}\,,

Пространство конфигурации может можно определить более широко и более глубоко в терминах топологических многообразий и касательного расслоения.

гамильтоновой механики

Гамильтониан и уравнения Гамильтона

преобразование Лежандра лагранжиана заменяет обобщенные координаты и скорости (q, q̇) на (q, p); обобщенные координаты и обобщенные импульсы, сопряженные с обобщенными координатами:

p = ∂ L ∂ q ˙ = (∂ L ∂ q ˙ 1, ∂ L ∂ q ˙ 2, ⋯ ∂ L ∂ q ˙ N) знак равно (п 1, п 2 ⋯ п N), {\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} = \ left ( {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {1}}}, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {2}}}, \ cdots {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {N}}} \ right) = (p_ {1}, p_ {2} \ cdots p_ {N}) \,, }

{\mathbf {p}}={\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {{\dot {q}}}}}}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,

и вводит гамильтониан (в терминах обобщенных координат и импульсов):

H (q, p, t) = p ⋅ q ˙ - L (q, q ˙, t) {\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} -L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}

H({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)={\mathbf {p}}\cdot {\mathbf {{\dot {q}}}}-L({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}},t)

где • обозначает скалярное произведение, что также приводит к уравнениям Гамильтона :

p ˙ = - ∂ H ∂ q, q ˙ = + ∂ ЧАС ∂ п, {\ Displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {q}}} \,, \ quad \ mathbf {\ dot {q} } = + {\ frac {\ partial H } {\ partial \ mathbf {p}}} \,,}

{\mathbf {{\dot {p}}}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\mathbf {q}}}}\,,\quad {\mathbf {{\dot {q}}}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\mathbf {p}}}}\,,

, которые теперь представляют собой набор из 2N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждого q i (t) и p я (т). Другой результат преобразования Лежандра связывает производные лагранжиана и гамильтониана по времени:

d H dt = - ∂ L ∂ t, {\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = - {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} \,,}

{\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,

, которое часто считается одним из уравнений движения Гамильтона в дополнение к другим. Обобщенные импульсы можно записать через обобщенные силы так же, как второй закон Ньютона:

p ˙ = Q. {\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} \,.}

{\mathbf {{\dot {p}}}}={\boldsymbol {{\mathcal {Q}}}}\,.

Обобщенное импульсное пространство

Аналогично пространству конфигурации, множество всех импульсы - это импульсное пространство (технически в данном контексте; обобщенное импульсное пространство):

M = {p ∈ RN}. {\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ {\ mathbf {p} \ in \ mathbb {R} ^ {N} \} \,.}

{\mathcal {M}}=\{{\mathbf {p}}\in {\mathbb {R}}^{N}\}\,.

«Импульсное пространство» также относится к «k -пробел "; набор всех волновых векторов (заданных соотношениями Де Бройля ), используемых в квантовой механике и теории волн : это не упоминается в данном контексте.

Фазовое пространство

Набор всех положений и импульсов формирует фазовое пространство;

P = C × M = {(q, p) ∈ R 2 N}, {\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {M}} = \ {(\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) \ in \ mathbb {R} ^ {2N} \} \,,}

{\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{({\mathbf {q}},{\mathbf {p}})\in {\mathbb {R}}^{{2N}}\}\,,

то есть декартово произведение × конфигурации пространство и обобщенное импульсное пространство.

Частное решение уравнений Гамильтона называется фазовой траекторией, конкретной кривой (q (t), p (t)) при соблюдении требуемых начальных условий. Множество всех фазовых путей, общее решение дифференциальных уравнений, представляет собой фазовый портрет :

{(q (t), p (t)) ∈ R 2 N: t ≥ 0, t ∈ R} ⊆ п, {\ displaystyle \ {(\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t)) \ in \ mathbb {R} ^ {2N} \,: \, t \ geq 0, t \ in \ mathbb {R} \} \ substeq {\ mathcal {P}} \,,}

\{({\mathbf {q}}(t),{\mathbf {p}}(t))\in {\mathbb {R}}^{{2N}}\,:\,t\geq 0,t\in {\mathbb {R}}\}\subseteq {\mathcal {P}}\,,

скобка Пуассона

Все динамические переменные могут быть получены из позиции r, импульса p, и время t, и записывается как функция от них: A = A (q, p, t). Если A (q, p, t) и B (q, p, t) - две скалярнозначные динамические переменные, скобка Пуассона определяется обобщенными координатами и импульсами:

{A, B} ≡ {A, B } q, p = ∂ A ∂ q ⋅ ∂ B ∂ p - ∂ A ∂ p ⋅ ∂ B ∂ q ≡ ∑ k ∂ A ∂ qk ∂ B ∂ pk - ∂ A ∂ pk ∂ B ∂ qk, {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ {A, B \} \ Equiv \ {A, B \} _ {\ mathbf {q}, \ mathbf {p}} = {\ frac {\ partial A} {\ partial \ mathbf { q}}} \ cdot {\ frac {\ partial B} {\ partial \ mathbf {p}}} - {\ frac {\ partial A} {\ partial \ mathbf {p}}} \ cdot {\ frac {\ частичный B} {\ partial \ mathbf {q}}} \\ \ Equiv \ sum _ {k} {\ frac {\ partial A} {\ partial q_ {k}}} {\ frac {\ partial B} { \ partial p_ {k}}} - {\ frac {\ partial A} {\ partial p_ {k}}} {\ frac {\ partial B} {\ partial q_ {k}}} \,, \ end {выровнено }}}

{\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{{{\mathbf {q}},{\mathbf {p}}}}={\frac {\partial A}{\partial {\mathbf {q}}}}\cdot {\frac {\partial B}{\partial {\mathbf {p}}}}-{\frac {\partial A}{\partial {\mathbf {p}}}}\cdot {\frac {\partial B}{\partial {\mathbf {q}}}}\\\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}

Вычисление полной производной одного из них, скажем A, и подстановка в результат уравнений Гамильтона приводит к временной эволюции A:

d A dt = {A, H } + ∂ A ∂ t. {\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = \ {A, H \} + {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \,.}

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.

Это уравнение в A тесно связано к уравнению движения на картинке Гейзенберга из квантовой механики, в которой классические динамические переменные становятся квантовыми операторами (обозначены шляпами (^)), а Скобка Пуассона заменяется коммутатором операторов с помощью канонического квантования Дирака :

{A, B} → 1 i ℏ [A ^, B ^]. {\ displaystyle \ {A, B \} \ rightarrow {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \,.}

\{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.

Свойства функции Лагранжа и Гамильтона

Ниже приведены перекрывающиеся свойства между функциями Лагранжа и Гамильтона.

Все отдельные обобщенные координаты q i (t), скорости q̇ i (t) и импульсы p i (t) для каждой степени свободы взаимно независимы. Явная зависимость функции от времени означает, что функция фактически включает время t как переменную в дополнение к q (t), p (t), а не просто как параметр через q (t) и p (t), что будет означать явную независимость от времени.
Лагранжиан инвариантен при сложении итога производная по времени любой функции от q и t, то есть:

L ′ = L + ddt F (q, t), {\ displaystyle L '= L + {\ frac {d} {dt}} F (\ mathbf {q}, t) \,,}

L'=L+{\frac {d}{dt}}F({\mathbf {q}},t)\,,

, поэтому каждый лагранжиан L и L 'описывают в точности одно и то же движение. Другими словами, лагранжиан системы не уникален.

Аналогично, гамильтониан инвариантен относительно добавления частной производной по времени любой функции от q, pи t, то есть:

К знак равно ЧАС + ∂ ∂ T Г (д, п, т), {\ Displaystyle К = Н + {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} G (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) \,,}

K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)\,,

(K - часто используемая буква в этом случае). Это свойство используется в канонических преобразованиях (см. Ниже).

Если лагранжиан не зависит от некоторых обобщенных координат, то обобщенные импульсы, сопряженные с этими координатами, являются константами движения, т.е. сохранены, это сразу следует из уравнений Лагранжа:

∂ L ∂ qj = 0 → dpjdt = ddt ∂ L ∂ q ˙ j = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} = 0 \, \ rightarrow \, {\ frac {dp_ {j}} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} { \ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = 0}

{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0

Такие координаты являются "циклическими " или "игнорируемыми". Можно показать, что гамильтониан также является циклическим в точно таких же обобщенных координатах.

Если лагранжиан не зависит от времени, гамильтониан также не зависит от времени (т.е. оба постоянны во времени).
Если кинетическая энергия является однородной функцией степени 2 обобщенных скоростей, а лагранжиан явно не зависит от времени, тогда:

T ((λ q ˙ i) 2, (λ q ˙ j λ Q ˙ К), д) знак равно λ 2 T ((д ˙ я) 2, д ˙ jq ˙ К, д), L (д, д), {\ Displaystyle Т ((\ лямбда {\ точка {д }} _ {i}) ^ {2}, (\ lambda {\ dot {q}} _ {j} \ lambda {\ dot {q}} _ {k}), \ mathbf {q}) = \ lambda ^ {2} T (({\ dot {q}} _ {i}) ^ {2}, {\ dot {q}} _ {j} {\ dot {q}} _ {k}, \ mathbf { q}) \,, \ quad L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}) \,,}

T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),{\mathbf {q}})=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},{\mathbf {q}})\,,\quad L({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}})\,,

где λ - постоянная, тогда гамильтониан будет полной сохраненной энергией, равной к полной кинетической и потенциальной энергии системы:

H = T + V = E. {\ displaystyle H = T + V = E \,.}

H=T+V=E\,.

Это основа для уравнения Шредингера, вставка квантовых операторов дает его напрямую.

Принцип наименьшее действие

По мере развития системы q отслеживает путь через пространство конфигурации (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δ q).

Действие - еще одна величина в аналитической механике, определяемая как функционал лагранжиана:

S = ∫ t 1 t 2 L (q, q ˙, t) dt. {\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) dt \,.}

{\mathcal {S}}=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}},t)dt\,.

Общий способ найти уравнения движения по действию - это принцип наименьшего действия :

δ S = δ ∫ T 1 T 2 L (q, q ˙, t) dt = 0, {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int _ {t_ {1 }} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) dt = 0 \,,}

\delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L({\mathbf {q}},{\mathbf {{\dot {q}}}},t)dt=0\,,

где вылет t 1 и время прихода t 2 фиксировано. Термин «путь» или «траектория» относится к временной эволюции системы как пути через пространство конфигурации $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\mathcal {C}}$ , другими словами q (t), отслеживание пути в $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\mathcal {C}}$ . Путь fo r, какое действие наименьшее, - это путь, пройденный системой.

Из этого принципа можно вывести все уравнения движения в классической механике. Этот подход может быть распространен на поля, а не на систему частиц (см. Ниже), и лежит в основе формулировки интеграла по путям из квантовой механики и используется для вычисления геодезических движение в общей теории относительности.

механике Гамильтона-Якоби

Канонические преобразования

Инвариантность гамильтониана (при добавлении частной производной по времени произвольной функции p, qи t) позволяет гамильтониан в одном наборе координат q и импульсов p для преобразования в новый набор Q= Q(q, p, t) и P= P(q, p, t) четырьмя возможными способами:

K (Q, P, t) = H (q, p, t) + ∂ ∂ t G 1 (q, Q, t) K (Q, P, t) = H (q, p, t) + ∂ ∂ t G 2 (q, P, t) K (Q, P, t) = H (q, p, t) + ∂ ∂ t G 3 (p, Q, t) K (Q, P, t) Знак равно ЧАС (q, п, t) + ∂ ∂ T G 4 (p, P, t) {\ displaystyle {\ begin {align} K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H ( \ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G_ {1} (\ mathbf {q}, \ mat hbf {Q}, t) \\ K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G_ {2} (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t) \\ K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q }, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G_ {3} (\ mathbf {p}, \ mathbf {Q}, t) \\ K (\ mathbf { Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G_ {4} (\ mathbf { p}, \ mathbf {P}, t) \\\ end {align}}}

{\begin{aligned}K({\mathbf {Q}},{\mathbf {P}},t)=H({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}({\mathbf {q}},{\mathbf {Q}},t)\\K({\mathbf {Q}},{\mathbf {P}},t)=H({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}({\mathbf {q}},{\mathbf {P}},t)\\K({\mathbf {Q}},{\mathbf {P}},t)=H({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}({\mathbf {p}},{\mathbf {Q}},t)\\K({\mathbf {Q}},{\mathbf {P}},t)=H({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}({\mathbf {p}},{\mathbf {P}},t)\\\end{aligned}}

С ограничением на P и Q таким образом, что преобразованная гамильтонова система имеет вид:

п ˙ знак равно - ∂ К ∂ Q, Q ˙ знак равно + ∂ К ∂ P, {\ displaystyle \ mathbf {\ dot {P}} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial \ mathbf {Q }}} \,, \ quad \ mathbf {\ dot {Q}} = + {\ frac {\ partial K} {\ partial \ mathbf {P}}} \,,}

{\mathbf {{\dot {P}}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\mathbf {Q}}}}\,,\quad {\mathbf {{\dot {Q}}}}=+{\frac {\partial K}{\partial {\mathbf {P}}}}\,,

вышеуказанные преобразования называются каноническими преобразований, каждая функция G n называется производящей функцией «n-го вида» или «типа-n». Преобразование координат и импульсов позволяет упростить решение уравнений Гамильтона для данной задачи.

Выбор Q и P совершенно произвольный, но не каждый выбор приводит к каноническому преобразованию. Одним из простых критериев каноничности преобразования q→ Qи p→ Pявляется то, что скобка Пуассона равна единице,

{Q i, P i} = 1 {\ displaystyle \ {Q_ {i}, P_ {i} \ } = 1}

\{Q_{i},P_{i}\}=1

для всех i = 1, 2,... N. Если это не так, то преобразование не является каноническим.

Уравнение Гамильтона – Якоби

Установив канонически преобразованный гамильтониан K = 0, а производящую функцию типа 2 равной принципу Гамильтона функция (также действие $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\mathcal {S}}$ ) плюс произвольная константа C:

G 2 (q, t) = S (q, t) + C, {\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, t) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + C \,,}

G_{2}({\mathbf {q}},t)={\mathcal {S}}({\mathbf {q}},t)+C\,,

обобщенное импульсы становятся:

p = ∂ S ∂ q {\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

{\mathbf {p}}={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial {\mathbf {q}}}}

и P является константой, тогда уравнение Гамильтониана-Якоби (HJE) может быть получено из канонического преобразования типа 2:

H = - ∂ S ∂ t {\ displaystyle H = - {\ frac { \ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}}}

H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}

где H - гамильтониан, как и раньше:

H = H (q, p, t) = H (q, ∂ S ∂ q T) {\ Displaystyle Н = Н (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = Н \ влево (\ mathbf {q}, {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q}}}, t \ right)}

H=H({\mathbf {q}},{\mathbf {p}},t)=H\left({\mathbf {q}},{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial {\mathbf {q}}}},t\right)

Другая связанная функция - характеристическая функция Гамильтона

W (q) = S (q, t) + E t {\ displaystyle W (\ mathbf {q}) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + Et}

W({\mathbf {q}})={\mathcal {S}}({\mathbf {q}},t)+Et

используется для решения HJE с помощью аддитивного разделения переменных для не зависящего от времени гамильтониана H.

Изучение решений уравнений Гамильтона – Якоби естественным образом приводит к изучению симплектических многообразий и симплектической топологии. В этой формулировке решения уравнений Гамильтона – Якоби представляют собой интегральные кривые гамильтоновых векторных полей.

Рутова механика

Рутова механика - гибридная формулировка Лагранжева и гамильтонова механика используются не часто, но особенно полезны для удаления циклических координат. Если лагранжиан системы имеет s циклических координат q = q 1, q 2,... q s с сопряженными импульсами p = p 1, p 2,... p s, при этом остальные координаты нециклические и обозначены ζ = ζ 1, ζ 1,..., ζ N - s, их можно удалить, введя рутовский язык:

R = п ⋅ Q ˙ - L (q, p, ζ, ζ ˙), {\ displaystyle R = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} -L (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, {\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}}) \,,}

R=\mathbf{p}\cdot\mathbf{\dot{q}} - L(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \boldsymbol{\zeta}, \dot{\boldsymbol{\zeta}})\,,

что приводит к набору 2s гамильтоновых уравнений для циклических координат q,

q ˙ знак равно + ∂ R ∂ п, п ˙ знак равно - ∂ R ∂ q, {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = + {\ frac {\ partial R} {\ partial \ mathbf { p}}} \,, \ quad {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial R} {\ partial \ mathbf {q}}} \,,}

\dot{\mathbf{q}} = +\frac{\partial R}{\partial \mathbf{p}}\,,\quad \dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial R}{\partial \mathbf{q}}\,,

и N - s Лагранжевые уравнения в нециклических координатах ζ.

ddt ∂ R ∂ ζ ˙ = ∂ R ∂ ζ. {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial R} {\ partial {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}}}} = {\ frac {\ partial R} {\ partial {\ boldsymbol {\ zeta}}} \,.}

\frac{d}{dt}\frac{\partial R }{\partial\dot{\boldsymbol{\zeta}}} = \frac{\partial R}{\partial \boldsymbol{\zeta}}\,.

Настроено таким образом, хотя рутиан имеет форму гамильтониана, его можно рассматривать как лагранжиан с N - s степенями свободы.

Координаты q не обязательно должны быть циклическими, разделение между которыми координаты входят в гамильтоновы уравнения и те, которые входят в уравнения Лагранжа, произвольно. Просто удобно позволить гамильтоновым уравнениям удалить циклические координаты, оставив нециклические координаты лагранжевым уравнениям движения.

Аппеллианская механика

Уравнение движения Аппелла включает обобщенные ускорения, вторые производные по времени от обобщенных координат:

α r = q ¨ r = d 2 qrdt 2, { \ displaystyle \ alpha _ {r} = {\ ddot {q}} _ {r} = {\ frac {d ^ {2} q_ {r}} {dt ^ {2}}} \,,}

\alpha_r = \ddot{q}_r = \frac{d^2 q_r}{dt^2}\,,

а также упомянутые выше обобщенные силы в принципе Даламбера. Уравнения:

Q r = ∂ S ∂ α r, S = 1 2 ∑ k = 1 N mkak 2, {\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {r} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {r}}} \,, \ quad S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} ^ {2} \,,}

\mathcal{Q}_{r} = \frac{\partial S}{\partial \alpha_{r}}\, \quad S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \mathbf{a}_{k}^{2}\,,

где

ak = r ¨ k = d 2 rkdt 2 {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ ddot {\ mathbf {r} }} _ {k} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {k}} {dt ^ {2}}}}

\mathbf{a}_k = \ddot{\mathbf{r}}_k = \frac{d^2 \mathbf{r}_k}{dt^2}

- ускорение k-частицы, вторая производная по времени вектора его положения. Каждое ускорение akвыражается в терминах обобщенных ускорений α r, аналогично каждое rkвыражается в терминах обобщенных координат q r.

Расширения классической теории поля

Лагранжева теория поля

Обобщенные координаты применяются к дискретным частицам. Для N скалярных полей φi(r, t), где i = 1, 2,... N, плотность лагранжиана является функцией этих полей и их пространства и производные по времени и, возможно, сами координаты пространства и времени:

$L = L (ϕ 1, ϕ 2,… ∇ ϕ 1, ∇ ϕ 2,… ∂ ϕ 1 / ∂ t, ∂ ϕ 2 / ∂ t,… г, т). {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ { 2}, \ ldots \ partial \ phi _ {1} / \ partial t, \ partial \ phi _ {2} / \ partial t, \ ldots \ mathbf {r}, t) \,.}$ $\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi_1, \phi_2, \ldots \nabla\phi_1, \nabla\phi_2, \ldots \partial\phi_1/\partial t, \partial\phi_2/\partial t, \ldots \mathbf{r}, t)\,.$

и Уравнения Эйлера – Лагранжа имеют аналог для полей:

∂ μ (∂ L ∂ (∂ μ ϕ i)) = ∂ L ∂ ϕ i, {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {i})}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ частичный \ phi _ {i}}} \,,}

\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_i)}\right) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i}\,,

, где ∂ μ обозначает 4-градиент, и было использовано соглашение суммирования. Для N скалярных полей эти уравнения лагранжевого поля представляют собой набор N уравнений в частных производных второго порядка в полях, которые, как правило, являются связанными и нелинейными.

Эта формулировка скалярного поля может быть расширена до векторных полей, тензорных полей и спинорных полей.

Лагранжиан - это объемный интеграл. плотности лагранжиана:

L = ∫ VL d V. {\ displaystyle L = \ int _ {\ mathcal {V}} {\ mathcal {L}} \, dV \,.}

L = \int_\mathcal{V} \mathcal{L} \, dV \,.

Первоначально разработанная для классических полей, приведенная выше формулировка применима ко всем физическим полям в классической, квантовые и релятивистские ситуации: такие как ньютоновская гравитация, классический электромагнетизм, общая теория относительности и квантовая теория поля. Это вопрос определения правильной плотности лагранжиана для создания правильного уравнения поля.

Гамильтонова теория поля

Соответствующие плотности поля "импульса", сопряженные с N скалярными полями φ i(r, t), равны:

π i (r, t) = ∂ L ∂ ϕ ˙ i ϕ ˙ я ≡ ∂ ϕ я ∂ т. {\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}} _ {i}}} \, \ quad {\ dot {\ phi}} _ {i} \ Equiv {\ frac {\ partial \ phi _ {i}} {\ partial t}}.}

\pi_i(\mathbf{r},t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}_i}\,\quad\dot{\phi}_i\equiv \frac{\partial \phi_i}{\partial t}.

где в этом контексте точка обозначает частная производная по времени, а не полная производная по времени. Плотность гамильтониана $H {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\mathcal {H}}$ определяется по аналогии с механикой:

H (ϕ 1, ϕ 2,…, π 1, π 2,…, r, t) = ∑ i = 1 N ϕ ˙ i (r, t) π i (r, t) - L. {\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {r}, t) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ dot {\ phi}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) \ pi _ {i} (\ mathbf {r}, t) - {\ mathcal {L}} \,.}

\mathcal{H}(\phi_1, \phi_2,\ldots, \pi_1, \pi_2, \ldots,\mathbf{r},t) = \sum_{i=1}^N \dot{\phi}_i(\mathbf{r},t)\pi_i(\mathbf{r},t) - \mathcal{L}\,.

Уравнения движения:

ϕ ˙ i = + δ H δ π i, π ˙ i = - δ H δ ϕ i, {\ displaystyle {\ dot {\ phi}} _ {i} = + {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \,, \ quad {\ dot {\ pi}} _ {i} = - {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ phi _ {i}}} \,,}

\dot{\phi}_i = +\frac{\delta\mathcal{H}}{\delta \pi_i}\,,\quad \dot{\pi}_i = - \frac{\delta\mathcal{H}}{\delta \phi_i} \,

где вариационная производная

δ δ ϕ я знак равно ∂ ∂ ϕ я - ∂ μ ∂ ∂ (∂ μ ϕ я) {\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}

\frac{\delta}{\delta \phi_i} = \frac{\partial}{\partial \phi_i} - \partial_\mu \frac{\partial }{\partial (\partial_\mu \phi_i)}

must be used instead of merely partial derivatives. For N fields, these Hamiltonian field equations are a set of 2N first order partial differential equations, which in general will be coupled and nonlinear.

Again, the volume integral of the Hamiltonian density is the Hamiltonian

H = ∫ V H d V. {\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.}

H = \int_\mathcal{V} \mathcal{H} \, dV \,.

Symmetry, conservation, and Noether's theorem

Symmetry transformations in classical space and time

Each transformation can be described by an operator (i.e. function acting on the position ror momentum pvariables to change them). The following are the cases when the operator does not change ror p, i.e. symmetries.

Transformation	Operator	Position	Momentum
Translational symmetry	$X ( a) {\displaystyle X(\mathbf {a})}$ $X({\mathbf {a}})$	$r → r + a {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$ ${\mathbf {r}}\rightarrow {\mathbf {r}}+{\mathbf {a}}$	$p → p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$ ${\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}$
Time translation	$U ( t 0) {\displaystyle U(t_{0})}$ $U(t_{0})$	$r ( t) → r ( t + t 0) {\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$ ${\mathbf {r}}(t)\rightarrow {\mathbf {r}}(t+t_{0})$	$p ( t) → p ( t + t 0) {\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$ ${\mathbf {p}}(t)\rightarrow {\mathbf {p}}(t+t_{0})$
Rotational invariance	$R ( n ^, θ) {\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}},\theta)}$ $R({\mathbf {{\hat {n}}}},\theta)$	$r → R ( n ^, θ) r {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}},\theta)\mathbf {r} }$ ${\mathbf {r}}\rightarrow R({\mathbf {{\hat {n}}}},\theta){\mathbf {r}}$	$p → R ( n ^, θ) p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}},\theta)\mathbf {p} }$ ${\mathbf {p}}\rightarrow R({\mathbf {{\hat {n}}}},\theta){\mathbf {p}}$
Galilean transformations	$G ( v) {\dis playstyle G(\mathbf {v})}$ $G({\mathbf {v}})$	$r → r + v t {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$ ${\mathbf {r}}\rightarrow {\mathbf {r}}+{\mathbf {v}}t$	$p → p + m v {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$ ${\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}+m{\mathbf {v}}$
Parity	$P {\displaystyle P}$ $P$	$r → − r {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$ ${\mathbf {r}}\rightarrow -{\mathbf {r}}$	$p → − p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$ ${\mathbf {p}}\rightarrow -{\mathbf {p}}$
T-symmetry	$T {\displaystyle T}$ $T$	$r → r ( − t) {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$ ${\mathbf {r}}\rightarrow {\mathbf {r}}(-t)$	$p → − p ( − t) {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$ ${\mathbf {p}}\rightarrow -{\mathbf {p}}(-t)$

where R(n̂, θ) is the rotation matrix about an axis defined by the unit vector n̂and angle θ.

Noether's theorem

Noether's theorem states that a continuous symmetry transformation of the action corresponds to a conservation law, i.e. the action (and hence the Lagrangian) doesn't change under a transformation parameterized by a parameter s:

L [ q ( s, t), q ˙ ( s, t) ] = L [ q ( t), q ˙ ( t) ] {\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}

L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]

the Lagrangian describes the same motion independent of s, which can be length, angle of rotation, or time. The corresponding momenta to q will be conserved.