Сохраненное количество

редактировать

В математике сохраняемая величина в динамической системе является функцией зависимых переменных, значение который остается постоянным вдоль каждой траектории системы.

Не все системы имеют сохраняющиеся величины, и сохраняемые величины не уникальны, поскольку всегда можно применить функцию к сохраняющейся величине, например добавление числа.

Поскольку многие законы физики выражают своего рода сохранение, сохраняемые величины обычно существуют в математических моделях физических систем. Например, любая модель классической механики будет иметь механическую энергию как сохраняемую величину, пока задействованные силы консервативны.

Содержание

1 Дифференциальные уравнения
2 Гамильтонова механика
3 Лагранжева механика
4 См. Также
5 Ссылки

Дифференциальные уравнения

Для системы дифференциальных уравнений первого порядка

drdt = f ( r, t) {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ frac {d {\ mathbf r}} {dt}} = {\ mathbf f} ( {\ mathbf r}, t)

где жирным шрифтом обозначено вектор величин, скалярная функция H (r ) является сохраняющейся величиной системы, если для всех времен и начальных условий в некоторой конкретной области

d H dt = 0 {\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = 0}

{\ frac {dH} {dt}} = 0

Обратите внимание, что при использовании правила многомерной цепочки ,

d H dt = ∇ H ⋅ drdt = ∇ H ⋅ f (r, т) {\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ frac {dH} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ frac {d { \ mathbf r}} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ mathbf f} ({\ mathbf r}, t)

, так что определение можно записать как

∇ ЧАС ⋅ е (r, t) = 0 {\ displaystyle \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}

\ nabla H \ cdot {\ mathbf f} ({\ mathbf r}, t) = 0

, который содержит информацию, относящуюся к системе и может быть полезным при поиске сохраняемых количеств или в установлении существования сохраняемых количеств.

Гамильтонова механика

Для системы, определяемой гамильтонианом H, функция f обобщенных координат q и обобщенных импульсов p имеет временную эволюцию

dfdt = { е, Н} + ∂ е ∂ T {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}}}

\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t} = \ { f, \ mathcal {H} \} + \ frac {\ partial f} {\ partial t}

и, следовательно, сохраняется тогда и только тогда, когда ${f, H} + ∂ f ∂ t = 0 {\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H }} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0}$ $\ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0$ . Здесь ${f, H} {\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$ $\ {f, {\ mathcal {H}} \}$ обозначает скобку Пуассона.

механику Лагранжа

Предположим, что система задана лагранжианом L с обобщенными координатами q. Если L не имеет явной зависимости от времени (так что $∂ L ∂ t = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} = 0}$ ${\ frac {\ partial L} {\ partial t}} = 0$ ), то энергия E определяется как

E = ∑ я [q ˙ я ∂ L ∂ q ˙ я] - L {\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right] -L}

E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot q} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot q} _ {i }}} \ right] -L

сохраняется.

Кроме того, если $∂ L ∂ q = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q}} = 0}$ ${\ frac {\ partial L} {\ partial q}} = 0$ , то говорят, что q быть циклической координатой, а обобщенный импульс p определяется как

p = ∂ L ∂ q ˙ {\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}}}

p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ точка q}}}

сохраняется. Это может быть получено с помощью уравнений Эйлера – Лагранжа.

См. Также

Ссылки

^Blanchard, Devaney, Hall (2005). Дифференциальные уравнения. Brooks / Cole Publishing Co., стр. 486. ISBN 0-495-01265-3. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )