В физике оператор представляет собой функцию поверх пространство физических состояний на другое пространство физических состояний. Простейшим примером использования операторов является изучение симметрии (что делает полезной концепцию группы в этом контексте). Из-за этого они являются очень полезными инструментами в классической механике. Операторы еще более важны в квантовой механике, где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.
Содержание
- 1 Операторы в классической механике
- 1.1 Таблица операторов классической механики
- 2 Генераторы
- 3 Экспоненциальное отображение
- 4 Операторы в квантовой механике
- 4.1 Волновая функция
- 4.2 Линейные операторы в волновой механике
- 4.3 Коммутация операторов на
- 4.4 Ожидаемые значения операторов на
- 4.5 Эрмитовы операторы
- 4.6 Операторы в матричной механике
- 4.7 Обращение к оператору
- 4.8 Таблица операторов QM
- 4.9 Примеры применения квантовых операторов
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
Операторы в классической механике
В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом или, что эквивалентно, гамильтониан , функция обобщенных координат q, обобщенные скорости и его сопряженные импульсы :
Если L или H не зависят от обобщенной координаты q, это означает, что L и H не изменяются при изменении q, что, в свою очередь, означает динамику частицы остаются такими же даже при изменении q, соответствующие импульсы, сопряженные с этими координатами, будут сохранены (это часть теоремы Нётер, а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.
Точнее говоря, когда H инвариантна относительно действия некоторой группы преобразований G:
- .
элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.
Таблица операторов классической механики
Преобразование | Оператор | Позиция | Импульс |
---|
Трансляционная симметрия | | | |
Симметрия перевода во времени | | | |
инвариантность вращения | | | |
преобразования Галилея | | | |
Четность | | | |
T-симметрия | | | |
где - матрица вращения вокруг оси, определяемой элементом единичный вектор и угол θ.
Генераторы
Если преобразование бесконечно малое, действие оператора должно иметь форму
где - оператор идентификации, - параметр с небольшим значением, а будет зависеть от выполняемого преобразования и называется генератором группы. Опять же, как простой пример, мы выведем генератор пространственных трансляций для одномерных функций.
Как было указано, . Если бесконечно малая величина, то мы можем записать
Эта формула может быть переписана как
где - генератор группы перевода, которая в данном случае является оператором производной. Таким образом, говорят, что генератор переводов - это производная.
Экспоненциальная карта
Вся группа может быть восстановлена при нормальных обстоятельствах из генераторов с помощью экспоненциальной карты. В случае переводов идея работает так.
Перевод для конечного значения может быть получен путем повторного применения бесконечно малого преобразования:
с , обозначающим приложение раз. Если велико, каждый из факторов может считаться бесконечно малым:
Но этот предел может быть переписывается в виде экспоненты:
Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в степенной ряд:
Правую часть можно переписать как
который является просто расширением Тейлора для , которое было нашим исходным значением for .
Математические свойства физических операторов сами по себе очень важны. Для получения дополнительной информации см. C * -алгебра и теорема Гельфанда-Наймарка.
Операторы в квантовой механике
математическая формулировка квантовой механики (QM) построен на концепции оператора.
Физические чистые состояния в квантовой механике представлены как векторы единичной нормы (вероятности нормированы к единице) в специальном комплексе Гильбертово пространство. Временная эволюция в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции.
Любая наблюдаемая, т.е. любая величина, которая может быть измерена в физическом эксперименте должен быть связан с самосопряженным линейным оператором. Операторы должны выдавать действительные собственные значения, поскольку они являются значениями, которые могут появиться в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовскими. Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. См. Ниже математические подробности об эрмитовых операторах.
В формулировке QM волновой механики волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, от импульса и времени (см. положение и импульсное пространство для деталей), поэтому наблюдаемые - это дифференциальные операторы.
В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным, а операторы можно представить в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.
Волновая функция
Волновая функция должна быть интегрируемой с квадратом (см. пробелы Lp ), что означает:
и нормализуемо, так что:
Два случая собственных состояний (и собственных значений):
- для дискретных собственных состояний образует дискретную основу, поэтому любое состояние является суммой
- где c i - такие комплексные числа, что | c i | = c ici= вероятность измерения состояния , и соответствующий набор собственных значений a i также дискретный - либо конечный, либо счетно бесконечный,
- для континуума собственных состояний образует непрерывную основу, поэтому любое состояние является интегралом
- где c (φ) - сложная функция, такая что | c ( φ) | = c (φ) c (φ) = вероятность измерения состояния , и существует бесконечно бесконечный набор собственных значений a.
Линейные операторы в волновой механике
Пусть ψ - волновая функция квантовой системы, а - любой линейный оператор для некоторого наблюдаемого A (например, положение, импульс, энергия, угловой момент и т. д.). Если ψ - собственная функция оператора A, то
, где a - собственное значение оператора, соответствующего измеренному значению наблюдаемого, т.е. наблюдаемая A имеет измеренное значение a.
Если ψ является собственной функцией данного оператора A, то определенная величина (собственное значение a) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A выполняется в состоянии ψ. И наоборот, если ψ не является собственной функцией A, то у него нет собственного значения для A, и наблюдаемое в этом случае не имеет единственного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A дадут каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса A).
Все вышесказанное можно записать в скобках;
, которые равны, если - это собственный вектор или собственный вектор наблюдаемого A.
Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del, который сам по себе является вектором (используется в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).
Оператор в n-мерном пространстве можно записать:
где ej- базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A j. Каждый компонент даст соответствующее собственное значение . Воздействуя этим на волновую функцию ψ:
, в котором мы использовали
В обозначении бюстгальтера:
Коммутация операторов на Ψ
Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы и , коммутатор определяется как,
Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:
Если ψ - собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:
, тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т.е. с погрешностями , одновременно. Тогда ψ называется одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:
Показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние (ψ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.
Если операторы не коммутируют:
они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и существует соотношение неопределенности между наблюдаемыми,.
, даже если ψ - собственная функция, указанное выше соотношение выполняется.. Примечательными парами являются отношения неопределенности положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновый, орбитальный и полный) относительно любых двух ортогональных осей (таких как L x и L y или s y и s z и т. д.).
Ожидаемые значения операторов на Ψ
Ожидаемые значения значение (эквивалентно среднее или среднее значение) - это среднее значение наблюдаемого для частицы в области R. Ожидаемое значение оператора вычисляется по формуле
Это можно обобщить на любая функция F оператора:
Примером F является 2-кратное действие A на ψ, то есть возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:
Эрмитовы операторы
Определение эрмитова оператора :
Отсюда в скобках:
Важные свойства эрмитовых операторов включают:
- действительные собственные значения,
- собственные векторы с разными собственными значениями, ортогональные,
- собственные векторы могут быть выбраны для полный ортонормированный базис,
Операторы в матричной механике
Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы являются линейными, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент может быть связан с другим выражением:
, который является матричным элементом:
Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. В матричной форме операторы позволяют находить реальные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются таким же образом, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического многочлена :
где I - это единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретного базиса:
, а для непрерывной основы:
инверсия оператора
невырожденный оператор имеет инверсию определяется как:
Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:
и, следовательно, определитель сингулярного оператора равен нулю.
Таблица операторов QM
Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., Например,). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами, они являются 3-векторными операторами; все три пространственных компонента вместе взятые.
Оператор (общее имя / имена) | Декартова компонента | Общее определение | Единица СИ | Размер |
---|
Позиция | | | m | [L] |
---|
Momentum | General | Общие | J sm = N s | [M ] [L] [T] |
---|
Электромагнитное поле | Электромагнитное поле (использует кинетический импульс, A= векторный потенциал) | J sm = N s | [M] [L] [T] |
Кинетическая энергия | Перевод | | J | [M] [L] [T] |
---|
Электромагнитное поле | Электромагнитное поле (A= векторный потенциал ) | J | [M] [L] [T] |
Вращение (I = момент инерции ) | Поворот | J | [M] [L] [T] |
Потенциальная энергия | N / A | | J | [M] [L] [T] |
---|
Итого энергия | N / A | Зависящий от времени потенциал:.
Независимо от времени :. | J | [M ] [L] [T] |
---|
Гамильтониан | | | J | [M] [L] [T] |
---|
Оператор углового момента | | | J s = N sm | [M] [L] [T] |
---|
Спин угловой момент | где
- матрицы Паули для частицы со спином ½. | где σ - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули. | J s = N sm | [M] [L] [T] |
---|
Полный угловой момент | | | J s = N sm | [M] [L] [T] |
---|
Переходный дипольный момент (электрический) | | | C m | [I] [T] [L] |
---|
Примеры применения квантовых операторов
Процедура извлечения Информация из волновой функции выглядит следующим образом. Рассмотрим в качестве примера импульс p частицы. Оператор импульса в базисе позиции в одном измерении:
Подействуя на ψ, мы получаем:
, если ψ является собственной функцией , то собственное значение импульса p равно значение импульса частицы, определяемое по формуле
Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:
В декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов ex, ey, ez) это можно записать;
то есть:
Процесс поиска собственных значений такой же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ - собственная функция, то каждая компонента оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этой компоненте импульса. Действуя на ψ, получаем:
См. также
Ссылки