Оператор (физика)

редактировать

В физике оператор представляет собой функцию поверх пространство физических состояний на другое пространство физических состояний. Простейшим примером использования операторов является изучение симметрии (что делает полезной концепцию группы в этом контексте). Из-за этого они являются очень полезными инструментами в классической механике. Операторы еще более важны в квантовой механике, где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.

Содержание

  • 1 Операторы в классической механике
    • 1.1 Таблица операторов классической механики
  • 2 Генераторы
  • 3 Экспоненциальное отображение
  • 4 Операторы в квантовой механике
    • 4.1 Волновая функция
    • 4.2 Линейные операторы в волновой механике
    • 4.3 Коммутация операторов на
    • 4.4 Ожидаемые значения операторов на
    • 4.5 Эрмитовы операторы
    • 4.6 Операторы в матричной механике
    • 4.7 Обращение к оператору
    • 4.8 Таблица операторов QM
    • 4.9 Примеры применения квантовых операторов
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки

Операторы в классической механике

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом L (q, q ˙, t) {\ displaystyle L (q, {\ dot {q}}, t)}L(q,{\dot {q}},t)или, что эквивалентно, гамильтониан H (q, p, t) {\ displaystyle H (q, p, t)}H(q,p,t), функция обобщенных координат q, обобщенные скорости q ˙ = dq / dt {\ displaystyle {\ dot {q}} = \ m athrm {d} q / \ mathrm {d} t}{\ dot {q}} = {\ mathrm {d}} q / {\ mathrm {d}} t и его сопряженные импульсы :

p = ∂ L ∂ q ˙ {\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} { \ partial {\ dot {q}}}}}p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

Если L или H не зависят от обобщенной координаты q, это означает, что L и H не изменяются при изменении q, что, в свою очередь, означает динамику частицы остаются такими же даже при изменении q, соответствующие импульсы, сопряженные с этими координатами, будут сохранены (это часть теоремы Нётер, а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.

Точнее говоря, когда H инвариантна относительно действия некоторой группы преобразований G:

S ∈ G, H (S (q, p)) = H (q, p) {\ displaystyle S \ in G, H (S (q, p)) = H (q, p)}S \ в G, H (S (q, p)) = H (q, p) .

элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.

Таблица операторов классической механики

ПреобразованиеОператорПозицияИмпульс
Трансляционная симметрия X (a) {\ displaystyle X (\ mathbf {a})}X({\mathbf {a}})r → r + a {\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {a}}{\mathbf {r}}\rightarrow {\mathbf {r}}+{\mathbf {a}}p → p {\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p}}{\ mathbf {p}} \ righ tarrow {\ mathbf {p}}
Симметрия перевода во времени U (t 0) {\ displaystyle U (t_ {0})}U (t_ {0}) r (t) → r (t + t 0) {\ displaystyle \ mathbf {r} (t) \ rightarrow \ mathbf {r} (t + t_ {0})}{\ mathbf {r}} (t) \ rightarrow {\ mathbf {r}} (t + t_ {0}) p (t) → p (t + t 0) {\ displaystyle \ mathbf { p} (t) \ rightarrow \ mathbf {p} (t + t_ {0})}{\mathbf {p}}(t)\rightarrow {\mathbf {p}}(t+t_{0})
инвариантность вращения R (n ^, θ) {\ displaystyle R (\ mathbf {\ hat {n}}), \ theta)}R({\mathbf {{\hat {n}}}},\theta)r → R (n ^, θ) r {\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {r}}{\mathbf {r}}\rightarrow R({\mathbf {{\hat {n}}}},\theta){\mathbf {r}}p → R (n ^, θ) p {\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {p}}{\ mathbf {p}} \ rightarrow R ({\ mathbf {{\ hat {n}}}}, \ theta) {\ mathbf {p}}
преобразования Галилея Г (v) {\ Displaystyle G (\ mathbf {v})}G({\mathbf {v}})г → г + vt {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}{\ mathbf {r}} \ rightarrow {\ mathbf {r}} + {\ mathbf {v}} t p → p + mv {\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}{ \ mathbf {p}} \ rightarrow {\ mathbf {p}} + m {\ mathbf {v}}
Четность P {\ displaystyle P}Pr → - r {\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow - \ mathbf {r}}{\ mathbf {r}} \ rightarrow - { \ mathbf {r}} p → - p {\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p}}{\mathbf {p}}\rightarrow -{\mathbf {p}}
T-симметрия T {\ displaystyle T}T r → r (- t) {\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} (-t)}{\ mathbf {r}} \ rightarrow {\ mathbf {r}} (- t) p → - p (- t) {\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}{\ mathbf {p}} \ rightarrow - {\ mathbf {p}} (- t)

где R (n ^, θ) {\ displaystyle R ({\ hat {\ boldsymbol {n}}}, \ theta)}R ({\ hat {{\ boldsymbol {n}}}}, \ theta) - матрица вращения вокруг оси, определяемой элементом единичный вектор n ^ {\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {n}}}}{\hat {{\boldsymbol {n}}}}и угол θ.

Генераторы

Если преобразование бесконечно малое, действие оператора должно иметь форму

I + ϵ A {\ displaystyle I + \ epsilon A}I+\epsilon A

где I {\ displaystyle I}I- оператор идентификации, ϵ {\ displaystyle \ epsilon}\epsilon - параметр с небольшим значением, а A {\ displaystyle A}Aбудет зависеть от выполняемого преобразования и называется генератором группы. Опять же, как простой пример, мы выведем генератор пространственных трансляций для одномерных функций.

Как было указано, T a f (x) = f (x - a) {\ displaystyle T_ {a} f (x) = f (x-a)}T_ {a} f (x) = f (xa) . Если a = ϵ {\ displaystyle a = \ epsilon}a = \ epsilon бесконечно малая величина, то мы можем записать

T ϵ f (x) = f (x - ϵ) ≈ f (x) - ϵ f ′ (х). {\ displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = f (x- \ epsilon) \ приблизительно f (x) - \ epsilon f '(x).}T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x)-\epsilon f'(x).

Эта формула может быть переписана как

T ϵ е (х) знак равно (I - ϵ D) е (х) {\ displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = (I- \ epsilon D) f (x)}T _ {\ epsilon} f (x) = (I- \ epsilon D) f (x)

где D {\ displaystyle D}D- генератор группы перевода, которая в данном случае является оператором производной. Таким образом, говорят, что генератор переводов - это производная.

Экспоненциальная карта

Вся группа может быть восстановлена ​​при нормальных обстоятельствах из генераторов с помощью экспоненциальной карты. В случае переводов идея работает так.

Перевод для конечного значения a {\ displaystyle a}a может быть получен путем повторного применения бесконечно малого преобразования:

T af (x) = lim N → ∞ T a / N ⋯ T a / N е (x) {\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty} T_ {a / N} \ cdots T_ {a / N } f (x)}T_{a}f(x)=\lim _{{N\to \infty }}T_{{a/N}}\cdots T_{{a/N}}f(x)

с ⋯ {\ displaystyle \ cdots}\ cdots , обозначающим приложение N {\ displaystyle N}Nраз. Если N {\ displaystyle N}Nвелико, каждый из факторов может считаться бесконечно малым:

T af (x) = lim N → ∞ (I - (a / N) D) N f (x). {\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty} (I- (a / N) D) ^ {N} f (x).}T_{a}f(x)=\lim _{{N\to \infty }}(I-(a/N)D)^{N}f(x).

Но этот предел может быть переписывается в виде экспоненты:

T af (x) = exp ⁡ (- a D) f (x). {\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ exp (-aD) f (x).}T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в степенной ряд:

T af (x) = (I - a D + a 2 D 2 2! - a 3 D 3 3! + ⋯) f (x). {\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ left (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} \ over 2!} - {a ^ {3} D ^ {3} \ over 3! } + \ cdots \ right) f (x).}T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).

Правую часть можно переписать как

f (x) - af ′ (x) + a 2 2! f ″ (x) - а 3 3! е ‴ (x) + ⋯ {\ displaystyle f (x) -af '(x) + {a ^ {2} \ over 2!} f' '(x) - {a ^ {3} \ over 3!} f '' '(x) + \ cdots}f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots

который является просто расширением Тейлора для f (x - a) {\ displaystyle f (xa)}f (xa) , которое было нашим исходным значением for T af (x) {\ displaystyle T_ {a} f (x)}T_{a}f(x).

Математические свойства физических операторов сами по себе очень важны. Для получения дополнительной информации см. C * -алгебра и теорема Гельфанда-Наймарка.

Операторы в квантовой механике

математическая формулировка квантовой механики (QM) построен на концепции оператора.

Физические чистые состояния в квантовой механике представлены как векторы единичной нормы (вероятности нормированы к единице) в специальном комплексе Гильбертово пространство. Временная эволюция в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции.

Любая наблюдаемая, т.е. любая величина, которая может быть измерена в физическом эксперименте должен быть связан с самосопряженным линейным оператором. Операторы должны выдавать действительные собственные значения, поскольку они являются значениями, которые могут появиться в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовскими. Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. См. Ниже математические подробности об эрмитовых операторах.

В формулировке QM волновой механики волновая функция изменяется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, от импульса и времени (см. положение и импульсное пространство для деталей), поэтому наблюдаемые - это дифференциальные операторы.

В формулировке матричной механики норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным, а операторы можно представить в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция

Волновая функция должна быть интегрируемой с квадратом (см. пробелы Lp ), что означает:

∭ R 3 | ψ (r) | 2 d 3 r = ∭ R 3 ψ (r) ∗ ψ (r) d 3 r < ∞ {\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r})|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r})^{*}\psi (\mathbf {r}){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} <\infty }{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r})|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r})^{*}\psi (\mathbf {r}){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} <\infty }

и нормализуемо, так что:

∭ R 3 | ψ (r) | 2 d 3 р знак равно 1 {\ displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r} = 1}{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r})|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =1}

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

  • для дискретных собственных состояний | ψ я⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}| \ psi _ {i} \ rangle образует дискретную основу, поэтому любое состояние является суммой
| ψ⟩ = ∑ i c i | ϕ я⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i} c_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle}|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle
где c i - такие комплексные числа, что | c i | = c ici= вероятность измерения состояния | ϕ я⟩ {\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}| \ phi _ {i} \ rangle , и соответствующий набор собственных значений a i также дискретный - либо конечный, либо счетно бесконечный,
  • для континуума собственных состояний | ψ я⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}| \ psi _ {i} \ rangle образует непрерывную основу, поэтому любое состояние является интегралом
| ψ⟩ = ∫ c (ϕ) d ϕ | ϕ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ int c (\ phi) {\ rm {d}} \ phi | \ phi \ rangle}{\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi){\rm {d}}\phi |\phi \rangle }
где c (φ) - сложная функция, такая что | c ( φ) | = c (φ) c (φ) = вероятность измерения состояния | ϕ⟩ {\ displaystyle | \ phi \ rangle}| \ phi \ rangle , и существует бесконечно бесконечный набор собственных значений a.

Линейные операторы в волновой механике

Пусть ψ - волновая функция квантовой системы, а A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}{\hat {A}}- любой линейный оператор для некоторого наблюдаемого A (например, положение, импульс, энергия, угловой момент и т. д.). Если ψ - собственная функция оператора A, то

A ^ ψ = a ψ, {\ displaystyle {\ hat {A}} \ psi = a \ psi,}{\ hat {A}} \ psi = a \ psi,

, где a - собственное значение оператора, соответствующего измеренному значению наблюдаемого, т.е. наблюдаемая A имеет измеренное значение a.

Если ψ является собственной функцией данного оператора A, то определенная величина (собственное значение a) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A выполняется в состоянии ψ. И наоборот, если ψ не является собственной функцией A, то у него нет собственного значения для A, и наблюдаемое в этом случае не имеет единственного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A дадут каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса A).

Все вышесказанное можно записать в скобках;

A ^ ψ = A ^ ψ (r) = A ^ ⟨r ∣ ψ⟩ = ⟨r ∣ A ^ ∣ ψ⟩ a ψ = a ψ (r) = a r ∣ ψ⟩ = ⟨r ∣ a ∣ ψ⟩ {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ hat {A}} \ psi = {\ hat {A}} \ psi (\ mathbf {r}) = {\ hat {A}} \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid {\ hat {A}} \ mid \ psi \ right \ rangle \\ a \ psi = a \ psi (\ mathbf {r}) = a \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid a \ mid \ psi \ right \ rangle \\\ конец {выровнен}}}{\ begin {align} {\ hat {A}} \ psi = {\ hat {A}} \ psi ({\ mathbf {r}}) = {\ hat {A}} \ left \ langle {\ mathbf {r}} \ mid \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle {\ mathbf {r}} \ mid {\ hat {A}} \ mid \ psi \ right \ rangle \\ a \ psi = a \ psi ({\ mathbf {r}}) = a \ left \ langle {\ mathbf {r}} \ mid \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle {\ mathbf {r}} \ mid a \ mid \ psi \ right \ rangle \\\ end {align}}

, которые равны, если | ψ⟩ {\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}\ left | \ psi \ right \ rangle - это собственный вектор или собственный вектор наблюдаемого A.

Из-за линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del, который сам по себе является вектором (используется в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в n-мерном пространстве можно записать:

A ^ = ∑ j = 1 nej A ^ j {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {A}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j}}{\mathbf {{\hat {A}}}}=\sum _{{j=1}}^{n}{\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}

где ej- базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A j. Каждый компонент даст соответствующее собственное значение a j {\ displaystyle a_ {j}}a_{j}. Воздействуя этим на волновую функцию ψ:

A ^ ψ = (∑ j = 1 nej A ^ j) ψ = ∑ j = 1 n (ej A ^ j ψ) = ∑ j = 1 n (ejaj ψ) { \ displaystyle \ mathbf {\ hat {A}} \ psi = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ справа) \ psi = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ psi \ right) = \ sum _ { j = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {e} _ {j} a_ {j} \ psi \ right)}{\mathbf {{\hat {A}}}}\psi =\left(\sum _{{j=1}}^{n}{\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{{j=1}}^{n}\left({\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{{j=1}}^{n}\left({\mathbf {e}}_{j}a_{j}\psi \right)

, в котором мы использовали A ^ j ψ = aj ψ. {\ displaystyle {\ hat {A}} _ {j} \ psi = a_ {j} \ psi.}{\ hat {A}} _ {j} \ psi = a_ {j} \ psi.

В обозначении бюстгальтера:

A ^ ψ = A ^ ψ (r) = A ^ R ∣ ψ⟩ = ⟨r ∣ A ^ ∣ ψ⟩ (∑ j = 1 nej A ^ j) ψ = (∑ j = 1 nej A ^ j) ψ (r) = (∑ j = 1 nej A ^ j) ⟨Р ∣ ψ⟩ знак равно ⟨р ∣ ∑ J = 1 nej A ^ j ∣ ψ⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ hat {A}} \ psi = \ mathbf {\ hat {A }} \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathbf {\ hat {A}} \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid \ mathbf {\ hat {A}} \ mid \ psi \ right \ rangle \\ \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A} } _ {j} \ right) \ psi = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ right) \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ mathbf {r} \ mid \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ mid \ psi \ right \ rangle \\\ end {align}} \, \!}{\begin{aligned}{\mathbf {{\hat {A}}}}\psi ={\mathbf {{\hat {A}}}}\psi ({\mathbf {r}})={\mathbf {{\hat {A}}}}\left\langle {\mathbf {r}}\mid \psi \right\rangle =\left\langle {\mathbf {r}}\mid {\mathbf {{\hat {A}}}}\mid \psi \right\rangle \\\left(\sum _{{j=1}}^{n}{\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{{j=1}}^{n}{\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi ({\mathbf {r}})=\left(\sum _{{j=1}}^{n}{\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle {\mathbf {r}}\mid \psi \right\rangle =\left\langle {\mathbf {r}}\mid \sum _{{j=1}}^{n}{\mathbf {e}}_{j}{\hat {A}}_{j}\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!

Коммутация операторов на Ψ

Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы A ^ {\ displaystyle {\ hat { A}}}{\hat {A}}и B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\hat {B}}, коммутатор определяется как,

[A ^, B ^] = A ^ B ^ - B ^ A ^ {\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}}\ left [{\ hat {A }}, {\ hat {B}} \ right] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:

[A ^, B ^] ψ = A ^ B ^ ψ - B ^ A ^ ψ. {\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B} } {\ hat {A}} \ psi.}\ left [{\ hat {A} }, {\ hat {B}} \ right] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi.

Если ψ - собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:

[A ^, B ^] ψ = 0, {\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = 0,}\ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = 0,

, тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т.е. с погрешностями Δ A = 0 {\ displaystyle \ Delta A = 0}\ Delta A = 0 , Δ B = 0 {\ displaystyle \ Delta B = 0}\ Delta B = 0 одновременно. Тогда ψ называется одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:

[A ^, B ^] ψ = A ^ B ^ ψ - B ^ A ^ ψ = a (b ψ) - b ( a ψ) = 0. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi \\ = a (b \ psi) -b (a \ psi) \\ = 0. \\\ конец {align}}}{\ begin {align} \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi \\ = a (b \ psi) -b (a \ psi) \\ = 0. \ \\ конец {выровнено}}

Показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние (ψ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не коммутируют:

[A ^, B ^] ψ ≠ 0, {\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right ] \ psi \ neq 0,}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,

они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и существует соотношение неопределенности между наблюдаемыми,.

Δ A Δ B ≥ | ⟨[A, B]⟩ 2 | {\ displaystyle \ Delta A \ Delta B \ geq \ left | {\ frac {\ langle [A, B] \ rangle} {2}} \ right |}{\ displaystyle \ Delta A \ Delta B \ geq \ left | {\ frac {\ langle [A, B] \ rangle} {2}} \ right |}

, даже если ψ - собственная функция, указанное выше соотношение выполняется.. Примечательными парами являются отношения неопределенности положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновый, орбитальный и полный) относительно любых двух ортогональных осей (таких как L x и L y или s y и s z и т. д.).

Ожидаемые значения операторов на Ψ

Ожидаемые значения значение (эквивалентно среднее или среднее значение) - это среднее значение наблюдаемого для частицы в области R. Ожидаемое значение ⟨A ^⟩ {\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle }\ langle {\ hat {A}} \ rangle оператора A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}{\hat {A}}вычисляется по формуле

⟨A ^⟩ = ∫ R ψ ∗ (r) A ^ ψ (r) d 3 r = ⟨ψ | A ^ | ψ⟩. {\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right) {\ hat {A}} \ psi \ left ( \ mathbf {r} \ right) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ langle \ psi | {\ hat {A}} | \ psi \ rangle.}\langle {\hat {A}}\rangle =\int _{R}\psi ^{{*}}\left({\mathbf {r}}\right){\hat {A}}\psi \left({\mathbf {r}}\right){\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle.

Это можно обобщить на любая функция F оператора:

⟨F (A ^)⟩ = ∫ R ψ (r) ∗ [F (A ^) ψ (r)] d 3 r = ⟨ψ | F (A ^) | ψ⟩, {\ displaystyle \ langle F ({\ hat {A}}) \ rangle = \ int _ {R} \ psi (\ mathbf {r}) ^ {*} \ left [F ({\ hat {A }}) \ psi (\ mathbf {r}) \ right] \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ langle \ psi | F ({\ hat {A}}) | \ psi \ rangle,}\ langle F ({\ hat {A}}) \ rangle = \ int _ {R} \ psi ({\ mathbf {r}}) ^ {{*}} \ left [F ({\ ha t {A}}) \ psi ({\ mathbf {r}}) \ right] {\ mathrm {d}} ^ {3} {\ mathbf {r}} = \ langle \ psi | F ({\ hat { A}}) | \ psi \ rangle,

Примером F является 2-кратное действие A на ψ, то есть возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:

F (A ^) = A ^ 2 ⇒ ⟨A ^ 2⟩ = ∫ R ψ ∗ (r) A ^ 2 ψ (r) d 3 r = ⟨ψ | A ^ 2 | ψ⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} F ({\ hat {A}}) = {\ hat {A}} ^ {2} \\ \ Rightarrow \ langle {\ hat {A}} ^ {2 } \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right) {\ hat {A}} ^ {2} \ psi \ left (\ mathbf {r} \ right) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ langle \ psi \ vert {\ hat {A}} ^ {2} \ vert \ psi \ rangle \\\ конец {выровнено}} \, \ !}{\begin{aligned}F({\hat {A}})={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \langle {\hat {A}}^{2}\rangle =\int _{R}\psi ^{{*}}\left({\mathbf {r}}\right){\hat {A}}^{2}\psi \left({\mathbf {r}}\right){\mathrm {d}}^{3}{\mathbf {r}}=\langle \psi \vert {\hat {A}}^{2}\vert \psi \rangle \\\end{aligned}}\,\!

Эрмитовы операторы

Определение эрмитова оператора :

A ^ = A ^ † {\ displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {A}} ^ {\ dagger}}{\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }

Отсюда в скобках:

⟨ϕ i | A ^ | ϕ j⟩ = ⟨ϕ j | A ^ | ϕ i⟩ ∗. {\ displaystyle \ langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle = \ langle \ phi _ {j} | {\ hat {A}} | \ phi _ { i} \ rangle ^ {*}.}\langle \phi _{i}|{\hat {A}}|\phi _{j}\rangle =\langle \phi _{j}|{\hat {A}}|\phi _{i}\rangle ^{*}.

Важные свойства эрмитовых операторов включают:

Операторы в матричной механике

Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы являются линейными, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент ϕ j {\ displaystyle \ phi _ {j}}\ phi _ {j} может быть связан с другим выражением:

A i j = ⟨ϕ i | A ^ | ϕ j⟩, {\ displaystyle A_ {ij} = \ langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle,}A _ {{ij}} = \ langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle,

, который является матричным элементом:

A ^ = (A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A nn) {\ displaystyle {\ hat {A}} = {\ begin { pmatrix} A_ {11} A_ {12} \ cdots A_ {1n} \\ A_ {21} A_ {22} \ cdots A_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ A_ {n1} A_ {n2} \ cdots A_ {nn} \\\ end {pmatrix}}}{\ hat {A}} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} A _ {{12}} \ cdots A _ {{1n}} \\ A _ {{21}} A _ {{22}} \ cdots A _ {{2n}} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ A _ {{n1}} A _ {{n2}} \ cdots A _ {{nn} } \\\ end {pmatrix}}

Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. В матричной форме операторы позволяют находить реальные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются таким же образом, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического многочлена :

det (A ^ - a I ^) = 0, {\ displaystyle \ det \ left ({ \ hat {A}} - a {\ hat {I}} \ right) = 0,}\ det \ left ({\ hat {A}} - a {\ hat {I}} \ right) = 0,

где I - это единичная матрица размера n × n , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретного базиса:

I ^ = ∑ i | ϕ i⟩ ⟨ϕ i | {\ displaystyle {\ hat {I}} = \ sum _ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}{\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|

, а для непрерывной основы:

I ^ = ∫ | ϕ⟩ ⟨ϕ | d ϕ {\ displaystyle {\ hat {I}} = \ int | \ phi \ rangle \ langle \ phi | d \ phi}{\ hat {I}} = \ int | \ phi \ rangle \ langle \ phi | d \ phi

инверсия оператора

невырожденный оператор A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}{\hat {A}}имеет инверсию A ^ - 1 {\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {- 1}}{\ hat {A}} ^ {{- 1}} определяется как:

A ^ A ^ - 1 = A ^ - 1 A ^ = I ^ {\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {- 1} = {\ hat { A}} ^ {- 1} {\ hat {A}} = {\ hat {I}}}{\hat {A}}{\hat {A}}^{{-1}}={\hat {A}}^{{-1}}{\hat {A}}={\hat {I}}

Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

det (A ^) ≠ 0 {\ displaystyle \ det ({\ hat {A}}) \ neq 0}\ det ({\ hat {A}}) \ neq 0

и, следовательно, определитель сингулярного оператора равен нулю.

Таблица операторов QM

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., Например,). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами, они являются 3-векторными операторами; все три пространственных компонента вместе взятые.

Оператор (общее имя / имена)Декартова компонентаОбщее определениеЕдиница СИРазмер
Позиция x ^ = xy ^ = yz ^ = z {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {x}} = x \\ {\ hat {y}} = y \\ {\ hat {z}} = z \ end {выровнено}}}{\ begin {align} {\ hat {x}} = x \\ {\ hat {y }} = y \\ {\ hat {z}} = z \ end {align}} r ^ = r {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = \ mathbf {r} \, \!}{\ mathbf {{\ hat {r}}}} = {\ mathbf {r}} \, \! m[L]
Momentum General

p ^ x = - i ℏ ∂ ∂ xp ^ y = - i ℏ ∂ ∂ yp ^ z = - i ℏ ∂ ∂ z {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {p}} _ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ hat {p}} _ {y} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ частичный y}} \\ {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {align}}}{\ begin {align} {\ hat {p}} _ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ hat {p}} _ {y} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} { \ partial z}} \ конец {выровнено}}

Общие

p ^ = - я ℏ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla \, \!}{\mathbf {{\hat {p}}}}=-i\hbar \nabla \,\!

J sm = N s[M ] [L] [T]
Электромагнитное поле

p ^ x = - i ℏ ∂ ∂ x - q A xp ^ y = - i ℏ ∂ ∂ y - q A yp ^ z = - i ℏ ∂ ∂ Z - Q A Z {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ hat {p}} _ {x} = - я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - qA_ {x } \\ {\ hat {p}} _ {y} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}} - qA_ {y} \\ {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial } {\ partial z}} - qA_ {z} \ end {align}}}{\ begin {align} {\ hat {p}} _ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - qA_ {x} \\ {\ hat { p}} _ {y} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}} - qA_ {y} \\ {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial z}} - qA_ {z} \ end {align}}

Электромагнитное поле (использует кинетический импульс, A= векторный потенциал)

p ^ = P ^ - q A = - я ℏ ∇ - q A {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ hat {p}} = \ mathbf {\ hat {P}} -q \ mathbf {A} \\ = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A} \\\ конец {выровнено}} \, \!}{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} =\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!}

J sm = N s[M] [L] [T]
Кинетическая энергия Перевод

T ^ x = - ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 T ^ y = - ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ y 2 T ^ z = - ℏ 2 2 м ∂ 2 ∂ Z 2 {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ hat {T}} _ {x} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \\ {\ hat {T}} _ {y} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac { \ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \\ {\ hat {T}} _ {z} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}}{\ begin {align} {\ hat {T}} _ {x} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ part ial x ^ {2}}} \\ {\ hat {T}} _ {y} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \\ {\ hat {T}} _ {z} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial z ^ {2}}} \\\ конец {выровнено}}

T ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m = (- i ℏ ∇) ⋅ ( - я ℏ ∇) 2 м = - ℏ 2 2 м ∇ 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {T}} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} \\ = {\ frac {(-i \ hbar \ nabla) \ cdot (-i \ hbar \ nabla)} {2m}} \\ = { \ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ end {align}} \, \!}{\begin{aligned}{\hat {T}}={\frac {{\mathbf {{\hat {p}}}}\cdot {\mathbf {{\hat {p}}}}}{2m}}\\={\frac {(-i\hbar \nabla)\cdot (-i\hbar \nabla)}{2m}}\\={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!

J[M] [L] [T]
Электромагнитное поле

T ^ x = 1 2 м (- i ℏ ∂ ∂ x - q A x) 2 T ^ y = 1 2 m (- i ℏ ∂ ∂ y - q A y) 2 T ^ z = 1 2 м (- я ℏ ∂ ∂ Z - q A z) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {T}} _ {x} = {\ frac {1} {2m}} \ left ( -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - qA_ {x} \ right) ^ {2} \\ {\ hat {T}} _ {y} = {\ frac {1} {2m}} \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}} - qA_ {y} \ right) ^ {2} \\ {\ hat {T}} _ {z} = {\ frac {1} {2m}} \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial z}} - qA_ {z} \ right) ^ {2} \ end {align}} \, \!}{\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!

Электромагнитное поле (A= векторный потенциал )

T ^ = p ^ ⋅ p ^ 2 m = 1 2 m (- i ℏ ∇ - q A) ⋅ (- i ℏ ∇ - q A) Знак равно 1 2 м (- я ℏ ∇ - д А) 2 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} {\ hat {T}} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} \\ = {\ frac {1} {2m}} (- i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}) \ cdot (-i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}) \\ = {\ frac {1} {2m}} (- i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}) ^ {2} \ end {align}} \, \!}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {T}} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} \\ = {\ frac {1} {2m}} (- i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}) \ cdot (-i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}) \\ = {\ frac {1} {2m}} (- i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}) ^ {2} \ end {align}} \, \!}

J[M] [L] [T]
Вращение (I = момент инерции )

T ^ xx = J ^ x 2 2 I xx T ^ yy = J ^ y 2 2 I yy T ^ zz = J ^ z 2 2 I zz {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {T}} _ {xx} = {\ frac {{\ hat {J}} _ {x} ^ {2}} {2I_ {xx}}} \\ { \ hat {T}} _ {yy} = {\ frac {{\ hat {J}} _ {y} ^ {2}} {2I_ {yy}}} \\ {\ hat {T}} _ { zz} = {\ frac {{\ hat {J}} _ {z} ^ {2}} {2I_ {zz}}} \\\ end {align}} \, \!}{\ begin {align} {\ hat {T}} _ {{xx}} = {\ frac {{\ hat {J}} _ {x } ^ {2}} {2I _ {{xx}}}} \\ {\ hat {T}} _ {{yy}} = {\ frac {{\ hat {J}} _ {y} ^ {2 }} {2I _ {{yy}}}} \\ {\ hat {T}} _ {{zz}} = {\ frac {{\ hat {J}} _ {z} ^ {2}} {2I_ {{zz}}}} \\\ конец {выровнено}} \, \!

Поворот

T ^ = J ^ ⋅ J ^ 2 I {\ displaystyle {\ hat {T}} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {J}} \ cdot \ mathbf {\ hat {J}}} {2I}} \, \!}{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!}

J[M] [L] [T]
Потенциальная энергияN / AV ^ = V (r, t) = V { \ displaystyle {\ hat {V}} = V \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = V \, \!}{\ hat {V}} = V \ left ({\ mathbf {r}}, t \ right) = V \, \! J[M] [L] [T]
Итого энергия N / AЗависящий от времени потенциал:.

E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \, \!}{\ hat { E}} = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \, \!

Независимо от времени :. E ^ = E {\ displaystyle {\ hat {E}} = E \, \!}{\hat {E}}=E\,\!

J[M ] [L] [T]
Гамильтониан H ^ = T ^ + V ^ = p ^ ⋅ п ^ 2 м + V = п ^ 2 2 м + V {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}} \ \ = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} + V \\ = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V \\\ end {align}} \, \!}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}} \\ = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}}} {2m}} + V \\ = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2 }} {2m}} + V \\\ конец {выровнен}} \, \!} J[M] [L] [T]
Оператор углового момента L ^ x = - i ℏ (y ∂ ∂ z - z ∂ ∂ y) L ^ y = - i ℏ (z ∂ ∂ x - x ∂ ∂ z) L ^ z = - i ℏ (x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {L}} _ {x} = - я \ hbar \ left (y {\ partial \ over \ partial z} -z {\ partial \ over \ partial y} \ right) \\ {\ hat {L}} _ {y} = - i \ hbar \ left (z {\ partial \ over \ partial x} -x {\ partial \ over \ partial z} \ right) \\ { \ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar \ left (x {\ partial \ over \ partial y} -y {\ partial \ over \ partial x} \ right) \ end {выровнено}}}{\ begin {align} {\ hat {L}} _ {x} = - i \ hbar \ left (y {\ partial \ over \ partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}L ^ = r × - я ℏ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {L}} = \ mathbf {r} \ times -i \ hbar \ nabla}{\ mathbf {{\ hat {L}}}} = {\ mathbf {r}} \ раз - i \ hbar \ nabla J s = N sm[M] [L] [T]
Спин угловой моментS ^ x = ℏ 2 σ x S ^ y = ℏ 2 σ y S ^ z = ℏ 2 σ z {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {S}} _ {x} = {\ hbar \ over 2} \ sigma _ {x} \\ {\ hat {S}} _ {y} = {\ hbar \ over 2} \ sigma _ {y} \\ {\ hat {S}} _ {z} = {\ hbar \ over 2} \ sigma _ {z} \ end {align}}}{\ begin {align} {\ hat {S}} _ {x} = {\ hbar \ over 2} \ sigma _ {x } \\ {\ hat {S}} _ {y} = {\ hbar \ over 2} \ sigma _ {y} \\ {\ hat {S}} _ {z} = {\ hbar \ over 2} \ sigma _ {z} \ end {align}}

где

σ x = (0 1 1 0) {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}}\sigma _{x}={\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}}

σ Y знак равно (0 - ii 0) {\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 -i \\ i 0 \ end {pmatrix}}}\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0-i\\i0\end{pmatrix}}

σ z = (1 0 0–1) {\ displaystyle \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \ end {pmatrix}}}\sigma _{z}={\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}}

- матрицы Паули для частицы со спином ½.

S ^ = ℏ 2 σ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {S}} = {\ hbar \ over 2} {\ boldsymbol {\ sigma}} \, \!}{\ mathbf {{\ hat {S}}}} = {\ hbar \ over 2 } {\ boldsymbol {\ sigma}} \, \!

где σ - вектор, компонентами которого являются матрицы Паули.

J s = N sm[M] [L] [T]
Полный угловой моментJ ^ x = L ^ x + S ^ x J ^ y = L ^ y + S ^ Y J ^ Z = L ^ Z + S ^ z {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {J}} _ {x} = {\ hat {L}} _ {x} + { \ hat {S}} _ {x} \\ {\ hat {J}} _ {y} = {\ hat {L}} _ {y} + {\ hat {S}} _ {y} \\ {\ hat {J}} _ {z} = {\ hat {L}} _ {z} + {\ hat {S}} _ {z} \ end {align}}}{\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}J ^ = L ^ + S ^ = - я ℏ р × ∇ + ℏ 2 σ {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ hat {J}} = \ mathbf {\ hat {L}} + \ mathbf {\ hat {S}} \\ = - i \ hbar \ mathbf {r} \ times \ nabla + {\ frac {\ hbar} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} =\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}J s = N sm[M] [L] [T]
Переходный дипольный момент (электрический)d ^ x = qx ^ d ^ y = qy ^ d ^ z = qz ^ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {d}} _ {x} = q {\ hat {x}} \\ {\ hat {d}} _ {y} = q {\ шляпа {у}} \\ {\ шляпа {d}} _ {z} = q {\ шляпа {z}} \ конец {выровнено}}}{\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}=q{\hat {x}}\\{\hat {d}}_{y}=q{\hat {y}}\\{\hat {d}}_{z}=q{\hat {z}}\end{aligned}}d ^ = qr ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {d}} = q \ mathbf {\ hat {r}}}{\mathbf {{\hat {d}}}}=q{\mathbf {{\hat {r}}}}C m[I] [T] [L]

Примеры применения квантовых операторов

Процедура извлечения Информация из волновой функции выглядит следующим образом. Рассмотрим в качестве примера импульс p частицы. Оператор импульса в базисе позиции в одном измерении:

p ^ = - i ℏ ∂ ∂ x {\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x} }}{\ hat {p}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}

Подействуя на ψ, мы получаем:

p ^ ψ = - i ℏ ∂ ∂ x ψ, {\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ psi,}{\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ psi,

, если ψ является собственной функцией p ^ {\ displaystyle {\ hat {p}}}{\hat {p}}, то собственное значение импульса p равно значение импульса частицы, определяемое по формуле

- i ℏ ∂ ∂ x ψ = p ψ. {\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ psi = p \ psi.}-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ psi = p \ psi.

Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:

p ^ = - я ℏ ∇. {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla.}{\mathbf {{\hat {p}}}}=-i\hbar \nabla.

В декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов ex, ey, ez) это можно записать;

exp ^ x + eyp ^ y + ezp ^ z = - i ℏ (ex ∂ ∂ x + ey ∂ ∂ y + ez ∂ ∂ z), {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ mathrm {x} } {\ hat {p}} _ {x} + \ mathbf {e} _ {\ mathrm {y}} {\ hat {p}} _ {y} + \ mathbf {e} _ {\ mathrm {z} } {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar \ left (\ mathbf {e} _ {\ mathrm {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + \ mathbf { e} _ {\ mathrm {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + \ mathbf {e} _ {\ mathrm {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right),}{\mathbf {e}}_{{\mathrm {x}}}{\hat {p}}_{x}+{\mathbf {e}}_{{\mathrm {y}}}{\hat {p}}_{y}+{\mathbf {e}}_{{\mathrm {z}}}{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left({\mathbf {e}}_{{\mathrm {x}}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathbf {e}}_{{\mathrm {y}}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathbf {e}}_{{\mathrm {z}}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right),

то есть:

p ^ x = - i ℏ ∂ ∂ x, p ^ y = - i ℏ ∂ ∂ y, p ^ z = - i ℏ ∂ ∂ z {\ displaystyle { \ hat {p}} _ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}, \ quad {\ hat {p}} _ {y} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, \ quad {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \, \!}{\ hat {p}} _ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial } {\ partial x}}, \ quad {\ hat {p}} _ {y} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, \ quad {\ hat {p}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \, \!

Процесс поиска собственных значений такой же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ - собственная функция, то каждая компонента оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этой компоненте импульса. Действуя p ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}{\ mathbf {{\ hat {p}}}} на ψ, получаем:

p ^ x ψ = - i ℏ ∂ ∂ x ψ = px ψ p ^ y ψ знак равно - я ℏ ∂ ∂ Y ψ = py ψ p ^ z ψ = - я ℏ ∂ ∂ z ψ = pz ψ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {p}} _ {x} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ psi = p_ {x} \ psi \\ {\ hat {p}} _ {y} \ psi = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ psi = p_ {y} \ psi \\ {\ hat {p}} _ {z} \ psi = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ частичный z}} \ psi = p_ {z} \ psi \\\ end {align}} \, \!}{\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!

См. также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-01 13:13:26
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте