Закон сохранения

редактировать
Научный закон о сохранении физических свойств

В физике, a закон сохранения гласит, что конкретное измеримое свойство изолированной физической системы не изменяется по мере развития системы с течением времени. Точные законы сохранения включают в себя сохранение энергии, сохранение количества движения, сохранение момента количества движения и сохранение электрического заряда. Также существует множество приблизительных законов сохранения, которые применяются к таким величинам, как масса, четность, лептонное число, барионное число, странность, гиперзаряд и т. д. Эти величины сохраняются в определенных классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение неразрывности, дифференциальное уравнение в частных производных, которое устанавливает связь между количеством количества и «переносом» этого количества. Он гласит, что количество сохраняемого количества в точке или внутри объема может изменяться только на величину количества, которое течет в объем или из него.

Из теоремы Нётер каждый закон сохранения связан с симметрией в лежащей в основе физике.

Содержание

  • 1 Законы сохранения как фундаментальные законы природы
  • 2 Точные законы
  • 3 Приближенные законы
  • 4 Глобальные и локальные законы сохранения
  • 5 Дифференциальные формы
  • 6 Интегральные и слабые формы
  • 7 См. Также
    • 7.1 Примеры и приложения
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Внешние ссылки

Законы сохранения как фундаментальные законы природы

Законы сохранения являются фундаментальными наше понимание физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не меняется, хотя может менять форму. В общем, общее количество собственности, регулируемой этим законом, остается неизменным во время физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), количества движения, углового момента и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, за исключением пар, где одна обычная, а другая античастица. Что касается принципов симметрии и инвариантности, были описаны три специальных закона сохранения, связанных с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, широко применяемыми в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и инженерия.

Большинство законов сохранения точны или абсолютны в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения частичны, поскольку они выполняются для одних процессов, но не для других.

Одним особенно важным результатом, касающимся законов сохранения, является теорема Нётер, которая утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемой симметрией природы. Например, сохранение энергии следует из временной инвариантности физических систем, а сохранение углового момента возникает из того факта, что физические системы ведут себя одинаково независимо от того, как они ориентированы в пространстве.

Точные законы

Частичный список физических уравнений сохранения из-за симметрии, которые считаются точными законами, или, точнее, никогда не были доказано нарушение:

Закон сохраненияСоответствующая симметрия Нётер инвариантность Число измерений
Сохранение массы-энергии Инвариантность сдвига времени Лоренц-инвариантность симметрия 1перенос по оси времени
Сохранение количества движения Инвариантность перемещения в пространстве 3перенос по направлениям x, y, z
Сохранение углового момента Инвариантность вращения 3вращение вокруг осей x, y, z
Сохранение скорости ЦМ (центра импульса)Инвариантность Лоренца-буста 3Лоренц-буст по направлениям x, y, z
Сохранение электрический заряд Калибровочная инвариантность 1⊗4скалярное поле (1D) в 4D пространстве-времени (x, y, z + эволюция во времени)
Сохранение цветового заряда SU (3) Калибровочная инвариантность 3r, g, b
Conserva ция слабого изоспина SU (2) LКалибровочная инвариантность 1слабый заряд
Сохранение вероятности Вероятностная инвариантность1 ⊗ 4полная вероятность всегда = 1 во всем пространстве x, y, z во время эволюции во времени

Приближенные законы

Также существуют приблизительные законы сохранения. Это примерно верно в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные рамки или определенные взаимодействия.

Глобальные и локальные законы сохранения

Общее количество некоторого сохраняемого количества во Вселенной могло бы остаться неизменным, если бы такое же количество появилось в одной точке A и одновременно исчезло из другой отдельной точки B. Например, количество энергии могло появиться на Земле без изменения общего количества. количество энергии во Вселенной, если бы такое же количество энергии исчезло из отдаленной области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, потому что он не инвариант Лоренца, поэтому явления, подобные описанным выше, не встречаются в природе. Согласно специальной теории относительности, если появление энергии в A и исчезновение энергии в B одновременно в одной инерциальной системе отсчета, они не будут одновременными в других инерциальных системах отсчета двигаясь относительно первого. В движущемся кадре одно будет предшествовать другому; либо энергия в точке A появится до, либо после того, как энергия в точке B исчезнет. В обоих случаях в течение этого интервала энергия не сохраняется.

Более строгая форма закона сохранения требует, чтобы для изменения количества сохраняемой величины в точке должен быть поток или поток количества в точку или из нее. Например, величина электрического заряда в точке никогда не изменяется без электрического тока в точку или из точки, которая несет разницу в заряде. Поскольку он включает только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является инвариантом Лоренца ; величина, сохраняемая в одной системе отсчета, сохраняется во всех движущихся системах отсчета. Это называется локальным законом сохранения. Местное сохранение также подразумевает глобальное сохранение; что общее количество сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянным. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения математически выражается уравнением неразрывности , в котором говорится, что изменение количества в объеме равно общему чистому «потоку» количества через поверхность объема. В следующих разделах обсуждаются уравнения неразрывности в целом.

Дифференциальные формы

В механике сплошных сред наиболее общая форма точного закона сохранения дается уравнением неразрывности. Например, сохранение электрического заряда q равно

∂ ρ ∂ t = - ∇ ⋅ j {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \,}{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot {\ mathbf {j}} \,

где ∇⋅ - оператор расхождения, ρ - плотность q (количество на единицу объема), j - поток q (количество, пересекающее единицу площадь в единицу времени), а t - время.

Если предположить, что движение u заряда является непрерывной функцией положения и времени, тогда

j = ρ u {\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {u}}{\ mathbf {j}} = \ rho {\ mathbf {u}}
∂ ρ ∂ t = - ∇ ⋅ (ρ u). {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) \,.}{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot (\ rho {\ mathbf {u}}) \,.

В одном пространственном измерении это может быть помещено в форма однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка :

yt + A (y) yx = 0 {\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = 0}y_ {t} + A (y) y_ {x} = 0

, где зависимая переменная y называется плотностью сохраняемой величины, а A (y) называется величиной, и используется обозначение нижнего индекса для частных производных. Более общий неоднородный случай:

yt + A (y) yx = s {\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = s}y_ {t} + A (y) y_ {x} = s

- это не уравнение сохранения, а общий вид уравнение баланса, описывающее диссипативную систему. Зависимая переменная y называется несохраняемой величиной, а неоднородный член s (y, x, t) - источник или диссипация. Например, уравнениями баланса такого типа являются уравнения импульса и энергии Навье-Стокса или баланс энтропии для общей изолированной системы.

В в одномерном пространстве уравнение сохранения - это квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка, которое можно представить в форме переноса:

yt + a (y) yx = 0 {\ displaystyle y_ {t} + a (y) y_ {x} = 0}y_ {t} + a (y) y_ {x} = 0

где зависимая переменная y (x, t) называется плотностью сохраняемой (скалярной) величины (cq (d.) = сохраняющаяся величина (плотность)), а a (y) называется коэффициентом тока, обычно соответствующим частной производной в сохраняемой величине плотности тока (cd) сохраненной величины j (y):

a (y) = jy (y) {\ displaystyle a (y) = j_ {y} (y)}a (y) = j_ {y } (y)

В этом случае, поскольку применяется правило цепочки :

jx = jy (y) yx = a (y) yx {\ displaystyle j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}}j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}

уравнение сохранения можно записать в Форма плотности арендной платы:

yt + jx (y) = 0 {\ displaystyle y_ {t} + j_ {x} (y) = 0}y_ {t} + j_ {x} (y) = 0

В пространстве с более чем одним измерением первое определение можно расширить до уравнения, которое можно представить в форме:

yt + a (y) ⋅ ∇ y = 0 {\ displaystyle y_ {t} + \ mathbf {a} (y) \ cdot \ nabla y = 0}y_ {t} + {\ mathbf a} (y) \ cdot \ nabla y = 0

, где сохраняемая величина равна y (r, t), ⋅ {\ displaystyle \ cdot}\ cdot обозначает скалярное произведение, ∇ - оператор набла, здесь указывающий градиент, а (y) - вектор текущих коэффициентов, аналогично соответствующий дивергенции векторный компакт-диск связанный с c.q. j (y):

yt + ∇ ⋅ j (y) = 0 {\ displaystyle y_ {t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} (y) = 0}y_ {t} + \ nabla \ cdot {\ mathbf j} (y) = 0

Это имеет место для уравнения неразрывности :

ρ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 {\ displaystyle \ rho _ {t} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0 }\ rho _ {t} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ mathbf u}) = 0

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью ρ(r, t) и плотностью тока ρ u, идентичной плотности импульса, а u(r, t) - это скорость потока.

В общем случае уравнение сохранения также может быть системой этого вида уравнений (векторное уравнение ) в форме:

yt + A (y) ⋅ ∇ y = 0 {\ displaystyle \ mathbf {y} _ {t} + \ mathbf {A} (\ mathbf {y}) \ cdot \ nabla \ mathbf {y} = \ mathbf {0}}{\ mathbf y} _ {t} + {\ mathbf A} ({\ mathbf y}) \ cdot \ nabla {\ mathbf y} = {\ mathbf 0}

где y называется сохраняющейся величиной (вектор ), ∇ y - его градиент, 0является нулевым вектором, а A (y) называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в предыдущем скалярном случае, также в векторном случае A (y), обычно соответствующем якобиану a J (y) :

A (y) = J y (y) {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {y}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {y}} (\ mathbf {y})}{\ mathbf A} ({\ mathbf y}) = {\ mathbf J} _ {{{\ mathbf y}}} ( {\ mathbf y})

и уравнение сохранения можно поместить в форма:

yt + ∇ ⋅ J (y) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {y} _ {t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} (\ mathbf {y}) = \ mathbf {0} }{\ mathbf y} _ {t} + \ nabla \ cdot {\ mathbf J} ({\ mathbf y}) = {\ mathbf 0}

Например, это случай для уравнений Эйлера (гидродинамика). В простом случае несжимаемой жидкости это:

∇ ⋅ u = 0 ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u + ∇ s = 0, {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0 \\ [1.2ex] {\ partial \ mathbf {u} \ over \ partial t} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + \ nabla s = \ mathbf {0}, \ end { выровнено}}}{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ набла \ cdot \ mathbf {u} = 0 \\ [1.2ex] {\ partial \ mathbf {u} \ over \ partial t} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + \ nabla s = \ mathbf {0}, \ end {align}}}

где:

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и cd матрицы для этих уравнений соответственно:

y = (1 u); J = (u u ⊗ u + s I); {\ Displaystyle {\ mathbf {y}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\\ mathbf {u} \ end {pmatrix}}; \ qquad {\ mathbf {J}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} \\\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} + s \ mathbf {I} \ end {pmatrix}}; \ qquad}{\ displaystyle {\ mathbf {y}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\\ mathbf {u} \ end {pmatrix}}; \ qquad {\ mathbf {J}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} \\ \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} + s \ mathbf {I} \ end {pmatrix}}; \ qquad}

где ⊗ {\ displaystyle \ otimes}\ otimes обозначает внешнее произведение.

Интегральная и слабая формы

Уравнения сохранения также могут быть выражены в интегральной форме: преимущество последнего состоит в том, что оно требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме, расширяющей класс допустимых решений за счет включения разрывных решений. Интегрируя в любой пространственно-временной области форму плотности тока в одномерном пространстве:

yt + jx (y) = 0 {\ displaystyle y_ {t} + j_ {x} (y) = 0}y_ {t} + j_ {x} (y) = 0

и используя теорему Грина, интегральная форма имеет следующий вид:

∫ - ∞ ∞ ydx + ∫ 0 ∞ j (y) dt = 0 {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y \, dx + \ int _ {0} ^ {\ infty} j (y) \, dt = 0}{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y \, dx + \ int _ {0} ^ {\ infty} j (y) \, dt = 0 }

Аналогичным образом для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет следующий вид:

∮ [yd N r + j (y) dt] = 0 {\ displaystyle \ oint [y \, d ^ {N} r + j (y) \, dt] = 0}{\ displaystyle \ oint [y \, d ^ {N} r + j (y) \, dt] = 0}

, где линейное интегрирование выполняется по границу области против часовой стрелки.

Более того, путем определения тестовой функции φ(r, t), непрерывно дифференцируемой как во времени, так и в пространстве с компактной опорой, слабая форма может быть получена поворотом на начальное условие. В одномерном пространстве это:

∫ 0 ∞ ∫ - ∞ ∞ ϕ ty + ϕ xj (y) dxdt = - ∫ - ∞ ∞ ϕ (x, 0) y (x, 0) dx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi _ {t} y + \ phi _ {x} j (y) \, dx \, dt = - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi (x, 0) y (x, 0) \, dx}{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi _ {t} y + \ phi _ { x} j (y) \, dx \, dt = - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi (x, 0) y (x, 0) \, dx}

Обратите внимание, что в слабой форме все частные производные плотности и плотности тока были пропущены на тестовую функцию, которая в соответствии с предыдущей гипотезой достаточно гладкая, чтобы допускать эти производные.

См. также

Примеры и приложения

Примечания

  1. ^«Калибровочная инвариантность вероятностного тока». Обмен физическими стеками. Архивировано 18 августа 2017 г. из оригинала. Дата обращения 4 мая 2018.
  2. ^ Aitchison, Ian J. R.; Привет, Энтони Дж. (2012). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: практическое введение: от релятивистской квантовой механики к КЭД, четвертое издание, т. 1. CRC Press. п. 43. ISBN 978-1466512993. Архивировано из оригинала 04.05.2018.
  3. ^ Уилл, Клиффорд М. (1993). Теория и эксперимент в гравитационной физике. Cambridge Univ. Нажмите. п. 105. ISBN 978-0521439732. Архивировано из оригинала 20.02.2017.
  4. ^ см. Toro, стр. 43
  5. ^ см. Toro, стр. 62-63

Ссылки

  • Philipson, Schuster, Modeling by Нелинейные дифференциальные уравнения: диссипативные и консервативные процессы, World Scientific Publishing Company 2009.
  • Виктор Дж. Стенджер, 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные. Буффало Нью-Йорк: Книги Прометея. Гл. 12 - это краткое введение в законы симметрии, инвариантности и сохранения.
  • Торо, Э.Ф. (1999). «Глава 2. Понятия о гиперболических частных производных». Решатели Римана и численные методы гидродинамики. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.
  • E. Годлевски, П.А. Равиарт, Гиперболические системы законов сохранения, Эллипсы, 1991.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 10:05:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте