Картинка Гейзенберга

Формулировка квантовой механики, в которой наблюдаемые операторы развиваются во времени, а вектор состояния не меняется

В физике, изображение Гейзенберга (также называемое представлением Гейзенберга ) является формулировкой (в значительной степени благодаря Вернеру Гейзенбергу в 1925 году) квантовой механики, в котором операторы (наблюдаемые и другие) включают зависимость от времени, но векторы состояния не зависят от времени, произвольно фиксированный базис жестко лежащая в основе теории.

Это контрастирует с картиной Шредингера, на которой операторы постоянны, а состояния развиваются во времени. Два изображения отличаются только базисным изменением в отношении временной зависимости, что соответствует разнице между активными и пассивными преобразованиями. Картина Гейзенберга - это формулировка матричной механики в произвольном базисе, в которой гамильтониан не обязательно диагонален.

Кроме того, он служит для определения третьего, гибридного, изображения, изображения взаимодействия.

• 1 Математические детали
• 2 Эквивалентность уравнения Гейзенберга уравнению Шредингера
• 3 Отношения коммутатора
• 4 Сводное сравнение эволюции на всех рисунках
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

В картине Гейзенберга квантовой механики состояние векторы | ψ〉 не меняются со временем, а наблюдаемые A удовлетворяют

$ddt\; A\; (t)\; =\; i\; \hslash \; [H,\; A\; (t)]\; +\; (\partial \; A\; \partial \; t)\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \}\; \{dt\}\}\; A\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; [H,\; A\; (t)]\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{H\},\}$

, где H - это гамильтониан , а [•, •] обозначает коммутатор двух операторов (в данном случае H и A). Принятие математических ожиданий автоматически приводит к теореме Эренфеста, представленной в принципе соответствия.

По теореме Стоуна – фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера унитарно эквивалентны, просто изменение базиса в гильбертовом пространстве. В некотором смысле картина Гейзенберга более естественна и удобна, чем эквивалентная картина Шредингера, особенно для релятивистских теорий. Лоренц-инвариантность проявляется в картине Гейзенберга, поскольку векторы состояния не выделяют время или пространство.

Этот подход также имеет более прямое сходство с классической физикой : путем простой замены коммутатора, указанного выше, на скобку Пуассона, уравнение Гейзенберга сводится к уравнению в гамильтоновой механике.

В целях педагогики здесь представлена ​​картина Гейзенберга из последующего, но более знакомого, Изображение Шредингера.

математическое ожидание наблюдаемой A, которое является эрмитовским линейным оператором, для данного состояния Шредингера | ψ (t)〉, дается формулой

$⟨A⟩\; t\; =\; ⟨\psi \; (t)\; |\; А\; |\; \psi \; (t)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (t)\; |\; A\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle.\}$

На картинке Шредингера состояние | ψ (t)〉 в момент времени t связано с состоянием | ψ (0)〉 в момент времени 0 с помощью унитарного оператора временной эволюции, U (t),

$|\; \psi \; (t)⟩\; =\; U\; (t)\; |\; \psi \; (0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; U\; (t)\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle.\}$

В картине Гейзенберга все векторы состояния считаются постоянными при их начальных значениях | ψ (0)〉, Тогда как операторы эволюционируют со временем согласно

$A\; (t):\; =\; U\; †\; (t)\; AU\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t):\; =\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; AU\; (t)\; \backslash .\}$

Уравнение Шредингера для оператора временной эволюции:

$ddt\; U\; (t)\; =\; -\; i\; H\; \hslash \; U\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; \backslash \; over\; dt\}\; U\; (t)\; =\; -\; \{iH\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; U\; (t)\}$

где H - гамильтониан, а ħ - приведенная постоянная Планка.

Отсюда следует, что

$ddt\; A\; (t)\; =\; i\; \hslash \; U\; †\; (t)\; HAU\; (t)\; +\; U\; †\; (t)\; (\partial \; A\; \partial \; t)\; U\; (t)\; +\; i\; \hslash \; U\; †\; (t)\; A\; (-\; H)\; U\; (t)\; =\; i\; \hslash \; U\; †\; (t)\; HU\; (t)\; U\; †\; (t)\; AU\; (t)\; +\; U\; †\; (t)\; (\partial \; A\; \partial \; t)\; U\; (t)\; -\; i\; \hslash \; U\; †\; (t)\; AU\; (t)\; U\; †\; (t)\; HU\; (t)\; =\; i\; \hslash \; (H\; (t)\; A\; (t)\; -\; A\; (t)\; H\; (t))\; +\; U\; †\; (t)\; (\partial \; A\; \partial \; t)\; U\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; t\}\; A\; (t)\; =\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; HAU\; (t)\; +\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; U\; (t)\; +\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\; \}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; A\; (-H)\; U\; (t)\; \backslash \backslash \; =\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; HU\; (t)\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (\; t)\; AU\; (t)\; +\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; U\; (t)\; -\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (т)\; AU\; (t)\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; HU\; (t)\; \backslash \backslash \; =\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; left\; (H\; (t)\; A\; (t)\; -A\; (t)\; H\; (t)\; \backslash \; right)\; +\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; U\; (t),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где проводилось дифференцирование в соответствии с правилом продукта. Обратите внимание, что гамильтониан, который появляется в последней строке выше, является гамильтонианом Гейзенберга H (t), который может отличаться от гамильтониана Шредингера.

Важный частный случай приведенного выше уравнения получается, если гамильтониан не меняется со временем. Тогда оператор временной эволюции может быть записан как

$U\; (t)\; =\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash ,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (t)\; =\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\},\}$

Следовательно,

$A⟩\; t\; =\; ⟨\psi \; (0)\; |\; e\; +\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; A\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; (0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle\; \_\; \{t\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (0)\; |\; e\; ^\; \{+\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; Ae\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle.\}$

и

$ddt\; A\; (t)\; =\; i\; \hslash \; H\; ei\; H\; t\; /\; \hslash \; A\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; +\; e\; +\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; (\partial \; A\; \partial \; t)\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; +\; i\; \hslash \; e\; +\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; A\; \cdot \; (-\; H)\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; =\; i\; \hslash \; ei\; H\; t\; /\; \hslash \; (HA\; -\; AH)\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; +\; e\; +\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; (\partial \; A\; \partial \; t)\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; =\; i\; \hslash \; (HA\; (t)\; -\; A\; (t)\; H)\; +\; e\; +\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; (\partial \; A\; \partial \; t)\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; t\}\; A\; (t)\; =\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; He\; ^\; \{iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; Ae\; ^\; \{\; -iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; +\; e\; ^\; \{+\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; +\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; e\; ^\; \{+\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; A\; \backslash \; cdot\; (-H)\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \backslash \; =\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; e\; ^\; \{iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; left\; (\; HA-AH\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; +\; e\; ^\; \{+\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \backslash \; =\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; left\; (HA\; (t)\; -A\; (t)\; H\; \backslash \; right)\; +\; e\; ^\; \{+\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Здесь ∂A / ∂t - производная по времени исходного A, а не A ( t) оператор определен. Последнее уравнение выполняется, поскольку exp (−i H t / ħ) коммутирует с H.

Уравнение решается с помощью A (t), определенного выше, как видно из использования стандартного тождества оператора ,

$e\; BA\; e\; -\; B\; =\; A\; +\; [B,\; A]\; +\; 1\; 2!\; [B,\; [B,\; A]]\; +\; 1\; 3!\; [B,\; [B,\; [B,\; A]]]\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{e\; ^\; \{B\}\; Ae\; ^\; \{-\; B\}\}\; =\; A\; +\; [B,\; A]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2!\}\}\; [B,\; [B,\; A]]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{3!\}\}\; [B,\; [B,\; [B,\; A]]]\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash .\}$

, что означает

$A\; (t)\; =\; A\; +\; it\; \hslash \; [H,\; A]\; +\; 1\; 2\; !\; (я\; т\; \hslash )\; 2\; [H,\; [H,\; A]]\; +\; 1\; 3!\; (it\; \hslash )\; 3\; [H,\; [H,\; [H,\; A]]]\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t)\; =\; A\; +\; \{\backslash \; frac\; \{it\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; [H,\; A]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2!\}\}\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; frac\; \{it\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; [H,\; [H,\; A]]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3!\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{it\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; [H,\; [H,\; [H,\; A]]]\; +\; \backslash \; dots\}$

Это соотношение также выполняется для классической механики, классический предел указанного выше, учитывая соответствие между скобками Пуассона и коммутаторами,

$[A,\; H]\; ⟷\; i\; \hslash \; \{A,\; H\}\; \{\backslash \; displaystyle\; [A,\; H]\; \backslash \; quad\; \backslash \; longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; \{A,\; H\; \backslash \}\}$

В классической механике для A без явной зависимости от времени

$\{A,\; H\}\; =\; d\; A\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{A,\; H\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; A\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; T\}\}\; ~,\}$

так что снова выражение для A (t) является разложением Тейлора вокруг t = 0.

По сути, произвольный жесткий базис гильбертова пространства | ψ (0)〉 ушел из поля зрения и рассматривается только при заключительный шаг получения конкретных значений ожидания или матричных элементов наблюдаемых.

Отношения коммутатора могут выглядеть иначе, чем на изображении Шредингера, из-за временной зависимости операторов. Например, рассмотрим операторы x (t 1), x (t 2), p (t 1) и p (t 2). Временная эволюция этих операторов зависит от гамильтониана системы. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор,

$H\; =\; p\; 2\; 2\; m\; +\; m\; \omega \; 2\; x\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{m\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$,

эволюция операторов положения и импульса определяется следующим образом:

$ddtx\; (t)\; =\; i\; \hslash \; [H,\; x\; (t)]\; =\; pm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; \backslash \; over\; dt\}\; x\; (t)\; =\; \{я\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; [H,\; x\; (t)]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{m\}\}\}$,

$ddtp\; (t)\; =\; я\; \hslash \; [ЧАС,\; п\; (T)]\; =\; -\; м\; \omega \; 2\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{д\; \backslash \; над\; dt\}\; р\; (т)\; =\; \{я\; \backslash \; над\; \backslash \; hbar\}\; [Н,\; р\; (т)]\; =\; -\; м\; \backslash \; омега\; ^\; \{2\}\; x\}$.

Еще раз дифференцируя оба уравнения и решая их с соответствующими начальными условиями,

$p\; \dot{}\; (0)\; =\; -\; m\; \omega \; 2\; x\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; (\; 0)\; =\; -\; м\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; x\_\; \{0\},\}$

$x\; \dot{}\; (0)\; =\; p\; 0\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; (0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{\; 0\}\}\; \{m\}\},\}$

приводит к

$x\; (t)\; =\; x\; 0\; cos\; \; (\omega \; t)\; +\; p\; 0\; \omega \; m\; sin\; \; (\omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\; m\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; t)\}$,

$p\; (t)\; =\; p\; 0\; cos\; \; (\omega \; t)\; -\; м\; \omega \; Икс\; 0\; грех\; \; (\omega \; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; p\; (T)\; =\; p\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; t)\; -m\; \backslash \; omega\; \backslash !\; X\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; t)\}$.

Прямое вычисление дает более общие коммутаторные соотношения,

$[x\; (t\; 1),\; x\; (t\; 2)]\; =\; i\; \hslash \; m\; \omega \; sin\; \; (\omega \; t\; 2\; -\; \omega \; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\; (t\_\; \{1\}),\; x\; (t\_\; \{2\})]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; hbar\}\; \{m\; \backslash \; omega\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; t\_\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; t\_\; \{1\})\}$,

$[п\; (т\; 1),\; п\; (т\; 2)]\; =\; я\; \hslash \; м\; \omega \; грех\; \; (\omega \; т\; 2\; -\; \omega \; т\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; [п\; (т\_\; \{1\}),\; р\; (т\_\; \{2\}))]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; m\; \backslash \; omega\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; t\_\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; t\_\; \{1\})\}$,

$[x\; (t\; 1),\; p\; (t\; 2)]\; =\; i\; \hslash \; cos\; \; (\omega \; T\; 2\; -\; \omega \; T\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; [x\; (t\_\; \{1\}),\; p\; (t\_\; \{2\})]\; =\; я\; \backslash \; HBAR\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; t\_\; \{2\}\; -\; \backslash \; omega\; t\_\; \{1\})\}$.

Для $t\; 1\; =\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; t\_\; \{2\}\}$просто восстанавливаются стандартные канонические коммутационные отношения, действительные для всех изображений.

Для независимого от времени гамильтониана H S, где H 0, S - свободный гамильтониан,

Эволюция	Изображение
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кет-состояние	константа	$|\; \psi \; I\; (t)⟩\; =\; e\; i\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; S\; (t)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{I\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{S\}\; (t)\; \backslash \; rangle\}$	$|\; \psi \; S\; (t)⟩\; =\; e\; -\; i\; H\; S\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; S\; (0)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{S\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{S\}\; (0)\; \backslash \; rangle\}$
Наблюдаемое	$AH\; (t)\; =\; ei\; HS\; t\; /\; \hslash \; AS\; e\; -\; i\; HS\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{H\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; A\_\; \{\; S\}\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$	$AI\; (t)\; =\; ei\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; AS\; e\; -\; i\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{I\; \}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; A\_\; \{S\}\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$	константа
Матрица плотности	константа	$\rho \; I\; (t)\; =\; ei\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; \rho \; S\; (t)\; e\; -\; i\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{I\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; rho\; \_\; \{S\}\; (t)\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$	$\rho \; S\; (t)\; =\; e\; -\; я\; HS\; t\; /\; \hslash \; \rho \; S\; (0)\; ei\; HS\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{S\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; rho\; \_\; \{S\}\; (\; 0)\; e\; ^\; \{iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$

• Обозначение Бра-Кет
• Картина взаимодействия
• Картинка Шредингера
• Уравнения Гейзенберга – Ланжевена
• Фазовое пространство формулировка

1. ^«Представление Гейзенберга». Энциклопедия математики. Проверено 3 сентября 2013 г.

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый). Пэрис: Вайли. С. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Альберт Мессия, 1966. Квантовая механика (том I), английский перевод с французского, сделанный Дж. М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley Sons.
• Мерцбахер Э., Квантовая механика (3-е изд., John Wiley 1998) с. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Ландау, Э. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.Онлайн-копия
• R. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики, Plenum Press, ISBN 978-0306447907.
• J. Дж. Сакураи (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN 978-0201539295.

• Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку для перехода к гл. 2, чтобы найти подробное и упрощенное введение в фотографию Гейзенберга.