Классический предел

редактировать

Концепция современных физических теорий, что они должны при некоторых обстоятельствах приблизить предсказания классической физики

классический предел или предел соответствия - это способность физической теории приближать или «восстанавливать» классическая механика, если рассматривать ее сверх специальных значений ее параметров. Классический предел используется с физическими теориями, предсказывающими неклассическое поведение.

Содержание

1 Квантовая теория
2 Временная эволюция математических ожиданий
3 Относительность и другие деформации
4 См. Также
5 Ссылки

Квантовая теория

A эвристика постулат, называемый принципом соответствия, был введен в квантовую теорию Нильсом Бором : по сути, он утверждает, что какой-то аргумент непрерывности должен применяться к классическому пределу квантовые системы, поскольку значение постоянной Планка, нормированное действием этих систем, становится очень малым. Часто это достигается с помощью «квазиклассических» методов (см. приближение ВКБ ).

Более строго, математическая операция, связанная с классическими пределами, представляет собой групповое сжатие, приближающее физические системы, где соответствующие действие намного больше постоянной Планка ħ, поэтому «параметр деформации» ħ / S можно эффективно считать равным нулю (см. квантование Вейля.) Таким образом, обычно квантовые коммутаторы (эквивалентно Moyal скобки ) сводятся к скобкам Пуассона, в групповом сокращении.

В квантовой механике, из-за принципа неопределенности Гейзенберга, электрон никогда не может находиться в состоянии покоя; он всегда должен иметь ненулевую кинетическую энергию, что не встречается в классической механике. Например, если мы рассмотрим что-то очень большой по сравнению с электроном, как бейсбольный мяч, принцип неопределенности предсказывает, что он действительно не может иметь нулевую кинетическую энергию, но неопределенность кинетической энергии настолько велика. мала, что бейсбольный мяч может фактически казаться неподвижным и, следовательно, подчиняется классической механике. В общем, если большие энергии и большие объекты (относительно размера и уровней энергии электрона) рассматриваются в квантовой механике, результат будет подчиняться классической механике. Типичные числа заполнения огромны: макроскопический гармонический осциллятор с ω = 2 Гц, m = 10 g и максимальной амплитудой x0= 10 см имеет S ≈ E / ω ≈ mωx. 0/ 2 ≈ 10 кг · м / с = ħn, так что n 10. Далее см. когерентные состояния. Однако менее ясно, как классический предел применим к хаотическим системам, области, известной как квантовый хаос.

Квантовая механика и классическая механика обычно трактуются совершенно разными формализмами: квантовая теория, использующая гильбертово пространство, и классическая механика с использованием представления в фазовом пространстве. Их можно объединить в общую математическую структуру различными способами. В формулировке фазового пространства квантовой механики, которая является статистической по своей природе, устанавливаются логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет проводить естественные сравнения между ними, включая нарушения теоремы Лиувилля (гамильтониан) при квантовании.

В важной статье (1933) Дирак объяснил, как классическая механика является возникающим явлением квантовой механики: деструктивным интерференция между путями с не- экстремальными макроскопическими воздействиями S »ħ стирает амплитудные вклады в введенный им интеграл по путям, оставляя экстремальное действие S классом, таким образом, классический путь действия как доминирующий вклад, наблюдение, далее развитое Фейнманом в его докторской диссертации 1942 года. (См. Также квантовая декогеренция.)

Временная эволюция ожидаемых значений

Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой механикой - это рассмотреть временную эволюцию ожидаемых значений. положение и ожидаемый импульс, которые затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. Значения квантового ожидания удовлетворяют теореме Эренфеста. Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале $V {\ displaystyle V}$ $V$ , теорема Эренфеста гласит:

m d d t ⟨x⟩ = ⟨p⟩; d d t ⟨p⟩ = - ⟨V ′ (X)⟩. {\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle; \ quad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = - \ left \ langle V '(X) \ right \ rangle.}

m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle.

Хотя первое из этих уравнений согласуется с классической механикой, второе - нет: если пара $(⟨X⟩, ⟨P⟩) {\ displaystyle ( \ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$ ${\ displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$ , чтобы удовлетворить второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения имела бы вид

ddt ⟨p⟩ = - V ′ ( ⟨Икс⟩) {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = -V '\ left (\ left \ langle X \ right \ rangle \ right)}

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)

Но в большинстве случаев

⟨В '(Икс)⟩ ≠ В' (⟨Икс⟩) {\ Displaystyle \ left \ langle V '(X) \ right \ rangle \ neq V' (\ left \ langle X \ right \ rangle)}

\left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle)

Если, например, потенциал $V {\ displaystyle V}$ $V$ является кубическим, то $V ′ {\ displaystyle V '}$ $V'$ является квадратичным, в котором В этом случае мы говорим о различии между $⟨X 2⟩ {\ displaystyle \ langle X ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle X ^ {2} \ rangle}$ и $⟨X⟩ 2 {\ Display tyle \ langle X \ rangle ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ langle X \ rangle ^ {2}}$ , которые отличаются на $(Δ X) 2 {\ displaystyle (\ Delta X) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (\ Delta X) ^ {2}}$ .

Исключение возникает в случае когда классические уравнения движения линейны, то есть когда $V {\ displaystyle V}$ $V$ квадратично, а $V '{\ displaystyle V'}$ $V'$ линейно. В этом особом случае $V ′ (⟨X⟩) {\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle X \ right \ rangle \ right)}$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ и $⟨V ′ ( X)⟩ {\ displaystyle \ left \ langle V '(X) \ right \ rangle}$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ согласен. В частности, для свободной частицы или квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно соответствуют решениям уравнений Ньютона.

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, - это то, что ожидаемые положение и импульс будут приблизительно соответствовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_{0}$ , то $V '(⟨X⟩) {\ displaystyle V' \ left (\ left \ langle X \ right \ rangle \ right)}$ $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ и $⟨V '(X)⟩ {\ displaystyle \ left \ langle V' (X) \ right \ rangle}$ $\left\langle V'(X)\right\rangle$ будет почти таким же, поскольку оба будут примерно равны $V '(x 0) {\ displaystyle V' (x_ {0})}$ $V'(x_{0})$ . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной в положении.

Теперь, если начальное состояние очень локализовано в положение, он будет сильно разнесен по импульсу, и поэтому мы ожидаем, что волновая функция будет быстро распространяться, и связь с классическими траекториями будет потеряна. Однако, когда постоянная Планка мала, возможно состояние, которое хорошо локализовано как по положению, так и по импульсу. Небольшая неопределенность в импульсе гарантирует, что частица остается хорошо локализованной в своем положении в течение долгого времени, так что ожидаемое положение и импульс продолжают точно отслеживать классические траектории в течение длительного времени.

Относительность и другие деформации

Другие известные деформации в физике включают:

Деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую (специальную теорию относительности ) с параметром деформации v / c; классический предел предполагает малые скорости, поэтому v / c → 0, и системы, кажется, подчиняются ньютоновской механике.
Аналогично для деформации ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации Шварцшильда. -радиус / характеристическое-измерение, мы обнаруживаем, что объекты снова подчиняются классической механике (плоское пространство), когда масса объекта, умноженная на квадрат планковской длины, намного меньше его размера и размеры решаемой проблемы. См. Ньютоновский предел.
Волновая оптика также может рассматриваться как деформация лучевой оптики для параметра деформации λ / a.
Аналогично, термодинамика деформирует в статистическую механику с параметром деформации 1 / N.

См. также

Ссылки

^Бом, Д. (1989). Квантовая теория. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
^Ландау, Л. Д. ; Лифшиц, Э.М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
^Хепп, К. (1974). «Классический предел для квантово-механических корреляционных функций». Связь по математической физике. 35(4): 265–277. Bibcode : 1974CMaPh..35..265H. doi : 10.1007 / BF01646348.
^Curtright, T. L.; Захос, К. К. (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве».. 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269. doi : 10.1142 / S2251158X12000069.
^Bracken, A.; Вуд, Дж. (2006). «Полуквадратная против полуклассической механики для простых нелинейных систем». Physical Review A. 73: 012104. arXiv : Quant-ph / 0511227. Bibcode : 2006PhRvA..73a2104B. doi : 10.1103 / PhysRevA.73.012104.
^И наоборот, в менее известном подходе , представленном в 1932 году Купманом и фон Нейманом, динамика классической механики была сформулирована в терминах операционного формализма в гильбертовом пространстве, формализма, традиционно используемого в квантовой механике.
- Купман, Б.О. ; фон Нейман, J. (1932). «Динамические системы непрерывного спектра». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 18(3): 255–263. Bibcode : 1932PNAS... 18..255K. doi : 10.1073 / pnas.18.3.255. PMC 1076203. PMID 16587673.
- Мауро, Д. (2003). «Вопросы теории Купмана-фон Неймана». arXiv : Quant-ph / 0301172.
- Bracken, A.J. (2003). «Квантовая механика как приближение к классической механике в гильбертовом пространстве». Физический журнал A. 36(23): L329 – L335. arXiv : Quant-ph / 0210164. doi : 10.1088 / 0305-4470 / 36/23/101.
^Дирак, П.А.М. (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF).. 3 : 64–72.
^Фейнман, Р. П. (1942). Принцип наименьшего действия в квантовой механике (докторская диссертация). Принстонский университет.
Воспроизведено в Feynman, R.P. (2005). Браун, Л. М. (ред.). Диссертация Фейнмана: новый подход к квантовой теории. World Scientific. ISBN 978-981-256-380-4.
^Зал 2013 Раздел 3.7.5
^Зал 2013 стр. 78

Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer, ISBN 978-1461471158