Планковская длина

редактировать

Очень маленькая единица длины

Планковская длина
Система единиц	Планковская единица
Единица	длина
Символ	`ℓ`P
Преобразование
1 `ℓ`Pв...	... равно...

единиц СИ	1,616255 (18) × 10 м
натуральные единицы	11,706 `ℓ`S. 3,0542 × 10a0
имперские /US единицы	6,3631 × 10 in

В физике планковская длина, обозначенный ℓP, представляет собой единицу длины, которая представляет собой расстояние, которое свет проходит в идеальном вакууме за одну единицу планковского времени. Это также приведенная длина волны Комптона частицы с массой Планка. Он равен 1,616255 (18) × 10 м. Это базовая единица в системе единиц Планка, разработанная физиком Максом Планком. Длина Планка может быть определена из трех фундаментальных физических констант : скорости света в вакууме, постоянной Планка и гравитационная постоянная. Это наименьшее расстояние, о котором современные экспериментально подтвержденные модели физики могут сделать значимые утверждения. На таких малых расстояниях обычные законы макрофизики больше не действуют, и даже релятивистская физика требует особого рассмотрения. Вопреки распространенному мнению, планковская длина не может быть самой короткой единицей длины в Пространстве-времени.

Содержание

1 Значение
2 История
3 Визуализация
4 Теоретическая значимость
5 Планк длина и евклидова геометрия
6 См. также
7 Ссылки
- 7.1 Цитирование
- 7.2 Библиография
8 Внешние ссылки

Значение

Планковская длина ℓPопределяется как :

ℓ P = ℏ G c 3 {\ displaystyle \ ell _ {\ mathrm {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}}}

{\ displaystyle \ ell _ {\ mathrm {P}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}}}

Решение выше будет показано приблизительное эквивалентное значение этой единицы по отношению к метру:

1 ℓ P ≈ 1,616 255 (18) × 10 - 35 м {\ displaystyle 1 \ \ ell _ {\ mathrm {P}} \ приблизительно 1,616 \; 255 (18) \ times 10 ^ {- 35} \ \ mathrm {m}}

{\ displaystyle 1 \ \ ell _ {\ mathrm {P}} \ приблизительно 1,616 \; 255 (18) \ times 10 ^ {- 35} \ \ mathrm {m}}

где $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света в вакууме, G - это гравитационная постоянная, а ħ - приведенная постоянная Планка. Две цифры, заключенные в круглые скобки, представляют собой оценочную стандартную ошибку, связанную с сообщенным числовым значением.

Планковская длина примерно в 10 раз больше диаметра протон. Его можно определить, используя радиус гипотетической частицы Планка.

История

В 1899 году Макс Планк предположил, что существуют некоторые фундаментальные естественные единицы для длины, массы, времени. и энергия. Он получил их с помощью анализа размеров, используя только гравитационную постоянную Ньютона, скорость света и «единицу действия», которая позже стала постоянной Планка. Полученные им природные единицы стали известны как «Планковская длина», «Планковская масса», «Планковское время» и «Планковская энергия».

Визуализация

Размер планковской длины может быть визуализирован следующим образом: если частица или точка размером около 0,1 мм (диаметр человеческой яйцеклетки, равный или близкий к наименьшему). невооруженный глаз может видеть) были увеличены до размеров наблюдаемой вселенной, то внутри этой «точки» размером со вселенную планковская длина будет примерно равна размеру реальной точки 0,1 мм. В качестве альтернативы: между Планковской длиной (1,616e-35 м) и диаметром наблюдаемой Вселенной (1e27 м) существует примерно 62 порядка величины. Прямо посередине, на 31 порядок величины (десять миллионов триллионов триллионов) с обоих концов, находится человеческая яйцеклетка (диаметр 100 микрометров, или 1e-4 м).

Теоретическая значимость

Планковская длина - это масштаб, на котором, как полагают, квантово-гравитационные эффекты начинают проявляться, когда взаимодействия требуют работающей теории квантовой гравитация, которую необходимо проанализировать. Эта шкала известна как квантовая пена. Планковская область - это область, на которую увеличивается поверхность сферической черной дыры, когда черная дыра поглощает один бит информации . Чтобы измерить что-либо размером с планковскую длину, импульс фотона должен быть очень большим из-за принципа неопределенности Гейзенберга, и такая большая энергия в таком маленьком пространстве создаст крошечную черную дыру с диаметром горизонта событий, равным планковской длине. Планковская длина может представлять собой диаметр минимально возможной черной дыры.

Основную роль в квантовой гравитации будет играть принцип неопределенности $Δ rs Δ r ≥ ℓ P 2 {\ displaystyle \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$ , где $rs {\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ - гравитационный радиус, $r {\ displaystyle r}$ $r$ - радиальная координата, $ℓ P {\ displaystyle \ ell _ { P}}$ $\ ell _ {P}$ - длина Планка. Этот принцип неопределенности является другой формой принципа неопределенности Гейзенберга между импульсом и координатой применительно к шкале Планка. Действительно, это соотношение можно записать следующим образом: $Δ (2 г м / c 2) Δ р ≥ G G / c 3 {\ displaystyle \ Delta (2Gm / c ^ {2}) \ Delta r \ geq G \ hbar / c ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ Delta (2Gm / c ^ {2}) \ Delta r \ geq G \ hbar / c ^ {3}}$ , где $G {\ displaystyle G}$ $G$ - гравитационная постоянная, $m {\ displaystyle m}$ $m$ - масса тела, $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света, $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ - приведенная постоянная Планка. Сокращая одинаковые константы с двух сторон, получаем принцип неопределенности Гейзенберга. Принцип неопределенности $Δ rs Δ r ≥ ℓ P 2 {\ displaystyle \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$ предсказывает появление виртуальные черные дыры и червоточины (квантовая пена ) по планковской шкале.

Доказательство: уравнение для инвариантного интервала $d S {\ displaystyle dS}$ $dS$ в решении Шварцшильда имеет вид

d S 2 = (1 - rsr) c 2 dt 2 - dr 2 1 - rs / r - r 2 (d Ω 2 + грех 2 ⁡ Ω d φ 2) {\ displaystyle dS ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1- {r_ {s}} / {r}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

{\ displaystyle dS ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} d t ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1- {r_ {s}} / {r}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ { 2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

Заменить в соответствии с соотношением неопределенностей $rs ≈ ℓ P 2 / r {\ displaystyle r_ {s} \ приблизительно \ ell _ {P } ^ {2} / r}$ $r_ {s} \ приблизительно \ ell _ {P} ^ {2} / r$ . Получаем

d S 2 ≈ (1 - ℓ P 2 r 2) c 2 dt 2 - dr 2 1 - ℓ P 2 / r 2 - r 2 (d Ω 2 + sin 2 ⁡ Ω d φ 2) { \ displaystyle dS ^ {2} \ приблизительно \ left (1 - {\ frac {\ ell _ {P} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ ell _ {P} ^ {2}} / {r ^ {2}}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

{\ displaystyle dS ^ {2} \ приблизительно \ left (1 - {\ frac {\ ell _ {P} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ ell _ {P} ^ {2}} / {r ^ {2 }}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}

Видно, что в масштабе Планка $r = ℓ P {\ displaystyle r = \ ell _ {P}}$ $r = \ ell _ {P}$ метрика пространства-времени ограничена снизу длиной Планка (появляется деление на ноль), и на этой шкале присутствуют реальные и виртуальные черные дыры.

Метрика пространства-времени $g 00 = 1 - Δ g ≈ 1 - ℓ п 2 / (Δ r) 2 {\ displaystyle g_ {00} = 1- \ Delta g \ приблизительно 1- \ ell _ {P} ^ {2} / (\ Delta r) ^ {2} }$ ${\ displaystyle g_ {00} = 1- \ Delta g \ приблизительно 1- \ ell _ {P} ^ {2} / ( \ Delta r) ^ {2}}$ колеблется и образует квантовую пену. Эти колебания $Δ g ∼ ℓ P 2 / (Δ r) 2 {\ displaystyle \ Delta g \ sim \ ell _ {P} ^ {2} / (\ Delta r) ^ {2 }}$ ${\ displaystyle \ Delta g \ sim \ ell _ {P} ^ {2} / (\ Delta r) ^ {2}}$ в макромире и в мире атомов очень малы по сравнению с $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ и становятся заметными только в масштабах Планка. Лоренц-инвариантность нарушена в масштабе Планка. Формула колебаний гравитационного потенциала $Δ g ∼ ℓ P 2 / (Δ r) 2 {\ displaystyle \ Delta g \ sim \ ell _ {P} ^ {2} / (\ Delta r) ^ { 2}}$ ${\ displaystyle \ Delta g \ sim \ ell _ {P} ^ {2} / (\ Delta r) ^ {2}}$ соглашается с соотношением неопределенностей Бора - Розенфельда $Δ g (Δ r) 2 ≥ 2 ℓ P 2 {\ displaystyle \ Delta g \, (\ Delta r) ^ {2} \ geq 2 \ ell _ {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta g \, (\ Delta r) ^ {2} \ geq 2 \ ell _ {P} ^ {2}}$ . Квантовые флуктуации в геометрии накладываются на крупномасштабную медленно меняющуюся кривизну, предсказываемую классической детерминированной общей теорией относительности. Классическая кривизна и квантовые флуктуации сосуществуют друг с другом.

Любая попытка исследовать возможное существование более коротких расстояний путем столкновений с более высокими энергиями неизбежно приведет к образованию черной дыры. Столкновения более высоких энергий, вместо того, чтобы разделять материю на более мелкие части, просто породили бы большие черные дыры. Уменьшение $Δ r {\ displaystyle \ Delta r}$ $\ Delta r$ приведет к увеличению $Δ rs {\ displaystyle \ Delta r_ {s}}$ ${\ displaystyle \ Delta r_ {s}}$ и наоборот. наоборот. Последующее увеличение энергии приведет к появлению более крупных черных дыр с худшим, а не лучшим разрешением. Таким образом, планковская длина - это минимальное расстояние, которое можно исследовать.

Планковская длина относится к внутренней архитектуре частиц и объектов. Многие другие величины, имеющие единицы длины, могут быть намного короче планковской длины. Например, длина волны фотона может быть произвольно короткой: любой фотон может быть усилен, как гарантирует специальная теория относительности, так что его длина волны станет еще короче.

Планковская длина иногда ошибочно принимается за минимальную длину пространства-времени, но это не принято традиционной физикой, так как это потребовало бы нарушения или модификации симметрии Лоренца. Однако некоторые теории петлевой квантовой гравитации действительно пытаются установить минимальную длину в масштабе длины Планка, хотя и не обязательно самой длины Планка, или пытаются установить длину Планка как инвариантную для наблюдателя, известную как как двойная специальная теория относительности.

Струны теории струн моделируются так, чтобы иметь порядок длины Планка. В теориях больших дополнительных измерений длина Планка не имеет фундаментального физического значения, и квантовые гравитационные эффекты проявляются в других масштабах.

Планковская длина и евклидова геометрия

Планк длина - длина, на которой квантовые нулевые колебания гравитационного поля полностью искажают евклидову геометрию. Гравитационное поле совершает нулевые колебания, и связанная с ним геометрия также колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения. Чем меньше масштаб, тем больше отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совершенно непохожей на геометрию Евклида. Степень отклонения $ζ {\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ геометрии от евклидовой геометрии в гравитационном поле определяется соотношением гравитационного потенциала $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ и квадрат скорости света $c {\ displaystyle c}$ $c$ : $ζ = φ / c 2 {\ displaystyle \ zeta = \ varphi / c ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ zeta = \ varphi / c ^ {2}}$ . Когда $ζ ≪ 1 {\ displaystyle \ zeta \ ll 1}$ ${\ displaystyle \ zeta \ ll 1}$ , геометрия близка к геометрии Евклида; для $ζ ∼ 1 {\ displaystyle \ zeta \ sim 1}$ ${\ displaystyle \ zeta \ sim 1}$ все сходства исчезают. Энергия колебания шкалы $l {\ displaystyle l}$ $l$ равна $E = ℏ ν ∼ ℏ c / l {\ displaystyle E = \ hbar \ nu \ sim \ hbar c / l}$ ${\ displaystyle E = \ hbar \ nu \ sim \ hbar c / l}$ (где $c / l {\ displaystyle c / l}$ ${\ displaystyle c / l}$ - порядок частоты колебаний). гравитационный потенциал, создаваемый массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ , на этой длине $φ = G m / l {\ displaystyle \ varphi = Gm / l}$ ${\ displaystyle \ varphi = Gm / l}$ , где $G {\ displaystyle G}$ $G$ - постоянная всемирной гравитации. Вместо $m {\ displaystyle m}$ $m$ мы должны подставить массу, которая, согласно формуле Эйнштейна, соответствует энергии $E {\ displaystyle E}$ $E$ (где $m = E / c 2 {\ displaystyle m = E / c ^ {2}}$ $m = E / c ^ {2}$ ). Получаем $φ = GE / lc 2 = G ℏ / l 2 c {\ displaystyle \ varphi = GE / l \, c ^ {2} = G \ hbar / l ^ {2} c}$ ${\ displaystyle \ varphi = GE / l \, c ^ {2 } = G \ hbar / l ^ {2} c}$ . Разделив это выражение на $c 2 {\ displaystyle c ^ {2}}$ $c ^ {2}$ , мы получим значение отклонения $ζ = G ℏ / c 3 l 2 = ℓ P 2 / l 2 {\ displaystyle \ zeta = G \ hbar / c ^ {3} l ^ {2} = \ ell _ {P} ^ {2} / l ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ zeta = G \ hbar / c ^ {3} l ^ {2} = \ ell _ {P} ^ {2} / l ^ {2}}$ . Приравнивая $ζ = 1 {\ displaystyle \ zeta = 1}$ $\ zeta = 1$ , мы находим длину, при которой евклидова геометрия полностью искажается. Она равна планковской длине $ℓ P = G ℏ / c 3 ≈ 10 - 35 м {\ textstyle \ ell _ {P} = {\ sqrt {G \ hbar / c ^ {3}}} \ приблизительно 10 ^ {- 35} \ mathrm {m}}$ ${\ textstyle \ ell _ {P} = {\ sqrt {G \ hbar / c ^ {3}}} \ приблизительно 10 ^ {- 35} \ mathrm {m}}$ .

Как отмечалось в Редже (1958) «для области пространства-времени с размерами $l {\ displaystyle l}$ $l$ неопределенность символы Кристоффеля $Δ Γ {\ displaystyle \ Delta \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Delta \ Gamma}$ иметь порядок $ℓ P 2 / l 3 {\ displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} / l ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} / l ^ {3}}$ , а неопределенность метрического тензора $Δ g {\ displaystyle \ Delta g}$ $\ Delta g$ составляет порядок $ℓ P 2 / l 2 {\ displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} / l ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} / l ^ {2}}$ . Если $l {\ displaystyle l}$ $l$ - макроскопическая длина, квантовые ограничения фантастически малы, и ими можно пренебречь даже в атомных масштабах. Если значение $l {\ displaystyle l}$ $l$ сравнимо с $ℓ P {\ displaystyle \ ell _ {P}}$ $\ ell _ {P}$ , тогда сохранение прежнего (обычного) представления о пространстве становится все более и более трудным, и влияние микрокривизны становится очевидно ". Предположительно, это может означать, что пространство-время становится квантовой пеной в масштабе Планка.

См. Также

Физический портал

Ссылки

Цитаты

Библиография

Внешние ссылки

Боули, Роджер; Карнизы, Лоуренс (2010). «Планковская длина». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемского университета.