Бесплатная частица

В физике, А свободная частица является частицей, что, в некотором смысле, не связан под действием внешней силы, или, что эквивалентно, не в области, где его потенциальная энергия изменяется. В классической физике это означает, что частица находится в "свободном от поля" пространстве. В квантовой механике это означает, что частица находится в области однородного потенциала, обычно равного нулю в интересующей области, поскольку потенциал может быть произвольно установлен на ноль в любой точке пространства.

• 1 Классическая свободная частица
• 2 Квантовая свободная частица
  • 2.1 Математическое описание
  • 2.2 Измерение и расчеты
  • 2.3 Разложение Фурье
  • 2.4 Групповая скорость и фазовая скорость
  • 2.5 Распространение волнового пакета
• 3 Релятивистская квантовая свободная частица
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Дальнейшее чтение

Классическая свободная частица характеризуется фиксированной скоростью v. Импульс задается

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = м \ mathbf {v}}$

а кинетическая энергия (равная полной энергии) на

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

где m - масса частицы, а v - векторная скорость частицы.

Распространение волн де Бройля в 1d - действительная часть комплексной амплитуды синего цвета, мнимая часть - зеленого цвета. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета) нахождения частицы в заданной точке x распределяется как форма волны, нет определенного положения частицы. По мере увеличения амплитуды выше нуля кривизна уменьшается, поэтому снова уменьшается, и наоборот - в результате возникает переменная амплитуда: волна. Вверху: Плоская волна. Внизу: волновой пакет.

Математическое описание

Основные статьи: уравнение Шредингера и волна материи

Свободная частица с массой в нерелятивистской квантовой механике описывается свободным уравнением Шредингера : ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ \ psi (\ mathbf {r}, t) = я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ частичное t}} \ psi (\ mathbf {r}, t)}$

где ψ - волновая функция частицы в положении r и времени t. Решение для частицы с импульсом p или волновым вектором k на угловой частоте ω или энергии E дается комплексной плоской волной :

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = Ae ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} = Ae ^ {i (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) / \ hbar}}$

с амплитудой A и ограничивается:

а) если частица имеет массу: (или эквивалент). ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ hbar k ^ {2}} {2m}}}$${\ displaystyle E = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

б) если частица является безмассовой частицей:. ${\ displaystyle \ omega = kc}$

Спектр собственных значений бесконечно вырожден, поскольку каждому собственному значению Egt; 0 соответствует бесконечное число собственных функций, соответствующих различным направлениям. ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Отношения Де Бройля : применяются. Поскольку потенциальная энергия (заявлена ​​равной) нулю, полная энергия E равна кинетической энергии, которая имеет ту же форму, что и в классической физике: ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}, \ quad E = \ hbar \ omega}$

${\ displaystyle E = T \, \ rightarrow \, {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} = \ hbar \ omega}$

Что касается всех свободных или связанных квантовых частиц, применяются принципы неопределенности Гейзенберга. Понятно, что, поскольку плоская волна имеет определенный импульс (определенную энергию), вероятность определения местоположения частицы одинакова и ничтожна во всем пространстве. Другими словами, волновая функция не нормируема в евклидовом пространстве, эти стационарные состояния не могут соответствовать физически реализуемым состояниям. ${\ displaystyle \ Delta p_ {x} \ Delta x \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}$

Измерения и расчеты

Интеграл от функции плотности вероятности

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ psi (\ mathbf {r}, t) = | \ psi (\ mathbf {r }, t) | ^ {2}}$

где * обозначает комплексное сопряжение, по всему пространству - это вероятность найти частицу во всем пространстве, которая должна быть равна единице, если частица существует:

${\ displaystyle \ int _ {\ mathrm {all \, space}} | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} d ^ {3} \ mathbf {r} = 1}$

Это условие нормировки волновой функции. Волновая функция не нормализуется для плоской волны, но предназначена для волнового пакета.

Увеличивается количество локализации волнового пакета, что означает, что частица становится более локализованной. В пределе ħ → 0 положение и импульс частицы становятся известными точно. Интерпретация волновой функции одной частицы со спином 0 в одном измерении. Показанные волновые функции являются непрерывными, конечными, однозначными и нормализованными. Непрозрачность цвета (%) частиц соответствует плотности вероятности (которая может измеряться в%) нахождения частицы в точках на оси x.

Разложение Фурье

Волновая функция свободной частицы может быть представлена ​​суперпозицией собственных функций импульса с коэффициентами, заданными преобразованием Фурье исходной волновой функции:

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {({\ sqrt {2 \ pi}}) ^ {3}}} \ int _ {\ mathrm {all \, { \ textbf {k}} \, space}} {\ hat {\ psi}} _ {0} (\ mathbf {k}) e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} d ^ {3} \ mathbf {k}}$

где интеграл ведется по всему k -пространству и (чтобы волновой пакет был решением уравнения Шредингера для свободной частицы). Вот значение волновой функции в момент времени 0 и преобразование Фурье. (Преобразование Фурье - это, по сути, волновая функция импульса волновой функции положения, но записанная как функция, а не.) ${\ displaystyle \ omega = \ omega (\ mathbf {k}) = {\ гидроразрыва {\ hbar \ mathbf {k} ^ {2}} {2m}}}$${\ displaystyle \ psi _ {0}}$${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {0}}$${\ displaystyle \ psi _ {0}}$${\ Displaystyle {\ шляпа {\ psi}} _ {0} (\ mathbf {k})}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}}$

Среднее значение импульса p для комплексной плоской волны равно

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left | -i \ hbar \ nabla \ right | \ psi \ right \ rangle = \ hbar \ mathbf {k}}$,

а для общего волнового пакета -

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ int _ {\ mathrm {all \, space}} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) (- я \ hbar \ nabla) \ psi (\ mathbf {r}, t) d ^ {3} \ mathbf {r} = \ int _ {\ mathrm {all \, {\ textbf {k}} \, space}} \ hbar \ mathbf {k} | {\ hat {\ psi}} _ {0} (\ mathbf {k}) | ^ {2} d ^ {3} \ mathbf {k}}$.

Ожидаемое значение энергии E равно

${\ displaystyle \ langle E \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left | - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ int _ {\ mathrm {all \, space}} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}, t) d ^ {3} \ mathbf {r}}$.

Групповая скорость и фазовая скорость

Распространение волнового пакета с движением одиночного пика, заштрихованного фиолетовым. Пики движутся с фазовой скоростью, а весь пакет движется с групповой скоростью.

Фазовая скорость определяется как скорость, при которой плоская волна распространяется решение, а именно

${\ displaystyle v_ {p} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ frac {\ hbar k} {2m}} = {\ frac {p} {2m}}}$.

Обратите внимание, что это не скорость классической частицы с импульсом ; скорее, это половина классической скорости. ${\ displaystyle {\ frac {p} {2m}}}$${\ displaystyle p}$

Между тем предположим, что исходная волновая функция - это волновой пакет, преобразование Фурье которого сосредоточено около определенного волнового вектора. Тогда групповая скорость плоской волны определяется как ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle v_ {g} = \ nabla \ omega (\ mathbf {k}) = {\ frac {\ hbar \ mathbf {k}} {m}} = {\ frac {\ mathbf {p}} {m} }}$,

что согласуется с формулой для классической скорости частицы. Групповая скорость - это (приблизительная) скорость, с которой распространяется весь волновой пакет, а фазовая скорость - это скорость, с которой перемещаются отдельные пики в волновом пакете. Рисунок иллюстрирует это явление, когда отдельные пики внутри волнового пакета распространяются со скоростью, вдвое меньшей скорости всего пакета.

Распространение волнового пакета

Понятие групповой скорости основано на линейной аппроксимации дисперсионного соотношения вблизи определенного значения. В этом приближении амплитуда волнового пакета движется со скоростью, равной групповой скорости, не меняя формы. Этот результат представляет собой приближение, которое не может уловить некоторые интересные аспекты эволюции свободной квантовой частицы. Примечательно, что ширина волнового пакета, измеренная по неопределенности положения, линейно растет во времени в течение больших времен. Это явление называется разбросом волнового пакета для свободной частицы. ${\ Displaystyle \ омега (к)}$${\ displaystyle k}$

В частности, нетрудно вычислить точную формулу для неопределенности как функции времени, где - оператор положения. Работая в одном пространственном измерении для простоты, мы имеем: ${\ displaystyle \ Delta _ {\ psi (t)} X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle (\ Delta _ {\ psi (t)} X) ^ {2} = {\ frac {t ^ {2}} {m ^ {2}}} (\ Delta _ {\ psi _ {0} } P) ^ {2} + {\ frac {2t} {m}} \ left (\ left \ langle {\ frac {XP + PX} {2}} \ right \ rangle _ {\ psi _ {0}} - \ left \ langle X \ right \ rangle _ {\ psi _ {0}} \ left \ langle P \ right \ rangle _ {\ psi _ {0}} \ right) + (\ Delta _ {\ psi _ { 0}} X) ^ {2}}$,

где - волновая функция нулевого времени. Выражение в скобках во втором слагаемом справа - это квантовая ковариация и. ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$

Таким образом, при больших положительных временах неопределенность в линейно растет с коэффициентом, равным. Если импульс начальной волновой функции сильно локализован, волновой пакет будет медленно распространяться, и приближение групповой скорости будет оставаться хорошим в течение длительного времени. Интуитивно этот результат говорит о том, что если исходная волновая функция имеет очень четко определенный импульс, то частица имеет четко определенную скорость и будет (в хорошем приближении) распространяться с этой скоростью в течение длительного времени. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle (\ Delta _ {\ psi _ {0}} P) / м}$${\ displaystyle \ psi _ {0}}$

Основная статья: Квантовая теория поля

Существует ряд уравнений, описывающих релятивистские частицы: см. Релятивистские волновые уравнения.

• Волновой пакет
• Групповая скорость
• Частица в коробке
• Конечная квадратная скважина
• Дельта-потенциал

• Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN   978-0-13-146100-0
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley amp; Sons, 1985, ISBN   978-0-471-87373-0
• Стационарные состояния, A. Holden, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN   0-19-851121-3
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer, ISBN   978-1461471158
• Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN   0-07-145546 9
• Элементарная квантовая механика, NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor amp; Francis Group), 1972, ISBN   0-85109-270-5
• Квантовая механика, Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN   007-0540187

Конкретный

1. ^ «Лекция 9» (PDF).
2. ^ Зал 2013 Раздел 4.1
3. ^ Зал 2013 Разделы 4.3 и 4.4
4. ^ Холл 2013 Уравнение 4.24
5. ^ Hall 2013 Предложение 4,10

• Новая квантовая вселенная, Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN   978-0-521-56457-1.
• Квантовая теория поля, Д. МакМэхон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN   978-0-07-154382-8
• Квантовая механика, Э. Заарур, Я. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN   978-007-145533-6