Изображение Шредингера

В физике изображение Шредингера (также называемое представлением Шредингера ) - это формулировка квантовой механики, в которой векторы состояния развиваются во времени, но операторы (наблюдаемые и другие) постоянны относительно времени. Это отличается от картинки Гейзенберга, которая сохраняет состояния постоянными, пока наблюдаемые развиваются во времени, и от картины взаимодействия, в которой и состояния, и наблюдаемые развиваются во времени. Изображения Шредингера и Гейзенберга связаны как активные и пассивные преобразования, а коммутационные отношения между операторами сохраняются в переходе между двумя изображениями.

На изображении Шредингер состояние системы меняется со временем. Эволюция замкнутой квантовой системы осуществляется с помощью унитарного оператора, оператора временной эволюции. Для временной эволюции от вектора состояния $|\; \psi \; (t\; 0)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle\}$в момент времени t 0 в вектор состояния $|\; \psi \; (t)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\}$в момент времени t оператор временной эволюции обычно записывается как $U\; (t,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\; t,\; t\_\; \{0\})\}$, а у одного

$|\; \psi \; (t)⟩\; =\; U\; (t,\; t\; 0)\; |\; \psi \; (t\; 0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; U\; (t,\; t\_\; \{0\})\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle.\}$

В случае, когда гамильтониан система не меняется со временем, оператор временной эволюции имеет вид

$U\; (t,\; t\; 0)\; =\; e\; -\; i\; H\; (t\; -\; t\; 0)\; /\; \hslash ,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (t,\; t\_\; \{0\; \})\; =\; e\; ^\; \{-\; iH\; (t-t\_\; \{0\})\; /\; \backslash \; hbar\},\}$

где показатель степени оценивается через его ряд Тейлора.

Картинка Шредингера полезна при работе со временем -независимый гамильтониан H; то есть $\partial \; T\; H\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; H\; =\; 0\}$.

• 1 Фон
• 2 Оператор временной эволюции
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Свойства
  • 2.3 Дифференциальное уравнение для оператора временной эволюции
• 3 Сводное сравнение эволюции на всех изображениях
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Элементарно В квантовой механике состояние квантово-механической системы представлено комплексной волновой функцией ψ (x, t). Более абстрактно состояние может быть представлено как вектор состояния или ket, $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$. Этот кет является элементом гильбертова пространства, векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантово-механический оператор - это функция, которая принимает кет $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$и возвращает другой кет $|\; \psi \; \prime ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \text{'}\backslash \; rangle\}$.

Различия между картинами Шредингера и Гейзенберга квантовой механики вращаются вокруг того, как поступать с системами, которые развиваются во времени: необходимо учитывать, что природа системы зависит от времени некоторой комбинацией векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$, для которого математическое ожидание импульса, $⟨\psi \; |\; p\; ^\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; |\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$, синусоидально колеблется во времени. Тогда можно спросить, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$, оператор импульса $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\}$или оба сразу. Все три варианта действительны; первая дает картину Шредингера, вторая - картину Гейзенберга, а третья - картину взаимодействия.

Определение

Оператор временной эволюции U (t, t 0) определяется как оператор, который действует на ket в момент времени t 0, чтобы произвести ket в другое время t:

$|\; \psi \; (t)⟩\; =\; U\; (t,\; t\; 0)\; |\; \psi \; (t\; 0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; U\; (t,\; t\_\; \{0\})\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle.\}$

Для бюстгальтеров вместо этого используется

$⟨\psi \; (t)\; |\; =\; ⟨\Psi \; (t\; 0)\; |\; U\; †\; (t,\; t\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (t)\; |\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; |\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t,\; t\_\; \{0\}).\}$

Свойства

• Unitarity

Оператор эволюции во времени должен быть унитарным. Это потому, что мы требуем, чтобы норма состояния Кет не изменялась со временем. То есть

$⟨\psi \; (t)\; |\; \psi \; (t)⟩\; =\; ⟨\psi \; (t\; 0)\; |\; U\; †\; (t,\; t\; 0)\; U\; (t,\; t\; 0)\; |\; \psi \; (t\; 0)⟩\; =\; ⟨\psi \; (t\; 0)\; |\; \psi \; (t\; 0)⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (t)\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; |\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t,\; t\_\; \{0\})\; U\; (t,\; t\_\; \{\; 0\})\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle.\}$

Следовательно,

$U\; †\; (t,\; t\; 0)\; U\; (t,\; t\; 0)\; =\; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t,\; t\_\; \{0\})\; U\; (t,\; t\_\; \{0\})\; =\; I.\}$

• Идентичность

Когда t = t 0, U является оператором идентичности, поскольку

$|\; \psi \; (t\; 0)⟩\; =\; U\; (t\; 0,\; t\; 0)\; |\; \psi \; (t\; 0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle\; =\; U\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{0\})\; |\; \backslash \; psi\; (t\_\; \{0\})\; \backslash \; rangle.\}$

• Закрытие

Развитие во времени от t 0 до t можно рассматривать как двухэтапную временную эволюцию, сначала от t 0 до промежуточного времени t 1, а затем от t 1 до последнего времени t. Следовательно,

$U\; (t,\; t\; 0)\; =\; U\; (t,\; t\; 1)\; U\; (t\; 1,\; t\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (t,\; t\_\; \{0\})\; =\; U\; (t,\; t\_\; \{1\})\; U\; (t\_\; \{1\},\; t\_\; \{0\}).\}$

Дифференциальное уравнение для оператора временной эволюции

Мы отбрасываем индекс t 0 в операторе эволюции во времени с условием, что t 0 = 0, и записываем его как U (t). Уравнение Шредингера :

$i\; \hslash \; \partial \; \partial \; t\; |\; \psi \; (t)⟩\; =\; H\; |\; \psi \; (t)⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; H\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle,\}$

где H это гамильтониан. Теперь, используя оператор эволюции во времени U, запишите $|\; \psi \; (t)⟩\; =\; U\; (t)\; |\; \psi \; (0)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; U\; (t)\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle\}$, мы имеем

$я\; \hslash \; \partial \; \partial \; t\; U\; (t)\; |\; \psi \; (0)⟩\; =\; H\; U\; (t)\; |\; \psi \; (0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; U\; (t)\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle\; =\; HU\; (t)\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle.\}$

Поскольку $|\; \psi \; (0)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle\}$- это постоянный кет (состояние кет при t = 0), и поскольку приведенное выше уравнение верно для любой постоянной кет в В гильбертовом пространстве оператор временной эволюции должен подчиняться уравнению

$i\; \hslash \; \partial \; \partial \; t\; U\; (t)\; =\; HU\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; t\}\; U\; (t)\; =\; HU\; (t).\}$

Если гамильтониан не зависит от времени, решение приведенного выше уравнения будет

$U\; (t)\; =\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash .\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (t)\; =\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}.\}$

Поскольку H является оператором, это экспоненциальное выражение должно оцениваться через его ряд Тейлора :

$e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; знак\; равно\; 1\; -\; я\; H\; t\; \hslash \; -\; 1\; 2\; (H\; t\; \hslash )\; 2\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{iHt\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{Ht\}\; \{\backslash \; hbar\}\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Следовательно,

$|\; \psi \; (t)⟩\; =\; e\; -\; i\; H\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; (0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{-\; iHt\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle.\}$

Обратите внимание, что $|\; \psi \; (0)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle\}$- произвольный кет. Однако, если исходное кет-состояние является собственным состоянием гамильтониана, с собственным значением E, мы получаем:

$|\; \psi \; (t)⟩\; =\; e\; -\; i\; E\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; (0)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{-\; iEt\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle.\}$

Таким образом, мы видим, что собственные состояния гамильтониана являются стационарными: они только выбирают увеличивают общий фазовый фактор по мере их развития со временем.

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время коммутируют, то оператор временной эволюции можно записать как

$U\; (t)\; =\; exp\; \; (-\; i\; \hslash \; \int \; 0\; t\; H\; (\; т\; \text{'})\; дт\text{'}),\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (т)\; =\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; (\{-\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{я\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{т\}\; Н\; (т\; \text{'})\; \backslash ,\; dt\; \text{'}\}\; \backslash \; right),\}$

Если гамильтониан зависит от времени, но гамильтонианы в разное время не коммутируют, тогда оператор временной эволюции можно записать как

$U\; (t)\; =\; T\; exp\; \; (\; -\; я\; \hslash \; \int \; 0\; T\; ЧАС\; (T\; \text{'})\; dt\text{'}),\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (т)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{t\}\; H\; (t\; \text{'})\; \backslash ,\; dt\text{'}\}\; \backslash \; right),\}$

где T - оператор упорядочения по времени, который иногда называют серией Дайсона, после Freeman Dyson.

Альтернативой картине Шредингера является переключение на вращающуюся систему отсчета, которая сама вращается пропагатором. Поскольку волнообразное вращение теперь принимается самой системой отсчета, функция невозмущенного состояния кажется действительно статической. Это изображение Гейзенберга.

для независимого от времени гамильтониана H S, где H 0, S свободный гамильтониан,

Эволюция	Изображение
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кет-состояние	константа	$|\; \psi \; I\; (t)⟩\; =\; e\; i\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; S\; (t)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{I\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{S\}\; (t)\; \backslash \; rangle\}$	$|\; \psi \; S\; (t)⟩\; =\; e\; -\; i\; H\; S\; t\; /\; \hslash \; |\; \psi \; S\; (0)⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{S\}\; (t)\; \backslash \; rangle\; =\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{S\}\; (0)\; \backslash \; rangle\}$
Наблюдаемое	$AH\; (t)\; =\; ei\; HS\; t\; /\; \hslash \; AS\; e\; -\; i\; HS\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{H\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; A\_\; \{\; S\}\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$	$AI\; (t)\; =\; ei\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; AS\; e\; -\; i\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{I\; \}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; A\_\; \{S\}\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$	константа
Матрица плотности	константа	$\rho \; I\; (t)\; =\; ei\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; \rho \; S\; (t)\; e\; -\; i\; H\; 0,\; S\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{I\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; rho\; \_\; \{S\}\; (t)\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{0,\; S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$	$\rho \; S\; (t)\; =\; e\; -\; я\; HS\; t\; /\; \hslash \; \rho \; S\; (0)\; ei\; HS\; t\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{S\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{-\; iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; rho\; \_\; \{S\}\; (\; 0)\; e\; ^\; \{iH\_\; \{S\}\; ~\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\}$

• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Картинка взаимодействия
• Картинка Гейзенберга
• Формулировка фазового пространства
• POVM
• Математическая формулировка квантовой механики

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый). Пэрис: Вайли. С. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Альберт Мессия, 1966. Квантовая механика (том I), английский перевод с французского, сделанный Дж. М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley Sons.
• Мерцбахер Э., Квантовая механика (3-е изд., John Wiley 1998) с. 430–1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Ландау, Э. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Vol. 3 (3-е изд.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.Онлайн-копия
• R. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики, Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7.
• J. Дж. Сакураи (1993); «Современная квантовая механика» (переработанное издание), ISBN 978-0-201-53929-5.

.