Временная эволюция

редактировать
Изменение состояния во времени, особенно в физике

Временная эволюция - это изменение состояния, вызванное переходом времени, применимо к системам с внутренним состоянием (также называемым системами с отслеживанием состояния). В этой формулировке время не обязательно должно быть непрерывным параметром, но может быть дискретным или даже конечным. В классической физике эволюция во времени набора твердых тел регулируется принципами классической механики. В своей наиболее примитивной форме эти принципы выражают взаимосвязь между силами, действующими на тела, и их ускорением, задаваемыми законами движения Ньютона. Эти принципы также могут быть эквивалентно более абстрактно выражены с помощью гамильтоновой механики или лагранжевой механики.

. Концепция эволюции во времени может быть применима и к другим системам с отслеживанием состояния. Например, работу машины Тьюринга можно рассматривать как изменение во времени состояния управления машины вместе с состоянием ленты (или, возможно, нескольких лент), включая положение головки чтения-записи машины. (или головы). В этом случае время дискретно.

Системы с отслеживанием состояния часто имеют двойное описание в терминах состояний или в терминах наблюдаемых значений. В таких системах эволюция во времени также может относиться к изменению наблюдаемых значений. Это особенно актуально в квантовой механике, где изображение Шредингера и изображение Гейзенберга являются (в основном) эквивалентными описаниями эволюции во времени.

Содержание

  • 1 Операторы эволюции во времени
    • 1.1 В квантовой механике
  • 2 См. Также
  • 3 Ссылки
    • 3.1 Общие ссылки

Операторы эволюции во времени

Рассмотрим систему с пространством состояний X, для которого эволюция детерминирована и обратима. Для конкретности предположим также, что время является параметром, который колеблется в наборе действительных чисел R. Тогда эволюция во времени задается семейством биективных преобразований состояния

F t, s: X → X ∀ t, s ∈ R {\ displaystyle \ operatorname {F} _ {t, s}: X \ rightarrow X \ quad \ forall t, s \ in \ mathbb {R}}\ operatorname {F} _ {{t, s}}: X \ rightarrow X \ quad \ forall t, s \ in {\ mathbb {R}}

Ft, s (x) - это состояние системы в момент времени t, состояние которой в момент s равно x. Справедливо следующее тождество

F u, t ⁡ (F t, s ⁡ (x)) = F u, s ⁡ (x). {\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} (\ operatorname {F} _ {t, s} (x)) = \ operatorname {F} _ {u, s} (x).}\ operatorname {F} _ {{u, t}} (\ operatorname {F} _ {{t, s}} (x)) = \ operatorname {F} _ {{u, s}} (x).

Чтобы понять, почему это так, предположим, что x ∈ X - это состояние в момент времени s. Тогда по определению F, F t, s (x) - это состояние системы в момент времени t и, следовательно, повторное применение определения F u, t (F t, s (x)) - состояние в момент времени u. Но это тоже F u, s (x).

В некоторых контекстах математической физики отображения F t, s называются «операторами распространения» или просто пропагаторами. В классической механике пропагаторы - это функции, которые действуют в фазовом пространстве физической системы. В квантовой механике пропагаторами обычно являются унитарные операторы в гильбертовом пространстве. Пропагаторы могут быть выражены как упорядоченные по времени экспоненты интегрированного гамильтониана. Асимптотические свойства временной эволюции задаются матрицей рассеяния.

Пространство состояний с выделенным пропагатором также называется динамической системой.

Сказать, что временная эволюция однородна, означает, что

F u, t = F u - t, 0 ∀ u, t ∈ R. {\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} = \ operatorname {F} _ {ut, 0} \ quad \ forall u, t \ in \ mathbb {R}.}\ operatorname {F} _ {{u, t}} = \ operatorname {F} _ {{ut, 0}} \ quad \ forall u, t \ in {\ mathbb {R}}.

В случае однородная система, отображения G t = F t, 0 образуют однопараметрическую группу преобразований X, то есть

G t + s = G t ⁡ G s. {\ displaystyle \ operatorname {G} _ {t + s} = \ operatorname {G} _ {t} \ operatorname {G} _ {s}.}\ operatorname {G} _ {{t + s}} = \ operatorname {G} _ {{t}} \ operatorname {G} _ {{s}}.

Для необратимых систем операторы распространения F t, s определены всякий раз, когда t ≥ s и удовлетворяют тождеству распространения

F u, t ⁡ (F t, s ⁡ (x)) = F u, s ⁡ (x). u ≥ t ≥ s. {\ displaystyle \ operatorname {F} _ {u, t} (\ operatorname {F} _ {t, s} (x)) = \ operatorname {F} _ {u, s} (x). \ quad u \ geq t \ geq s.}\ operatorname {F} _ {{u, t}} (\ operatorname {F} _ {{t, s}} (x)) = \ operatorname {F} _ {{u, s}} (x). \ quad u \ geq t \ geq s.

В однородном случае пропагаторы являются экспонентами гамильтониана.

В квантовой механике

На изображении Шредингера, оператор Гамильтона генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если | ψ (t)⟩ {\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}\ left | \ psi (t) \ right \ rangle - состояние системы в момент времени t {\ displaystyle t}t , тогда

H | ψ (t)⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩. {\ Displaystyle H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle.}H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = i \ hbar {\ partial \ over \ partial t} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle.

Это Уравнение Шредингера. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени (t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 ), если H {\ displaystyle H}H не зависит от времени, тогда унитарный оператор эволюции во времени равен

| ψ (t)⟩ = e - i H t / ℏ | ψ (0)⟩. {\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} \ left | \ psi (0) \ right \ rangle.}\ left | \ psi (t) \ right \ rangle = e ^ {- iHt / \ hbar} \ left | \ psi (0) \ right \ rangle.

См. также

Ссылки

Общие ссылки

  • Amann, H.; Arendt, W.; Neubrander, F.; Nicaise, S.; фон Белов, J. (2008), Аманн, Герберт; Арендт, Вольфганг; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк М.; Никез, Серж; фон Белов, Иоахим (ред.), Функциональный анализ и уравнения эволюции: Объем Гюнтера Люмера, Базель: Биркхойзер, doi : 10.1007 / 978-3-7643-7794 -6, ISBN 978-3-7643-7793-9, MR 2402015.
  • Джером, JW; Полицци, Э. (2014), «Дискретизация зависящих от времени квантовых систем: распространение оператора эволюции в реальном времени», Применимый анализ, 93 (12): 2574–2597, arXiv : 1309.3587, doi : 10.1080 / 00036811.2013.878863, S2CID 17905545.
  • Ланфорд, О.Е. (1975), «Временная эволюция больших классических систем», в Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications, Lecture Notes in Physics, 38, Berlin, Heidelberg: Springer, pp. 1– 111, doi : 10.1007 / 3-540-07171-7_1, ISBN 978-3-540-37505-0.
  • Лэнфорд, OE; Лебовиц, Дж. Л. (1975), "Эволюция во времени и эргодические свойства гармонических систем", в Мозер Дж. (Ред.), Динамические системы, теория и приложения, конспекты лекций по физике, 38, Берлин, Гейдельберг : Springer, pp. 144–177, doi : 10.1007 / 3-540-07171-7_3, ISBN 978-3-540-37505 -0.
Последняя правка сделана 2021-06-11 12:32:26
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте