Однородная функция

В математике однородная функция - это функция с мультипликативным масштабированием: если все ее аргументы умножаются на коэффициент, то ее значение умножается на некоторую степень этого коэффициента.

Например, однородная действительная функция двух переменных и является действительной функцией, которая удовлетворяет условию для некоторой константы и всех действительных чисел. Константа называется степенью однородности. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle f (rx, ry) = r ^ {k} f (x, y)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle r.}$${\ displaystyle k}$

В более общем смысле, если - функция между двумя векторными пространствами над полем и является целым числом, то говорят, что она однородна степени, если ${\ displaystyle f: V \ to W}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle е (s \ mathbf {v}) = s ^ {k} f (\ mathbf {v})}$

( 1)

для всех ненулевых скаляров и Когда задействованные векторные пространства над действительными числами, часто используется немного менее общая форма однородности, требующая только того, чтобы ( 1) выполнялось для всех${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ in V.}$ ${\ displaystyle sgt; 0.}$

Однородные функции также могут быть определены для векторных пространств с удаленным началом координат, факт, который используется в определении пучков на проективном пространстве в алгебраической геометрии. В более общем смысле, если есть какое-либо подмножество, которое инвариантно относительно скалярного умножения на элементы поля («конус»), то однородная функция от S до W все еще может быть определена с помощью ( 1). ${\ Displaystyle S \ substeq V}$

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Примеры
  • 1.1 Пример 1
  • 1.2 Линейные функции
  • 1.3 Однородные многочлены
  • 1,4 мин. / Макс.
  • 1.5 Поляризация
  • 1.6 Рациональные функции
• 2 Не примеры
  • 2.1 Логарифмы
  • 2.2 Аффинные функции
• 3 Положительная однородность
  • 3.1 Обобщения
    • 3.1.1 Моноиды и моноидные действия
    • 3.1.2 Однородность
  • 3.2 Теорема Эйлера об однородных функциях
• 4 Однородные распределения
• 5 Применение к дифференциальным уравнениям
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 ссылки
• 9 Внешние ссылки

Примеры

Однородная функция не обязательно является непрерывной, как показано в этом примере. Это функция, определяемая выражением if и if Эта функция однородна степени 1, то есть для любых действительных чисел она разрывна в точке${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (х, у) = х}$${\ displaystyle xygt; 0}$${\ displaystyle f (x, y) = 0}$${\ displaystyle xy \ leq 0.}$${\ Displaystyle f (sx, sy) = sf (x, y)}$${\ displaystyle s, x, y.}$${\ displaystyle y = 0, x \ neq 0.}$

Пример 1

Функция однородна степени 2: ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

$${\ displaystyle f (tx, ty) = (tx) ^ {2} + (ty) ^ {2} = t ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = t ^ {2} f (x, y).}$$

Например, предположим, что и Тогда ${\ displaystyle x = 2, y = 4,}$${\ displaystyle t = 5.}$

• ${\ displaystyle f (x, y) = 2 ^ {2} + 4 ^ {2} = 4 + 16 = 20,}$ и
• ${\ displaystyle f (5x, 5y) = 5 ^ {2} \ left (2 ^ {2} + 4 ^ {2} \ right) = 25 (20) = 500.}$

Линейные функции

Любое линейное отображение однородно степени 1, поскольку по определению линейности ${\ displaystyle f: V \ to W}$

$${\ Displaystyle е (\ альфа \ mathbf {v}) = \ альфа f (\ mathbf {v})}$$ для всех и${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v \ in V.}$

Точно так же любая полилинейная функция однородна степени, поскольку по определению полилинейности ${\ displaystyle f: V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ cdots V_ {n} \ to W}$${\ displaystyle n}$

$${\ displaystyle f \ left (\ alpha \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ alpha \ mathbf {v} _ {n} \ right) = \ alpha ^ {n} f (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$$ для всех и${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}}$${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}, v_ {2} \ in V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ in V_ {n}.}$

Отсюда следует, что -й дифференциал функции между двумя банаховыми пространствами и однороден степени${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle n.}$

Однородные полиномы

Основная статья: Однородный полином

Мономы в переменных определяют однородные функции, например, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f: \ mathbb {F} ^ {n} \ to \ mathbb {F}.}$

$${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {5} y ^ {2} z ^ {3} \,}$$ однородна степени 10, так как $${\ Displaystyle е (\ альфа х, \ альфа у, \ альфа г) = (\ альфа х) ^ {5} (\ альфа у) ^ {2} (\ альфа г) ^ {3} = \ альфа ^ { 10} x ^ {5} y ^ {2} z ^ {3} = \ alpha ^ {10} f (x, y, z). \,}$$ Степень - это сумма показателей переменных; в этом примере${\ displaystyle 10 = 5 + 2 + 3.}$

Однородный многочлен является многочленом из суммы одночленов той же степени. Например,

$${\ displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}}$$ является однородным многочленом степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции.

Для данного однородного полинома степени можно получить однородную функцию степени 1 возведением в степень Так, например, для каждой следующей функции однородна степени 1: ${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle 1 / k.}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle \ left (x ^ {k} + y ^ {k} + z ^ {k} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}$$

Мин Макс

Для каждого набора весов следующие функции однородны степени 1: ${\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n},}$

• ${\ displaystyle \ min \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$( Леонтьевское коммунальное хозяйство )
• ${\ displaystyle \ max \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}$

Поляризация

Полилинейный функция от -му декартово произведения из с собой к нижележащему полю приводит к однородной функции путем оценки по диагонали: ${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {F}}$

$${\ Displaystyle f (v) = g (v, v, \ dots, v).}$$

Полученная функция является полиномом на векторном пространстве${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V.}$

И наоборот, если имеет характерный нуль, то дается однородный полином степени на в поляризации от является функцией полилинейная на -м декартово произведение поляризации определяется по формуле: ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V.}$

$${\ displaystyle g \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n} \ right) = {\ frac {1} {n!}} {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {1}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {2}}} \ cdots {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {n}}} f \ left (t_ {1} v_ {1 } + \ cdots + t_ {n} v_ {n} \ right).}$$

Эти две конструкции, одна из однородного полинома из полилинейной формы, а другая из полилинейной формы из однородного полинома, взаимно обратны друг другу. В конечных размерах, они установить изоморфизм из градуированных векторных пространств с симметричной алгеброй из к алгебре однородных многочленов на${\ Displaystyle V ^ {*}}$ ${\ displaystyle V.}$

Рациональные функции

Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями за пределами аффинного конуса, вырезанного нулевым множеством знаменателя. Таким образом, если однороден по степени и однороден по степени, то однороден по степени вдали от нулей${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle f / g}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle g.}$

Не примеры

Логарифмы

Натуральный логарифм весы аддитивно и поэтому не является однородным. ${\ Displaystyle е (х) = \ пер х}$

Это можно продемонстрировать на следующих примерах: и Это потому, что не существует такого, что${\ Displaystyle f (5x) = \ ln 5x = \ ln 5 + f (x),}$ ${\ Displaystyle f (10x) = \ ln 10 + f (x),}$${\ Displaystyle f (15x) = \ ln 15 + f (x).}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f (\ alpha \ cdot x) = \ alpha ^ {k} \ cdot f (x).}$

Аффинные функции

Аффинные функции (функция является примером), как правило, не масштабируются мультипликативно. ${\ Displaystyle е (х) = х + 5}$

Положительная однородность

В частном случае векторных пространств над действительными числами понятие положительной однородности часто играет более важную роль, чем однородность в указанном выше смысле.

Позвольте быть векторным пространством над полем и позвольте быть векторным пространством над полем, где и обычно будут (или, возможно, просто содержать как подмножества) действительные числа или комплексные числа Позвольте быть картой. Определите следующую терминологию: ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {G}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {G}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

1. Строгая положительная однородность:для всех безисключенияположительныхреальных${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle rgt; 0.}$
2. Неотрицательная гомогенность:для всехи всехнеотрицательногореальных${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
   • Неотрицательные вещественные функции с этим свойством можно охарактеризовать как функционал Минковского.
   • Это свойство используется в определении сублинейной функции.
3. Положительная однородность: обычно определяется как «неотрицательная однородность», но также часто определяется как «строго положительная однородность».
   • Какой из этих двух вариантов выбирается в качестве определения, обычно не имеет значения, потому что для функции, оцениваемой в векторном пространстве или поле, неотрицательная однородность то же самое, что и строгая положительная однородность; определения будут логически эквивалентны.
4. Настоящая однородность:для всехи для всех реально${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
   • Это свойство используется при определении реального линейного функционала.
5. Однородность:для всехи всех скаляров${\ Displaystyle f (sx) = sf (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Подчеркивается, что это определение зависит от скалярного поля, лежащего в основе области.${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle X}$
   • Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений.
6. Сопряженная однородность :для всехи всех скаляров${\ Displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Если тогда обычно обозначает комплексно сопряженное с Но в более общем плане, могло бы быть образом при некотором выделенном автоморфизме${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$ ${\ displaystyle s.}$${\ displaystyle {\ overline {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$
   • Наряду с аддитивностью это свойство предполагается в определении антилинейного отображения. Кроме того, предполагается, что один из двух координат полуторалинейной формы обладает этим свойством (например, как скалярное произведение в виде гильбертова пространства ).

Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив условие на, в этом случае перед этим определением стоит слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например, ${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x),}$

7. Абсолютная реальная однородность:для всехи для всех реально${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
8. Абсолютная однородность:для всехи всех скаляров${\ Displaystyle f (sx) = | s | f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
   • Это свойство используется в определении полунормы и нормы.

Если - фиксированное действительное число, то приведенные выше определения могут быть дополнительно обобщены путем замены условия на (и аналогично, путем замены на для условий с использованием абсолютного значения и т. Д.), И в этом случае однородность называется « степенью ». (где, в частности, все приведенные выше определения относятся к « степени »). Например, ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)}$${\ Displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1}$

9. Неотрицательная однородность степени ${\ displaystyle k}$:для всехи для всех реально${\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r \ geq 0.}$
10. Реальная однородность степени ${\ displaystyle k}$:для всехи для всех реально${\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
11. Однородность степени ${\ displaystyle k}$:для всехи всех скаляров${\ Displaystyle f (sx) = s ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$
12. Абсолютная реальная однородность степени ${\ displaystyle k}$:для всехи для всех реально${\ Displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle r.}$
13. Абсолютная однородность степени ${\ displaystyle k}$:для всехи всех скаляров${\ Displaystyle f (sx) = | s | ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}$

Ненулевая непрерывная функция, однородная степени на, непрерывно продолжается в, если и только если${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ обратная косая черта \ lbrace 0 \ rbrace}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle kgt; 0.}$

Обобщения

Все определения, данные выше, являются специализацией следующего более общего понятия однородности, в котором может быть любое множество (а не векторное пространство), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида. ${\ displaystyle X}$

Моноиды и моноидные действия

Моноид представляет собой пару, состоящую из множества и ассоциативного оператора, где есть некоторый элемент называется единичным элементом, обозначается таким образом, что для всех${\ Displaystyle (М, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times M \ to M}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle 1 \ in M,}$${\ Displaystyle 1 \ CDOT м = м = м \ CDOT 1}$${\ displaystyle m \ in M.}$

Если это моноид с элементом идентичности, и если тогда будут использоваться следующие обозначения: let и, в более общем смысле, для любых положительных целых чисел let быть произведением экземпляров ; это,${\ Displaystyle (М, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle 1 \ in M}$${\ displaystyle m \ in M,}$${\ displaystyle m_ {0}: = 1, m_ {1}: = m, m_ {2}: = m \ cdot m,}$${\ displaystyle k,}$${\ displaystyle m ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m ^ {k}: = m \ cdot \ left (m ^ {k-1} \ right).}$

Обычной практикой (например, в алгебре или исчислении) является обозначение операции умножения моноида путем сопоставления, что означает, что это может быть записано, а не. Это позволяет избежать необходимости назначать символ операции умножения моноида. Когда используется это обозначение сопоставления, следует автоматически предполагать, что тождественный элемент моноида обозначается${\ Displaystyle (М, \, \ cdot \,)}$${\ displaystyle mn}$${\ Displaystyle м \ cdot п.}$${\ displaystyle 1.}$

Позвольте быть моноидом с единичным элементом, операция которого обозначается сопоставлением, и пусть будет набором. Моноид действие от на это карта, которая также будет обозначаться сопоставлением, таким образом, что и для всех, и все${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1 \ in M}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M \ times M \ to X,}$${\ displaystyle 1x = x = x1}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle m, n \ in M.}$

Однородность

Позвольте быть моноидом с единичным элементом let и быть множествами, и предположим, что на обоих и есть определенные действия моноида Let быть неотрицательным целым числом и let быть отображением. Тогда называется однородным степени над, если для каждого и${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle 1 \ in M,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle m \ in M,}$

$${\ Displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x).}$$ Если, кроме того, существует функция, обозначенная как абсолютное значение, то она называется абсолютно однородной степени над, если для каждого и${\ displaystyle M \ to M,}$${\ Displaystyle м \ mapsto | м |,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle m \ in M,}$ $${\ Displaystyle f (mx) = | m | ^ {k} f (x).}$$

Функция однородна над${\ displaystyle M}$ (соответственно абсолютно однородна над${\ displaystyle M}$), если она однородна степени над (соответственно абсолютно однородна степени над). ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

В более общем смысле, это возможно символы должны быть определены для с нечто иное, чем целое число (например, если это действительные числа и является ненулевым вещественное число, то определяется, даже если это не является целым числом). Если это так, то будем называть

однородным степени над, если выполняется то же самое равенство: ${\ displaystyle m ^ {k}}$${\ displaystyle m \ in M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle m ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$ $${\ displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x) \ quad {\ text {для каждого}} x \ in X {\ text {и}} m \ in M.}$$

Аналогично обобщается понятие абсолютной однородности степени по${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$.

Теорема Эйлера об однородных функциях

Непрерывно дифференцируемые положительно однородные функции характеризуются следующей теоремой:

Однородная функция теорема Эйлера  -  Предположим, что функция является непрерывно дифференцируемой. Тогда положительно однороден степени тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ обратная косая черта \ lbrace 0 \ rbrace \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) = kf (\ mathbf {x}).}$$ Доказательство  -

Этот результат следует сразу же путем дифференцирования обе части уравнения относительно применения правила цепи, и выбор будет${\ Displaystyle е (\ альфа у) = \ альфа ^ {к} е (у)}$${\ displaystyle \ alpha,}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 1.}$

Обратное доказывается интегрированием. В частности, пусть Since${\ textstyle г (\ альфа) = е (\ альфа \ mathbf {x}).}$${\ textstyle \ альфа \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = kf (\ alpha \ mathbf {x}),}$

${\ displaystyle g '(\ alpha) = \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha).}$

Таким образом, Это означает, Поэтому: положительно однородна степени${\ textstyle g ^ {\ prime} (\ alpha) - {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha) = 0.}$${\ textstyle g (\ alpha) = g (1) \ alpha ^ {k}.}$${\ textstyle f (\ alpha \ mathbf {x}) = g (\ alpha) = \ alpha ^ {k} g (1) = \ alpha ^ {k} f (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k.}$

Как следствие, предположим, что он

дифференцируем и однороден по степени. Тогда его частные производные первого порядка однородны по степени. Результат следует из теоремы Эйлера путем коммутации оператора с частной производной. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle k.}$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial x_ {i}}$${\ displaystyle k-1.}$${\ Displaystyle \ mathbf {х} \ cdot \ nabla}$

Теорема может быть специализирована для случая функции одной действительной переменной (), и в этом случае функция удовлетворяет

обыкновенному дифференциальному уравнению ${\ displaystyle n = 1}$ $${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) - {\ frac {k} {x}} f (x) = 0.}$$ Это уравнение может быть решено с использованием подхода интегрирующих факторов, с решением, где${\ textstyle f (x) = cx ^ {k},}$${\ displaystyle c = f (1).}$

Однородные распределения

Основная статья: Однородное распределение

Непрерывная функция на однородна степени тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle k}$

$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (tx) \ varphi (x) \, dx = t ^ {k} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (х) \ varphi (x) \, dx}$$ для всех тестовых функций с компактной поддержкой ; и отлична от нуля в реальном Эквивалентное, делая замену переменной однородна степени, если и только если ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle t.}$ ${\ displaystyle y = tx,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$ $${\ displaystyle t ^ {- n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) \ varphi \ left ({\ frac {y} {t}} \ right) \, dy = t ^ {k} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) \ varphi (y) \, dy}$$ для всех и всех тестовых функций Последний дисплей позволяет определить однородность распределений. Распределение однородно степени, если ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$ $${\ displaystyle t ^ {- n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t ^ {k} \ langle S, \ varphi \ rangle}$$ для всех ненулевых действительных и всех тестовых функций Здесь угловые скобки обозначают пары между распределениями и тестовыми функциями, а отображение скалярного деления на действительное число${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ varphi.}$${\ displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle t.}$

Приложение к дифференциальным уравнениям

Основная статья: Однородное дифференциальное уравнение

Подстановка преобразует

обыкновенное дифференциальное уравнение ${\ displaystyle v = y / x}$ $${\ displaystyle I (x, y) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} + J (x, y) = 0,}$$ где и - однородные функции одной степени, в сепарабельное дифференциальное уравнение ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$ $${\ displaystyle x {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} = - {\ frac {J (1, v)} {I (1, v)}} - v.}$$

Смотрите также

• Производственная функция
• Функция центра треугольника
• Эллиптическая функция Вейерштрасса  - Класс математических функций

Примечания

Доказательства

использованная литература

• Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (2-е изд.) (На немецком языке). Springer Verlag. п. 188. ISBN   3-540-09484-9.

внешние ссылки

• "Однородная функция", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Эрик Вайсштейн. "Теорема Эйлера об однородной функции". MathWorld.