В математике однородная функция - это функция с мультипликативным масштабированием: если все ее аргументы умножаются на коэффициент, то ее значение умножается на некоторую степень этого коэффициента.
Например, однородная действительная функция двух переменных и является действительной функцией, которая удовлетворяет условию для некоторой константы и всех действительных чисел. Константа называется степенью однородности.
В более общем смысле, если - функция между двумя векторными пространствами над полем и является целым числом, то говорят, что она однородна степени, если
-
| | ( 1) |
для всех ненулевых скаляров и Когда задействованные векторные пространства над действительными числами, часто используется немного менее общая форма однородности, требующая только того, чтобы ( 1) выполнялось для всех
Однородные функции также могут быть определены для векторных пространств с удаленным началом координат, факт, который используется в определении пучков на проективном пространстве в алгебраической геометрии. В более общем смысле, если есть какое-либо подмножество, которое инвариантно относительно скалярного умножения на элементы поля («конус»), то однородная функция от S до W все еще может быть определена с помощью ( 1).
СОДЕРЖАНИЕ
- 1 Примеры
- 1.1 Пример 1
- 1.2 Линейные функции
- 1.3 Однородные многочлены
- 1,4 мин. / Макс.
- 1.5 Поляризация
- 1.6 Рациональные функции
- 2 Не примеры
- 2.1 Логарифмы
- 2.2 Аффинные функции
- 3 Положительная однородность
- 3.1 Обобщения
- 3.1.1 Моноиды и моноидные действия
- 3.1.2 Однородность
- 3.2 Теорема Эйлера об однородных функциях
- 4 Однородные распределения
- 5 Применение к дифференциальным уравнениям
- 6 См. Также
- 7 Примечания
- 8 ссылки
- 9 Внешние ссылки
Примеры
Однородная функция не обязательно является
непрерывной, как показано в этом примере. Это функция, определяемая выражением if и if Эта функция однородна степени 1, то есть для любых действительных чисел она разрывна в точке
Пример 1
Функция однородна степени 2:
Например, предположим, что и Тогда
- и
Линейные функции
Любое линейное отображение однородно степени 1, поскольку по определению линейности
для всех и
Точно так же любая полилинейная функция однородна степени, поскольку по определению полилинейности
для всех и
Отсюда следует, что -й дифференциал функции между двумя банаховыми пространствами и однороден степени
Однородные полиномы
Основная статья:
Однородный полином Мономы в переменных определяют однородные функции, например,
однородна степени 10, так как
Степень - это сумма показателей переменных; в этом примере
Однородный многочлен является многочленом из суммы одночленов той же степени. Например,
является однородным многочленом степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции.
Для данного однородного полинома степени можно получить однородную функцию степени 1 возведением в степень Так, например, для каждой следующей функции однородна степени 1:
Мин Макс
Для каждого набора весов следующие функции однородны степени 1:
- ( Леонтьевское коммунальное хозяйство )
Поляризация
Полилинейный функция от -му декартово произведения из с собой к нижележащему полю приводит к однородной функции путем оценки по диагонали:
Полученная функция является полиномом на векторном пространстве
И наоборот, если имеет характерный нуль, то дается однородный полином степени на в поляризации от является функцией полилинейная на -м декартово произведение поляризации определяется по формуле:
Эти две конструкции, одна из однородного полинома из полилинейной формы, а другая из полилинейной формы из однородного полинома, взаимно обратны друг другу. В конечных размерах, они установить изоморфизм из градуированных векторных пространств с симметричной алгеброй из к алгебре однородных многочленов на
Рациональные функции
Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями за пределами аффинного конуса, вырезанного нулевым множеством знаменателя. Таким образом, если однороден по степени и однороден по степени, то однороден по степени вдали от нулей
Не примеры
Логарифмы
Натуральный логарифм весы аддитивно и поэтому не является однородным.
Это можно продемонстрировать на следующих примерах: и Это потому, что не существует такого, что
Аффинные функции
Аффинные функции (функция является примером), как правило, не масштабируются мультипликативно.
Положительная однородность
В частном случае векторных пространств над действительными числами понятие положительной однородности часто играет более важную роль, чем однородность в указанном выше смысле.
Позвольте быть векторным пространством над полем и позвольте быть векторным пространством над полем, где и обычно будут (или, возможно, просто содержать как подмножества) действительные числа или комплексные числа Позвольте быть картой. Определите следующую терминологию:
- Строгая положительная однородность:для всех безисключенияположительныхреальных
- Неотрицательная гомогенность:для всехи всехнеотрицательногореальных
- Неотрицательные вещественные функции с этим свойством можно охарактеризовать как функционал Минковского.
- Это свойство используется в определении сублинейной функции.
- Положительная однородность: обычно определяется как «неотрицательная однородность», но также часто определяется как «строго положительная однородность».
- Какой из этих двух вариантов выбирается в качестве определения, обычно не имеет значения, потому что для функции, оцениваемой в векторном пространстве или поле, неотрицательная однородность то же самое, что и строгая положительная однородность; определения будут логически эквивалентны.
- Настоящая однородность:для всехи для всех реально
- Однородность:для всехи всех скаляров
- Подчеркивается, что это определение зависит от скалярного поля, лежащего в основе области.
- Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений.
- Сопряженная однородность :для всехи всех скаляров
Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив условие на, в этом случае перед этим определением стоит слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например,
- Абсолютная реальная однородность:для всехи для всех реально
- Абсолютная однородность:для всехи всех скаляров
Если - фиксированное действительное число, то приведенные выше определения могут быть дополнительно обобщены путем замены условия на (и аналогично, путем замены на для условий с использованием абсолютного значения и т. Д.), И в этом случае однородность называется « степенью ». (где, в частности, все приведенные выше определения относятся к « степени »). Например,
- Неотрицательная однородность степени :для всехи для всех реально
- Реальная однородность степени :для всехи для всех реально
- Однородность степени :для всехи всех скаляров
- Абсолютная реальная однородность степени :для всехи для всех реально
- Абсолютная однородность степени :для всехи всех скаляров
Ненулевая непрерывная функция, однородная степени на, непрерывно продолжается в, если и только если
Обобщения
Все определения, данные выше, являются специализацией следующего более общего понятия однородности, в котором может быть любое множество (а не векторное пространство), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида.
Моноиды и моноидные действия
Моноид представляет собой пару, состоящую из множества и ассоциативного оператора, где есть некоторый элемент называется единичным элементом, обозначается таким образом, что для всех
Если это моноид с элементом идентичности, и если тогда будут использоваться следующие обозначения: let и, в более общем смысле, для любых положительных целых чисел let быть произведением экземпляров ; это,
Обычной практикой (например, в алгебре или исчислении) является обозначение операции умножения моноида путем сопоставления, что означает, что это может быть записано, а не. Это позволяет избежать необходимости назначать символ операции умножения моноида. Когда используется это обозначение сопоставления, следует автоматически предполагать, что тождественный элемент моноида обозначается
Позвольте быть моноидом с единичным элементом, операция которого обозначается сопоставлением, и пусть будет набором. Моноид действие от на это карта, которая также будет обозначаться сопоставлением, таким образом, что и для всех, и все
Однородность
Позвольте быть моноидом с единичным элементом let и быть множествами, и предположим, что на обоих и есть определенные действия моноида Let быть неотрицательным целым числом и let быть отображением. Тогда называется однородным степени над, если для каждого и
Если, кроме того, существует функция, обозначенная как
абсолютное значение, то она называется абсолютно однородной степени над, если для каждого и
Функция однородна над (соответственно абсолютно однородна над), если она однородна степени над (соответственно абсолютно однородна степени над).
В более общем смысле, это возможно символы должны быть определены для с нечто иное, чем целое число (например, если это действительные числа и является ненулевым вещественное число, то определяется, даже если это не является целым числом). Если это так, то будем называть
однородным степени над, если выполняется то же самое равенство:
Аналогично обобщается понятие абсолютной однородности степени по.
Теорема Эйлера об однородных функциях
Непрерывно дифференцируемые положительно однородные функции характеризуются следующей теоремой:
Однородная функция теорема Эйлера - Предположим, что функция является непрерывно дифференцируемой. Тогда положительно однороден степени тогда и только тогда, когда
Доказательство -
Этот результат следует сразу же путем дифференцирования обе части уравнения относительно применения правила цепи, и выбор будет
Обратное доказывается интегрированием. В частности, пусть Since
Таким образом, Это означает, Поэтому: положительно однородна степени
Как следствие, предположим, что он
дифференцируем и однороден по степени. Тогда его
частные производные первого порядка однородны по степени. Результат следует из теоремы Эйлера путем коммутации оператора с частной производной.
Теорема может быть специализирована для случая функции одной действительной переменной (), и в этом случае функция удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению Это уравнение может быть решено с использованием подхода
интегрирующих факторов, с решением, где
Однородные распределения
Основная статья:
Однородное распределение Непрерывная функция на однородна степени тогда и только тогда, когда
для всех
тестовых функций с компактной поддержкой ; и отлична от нуля в реальном Эквивалентное, делая
замену переменной однородна степени, если и только если
для всех и всех тестовых функций Последний дисплей позволяет определить однородность
распределений. Распределение однородно степени, если
для всех ненулевых действительных и всех тестовых функций Здесь угловые скобки обозначают пары между распределениями и тестовыми функциями, а отображение скалярного деления на действительное число
Приложение к дифференциальным уравнениям
Основная статья:
Однородное дифференциальное уравнение Подстановка преобразует
обыкновенное дифференциальное уравнение где и - однородные функции одной степени, в
сепарабельное дифференциальное уравнение Смотрите также
Примечания
- Доказательства
использованная литература
- Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (2-е изд.) (На немецком языке). Springer Verlag. п. 188. ISBN 3-540-09484-9.
внешние ссылки