Однородная функция

редактировать

В математике однородная функция - это функция с мультипликативным масштабированием: если все ее аргументы умножаются на коэффициент, то ее значение умножается на некоторую степень этого коэффициента.

Например, однородная действительная функция двух переменных и является действительной функцией, которая удовлетворяет условию для некоторой константы и всех действительных чисел. Константа называется степенью однородности. Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} ж ( р Икс , р у ) знак равно р k ж ( Икс , у ) {\ Displaystyle f (rx, ry) = r ^ {k} f (x, y)} k {\ displaystyle k} р . {\ displaystyle r.} k {\ displaystyle k}

В более общем смысле, если - функция между двумя векторными пространствами над полем и является целым числом, то говорят, что она однородна степени, если ж : V W {\ displaystyle f: V \ to W} F {\ Displaystyle \ mathbb {F}} k {\ displaystyle k} ж {\ displaystyle f} k {\ displaystyle k}

ж ( s v ) знак равно s k ж ( v ) {\ Displaystyle е (s \ mathbf {v}) = s ^ {k} f (\ mathbf {v})}

 

 

 

 

( 1)

для всех ненулевых скаляров и Когда задействованные векторные пространства над действительными числами, часто используется немного менее общая форма однородности, требующая только того, чтобы ( 1) выполнялось для всех s F {\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}} v V . {\ displaystyle v \ in V.} s gt; 0. {\ displaystyle sgt; 0.}

Однородные функции также могут быть определены для векторных пространств с удаленным началом координат, факт, который используется в определении пучков на проективном пространстве в алгебраической геометрии. В более общем смысле, если есть какое-либо подмножество, которое инвариантно относительно скалярного умножения на элементы поля («конус»), то однородная функция от S до W все еще может быть определена с помощью ( 1). S V {\ Displaystyle S \ substeq V}

СОДЕРЖАНИЕ
  • 1 Примеры
    • 1.1 Пример 1
    • 1.2 Линейные функции
    • 1.3 Однородные многочлены
    • 1,4 мин. / Макс.
    • 1.5 Поляризация
    • 1.6 Рациональные функции
  • 2 Не примеры
    • 2.1 Логарифмы
    • 2.2 Аффинные функции
  • 3 Положительная однородность
    • 3.1 Обобщения
      • 3.1.1 Моноиды и моноидные действия
      • 3.1.2 Однородность
    • 3.2 Теорема Эйлера об однородных функциях
  • 4 Однородные распределения
  • 5 Применение к дифференциальным уравнениям
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 ссылки
  • 9 Внешние ссылки
Примеры
Однородная функция не обязательно является непрерывной, как показано в этом примере. Это функция, определяемая выражением if и if Эта функция однородна степени 1, то есть для любых действительных чисел она разрывна в точке ж {\ displaystyle f} ж ( Икс , у ) знак равно Икс {\ Displaystyle е (х, у) = х} Икс у gt; 0 {\ displaystyle xygt; 0} ж ( Икс , у ) знак равно 0 {\ displaystyle f (x, y) = 0} Икс у 0. {\ displaystyle xy \ leq 0.} ж ( s Икс , s у ) знак равно s ж ( Икс , у ) {\ Displaystyle f (sx, sy) = sf (x, y)} s , Икс , у . {\ displaystyle s, x, y.} у знак равно 0 , Икс 0. {\ displaystyle y = 0, x \ neq 0.}

Пример 1

Функция однородна степени 2: ж ( Икс , у ) знак равно Икс 2 + у 2 {\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}

ж ( т Икс , т у ) знак равно ( т Икс ) 2 + ( т у ) 2 знак равно т 2 ( Икс 2 + у 2 ) знак равно т 2 ж ( Икс , у ) . {\ displaystyle f (tx, ty) = (tx) ^ {2} + (ty) ^ {2} = t ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = t ^ {2} f (x, y).}

Например, предположим, что и Тогда Икс знак равно 2 , у знак равно 4 , {\ displaystyle x = 2, y = 4,} т знак равно 5. {\ displaystyle t = 5.}

  • ж ( Икс , у ) знак равно 2 2 + 4 2 знак равно 4 + 16 знак равно 20 , {\ displaystyle f (x, y) = 2 ^ {2} + 4 ^ {2} = 4 + 16 = 20,} и
  • ж ( 5 Икс , 5 у ) знак равно 5 2 ( 2 2 + 4 2 ) знак равно 25 ( 20 ) знак равно 500. {\ displaystyle f (5x, 5y) = 5 ^ {2} \ left (2 ^ {2} + 4 ^ {2} \ right) = 25 (20) = 500.}

Линейные функции

Любое линейное отображение однородно степени 1, поскольку по определению линейности ж : V W {\ displaystyle f: V \ to W}

ж ( α v ) знак равно α ж ( v ) {\ Displaystyle е (\ альфа \ mathbf {v}) = \ альфа f (\ mathbf {v})} для всех и α F {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}} v V . {\ displaystyle v \ in V.}

Точно так же любая полилинейная функция однородна степени, поскольку по определению полилинейности ж : V 1 × V 2 × V п W {\ displaystyle f: V_ {1} \ times V_ {2} \ times \ cdots V_ {n} \ to W} п {\ displaystyle n}

ж ( α v 1 , , α v п ) знак равно α п ж ( v 1 , , v п ) {\ displaystyle f \ left (\ alpha \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ alpha \ mathbf {v} _ {n} \ right) = \ alpha ^ {n} f (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})} для всех и α F {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {F}} v 1 V 1 , v 2 V 2 , , v п V п . {\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}, v_ {2} \ in V_ {2}, \ ldots, v_ {n} \ in V_ {n}.}

Отсюда следует, что -й дифференциал функции между двумя банаховыми пространствами и однороден степени п {\ displaystyle n} ж : Икс Y {\ displaystyle f: от X \ до Y} Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} п . {\ displaystyle n.}

Однородные полиномы

Основная статья: Однородный полином

Мономы в переменных определяют однородные функции, например, п {\ displaystyle n} ж : F п F . {\ displaystyle f: \ mathbb {F} ^ {n} \ to \ mathbb {F}.}

ж ( Икс , у , z ) знак равно Икс 5 у 2 z 3 {\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {5} y ^ {2} z ^ {3} \,} однородна степени 10, так как ж ( α Икс , α у , α z ) знак равно ( α Икс ) 5 ( α у ) 2 ( α z ) 3 знак равно α 10 Икс 5 у 2 z 3 знак равно α 10 ж ( Икс , у , z ) . {\ Displaystyle е (\ альфа х, \ альфа у, \ альфа г) = (\ альфа х) ^ {5} (\ альфа у) ^ {2} (\ альфа г) ^ {3} = \ альфа ^ { 10} x ^ {5} y ^ {2} z ^ {3} = \ alpha ^ {10} f (x, y, z). \,} Степень - это сумма показателей переменных; в этом примере 10 знак равно 5 + 2 + 3. {\ displaystyle 10 = 5 + 2 + 3.}

Однородный многочлен является многочленом из суммы одночленов той же степени. Например,

Икс 5 + 2 Икс 3 у 2 + 9 Икс у 4 {\ displaystyle x ^ {5} + 2x ^ {3} y ^ {2} + 9xy ^ {4}} является однородным многочленом степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции.

Для данного однородного полинома степени можно получить однородную функцию степени 1 возведением в степень Так, например, для каждой следующей функции однородна степени 1: k , {\ displaystyle k,} 1 / k . {\ displaystyle 1 / k.} k {\ displaystyle k}

( Икс k + у k + z k ) 1 k {\ displaystyle \ left (x ^ {k} + y ^ {k} + z ^ {k} \ right) ^ {\ frac {1} {k}}}

Мин Макс

Для каждого набора весов следующие функции однородны степени 1: ш 1 , , ш п , {\ displaystyle w_ {1}, \ dots, w_ {n},}

  • мин ( Икс 1 ш 1 , , Икс п ш п ) {\ displaystyle \ min \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}( Леонтьевское коммунальное хозяйство )
  • Максимум ( Икс 1 ш 1 , , Икс п ш п ) {\ displaystyle \ max \ left ({\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ dots, {\ frac {x_ {n}} {w_ {n}}} \ right)}

Поляризация

Полилинейный функция от -му декартово произведения из с собой к нижележащему полю приводит к однородной функции путем оценки по диагонали: г : V × V × × V F {\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}} п {\ displaystyle n} V {\ displaystyle V} F {\ Displaystyle \ mathbb {F}} ж : V F {\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {F}}

ж ( v ) знак равно г ( v , v , , v ) . {\ Displaystyle f (v) = g (v, v, \ dots, v).}

Полученная функция является полиномом на векторном пространстве ж {\ displaystyle f} V . {\ displaystyle V.}

И наоборот, если имеет характерный нуль, то дается однородный полином степени на в поляризации от является функцией полилинейная на -м декартово произведение поляризации определяется по формуле: F {\ Displaystyle \ mathbb {F}} ж {\ displaystyle f} п {\ displaystyle n} V , {\ displaystyle V,} ж {\ displaystyle f} г : V × V × × V F {\ displaystyle g: V \ times V \ times \ cdots \ times V \ to \ mathbb {F}} п {\ displaystyle n} V . {\ displaystyle V.}

г ( v 1 , v 2 , , v п ) знак равно 1 п ! т 1 т 2 т п ж ( т 1 v 1 + + т п v п ) . {\ displaystyle g \ left (v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {n} \ right) = {\ frac {1} {n!}} {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {1}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {2}}} \ cdots {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {n}}} f \ left (t_ {1} v_ {1 } + \ cdots + t_ {n} v_ {n} \ right).}

Эти две конструкции, одна из однородного полинома из полилинейной формы, а другая из полилинейной формы из однородного полинома, взаимно обратны друг другу. В конечных размерах, они установить изоморфизм из градуированных векторных пространств с симметричной алгеброй из к алгебре однородных многочленов на V * {\ Displaystyle V ^ {*}} V . {\ displaystyle V.}

Рациональные функции

Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями за пределами аффинного конуса, вырезанного нулевым множеством знаменателя. Таким образом, если однороден по степени и однороден по степени, то однороден по степени вдали от нулей ж {\ displaystyle f} м {\ displaystyle m} г {\ displaystyle g} п , {\ displaystyle n,} ж / г {\ displaystyle f / g} м - п {\ displaystyle mn} г . {\ displaystyle g.}

Не примеры

Логарифмы

Натуральный логарифм весы аддитивно и поэтому не является однородным. ж ( Икс ) знак равно пер Икс {\ Displaystyle е (х) = \ пер х}

Это можно продемонстрировать на следующих примерах: и Это потому, что не существует такого, что ж ( 5 Икс ) знак равно пер 5 Икс знак равно пер 5 + ж ( Икс ) , {\ Displaystyle f (5x) = \ ln 5x = \ ln 5 + f (x),} ж ( 10 Икс ) знак равно пер 10 + ж ( Икс ) , {\ Displaystyle f (10x) = \ ln 10 + f (x),} ж ( 15 Икс ) знак равно пер 15 + ж ( Икс ) . {\ Displaystyle f (15x) = \ ln 15 + f (x).} k {\ displaystyle k} ж ( α Икс ) знак равно α k ж ( Икс ) . {\ displaystyle f (\ alpha \ cdot x) = \ alpha ^ {k} \ cdot f (x).}

Аффинные функции

Аффинные функции (функция является примером), как правило, не масштабируются мультипликативно. ж ( Икс ) знак равно Икс + 5 {\ Displaystyle е (х) = х + 5}

Положительная однородность

В частном случае векторных пространств над действительными числами понятие положительной однородности часто играет более важную роль, чем однородность в указанном выше смысле.

Позвольте быть векторным пространством над полем и позвольте быть векторным пространством над полем, где и обычно будут (или, возможно, просто содержать как подмножества) действительные числа или комплексные числа Позвольте быть картой. Определите следующую терминологию: Икс {\ displaystyle X} F {\ Displaystyle \ mathbb {F}} Y {\ displaystyle Y} г {\ Displaystyle \ mathbb {G}} F {\ Displaystyle \ mathbb {F}} г {\ Displaystyle \ mathbb {G}} р {\ Displaystyle \ mathbb {R}} C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} ж : Икс Y {\ displaystyle f: от X \ до Y}

  1. Строгая положительная однородность:для всех безисключенияположительныхреальных ж ( р Икс ) знак равно р ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = rf (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р gt; 0. {\ displaystyle rgt; 0.}
  2. Неотрицательная гомогенность:для всехи всехнеотрицательногореальных ж ( р Икс ) знак равно р ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = rf (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р 0. {\ displaystyle r \ geq 0.}
    • Неотрицательные вещественные функции с этим свойством можно охарактеризовать как функционал Минковского.
    • Это свойство используется в определении сублинейной функции.
  3. Положительная однородность: обычно определяется как «неотрицательная однородность», но также часто определяется как «строго положительная однородность».
    • Какой из этих двух вариантов выбирается в качестве определения, обычно не имеет значения, потому что для функции, оцениваемой в векторном пространстве или поле, неотрицательная однородность то же самое, что и строгая положительная однородность; определения будут логически эквивалентны.
  4. Настоящая однородность:для всехи для всех реально ж ( р Икс ) знак равно р ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = rf (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р . {\ displaystyle r.}
  5. Однородность:для всехи всех скаляров ж ( s Икс ) знак равно s ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (sx) = sf (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} s F . {\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}
  6. Сопряженная однородность :для всехи всех скаляров ж ( s Икс ) знак равно s ¯ ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (sx) = {\ overline {s}} f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} s F . {\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}

Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив условие на, в этом случае перед этим определением стоит слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например, ж ( р Икс ) знак равно р ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = rf (x)} ж ( р Икс ) знак равно | р | ж ( Икс ) , {\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x),}

  1. Абсолютная реальная однородность:для всехи для всех реально ж ( р Икс ) знак равно | р | ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р . {\ displaystyle r.}
  2. Абсолютная однородность:для всехи всех скаляров ж ( s Икс ) знак равно | s | ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (sx) = | s | f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} s F . {\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}

Если - фиксированное действительное число, то приведенные выше определения могут быть дополнительно обобщены путем замены условия на (и аналогично, путем замены на для условий с использованием абсолютного значения и т. Д.), И в этом случае однородность называется « степенью ». (где, в частности, все приведенные выше определения относятся к « степени »). Например, k {\ displaystyle k} ж ( р Икс ) знак равно р ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = rf (x)} ж ( р Икс ) знак равно р k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)} ж ( р Икс ) знак равно | р | ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = | r | f (x)} ж ( р Икс ) знак равно | р | k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)} k {\ displaystyle k} 1 {\ displaystyle 1}

  1. Неотрицательная однородность степени k {\ displaystyle k}:для всехи для всех реально ж ( р Икс ) знак равно р k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р 0. {\ displaystyle r \ geq 0.}
  2. Реальная однородность степени k {\ displaystyle k}:для всехи для всех реально ж ( р Икс ) знак равно р k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = r ^ {k} f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р . {\ displaystyle r.}
  3. Однородность степени k {\ displaystyle k}:для всехи всех скаляров ж ( s Икс ) знак равно s k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (sx) = s ^ {k} f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} s F . {\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}
  4. Абсолютная реальная однородность степени k {\ displaystyle k}:для всехи для всех реально ж ( р Икс ) знак равно | р | k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (rx) = | r | ^ {k} f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} р . {\ displaystyle r.}
  5. Абсолютная однородность степени k {\ displaystyle k}:для всехи всех скаляров ж ( s Икс ) знак равно | s | k ж ( Икс ) {\ Displaystyle f (sx) = | s | ^ {k} f (x)} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} s F . {\ displaystyle s \ in \ mathbb {F}.}

Ненулевая непрерывная функция, однородная степени на, непрерывно продолжается в, если и только если k {\ displaystyle k} р п { 0 } {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ обратная косая черта \ lbrace 0 \ rbrace} р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}} k gt; 0. {\ displaystyle kgt; 0.}

Обобщения

Все определения, данные выше, являются специализацией следующего более общего понятия однородности, в котором может быть любое множество (а не векторное пространство), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида. Икс {\ displaystyle X}

Моноиды и моноидные действия

Моноид представляет собой пару, состоящую из множества и ассоциативного оператора, где есть некоторый элемент называется единичным элементом, обозначается таким образом, что для всех ( M , ) {\ Displaystyle (М, \, \ cdot \,)} M {\ displaystyle M} M × M M {\ displaystyle M \ times M \ to M} S {\ displaystyle S} 1 M , {\ displaystyle 1 \ in M,} 1 м знак равно м знак равно м 1 {\ Displaystyle 1 \ CDOT м = м = м \ CDOT 1} м M . {\ displaystyle m \ in M.}

Если это моноид с элементом идентичности, и если тогда будут использоваться следующие обозначения: let и, в более общем смысле, для любых положительных целых чисел let быть произведением экземпляров ; это, ( M , ) {\ Displaystyle (М, \, \ cdot \,)} 1 M {\ displaystyle 1 \ in M} м M , {\ displaystyle m \ in M,} м 0 знак равно 1 , м 1 знак равно м , м 2 знак равно м м , {\ displaystyle m_ {0}: = 1, m_ {1}: = m, m_ {2}: = m \ cdot m,} k , {\ displaystyle k,} м k {\ displaystyle m ^ {k}} k {\ displaystyle k} м {\ displaystyle m} м k знак равно м ( м k - 1 ) . {\ displaystyle m ^ {k}: = m \ cdot \ left (m ^ {k-1} \ right).}

Обычной практикой (например, в алгебре или исчислении) является обозначение операции умножения моноида путем сопоставления, что означает, что это может быть записано, а не. Это позволяет избежать необходимости назначать символ операции умножения моноида. Когда используется это обозначение сопоставления, следует автоматически предполагать, что тождественный элемент моноида обозначается ( M , ) {\ Displaystyle (М, \, \ cdot \,)} м п {\ displaystyle mn} м п . {\ Displaystyle м \ cdot п.} 1. {\ displaystyle 1.}

Позвольте быть моноидом с единичным элементом, операция которого обозначается сопоставлением, и пусть будет набором. Моноид действие от на это карта, которая также будет обозначаться сопоставлением, таким образом, что и для всех, и все M {\ displaystyle M} 1 M {\ displaystyle 1 \ in M} Икс {\ displaystyle X} M {\ displaystyle M} Икс {\ displaystyle X} M × M Икс , {\ displaystyle M \ times M \ to X,} 1 Икс знак равно Икс знак равно Икс 1 {\ displaystyle 1x = x = x1} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} м , п M . {\ displaystyle m, n \ in M.}

Однородность

Позвольте быть моноидом с единичным элементом let и быть множествами, и предположим, что на обоих и есть определенные действия моноида Let быть неотрицательным целым числом и let быть отображением. Тогда называется однородным степени над, если для каждого и M {\ displaystyle M} 1 M , {\ displaystyle 1 \ in M,} Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} M . {\ displaystyle M.} k {\ displaystyle k} ж : Икс Y {\ displaystyle f: от X \ до Y} ж {\ displaystyle f} k {\ displaystyle k} M {\ displaystyle M} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} м M , {\ displaystyle m \ in M,}

ж ( м Икс ) знак равно м k ж ( Икс ) . {\ Displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x).} Если, кроме того, существует функция, обозначенная как абсолютное значение, то она называется абсолютно однородной степени над, если для каждого и M M , {\ displaystyle M \ to M,} м | м | , {\ Displaystyle м \ mapsto | м |,} ж {\ displaystyle f} k {\ displaystyle k} M {\ displaystyle M} Икс Икс {\ displaystyle x \ in X} м M , {\ displaystyle m \ in M,} ж ( м Икс ) знак равно | м | k ж ( Икс ) . {\ Displaystyle f (mx) = | m | ^ {k} f (x).}

Функция однородна над M {\ displaystyle M} (соответственно абсолютно однородна над M {\ displaystyle M}), если она однородна степени над (соответственно абсолютно однородна степени над). 1 {\ displaystyle 1} M {\ displaystyle M} 1 {\ displaystyle 1} M {\ displaystyle M}

В более общем смысле, это возможно символы должны быть определены для с нечто иное, чем целое число (например, если это действительные числа и является ненулевым вещественное число, то определяется, даже если это не является целым числом). Если это так, то будем называть

однородным степени над, если выполняется то же самое равенство: м k {\ displaystyle m ^ {k}} м M {\ displaystyle m \ in M} k {\ displaystyle k} M {\ displaystyle M} k {\ displaystyle k} м k {\ displaystyle m ^ {k}} k {\ displaystyle k} ж {\ displaystyle f} k {\ displaystyle k} M {\ displaystyle M} ж ( м Икс ) знак равно м k ж ( Икс )  для каждого  Икс Икс  и  м M . {\ displaystyle f (mx) = m ^ {k} f (x) \ quad {\ text {для каждого}} x \ in X {\ text {и}} m \ in M.}

Аналогично обобщается понятие абсолютной однородности степени по k {\ displaystyle k} M {\ displaystyle M}.

Теорема Эйлера об однородных функциях

Непрерывно дифференцируемые положительно однородные функции характеризуются следующей теоремой:

Однородная функция теорема Эйлера  -  Предположим, что функция является непрерывно дифференцируемой. Тогда положительно однороден степени тогда и только тогда, когда ж : р п { 0 } р {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ обратная косая черта \ lbrace 0 \ rbrace \ to \ mathbb {R}} ж {\ displaystyle f} k {\ displaystyle k}

Икс ж ( Икс ) знак равно k ж ( Икс ) . {\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ mathbf {x}) = kf (\ mathbf {x}).} Доказательство  -

Этот результат следует сразу же путем дифференцирования обе части уравнения относительно применения правила цепи, и выбор будет ж ( α у ) знак равно α k ж ( у ) {\ Displaystyle е (\ альфа у) = \ альфа ^ {к} е (у)} α , {\ displaystyle \ alpha,} α {\ displaystyle \ alpha} 1. {\ displaystyle 1.}

Обратное доказывается интегрированием. В частности, пусть Since г ( α ) знак равно ж ( α Икс ) . {\ textstyle г (\ альфа) = е (\ альфа \ mathbf {x}).} α Икс ж ( α Икс ) знак равно k ж ( α Икс ) , {\ textstyle \ альфа \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = kf (\ alpha \ mathbf {x}),}

г ( α ) знак равно Икс ж ( α Икс ) знак равно k α ж ( α Икс ) знак равно k α г ( α ) . {\ displaystyle g '(\ alpha) = \ mathbf {x} \ cdot \ nabla f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} f (\ alpha \ mathbf {x}) = {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha).}

Таким образом, Это означает, Поэтому: положительно однородна степени г ( α ) - k α г ( α ) знак равно 0. {\ textstyle g ^ {\ prime} (\ alpha) - {\ frac {k} {\ alpha}} g (\ alpha) = 0.} г ( α ) знак равно г ( 1 ) α k . {\ textstyle g (\ alpha) = g (1) \ alpha ^ {k}.} ж ( α Икс ) знак равно г ( α ) знак равно α k г ( 1 ) знак равно α k ж ( Икс ) {\ textstyle f (\ alpha \ mathbf {x}) = g (\ alpha) = \ alpha ^ {k} g (1) = \ alpha ^ {k} f (\ mathbf {x})} ж {\ displaystyle f} k . {\ displaystyle k.}

Как следствие, предположим, что он

дифференцируем и однороден по степени. Тогда его частные производные первого порядка однородны по степени. Результат следует из теоремы Эйлера путем коммутации оператора с частной производной. ж : р п р {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}} k . {\ displaystyle k.} ж / Икс я {\ displaystyle \ partial f / \ partial x_ {i}} k - 1. {\ displaystyle k-1.} Икс {\ Displaystyle \ mathbf {х} \ cdot \ nabla}

Теорема может быть специализирована для случая функции одной действительной переменной (), и в этом случае функция удовлетворяет

обыкновенному дифференциальному уравнению п знак равно 1 {\ displaystyle n = 1} ж ( Икс ) - k Икс ж ( Икс ) знак равно 0. {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) - {\ frac {k} {x}} f (x) = 0.} Это уравнение может быть решено с использованием подхода интегрирующих факторов, с решением, где ж ( Икс ) знак равно c Икс k , {\ textstyle f (x) = cx ^ {k},} c знак равно ж ( 1 ) . {\ displaystyle c = f (1).}
Однородные распределения
Основная статья: Однородное распределение

Непрерывная функция на однородна степени тогда и только тогда, когда ж {\ displaystyle f} р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}} k {\ displaystyle k}

р п ж ( т Икс ) φ ( Икс ) d Икс знак равно т k р п ж ( Икс ) φ ( Икс ) d Икс {\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (tx) \ varphi (x) \, dx = t ^ {k} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (х) \ varphi (x) \, dx} для всех тестовых функций с компактной поддержкой ; и отлична от нуля в реальном Эквивалентное, делая замену переменной однородна степени, если и только если φ {\ displaystyle \ varphi} т . {\ displaystyle t.} у знак равно т Икс , {\ displaystyle y = tx,} ж {\ displaystyle f} k {\ displaystyle k} т - п р п ж ( у ) φ ( у т ) d у знак равно т k р п ж ( у ) φ ( у ) d у {\ displaystyle t ^ {- n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) \ varphi \ left ({\ frac {y} {t}} \ right) \, dy = t ^ {k} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (y) \ varphi (y) \, dy} для всех и всех тестовых функций Последний дисплей позволяет определить однородность распределений. Распределение однородно степени, если т {\ displaystyle t} φ . {\ displaystyle \ varphi.} S {\ displaystyle S} k {\ displaystyle k} т - п S , φ μ т знак равно т k S , φ {\ displaystyle t ^ {- n} \ langle S, \ varphi \ circ \ mu _ {t} \ rangle = t ^ {k} \ langle S, \ varphi \ rangle} для всех ненулевых действительных и всех тестовых функций Здесь угловые скобки обозначают пары между распределениями и тестовыми функциями, а отображение скалярного деления на действительное число т {\ displaystyle t} φ . {\ displaystyle \ varphi.} μ т : р п р п {\ displaystyle \ mu _ {t}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}} т . {\ displaystyle t.}
Приложение к дифференциальным уравнениям
Основная статья: Однородное дифференциальное уравнение

Подстановка преобразует

обыкновенное дифференциальное уравнение v знак равно у / Икс {\ displaystyle v = y / x} я ( Икс , у ) d у d Икс + J ( Икс , у ) знак равно 0 , {\ displaystyle I (x, y) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} + J (x, y) = 0,} где и - однородные функции одной степени, в сепарабельное дифференциальное уравнение я {\ displaystyle I} J {\ displaystyle J} Икс d v d Икс знак равно - J ( 1 , v ) я ( 1 , v ) - v . {\ displaystyle x {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} = - {\ frac {J (1, v)} {I (1, v)}} - v.}
Смотрите также
Примечания
Доказательства
использованная литература
  • Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (2-е изд.) (На немецком языке). Springer Verlag. п. 188. ISBN   3-540-09484-9.
внешние ссылки
Последняя правка сделана 2023-03-19 09:18:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте