Сублинейная функция

редактировать

В линейной алгебре, в сублинейной функции (или функционале, как более часто используются в функциональном анализе ), также называемый квази-полунорм или ее Банах функционала, на векторном пространстве является реальной значной функцией лишь некоторые из свойств полунорме. В отличие от полунорм, сублинейная функция не обязательно должна быть неотрицательно -значной, а также не должна быть абсолютно однородной. Полунормы сами по себе являются абстракциями более известного понятия нормы, где полунорма имеет все определяющие свойства нормы, за исключением того, что не требуется отображать ненулевые векторы в ненулевые значения. ${\ displaystyle X}$ $Икс$

В функциональном анализе иногда используется название функционал Банаха, что свидетельствует о том, что они чаще всего используются при применении общей формулировки теоремы Хана – Банаха. Понятие сублинейной функции было введено Стефаном Банахом, когда он доказал свою версию теоремы Хана-Банаха.

В информатике также существует другое понятие, описанное ниже, которое также называется «сублинейная функция».

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определения
2 Примеры и достаточные условия
3 свойства
- 3.1 Ассоциированная полунорма
- 3.2 Связь с линейными функциями
- 3.3 Непрерывность
- 3.4 Связь с функциями Минковского и открытыми выпуклыми множествами
4 оператора
5 Определение информатики
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки
9 Библиография

Определения

Позвольте быть векторным пространством над полем, где есть либо действительные числа, либо комплексные числа. Действительнозначная функция на называется сублинейной функцией (или сублинейным функционалом, если), а также иногда называется квазиполунормой или банаховым функционалом, если он имеет эти два свойства: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$

Положительная однородность / неотрицательная однородность :для любого реальногои любого; и ${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$ ${\ Displaystyle f (rx) = rf (x)}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ $г \ geq 0$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$
Субаддитивность / неравенство треугольника :для всех ж ( Икс + у ) ≤ ж ( Икс ) + ж ( у ) {\ Displaystyle е (х + у) \ Leq е (х) + е (у)} Икс , у ∈ Икс . {\ displaystyle x, y \ in X.}
- Это условие субаддитивности требует действительного значения. ${\ displaystyle f}$ $ж$

Сублинейная функция называется положительной или неотрицательной, если для всех ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle е (х) \ geq 0}$ ${\ Displaystyle е (х) \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$

Множество всех сублинейных функций в, обозначенных символом, можно частично упорядочить, объявив тогда и только тогда, когда для всех. Сублинейная функция называется минимальной, если она является минимальным элементом в этом порядке. Сублинейная функция минимальна тогда и только тогда, когда она является действительным линейным функционалом. ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle X ^ {\ #},}$ ${\ displaystyle X ^ {\ #},}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ Displaystyle р (х) \ leq q (х)}$ ${\ Displaystyle р (х) \ leq q (х)}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ $X ^ {{\ #}}$

Примеры и достаточные условия

Каждая полунорма и норма - сублинейная функция, а каждый действительный линейный функционал - сублинейная функция. Обратное в целом неверно.

Если и являются сублинейными функциями в реальном векторном пространстве, то то же самое и карта. В более общем плане, если это любой непустой набор сублинейных функционалов в реальном векторном пространстве, и если для всех, то это сублинейный функционал в реальном векторном пространстве. ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle х \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}.}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle q (x): = \ sup \ {p (x): p \ in {\ mathcal {P}} \},}$ ${\ displaystyle q (x): = \ sup \ {p (x): p \ in {\ mathcal {P}} \},}$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

Линейный функционал on - это сублинейный функционал, который не является положительным и не является полунормой. ${\ Displaystyle х \ mapsto -x}$ $х \ mapsto -x$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$

Характеристики

Каждая сублинейная функция является выпуклым функционалом.

Если - вещественнозначная сублинейная функция на then: ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

${\ displaystyle p (0) = 0.}$ ${\ displaystyle p (0) = 0.}$
${\ Displaystyle 0 \ Leq р (х) + р (-х)}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq р (х) + р (-х)}$ для каждого ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$
0 ≤ Максимум { п ( Икс ) , п ( - Икс ) } {\ Displaystyle 0 \ Leq \ макс \ {п (х), р (-х) \}} для всех Икс ∈ Икс . {\ displaystyle x \ in X.}
- Отображение, определяемое формулой, является полунормой на ${\ Displaystyle д (х): = \ макс \ {р (х), р (-х) \}}$ ${\ Displaystyle д (х): = \ макс \ {р (х), р (-х) \}}$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$
- Это, в частности, означает, что по крайней мере одно из и неотрицательно. ${\ displaystyle p (x)}$ $р (х)$ ${\ displaystyle p (-x)}$ ${\ displaystyle p (-x)}$
${\ Displaystyle р (х) -р (у) \ Leq р (ху)}$ ${\ Displaystyle р (х) -р (у) \ Leq р (ху)}$ для всех ${\ displaystyle x, y \ in X.}$ ${\ displaystyle x, y \ in X.}$

Ассоциированная полунорма

Если - вещественнозначная сублинейная функция на, то карта определяет полунорму на, называемую полунормой, связанной с ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle д (х): = \ макс \ {р (х), р (-х) \}}$ ${\ Displaystyle д (х): = \ макс \ {р (х), р (-х) \}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle p.}$ $п.$

Связь с линейными функциями

Если - сублинейная функция в вещественном векторном пространстве, то следующие значения эквивалентны: ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

${\ displaystyle p}$ $п$ - линейный функционал ;
для каждого ; ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ Displaystyle р (х) + р (-х) \ leq 0}$ ${\ Displaystyle р (х) + р (-х) \ leq 0}$
для каждого ; ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ Displaystyle р (х) + р (-х) = 0}$ ${\ Displaystyle р (х) + р (-х) = 0}$
${\ displaystyle p}$ $п$ - минимальная сублинейная функция.

Если - сублинейная функция на вещественном векторном пространстве, то существует линейный функционал на таком, что ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f \ leq p.}$ ${\ displaystyle f \ leq p.}$

Если это вещественное векторное пространство, представляет собой линейный функционал на и положительная функция сублинеен на то на тогда и только тогда ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) \ cap \ {x \ in X: p (x) lt;1 \} = \ varnothing.}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (1) \ cap \ {x \ in X: p (x) lt;1 \} = \ varnothing.}$

Непрерывность

Теорема - Предположим, есть субаддитивная функция (то есть для всех). Then является непрерывным в начале координат тогда и только тогда, когда оно равномерно непрерывно на If удовлетворяет then непрерывно тогда и только тогда, когда его абсолютное значение непрерывно. Если неотрицательно, то непрерывно тогда и только тогда, когда открыто в ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle е (х + у) \ Leq е (х) + е (у)}$ ${\ Displaystyle е (х + у) \ Leq е (х) + е (у)}$ ${\ displaystyle x, y \ in X}$ $х, у \ в X$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle | е |: от х \ к [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle | е |: от х \ к [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle \ {х \ в Икс: е (х) lt;1 \}}$ ${\ Displaystyle \ {х \ в Икс: е (х) lt;1 \}}$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) над действительными или комплексными числами и является сублинейной функцией на Тогда следующие эквивалентны: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

${\ displaystyle p}$ $п$ непрерывно;

${\ displaystyle p}$ $п$ непрерывна в 0;

${\ displaystyle p}$ $п$ равномерно непрерывна на ; ${\ displaystyle X}$ $Икс$

и если положительный, то мы можем добавить к этому списку: ${\ displaystyle p}$ $п$

${\ Displaystyle \ {х \ в Икс: п (х) lt;1 \}}$ ${\ Displaystyle \ {х \ в Икс: п (х) lt;1 \}}$ открыт в ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

Если - реальная TVS, является линейным функционалом на и является непрерывной сублинейной функцией на, то на означает, что непрерывна. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle f \ leq p}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

Связь с функциями Минковского и открытыми выпуклыми множествами

Теорема - Если выпуклая открытая окрестность нуля в ТВС, то функционал Минковского из является непрерывной неотрицательной функция сублинейны на такое, что ; Кроме того, если в это сбалансировано, то есть полнормы на ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle p_ {U}: X \ to [0, \ infty),}$ ${\ displaystyle p_ {U}: X \ to [0, \ infty),}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle U = \ left \ {x \ in X: p_ {U} (x) lt;1 \ right \}}$ ${\ Displaystyle U = \ left \ {x \ in X: p_ {U} (x) lt;1 \ right \}}$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle p_ {U}}$ $p_ {U}$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

Отношение к открытым выпуклым множествам

Теорема - Пусть это TVS (не обязательно локально выпуклым или Хаусдорфа) над вещественными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества в - это в точности те, которые имеют форму для некоторой и некоторой положительной непрерывной сублинейной функции на ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle z + \ {x \ in X: p (x) lt;1 \} = \ {x \ in X: p (xz) lt;1 \}}$ ${\ displaystyle z + \ {x \ in X: p (x) lt;1 \} = \ {x \ in X: p (xz) lt;1 \}}$ ${\ displaystyle z \ in X}$ $z \ в X$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$

Доказательство

Позвольте быть открытым выпуклым подмножеством If, то пусть и в противном случае пусть будет произвольным. Пусть будет функционалом Минковский из которых является непрерывной функцией сублинейны на так выпукло, поглощая, и открытой ( однако это не обязательно, так как полнормы не предполагались, должны быть сбалансировано). Из свойств функционалов Минковского известно то, из чего следует. Но ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$ ${\ displaystyle 0 \ in V}$ ${\ displaystyle 0 \ in V}$ ${\ displaystyle z: = 0}$ ${\ displaystyle z: = 0}$ ${\ displaystyle z \ in V}$ $z \ in V$ ${\ displaystyle p: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle p: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle Vz}$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ Displaystyle Vz = \ {х \ в X: p (x) lt;1 \}}$ ${\ Displaystyle Vz = \ {х \ в X: p (x) lt;1 \}}$ ${\ Displaystyle V = Z + \ {x \ in X: p (x) lt;1 \}}$ ${\ Displaystyle V = Z + \ {x \ in X: p (x) lt;1 \}}$

${\ displaystyle z + \ {x \ in X: p (x) lt;1 \} = \ {z + x: x \ in X, p (x) lt;1 \} = \ {z + x: x \ in X, p ((z + x) -z) lt;1 \} = \ {x \ in X: p (xz) lt;1 \},}$ ${\ displaystyle z + \ {x \ in X: p (x) lt;1 \} = \ {z + x: x \ in X, p (x) lt;1 \} = \ {z + x: x \ in X, p ((z + x) -z) lt;1 \} = \ {x \ in X: p (xz) lt;1 \},}$

по желанию. ${\ displaystyle \ blacksquare}$ $\ blacksquare$

Операторы

Эту концепцию можно распространить на операторы, которые являются однородными и субаддитивными. Это требует только, чтобы область значений была, скажем, упорядоченным векторным пространством, чтобы понять условия.

Определение информатики

В информатике функция называется сублинейной if или в асимптотической записи (обратите внимание на малое). Формально, тогда и только тогда, когда для любого данного существует такое, что для То есть растет медленнее, чем любая линейная функция. Не следует путать эти два значения: хотя банаховый функционал является выпуклым, для функций сублинейного роста верно почти обратное: каждая функция может быть ограничена сверху с помощью вогнутой функции сублинейного роста. ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {n}} = 0,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {n}} = 0,}$ ${\ Displaystyle е (п) \ в о (п)}$ $е (п) \ в о (п)$ ${\ displaystyle o}$ $о$ ${\ Displaystyle е (п) \ в о (п)}$ $е (п) \ в о (п)$ ${\ displaystyle cgt; 0,}$ ${\ displaystyle cgt; 0,}$ ${\ displaystyle N}$ $N$ ${\ Displaystyle е (п) lt;сп}$ ${\ Displaystyle е (п) lt;сп}$ ${\ displaystyle n \ geq N.}$ ${\ displaystyle n \ geq N.}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle е (п) \ в о (п)}$ $е (п) \ в о (п)$

Смотрите также

Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы

Теорема Хана-Банаха

Линейный функционал

Норма (математика) - Длина в векторном пространстве

Семинорм

Супераддитивность

Примечания

использованная литература

Список используемой литературы

Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.

Шефер, Гельмут Х. ; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.