Сбалансированный набор

В линейной алгебре и связанных областях математики сбалансированный набор, обведенный набор или диск в векторном пространстве (над полем 𝕂 с абсолютным значением функция $|\; \cdot \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; cdot\; |\}$) представляет собой набор S, такой что aS ⊆ S для всех скаляры a, удовлетворяющие | a | ≤ 1.

сбалансированный корпус или сбалансированная огибающая набора S является наименьшим сбалансированным набором, содержащим S. сбалансированный сердечник корпуса подмножество S - это самый большой сбалансированный набор, содержащийся в S.

• 1 Определение
• 2 Примеры и достаточные условия
• 3 Свойства
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Предположим, что X - векторное пространство над полем 𝕂 вещественных или комплексных чисел. Элементы 𝕂 называются скалярами .

Обозначение : Если S - множество, a - скаляр и B ⊆ 𝕂, то пусть a S: = {as: s ∈ S} и BS: = { bs: b ∈ B, s ∈ S}.

Обозначение : для любого 0 ≤ r ≤ ∞ пусть B r : = {a ∈ 𝕂: | a | ≤ r} обозначим замкнутый шар радиуса r в 𝕂 с центром в 0, и пусть B r : = {a ∈ 𝕂: | a | < r } denote the corresponding open ball. Note that B0 = ∅, B 0 = {0} и B ∞ = B ∞ = 𝕂.

• Обратите внимание, что каждое сбалансированное подмножество поля 𝕂 имеет форму B r или B r для некоторого 0 ≤ r ≤ ∞.

Определение : A подмножество S в X называется сбалансированным, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. a S ⊆ S для всех скаляров a, удовлетворяющих | a | ≤ 1;
2. B1S ⊆ S, где B 1 : = {a ∈ 𝕂: | a | ≤ 1};
3. S = B 1S;
4. Для любого s ∈ S, S ∩ 𝕂 s = B 1 (S ∩ 𝕂 s);
   • Обратите внимание, что если мы положим R: = S ∩ 𝕂 s, то указанное выше равенство станет R = B 1 R, что в точности является предыдущим условием для балансировки набора. Таким образом, S является сбалансированным тогда и только тогда, когда для любого s ∈ S S ∩ 𝕂 s является сбалансированным множеством (согласно любому из предыдущих определяющих условий);
5. Для любого одномерного векторного подпространства Y в span S, S ∩ Y - сбалансированное множество (согласно любому определяющему условию, отличному от этого).
6. Для любого s ∈ S существует некоторое 0 ≤ r ≤ ∞ такое, что S ∩ 𝕂 s = B r s или S ∩ 𝕂 s = B rs;

Если S является выпуклым множеством, то мы можем добавить к этому списку:

7. a S ⊆ S для всех скаляров a, удовлетворяющих | a | = 1.

Если 𝕂 = ℝ, то мы можем добавить к этому списку:

8. S является симметричным (т.е. - S = S) и [0, 1) S ⊆ S.

Определение и обозначение : сбалансированная оболочка подмножества S множества X, обозначаемая bal S, определяется любым из следующих эквивалентных способов:

1. bal S - наименьшее сбалансированное подмножество X содержащий S;
2. bal S - это пересечение всех сбалансированных множеств, содержащих S;
3. bal S = ∪ | a | ≤ 1 (a S);
4. bal S = B 1 S, где B 1 : = {a ∈ 𝕂: | a | ≤ 1}.

Определение и обозначение : сбалансированное ядро ​​подмножества S в X, обозначаемое balcore S, определяется любым из следующих эквивалентных способов:

1. balcore S - наибольшее сбалансированное множество, содержащееся в S;
2. balcore S - объединение всех сбалансированных подмножеств S;
3. balcore S = ∅, если 0 ∉ S, а balcore S = ∩ | a | ≥ 1 (aS), если 0 ∈ S.

Достаточные условия

• Замыкание сбалансированного множества сбалансировано.
• Выпуклая оболочка сбалансированного множества является выпуклой и сбалансированный (т.е. абсолютно выпуклый ).
  • Однако сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой.
• Уравновешенная оболочка компактного (соответственно полностью ограниченного, ограниченного) множества компактна (соответственно. полностью ограниченный, ограниченный).
• Произвольные объединения сбалансированных множеств являются сбалансированным множеством.
• Произвольные пересечения сбалансированных множеств являются сбалансированным множеством.
• Скалярные кратные сбалансированных множеств сбалансированы.
• Сумма Минковского двух сбалансированных множеств сбалансирована.
• Изображение сбалансированного множества под линейный оператор снова является сбалансированным множеством.
• Обратный образ сбалансированного множества (в codomain) под линейным оператором снова является сбалансированным множеством (в домене).
• В любом топологическое векторное пространство, внутренность сбалансированной окрестности нуля снова сбалансирована.

Примеры

• Если S ⊆ X - любое подмножество и B 1 : = {a ∈ 𝕂 : | а | < 1 } then B1S - сбалансированный набор.
  • В частности, если U ⊆ X - любая сбалансированная окрестность начала координат в TVS X, то Int U = B 1 U = ∪0 < |a| < 1 a U ⊆ U.
• Если 𝕂 - поле вещественное или комплексные числа и X = 𝕂 - нормированное пространство над 𝕂 с обычной евклидовой нормой, то сбалансированные подмножества X в точности следующие:
  1. ∅
  2. X
  3. {0}
  4. {x ∈ X: | x | < r } for some real r>0
  5. {x ∈ X: | x | ≤ r} для некоторого действительного r>0.
• Открытые и закрытые шары с центром в 0 в нормированном векторном пространстве являются сбалансированными множествами.
• Любой вектор подпространство вещественного или комплексного векторного пространства является сбалансированным множеством.
• Если X = ℝ (X - векторное пространство над ℝ), B 1 является замкнутым единичный шар в X с центром в начале координат, x 0 ∈ X отличен от нуля и L: = ℝx 0, тогда множество R: = B 1 ∪ L - замкнутая, симметричная и сбалансированная окрестность начала координат в X. В более общем смысле, если C - любое замкнутое подмножество X такое, что (0, 1) C ⊆ C, то S: = B 1 ∪ C ∪ (- C) - замкнутая, симметричная и сбалансированная окрестность начала координат в X. Этот пример можно обобщить на ℝ для любого целого n ≥ 1.
• декартово произведение семейства сбалансированных множеств сбалансировано в пространстве произведения соответствующих векторных пространств (над одним и тем же полем 𝕂).
• Рассмотрим ℂ, поле комплексных чисел, как 1-мерное векторное пространство. Сбалансированные множества - это собственно, пустое множество, а также открытый и закрытый диски с центром в нуле. Напротив, в двумерном евклидовом пространстве есть намного больше сбалансированных множеств: подойдет любой отрезок линии со средней точкой в ​​начале координат. В результате и ℝ совершенно разные в том, что касается скалярного умножения.
• Если p - полунорма в линейном пространстве X, то для любой константы c>0 множество {x ∈ X: p (x) ≤ c} сбалансировано.
• Пусть X = ℝ и пусть B будет объединением отрезка прямой между (-1, 0) и (1, 0) и отрезок между (0, -1) и (0, 1). Тогда B уравновешен, но не выпуклый и не поглощающий. Однако промежуток B = X.
• Пусть X = ℝ и для каждого 0 ≤ t < 𝜋, let rtбудет любое положительное действительное число, и пусть B будет (открытым или закрытым) отрезком прямой между точками (cos t, sin t) и - (cos t, sin t). Тогда множество B = ∪0 ≤ t < 𝜋 rtB сбалансировано и поглощает, но не обязательно выпукло.
• Сбалансированная оболочка замкнутого множества не должна быть замкнутой. Возьмем, например, график xy = 1 в X = ℝ.

Свойства сбалансированных множеств

• Набор абсолютно выпуклый тогда и только тогда, когда он выпуклый и сбалансировано.
• Если B сбалансировано, то для любого скаляра a aB = | a | B.
• Если B сбалансировано, то для любых скаляров a и b таких, что | a | ≤ | b |, aB ⊆ bB.
• Объединение {0} и внутренней части сбалансированного набора сбалансировано.
• Если B является сбалансированным подмножеством X, то B равно поглощение в X тогда и только тогда, когда для всех x ∈ X существует r>0 такое, что x ∈ rB.
• Если B - сбалансированное подмножество X, то B поглощение в диапазоне B.
• сумма Минковского двух сбалансированных наборов сбалансирована.
• Каждый сбалансированный набор является симметричным.
• Каждый сбалансированный набор соединен по пути.
• Предположим, B сбалансирован. Если Y - одномерное векторное подпространство в X, то B ∩ Y выпукло и сбалансировано. Если Y - одномерное векторное подпространство в span B, то B ∩ Y также поглощает в Y.
• Если B ≠ ∅ сбалансировано, то для любого x ∈ X B ∩ ℝ x - выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат. Если B - окрестность 0 в X, то B ∩ ℝ x - выпуклая сбалансированная окрестность 0 в вещественном векторном подпространстве ℝ x.

Свойства сбалансированных оболочек

• a bal S = bal (aS) для любого подмножества S элемента X и любого скаляра a.
• bal (∪S ∈ 𝒮 S) = ∪S ∈ 𝒮 bal (S) для любого набора 𝒮 подмножеств X.
• В любом топологическом векторе пространство, сбалансированная оболочка любой открытой окрестности 0 снова открыта.
• Если X является Hausdorff топологическим векторным пространством и если K - компактное подмножество X, то сбалансированная оболочка K компактна.

Сбалансированная сердцевина

• Сбалансированная сердцевина замкнутого подмножества замкнута.
• Сбалансированная сердцевина поглощающей подмножества является поглощающей.

• Абсолютно выпуклое множество
• Поглощающее множество - Множество, которое можно «раздувать», чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку в пространстве
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
• Выпуклый набор - В геометрии набор, который пересекает каждую линию в один отрезок
• Звездная область
• Симметричный набор
• Топологическое ve ctor space - Векторное пространство с понятием близости

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur specific espaces vectoriels topologiques]. Анналы института Фурье. Éléments de mathématique. 2. Перевод Eggleston, H.G.; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96(2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы.. 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Ярчоу, Ханс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, Д.Дж.Х. Нью-Йорк: Springer Science Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Топологические векторные пространства. II. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства.. 53 . Кембридж, Англия: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Swartz, Charles (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Trèves, François (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.