Поглощающий набор

Набор, который можно «раздувать», чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку в пробел

В функциональный анализ и связанные области математики поглощающий наборв векторном пространстве представляет собой набор S, который может быть " раздутый »или« увеличенный », чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку векторного пространства. Альтернативные термины: радиальный или абсорбирующий набор.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Обозначение
  • 1.2 Один комплект поглощает другой
  • 1.3 Поглощающий комплект
• 2 Примеры и достаточные условия
  • 2.1 Для одного набора, поглощающего другой
  • 2.2 Для набора, поглощающего
• 3 Свойства
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Определение

Предположим, что X - векторное пространство над полем 𝕂 вещественных ℝ или комплексных чисел ℂ.

Обозначение

Произведение скаляров и векторов

Обозначение: Пусть A будет подмножеством X, x ∈ X, K ⊆ 𝕂 набор скаляров, k 0 ∈ 𝕂 скаляр и -∞ ≤ t ≤ T ≤ ∞. Определите:

• KA: = {ka: k ∈ K, a ∈ A}
  • k0A: = {k 0 a: a ∈ A}.
  • K x: = {kx: k ∈ K}.
• 𝕂 x: = {kx: k ∈ 𝕂} = span {x}
• ℝ x: = {rx: r ∈ ℝ}
• (t, T) x: = {rx: t < r < T } and (t, T) A := { r a : t < r < T, a ∈ A }

Шары в 𝕂

Обозначение: Если r>0, то обозначим открытый шар радиуса r с центром в начале координатв 𝕂 (где 𝕂 означает ℝ или ℂ) по

Br: = B. r: = {c ∈ 𝕂: | c | < r }

и обозначим замкнутый шар радиуса r>0 с центром в начале координатв 𝕂 как

Br: = B. r: = {c ∈ 𝕂: | c | ≤ r}.

Одно множество поглощает другое

Определение: если S и A являются подмножествами X, мы говорим, что A поглощаетS, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Существует действительное r>0 такое, что S ⊆ c A для любого скаляра c, удовлетворяющего | c | ≥ r;
   • Если скалярное поле равно ℝ, то интуитивно «A поглощает S» означает, что если A постоянно «увеличивается в масштабе» или «раздувается» (т.е. t A при t → ∞), то в конечном итоге все t A будут содержать S.
   • Обратите внимание, что это определение зависит от канонической нормы в лежащем в основе скалярном поле, что связывает это определение с обычной евклидовой топологией скалярного поля.
2. Существует действительное r>0 такое, что c S ⊆ A для любого скаляра c ≠ 0, удовлетворяющего | c | ≤ r;
   • Если известно, что 0 ∈ A, то мы можем снять ограничение c ≠ 0.
3. Существует вещественное r>0 такое, что (B r ∖ {0}) S ⊆ A.
   • Замкнутый шар (с удаленным началом координат) может использоваться вместо открытого шара.

Если A сбалансирован, то мы можем добавить к этому списку:

4. Существует скаляр c ≠ 0 такой, что S ⊆ c A;
5. Существует скаляр c ≠ 0 такой, что c S A.

Поглощающее множество

Определение: Подмножество A векторного пространства X над полем 𝕂 называется поглощающимили поглощающимв X, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий (здесь упорядочено так, что каждое условие является простым следствие предыдущего):

1. Для любого x ∈ X A поглощает {x}.
2. Для любого x ∈ X существует вещественное r>0 такое, что x ∈ c A для любого скаляра c ∈ 𝕂, удовлетворяющего | c | ≥ r.
3. Для любого x ∈ X существует вещественное r>0 такое, что c x ∈ A для любого скаляра c ∈ 𝕂, удовлетворяющего | c | ≤ r.
4. Для любого x ∈ X существует вещественное r>0 такое, что B r x ⊆ A.
   • Здесь B r : = B. r: = {c ∈ 𝕂: | c | < r } is the open ball of radius r in 𝕂 centered at the origin and Br x: = {c x: c ∈ B. r} = {c x: c ∈ 𝕂 и | c | < r }.
   • Замкнутый шар можно использовать вместо открытого.
5. Для любого x ∈ X существует вещественное r>0 такое, что B r x ⊆ A ∩ 𝕂 x, где 𝕂 x = span {x}.
   • Доказательство: это следует из предыдущего условия, поскольку B r x ⊆ 𝕂 x, так что B r x ⊆ A тогда и только тогда, когда B r x ⊆ A ∩ 𝕂 x.
   • Соединение с топологией: обратите внимание, что если 𝕂 x задана его обычной хаусдорфовой евклидовой топологией, то множество B r x является окрестностью происхождения в 𝕂 x; таким образом, существует действительное число r>0 такое, что B r x ⊆ A ∩ 𝕂 x тогда и только тогда, когда A ∩ 𝕂 x является окрестностью начала координат в 𝕂 x.
   • Примечание что каждое 1-мерное векторное подпространство в X имеет вид 𝕂 x = span {x} для некоторого ненулевого x ∈ X и что если 1-мерное пространство 𝕂 x наделено единственной векторной топологией Хаусдорфа, то отображение 𝕂 → 𝕂 x, задаваемое c ↦ cx, является TVS-изоморфизмом (где, как обычно, 𝕂 имеет нормированную евклидову топологию).
6. A содержит начало координат, и для любого одномерного векторного подпространства Y в X, A ∩ Y является окрестность начала координат в Y, когда Y задана его единственная хаусдорфова векторная топология.
   • Векторная топология Хаусдорфа на одномерном векторном пространстве обязательно TVS-изоморфна 𝕂 с его обычной нормированной евклидовой топологией.
   • Интуиция: Это условие показывает, что вполне естественно, что любая окрестность 0 в любом топологическом векторном пространстве (TVS) X будет поглощающей: если U - окрестность начала координат в X, то она было бы патологическим если существует какое-либо одномерное векторное подпространство Y, в котором U ∩ Y не является окрестностью начала координат по крайней мере в некоторой топологии TVS на Y. Но единственными топологиями TVS на Y являются евклидова топология Хаусдорфа и тривиальная топология, которые содержится в евклидовой топологии. Следовательно, естественно ожидать, что U ∩ Y будет окрестностью 0 в евклидовой топологии для всех одномерных векторных подпространств Y, что является в точности условием того, что U поглощает в X. Таким образом, неудивительно, что все окрестности происхождения во всех TVS обязательно поглощают. Причина, по которой выделяется евклидова топология, связана с определяющим требованием для топологий TVS, чтобы скалярное умножение было непрерывным, когда скалярное поле задано евклидовой топологией.
   • Это условие эквивалентно: для любого x ∈ X, A ∩ span {x} - это окрестность 0 в span {x} = 𝕂 x, когда span {x} задана его уникальная хаусдорфова топология TVS.
7. A содержит начало координат и для любого одномерного векторного подпространства Y пространства X , A ∩ Y поглощает в Y.
   • Здесь «поглощение» означает поглощение в соответствии с любым определяющим условием, отличным от этого.
   • Это показывает, что свойство поглощения в X зависит только от того, как A ведет себя по отношению к 1 (или 0) -мерным векторным подпространствам X.

Если 𝕂 = ℝ, то мы можем добавить к этому списку:

8. алгебраическая внутренность A содержит начало координат (т.е. 0 ∈ A).

Если A сбалансировано, то мы можем добавить к этому списку:

9. Для каждого x ∈ X существует скаляр c ≠ 0 такой, что x ∈ c A.

Если A является выпуклый orсбалансированный, то мы можем добавить к этому списку:

10. Для любого x ∈ X существует положительное вещественное число r>0 такое, что rx ∈ A.
    • Доказательство тот факт, что сбалансированноемножество A, удовлетворяющее этому условию, обязательно поглощает в X, почти сразу следует из определения "сбалансированного множества".
    • Доказательство того, что выпуклоемножество Удовлетворение этому условию обязательно поглощает в X менее тривиально (но не сложно). Подробное доказательство приводится в этой сноске, а краткое изложение - ниже.
      • Краткое изложение доказательства: заметим, что для любого 0 ≠ y ∈ X по предположению мы можем выбрать положительное вещественное число r>0 и R>0 такие, что R y ∈ A и r (-y) ∈ A, так что выпуклое множество A ∩ ℝ y содержит открытый подинтервал (- r, R) y: = {ty: - r < t < R, t ∈ ℝ }, which contains the origin (we also call A ∩ ℝ y an interval since any non-empty convex subset of ℝ is an interval). Give 𝕂 y its unique Hausdorff vector topology and we must show that A ∩ 𝕂 y is a neighborhood of the origin in 𝕂 y. If 𝕂 = ℝ then we're done, so assume that 𝕂 = ℂ. Note that the set S := (A ∩ ℝ y) ∪ (A ∩ ℝ (i y)) ⊆ A ∩ (ℂ y) is a union of two intervals, each of which contains an open sub-interval that contains the origin, and that the intersection of these two intervals is precisely the origin. So the convex hull of S, which is contained in the convex set A ∩ (ℂ y), clearly contains an open ball around the origin.
11. Для любого x ∈ X существует положительное вещественное число r>0 такое, что x ∈ r A.
    • Это условие эквивалентно любому x ∈ X, принадлежащему множеству (0, ∞) A: = {ra: 0 < r < ∞, a ∈ A } = ∪0 < r < ∞ r A, which happens if and only if X = (0, ∞) A. One may also show that for any subset T of X, (0, ∞) T = X if and only if T ∩ (0, ∞) x ≠ ∅ for every x ∈ X.
12. (0, ∞) A = X.
13. Для любого x ∈ X, A ∩ (0, ∞) x ≠ ∅, где (0, ∞) x: = {rx: 0 < r < ∞ }.

Примечание: если 0 ∈ A (что необходимо для того, чтобы поглощающий), то достаточно проверить любое из приведенных выше условий для всех ненулевых x ∈ X, а не для всех x ∈ X.

Примеры и достаточные условия

Для того, чтобы одно множество поглощало другое

• Пусть F: X → Y - линейное отображение между векторными пространствами и пусть B ⊆ X и C ⊆ Y - сбалансированные множества. Тогда C поглощает F (B) тогда и только тогда, когда F (C) поглощает B.

Чтобы множество было поглощающим

• Если X является топологическим векторным пространством (TVS), то любая окрестность начало в X поглощается в X.
  • Этот факт является одним из основных мотивов даже для определения свойства «поглощение в X».
• В полунормированном векторном пространстве единичный шар поглощает.
• Если D ≠ ∅ является диском в X, то промежуток D = ∪. n = 1 nD так что, в частности, D является поглощающим подмножеством span D.
  • Таким образом, если D является кругом в X, то X поглощает в X тогда и только тогда, когда span D = X.
• Пересечение Конечное, но непустое семейство поглощающих множеств является поглощающим.
• Объединение непустого произвольного семейства поглощающих множеств является поглощающим.
• Образ поглощающего множества под действием сюръективного линейного оператора снова поглощает.
• Обратный образ поглощающего множества (в области) под действием линейного оператора снова становится поглощающим (в области).

Свойства

Каждый поглощающий набор содержит начало координат.

Если D - поглощающий диск в векторном пространстве X, то существует поглощающий диск E в X такой, что E + E ⊆ D.

См. Также

• Алгебраическая внутренность - Математическая концепция
• Абсолютно выпуклое множество
• Сбалансированное множество - Конструирование в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
• Выпуклое множество - В геометрии множество, пересекающее каждую линию в одинарный отрезок
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Радиальное множество
• Звездная область
• Симметричное множество
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Ссылки

• Jarchow, Hans (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur specific espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier.. 2. Перевод Eggleston, H.G.; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Николас, Бурбаки (2003). Топологические векторные пространства Глава 1-5 (английский перевод). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. I.7. ISBN 3-540-42338-9.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96(2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Дистел, Джо (30 июля 2008 г.). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотренное резюме Гротендика. 16. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN 9781470424831. OCLC 185095773. CS1 maint: ref = harv (link ) CS1 maint: дата и год (ссылка )
• Dineen, Seán (1981). Комплексный анализ в локально выпуклых пространствах. Математические исследования Северной Голландии. 57. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087168-4. OCLC 16549589. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы.. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Гротендик, Александр ( 1973). Топологические векторные пространства. Перевод Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 8 86098.
• (15 января 1977 г.). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе. Математические исследования Северной Голландии. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC 316549583. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) CS1 maint: дата и год (ссылка )
• ; (январь 1, 1981). Ядерные и ядерные пространства: вводный курс по ядерным и конъядерным пространствам в свете дуальности "топология-борнология". North-Holland Mathematics Studies. 52. Amsterdam New York New York: North Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345. CS1 maint: ref = harv ( ссылка ) CS1 maint: дата и год (ссылка )
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Написано в Берлине, Гейдельберг. Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах. Лекция Примечания по математике. 692. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224- 4. OCLC 8210342.
• Келлер, Ханс (15 ноября 1974 г.). Дифференциальный расчет нас в локально выпуклых пространствах. Конспект лекций по математике. 417. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-06962-1. OCLC 1103033. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) CS1 maint: дата и год (ссылка )
• Khaleelulla, SM (1982). Написано в Берлине, Гейдельберг. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Кете, Готфрид (1969). Топологический вектор Spaces I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159. Перевод Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Топологические векторные пространства II. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237. New Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• (1 июля 1979 г.). Ядерные локально выпуклые пространства. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66(Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк:. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) CS1 maint: дата и год (ссылка )
• Робертсон, Алекс P.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978- 0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Робертсон, AP; WJ Robertson (1964). Топологические векторные пространства. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press. Стр. 4.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международные серии по чистой и прикладной математике. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Томпсон, Энтони К. (1996). Геометрия Минковского. Энциклопедия математики и ее приложений. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40472-X.
• Schaefer, Helmut H. (1971). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк: S pringer-Verlag. п. 11. ISBN 0-387-98726-6.
• Schaefer, Helmut H. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Шефер, Х. Х. (1999). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Swartz, Charles (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: M. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Трев, Франсуа (2006) [1967 ]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
• (1 июля 1979 г.). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Конспект лекций по математике. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) CS1 maint: дата и год (ссылка )