Теорема Андерсона – Кадека

редактировать

В математике, в областях топологии и функциональности анализа, теорема Андерсона – Кадека утверждает, что любые два бесконечномерных, разделимых банаховых пространства или, в более общем смысле, пространства Фреше, гомеоморфны как топологические пространства. Теорема была доказана Михаилом Кадец (1966) и Ричардом Дэвисом Андерсоном.

Содержание

1 Утверждение
2 Предварительные сведения
3 Набросок доказательства
4 Примечания
5 источников

Утверждение

Каждое бесконечномерное отделимое пространство Фреше гомеоморфно $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}$ , декартово произведение из счетного числа копий действительной прямой $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Предварительные сведения

норма Кадека: Норма $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ в линейном нормированном пространстве $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется Норма Кадека относительно тотального подмножества $A ⊂ X ∗ {\ displaystyle A \ subset X ^ {*}}$ ${\ displaystyle A \ subset X ^ {*}}$ двойного пространства $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X^{*}$ если для каждой последовательности $xn ∈ X {\ displaystyle x_ {n} \ in X}$ $x_ {n} \ in X$ выполняется следующее условие:

Если $lim n → ∞ x ∗ (xn) = x ∗ (x 0) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x ^ {*} (x_ {n}) = x ^ {*} ( x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x ^ {*} (x_ {n}) = x ^ {*} (x_ {0})}$ f или $x ∗ ∈ A {\ displaystyle x ^ {*} \ in A}$ ${\ displaystyle x ^ {*} \ in A}$ и $lim n → ∞ ‖ xn ‖ = ‖ x 0 ‖ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | x_ {n} \ | = \ | x_ {0} \ |}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | x_ {n} \ | = \ | x_ {0 } \ |}$ , тогда $lim n → ∞ ‖ xn - x 0 ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ | x_ {n} -x_ {0} \ | = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty} \ | x_ {n} -x_ {0} \ | = 0}$ .

Теорема Эйдельхейта : пробел Фреше $E {\ displaystyle E}$ $E$ либо изоморфно банаховому пространству, либо имеет фактор-пространство, изоморфное $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}$ .

Теорема о перенормировке Кадека: Каждое отделимое банахово пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ допускает норму Кадека относительно счетного общего подмножества $A ⊂ X ∗ {\ displaystyle A \ subset X ^ {*}}$ ${\ displaystyle A \ subset X ^ {*}}$ из $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X^{*}$ . Новая норма эквивалентна исходной норме $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ из $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Множество $A {\ displaystyle A}$ $A$ можно рассматривать как любое плотное счетное подмножество слабой звезды единичного шара в $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X^{*}$

Эскиз доказательства

В приведенном ниже аргументе $E {\ displaystyle E}$ $E$ обозначает бесконечномерное разделяемое пространство Фреше, а $≃ {\ displaystyle \ simeq}$ $\ simeq$ отношение топологической эквивалентности (наличие гомеоморфизма).

Отправной точкой доказательства теоремы Андерсона – Кадека является доказательство Кадека, что любое бесконечномерное сепарабельное банахово пространство гомеоморфно $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N }}}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}$ .

Из теоремы Эйдельхейта достаточно рассмотреть пространства Фреше, которые не изоморфны банахову пространству. В этом случае у них есть фактор, изоморфный $R N {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}$ . Результат Бартла-Грейвса-Майкла доказывает, что тогда

E ≃ Y × RN {\ displaystyle E \ simeq Y \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}

{\ displaystyle E \ simeq Y \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}

для некоторого пространства Фреше $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ .

С другой стороны, $E {\ displaystyle E}$ $E$ является замкнутым подпространством счетного бесконечного произведения разделимых банаховых пространств $X = ∏ n = 1 ∞ Икс я {\ Displaystyle X = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {i}}$ ${\ displaystyle X = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {i}}$ разделимых банаховых пространств. Тот же результат Бартла-Грейвса-Майкла, примененный к $X {\ displaystyle X}$ $X$ , дает гомеоморфизм

X ≃ E × Z {\ displaystyle X \ simeq E \ times Z}

{\ displaystyle X \ simeq E \ times Z}

для некоторого пространства Фреше $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ . Из результата Кадека счетное произведение бесконечномерных разделимых банаховых пространств $X {\ displaystyle X}$ $X$ гомеоморфно $RN {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N} }}$ $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}$ .

Доказательство теоремы Андерсона – Кадека состоит из последовательности эквивалентностей

RN ≃ (E × Z) N ≃ EN × ZN ≃ E × EN × ZN ≃ E × RN ≃ Y × RN × RN ≃ Y × RN ≃ E {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ simeq (E \ times Z) ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E ^ {\ mathbb {N}} \ times Z ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E \ times E ^ {\ mathbb {N}} \ times Z ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq Y \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq Y \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ simeq (E \ times Z) ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E ^ {\ mathbb {N}} \ times Z ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E \ times E ^ {\ mathbb {N}} \ times Z ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E \ times \ mathbb {R} ^ { \ mathbb {N}} \\ \ simeq Y \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq Y \ times \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \\ \ simeq E \ end {align}}}

Примечания

Ссылки

Бессага, С.; Пелчинский А. (1975), Избранные темы в бесконечномерной топологии, Монография Математики, Варшава: PWN.
Торунчик, Х. (1981), Характеризация топологии гильбертова пространства, Fundamenta Mathematicae, стр. 247–262 30>.