Пространство Fréchet

редактировать

Эта статья посвящена пространствам Фреше в функциональном анализе. Для пространств Фреше в общей топологии см. Пространство T1. О типе секвенциального пространства см. Пространство Фреше – Урысона.

В функциональном анализе и смежных областях математики, Фреш, названный в честь Мориса Фреша, специальные топологические векторные пространства. Они являются обобщениями банаховых пространств ( нормированных векторных пространств, полных относительно метрики, индуцированной нормой ). Все банаховы и гильбертовые пространства являются пространствами Фреше. Пространства бесконечно дифференцируемых функций являются типичными примерами пространств Фреше, многие из которых обычно не являются банаховыми пространствами.

Пространство Фреше определяется как локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство (TVS), которое является полным как TVS, что означает, что каждая последовательность Коши в сходится к некоторой точке в (см. Сноску для более подробной информации). ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Важное примечание: не все авторы требуют, чтобы пространство Фреше было локально выпуклым (обсуждается ниже).

Топология любого пространства Фреше индуцирована некоторой трансляционно-инвариантной полной метрикой. Наоборот, если топология локально выпуклого пространства индуцирована трансляционно-инвариантной полной метрикой, то это пространство Фреше. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Фреше был первым, кто использовал термин « банахово пространство », а Банах, в свою очередь, ввел термин «пространство Фреше» для обозначения полного метризуемого топологического векторного пространства без требования локальной выпуклости (такое пространство сегодня часто называют « F- пробел »). Условие локальной выпуклости было добавлено позже Николя Бурбаки. Важно отметить, что значительное число авторов (например, Шефер) используют «F-пространство» для обозначения (локально выпуклого) пространства Фреше, в то время как другие не требуют, чтобы «пространство Фреше» было локально выпуклым. Более того, некоторые авторы даже используют термины « F- пространство» и «пространство Фреше» как синонимы. При чтении математической литературы рекомендуется, чтобы читатель всегда проверял, требует ли определение в книге или статье « F -пространства» и «пространства Фреше» локальной выпуклости.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определения
- 1.1 Определение инвариантной метрики
- 1.2 Определение счетного семейства полунорм
- 1.3 Как перепончатые пространства Бэра
- 1.4 Сравнение с банаховыми пространствами
2 Построение пространств Фреше
3 Примеры
- 3.1 Из чистого функционального анализа
- 3.2 Из гладких многообразий
- 3.3 Из голоморфности
4 Свойства и другие понятия
- 4.1 Нормы и нормируемость
- 4.2 Теорема Андерсона – Кадека
5 Дифференциация функций
6 Фреш многообразия и группа Ли
7 Обобщения
8 См. Также
9 Примечания
10 цитат
11 Источники

Определения

Пространства Фреше можно определить двумя эквивалентными способами: первый использует трансляционно-инвариантную метрику, второй - счетное семейство полунорм.

Определение инвариантной метрики

Топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам: ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Он локально выпуклый.
Его топология может быть индуцированное переводом-инвариантной метрики, то есть метрика такая, что для всех это означает, что подмножество из является открытым, если и только если для любого существует такое, что } является подмножеством ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (x + z, y + z)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = d (x + z, y + z)}$ ${\ displaystyle x, y, z \ in X.}$ ${\ displaystyle x, y, z \ in X.}$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $и \ в U$ ${\ displaystyle rgt; 0}$ $гgt; 0$ ${\ Displaystyle \ {v: d (v, u) lt;г \}}$ ${\ Displaystyle \ {v: d (v, u) lt;г \}}$ ${\ displaystyle U.}$ $U.$
Некоторые из них (или, что эквивалентно, каждый) перевод-инвариантной метрики на индукцию топологии является полным. Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X}
- Если предположить, что другие два условия выполнены, те это условие эквивалентно быть
полным топологическим векторным пространством, а это означает, что это полное равномерное пространство, когда оно наделено канонической однородностью (это каноническое единообразие не зависит от какой - либо метрики и определяется полностью в терминах вычитания векторов и окрестностей начала координат; кроме того, однородность, индуцированная любой (определяющей топологию) трансляционной инвариантной метрикой на, идентична этой канонической однородности). Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X} Икс {\ displaystyle X}

Обратите внимание, что не существует естественного понятия расстояния между двумя точками пространства Фреше: множество различных инвариантных относительно трансляций метрик могут индуцировать одну и ту же топологию.

Счетное семейство определения полунорм

Альтернативное и несколько более практичное определение таково: топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим трем свойствам: ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Это хаусдорфово пространство,
Его топология может быть вызвана счетным семейством полунорма Это означает, что подмножество является открытым, если и только если для каждого существует, и таким образом, что является подмножеством ${\ displaystyle || \ cdot || _ {k}}$ ${\ displaystyle || \ cdot || _ {k}}$ ${\ Displaystyle к = 0,1,2, \ ldots}$ ${\ Displaystyle к = 0,1,2, \ ldots}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$ $U \ подмножество X$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $и \ в U$ ${\ displaystyle K \ geq 0}$ ${\ displaystyle K \ geq 0}$ ${\ displaystyle rgt; 0}$ $гgt; 0$ ${\ displaystyle \ {v \ in X: \ | vu \ | _ {k} lt;r {\ text {для всех}} k \ leq K \}}$ ${\ displaystyle \ {v \ in X: \ | vu \ | _ {k} lt;r {\ text {для всех}} k \ leq K \}}$ ${\ displaystyle U,}$ ${\ displaystyle U,}$
оно полно по отношению к семейству полунорм.

Семейство полунорм на дает топологию Хаусдорфа тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

{\ Displaystyle \ bigcap _ {\ | \, \ cdot \, \ | \ in {\ mathcal {P}}} \ {x \ in X: \ | x \ | = 0 \} = \ {0 \}. }

{\ Displaystyle \ bigcap _ {\ | \, \ cdot \, \ | \ in {\ mathcal {P}}} \ {x \ in X: \ | x \ | = 0 \} = \ {0 \}. }

Последовательность in сходится к в пространстве Фреше, определяемом семейством полунорм, тогда и только тогда, когда она сходится к относительно каждой из данных полунорм. ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$

Как перепончатые пространства Бэра

Теорема (де Вильде 1978) - топологическое векторное пространство является пространством Фреше тогда и только тогда, когда она является как перепончатые пространство и пространство Бэра. ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Сравнение с банаховыми пространствами

В отличие от банаховых пространств, полная трансляционно-инвариантная метрика не обязательно возникает из нормы. Однако топология пространства Фреше возникает как из полной паранормы, так и из F -нормы ( F означает Фреше).

Даже при том, что топологическая структура Фреше пространств более сложным, чем банаховых пространств в связи с потенциальной нехваткой нормы, многие важные результаты функционального анализа, как теоремы об открытом отображении, в теореме о замкнутом графике, и теоремы Банаха-Штейнгауза, все еще держитесь.

Построение пространств Фреше

Напомним, что полунорма - это функция от векторного пространства до действительных чисел, удовлетворяющая трем свойствам. Для всех и всех скаляров ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle x, y \ in X}$ $х, у \ в X$ ${\ displaystyle c,}$ $c,$

${\ Displaystyle \ | х \ | \ geq 0}$ $\ | x \ | \ geq 0$

${\ Displaystyle \ | х + у \ | \ Leq \ | х \ | + \ | у \ |}$ $\ | х + у \ | \ ле \ | х \ | + \ | y \ |$

${\ Displaystyle \ | с \ CDOT х \ | = | с | \ | х \ |}$ $\ | c \ cdot x \ | = | c | \ | x \ |$

Если на самом деле подразумевает, то на самом деле это норма. Однако полунормы полезны тем, что позволяют нам строить пространства Фреше следующим образом: ${\ Displaystyle \ | х \ | = 0}$ $\ | x \ | = 0$ ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$

Чтобы построить пространство Фреше, один, как правило, начинается с векторного пространства и определяет счетное семейство полунорм на со следующими двумя свойствами: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

если и навсегда, тогда ; ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ Displaystyle \ | х \ | _ {к} = 0}$ ${\ Displaystyle \ | х \ | _ {к} = 0}$ ${\ displaystyle k \ geq 0,}$ ${\ displaystyle k \ geq 0,}$ ${\ displaystyle x = 0}$ $х = 0$

если - последовательность, в которой есть Коши по каждой полунорме, то существует такая, что сходится к по каждой полунорме ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k},}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k},}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ $х \ в Х$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}.}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}.}$

Тогда топология, индуцированная этими полунормами (как объяснено выше), превращается в пространство Фреше; первое свойство гарантирует, что это Хаусдорф, а второе свойство гарантирует его полноту. Тогда трансляционно-инвариантная полная метрика, индуцирующая ту же топологию на, может быть определена следующим образом: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- k} {\ frac {\ | xy \ | _ {k}} {1+ \ | xy \ | _ {k}}} \ qquad x, y \ in X.}$ $d (x, y) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty 2 ^ {- k} \ frac {\ | xy \ | _k} {1+ \ | xy \ | _k} \ qquad x, y \ in ИКС.$

Функция монотонно отображается в, и поэтому приведенное выше определение гарантирует, что она «маленькая» тогда и только тогда, когда существует «большой» такой, который является «маленьким» для ${\ displaystyle u \ mapsto {\ frac {u} {1 + u}}}$ ${\ displaystyle u \ mapsto {\ frac {u} {1 + u}}}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ ${\ displaystyle [0,1),}$ ${\ displaystyle [0,1),}$ ${\ Displaystyle д (х, у)}$ $д (х, у)$ ${\ displaystyle K}$ $K$ ${\ Displaystyle \ | ху \ | _ {к}}$ ${\ Displaystyle \ | ху \ | _ {к}}$ ${\ Displaystyle к = 0, \ ldots, К.}$ ${\ Displaystyle к = 0, \ ldots, К.}$

Примеры

Из чистого функционального анализа

Каждое банахово пространство является пространством Фреше, поскольку норма индуцирует трансляционно-инвариантную метрику, и пространство полно относительно этой метрики.

Пространство всех вещественнозначных последовательностей ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$ становится пространством Фреша, если мы определим ее полнормы последовательности, чтобы быть абсолютным значением в -й элементе последовательности. Сходимость в этом пространстве Фреше эквивалентна поэлементной сходимости. ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$

Из гладких многообразий

Векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций становится пространством Фреше с полунормами ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle \ | е \ | _ {k} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [0,1] \}}$ ${\ Displaystyle \ | е \ | _ {k} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [0,1] \}}$
для каждого неотрицательного целого числа Здесь обозначает -ю производную от и. В этом пространстве Фреше последовательность функций сходится к элементу тогда и только тогда, когда для каждого неотрицательного целого числа последовательность сходится равномерно. ${\ displaystyle k.}$ $k.$ ${\ displaystyle f ^ {(k)}}$ $е ^ {(к)}$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle f,}$ $е,$ ${\ displaystyle f ^ {(0)} = f.}$ ${\ displaystyle f ^ {(0)} = f.}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ right) \ to f}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ right) \ to f}$ ${\ Displaystyle е \ в C ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle е \ в C ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ displaystyle k \ geq 0,}$ ${\ displaystyle k \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} ^ {(k)} \ right) \ to f ^ {(k)}}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} ^ {(k)} \ right) \ to f ^ {(k)}}$

Векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций становится пространством Фреше с полунормами ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle \ | е \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [-n, n] \}}$ $\ | f \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [-n, n] \}$
для всех целых чисел Тогда последовательность функций сходится тогда и только тогда, когда для каждого последовательности сходятся компактно. ${\ Displaystyle к, п \ geq 0.}$ ${\ Displaystyle к, п \ geq 0.}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ right) \ to f}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ right) \ to f}$ ${\ Displaystyle к, п \ geq 0,}$ ${\ Displaystyle к, п \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} ^ {(k)} \ right) \ to f ^ {(k)}}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {n} ^ {(k)} \ right) \ to f ^ {(k)}}$

Векторное пространство всех -кратного непрерывно дифференцируемых функций становится пространством Фреше с полунормами ${\ Displaystyle С ^ {м} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle С ^ {м} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle m}$ $м$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle \ | е \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [-n, n] \}}$ $\ | f \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [-n, n] \}$
для всех целых чисел и ${\ Displaystyle п \ geq 0}$ $п \ geq 0$ ${\ Displaystyle к = 0, \ ldots, м.}$ ${\ Displaystyle к = 0, \ ldots, м.}$

Если это компактное - многообразие и является банахово пространство, то множество всех бесконечно дифференцируемых функций часто могут быть превращены в пространство Фреше, используя в качестве полунормами супремумы норм всех частных производных. Если является (не обязательно компактным) -многообразием, которое допускает счетную последовательность компактных подмножеств, так что каждое компактное подмножество содержится хотя бы в одном, то пространства и также естественным образом являются пространствами Фреше. В качестве частного случая каждое гладкое конечномерное полное многообразие можно превратить в такое вложенное объединение компактных подмножеств: снабдить его римановой метрикой, которая индуцирует выбор метрики, и пусть ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М, В)}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М, В)}$ ${\ displaystyle f: M \ to B}$ ${\ displaystyle f: M \ to B}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $К ^ {п}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle K ^ {n},}$ ${\ displaystyle K ^ {n},}$ ${\ Displaystyle C ^ {m} (М, В)}$ ${\ Displaystyle C ^ {m} (М, В)}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М, В)}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М, В)}$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle g}$ $грамм$ ${\ Displaystyle д (х, у),}$ ${\ Displaystyle д (х, у),}$ ${\ Displaystyle х \ в М,}$ ${\ Displaystyle х \ в М,}$
${\ Displaystyle К_ {п} = \ {у \ в М | d (х, у) \ Leq п \} \.}$ ${\ Displaystyle К_ {п} = \ {у \ в М | d (х, у) \ Leq п \} \.}$
Пусть компактное - многообразие и векторное расслоение над Пусть обозначим пространство гладких сечений над Выбрать римановых метрик и соединений, которые гарантированно имеются на пучках и если раздел, обозначим ее J - ^й ковариантной производной по Тогда ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$ ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$ ${\ displaystyle TX}$ $Техас$ ${\ displaystyle V.}$ $В.$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ${\ displaystyle D ^ {j} s.}$ ${\ displaystyle D ^ {j} s.}$
${\ displaystyle \ | s \ | _ {n} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sup _ {x \ in M} | D ^ {j} s |}$ $\ | s \ | _n = \ sum_ {j = 0} ^ n \ sup_ {x \ in M} | D ^ js |$
(где | ⋅ | - норма, индуцированная римановой метрикой) - семейство полунорм, превращающихся в пространство Фреше. ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М, В)}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (М, В)}$

От голоморфности

Пусть - пространство целых (всюду голоморфных ) функций на комплексной плоскости. Тогда семейство полунорм ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$
${\ Displaystyle \ | е \ | _ {п} = \ sup \ {| f (z) |: | z | \ leq n \}}$ $\ | f \ | _ {n} = \ sup \ {| f (z) |: | z | \ le n \}$
превращается в пространство Фреше. ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$

Пусть ' - пространство целых (всюду голоморфных) функций экспоненциального типа. Тогда семейство полунорм ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ displaystyle \ tau.}$ $\ тау.$
${\ Displaystyle \ | е \ | _ {п} = \ sup _ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ left [- \ left (\ tau + {\ frac {1} {n}} \ right) | z | \ справа] | f (z) |}$ ${\ Displaystyle \ | е \ | _ {п} = \ sup _ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ left [- \ left (\ tau + {\ frac {1} {n}} \ right) | z | \ справа] | f (z) |}$
превращается в пространство Фреше. ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$

Не все векторные пространства с полными трансляционно-инвариантными метриками являются пространствами Фреше. Примером является пространство ${\ Displaystyle L ^ {p} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} ([0,1])}$ с. Хотя это пространство не может быть локально выпуклым, это F-пространство. ${\ displaystyle p lt;1.}$ ${\ displaystyle p lt;1.}$

Свойства и другие понятия

Если пространство Фреше допускает непрерывную норму, мы можем принять все полунормы за нормы, добавив к каждой из них непрерывную норму. Банахово пространство с компактным, и все допускают нормы, в то время как и нет. ${\ displaystyle C ^ {\ infty} ([a, b]),}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} ([a, b]),}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle H}$ $ЧАС$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle С (\ mathbb {R})}$ $С ({\ mathbb {R}})$

Замкнутое подпространство пространства Фреше - это пространство Фреше. Фактор пространства Фреше по замкнутому подпространству - это пространство Фреше. Прямая сумма конечного числа пространств Фреше является пространством Фреше.

Произведение счетного числа пространств Фреше всегда снова является пространством Фреше. Однако произвольное произведение пространств Фреше будет пространством Фреше тогда и только тогда, когда все, за исключением не более чем счетного числа, тривиальны (то есть имеют размерность 0). Следовательно, произведение несчетного числа нетривиальных пространств Фреше не может быть пространством Фреше (действительно, такое произведение даже не является метризуемым, потому что его начало не может иметь счетного базиса окрестностей). Так, например, если есть любое множество и любое нетривиальное пространство Фреше (такое как, например), то произведение является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является счетным множеством. ${\ displaystyle I \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle I \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$ $X = \ mathbb {R}$ ${\ Displaystyle X ^ {I} = \ prod _ {я \ in I} X}$ ${\ Displaystyle X ^ {I} = \ prod _ {я \ in I} X}$ ${\ displaystyle I}$ $я$

Некоторые важные инструменты функционального анализа, основанные на теореме Бэра о категориях, остаются верными в пространствах Фреше; примерами являются теорема о замкнутом графике и теорема об открытом отображении.

Все пространства Фреше являются стереотипными. В теории стереотипных пространств пространства Фреше являются объектами, двойственными по отношению к пространствам Браунера.

Каждый ограниченный линейный оператор из пространства Фреше в другое топологическое векторное пространство (TVS) непрерывен.

Там существует пространство Фреше, имеющий ограниченное подмножество, а также плотное векторное подпространство такое, что это не содержится в замыкании (в) любого ограниченного подмножества ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle M.}$ ${\ displaystyle M.}$

Все метризуемые MONTEL пространства являются разъемными. Разъемный Фреш пространство монтелевской тогда и только тогда, когда каждый -слабо сходится последовательность в своем непрерывном двойственном сходитесь является сильно сходится.

Сильное сопряженное пространство пространства Фреше (и в более общем случае, любой метризуемом ЛВП) является DF-пространство. Сильное двойственное DF-пространство - это пространство Фреше. Сильным двойственным к рефлексивному пространству Фреше является борнологическое пространство и пространство Птака. Каждое пространство Фреше является пространством Птака. Сильное двойственное пространство (т. Е. Сильное двойственное пространство к сильному сопряженному пространству) метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше. ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Нормы и нормируемость
Смотрите также: Метризуемое топологическое векторное пространство § Нормируемость
Если - локально выпуклое пространство, то топология может быть определена семейством непрерывных норм на ( норма - это положительно определенная полунорма ) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на Даже если пространство Фреше имеет топология, которая определяется (счетным) семейством норм (все нормы также являются полунормами), то она, тем не менее, может не быть нормируемым пространством (что означает, что ее топология не может быть определена какой-либо одной нормой). Пространство всех последовательностей (с топологией произведения) является пространство Фреше. Там не существует никакого хаусдорфову локально выпуклой топологии на том, что является строго грубее, чем этот продукт топологии. Пространство не нормируется, а это значит, что его топология не может быть определена какой-либо нормой. Кроме того, не существует никакой непрерывной нормы. Фактически, как показывает следующая теорема, всякий раз, когда существует пространство Фреше, на котором не существует никакой непрерывной нормы, то это полностью связано с наличием в качестве подпространства. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X.}$ $ИКС.$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

Теорема - Пусть - пространство Фреше над полем. Тогда следующие утверждения эквивалентны: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$

${\ displaystyle X}$ $Икс$ вовсе не допускает непрерывную норму (то есть, любая непрерывная полунорма на может не быть нормой). ${\ displaystyle X}$ $Икс$

${\ displaystyle X}$ $Икс$ содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$

${\ displaystyle X}$ $Икс$ содержит дополненное векторное подпространство, которое TVS-изоморфно ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$

Если - ненормируемое пространство Фреше, на котором существует непрерывная норма, то содержит замкнутое векторное подпространство, не имеющее топологического дополнения. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Метризуемое локально выпуклое пространство нормируемое тогда и только тогда, когда его сильное сопряженное пространство является Фреш-Урысон локально выпуклое пространство. В частности, если локально выпуклое метризуемое пространство (например, пространство Фреше) не нормируется (что может случиться только в том случае, если оно бесконечномерно), то его сильное сопряженное пространство не является пространством Фреше – Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство также не является ни метризуемым, ни нормируемым. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

Сильное сопряженное пространство пространства Фреша (и более общо, борнологических пространства, такие как метризуемый TVSS) всегда является полным TVS и так, как и любым полного TVS, это нормируемым тогда и только тогда, когда его топология может быть вызвана полной нормой ( то есть тогда и только тогда, когда его можно превратить в банахово пространство с такой же топологией). Если это пространство Фреше, то есть нормируемым, если (и только если) существует полная норма на ее непрерывного сопряженного пространства, что норма индуцированная топология на это тоньше, чем * -слабой топологии. Следовательно, если пространство Фреше не нормируется (что может произойти только в том случае, если оно бесконечномерно), то и его сильное двойственное пространство не является. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle X '}$ $ИКС'$ ${\ displaystyle X '}$ $ИКС'$

Теорема Андерсона – Кадека

Теорема Андерсона-Кадеца - Каждый бесконечномерным, разъемные реальное пространство Фреше гомеоморфнов декартово произведение из счетного числа копий реальной линии ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Отметим, что гомеоморфизм, описанный в теореме Андерсона – Кадека, не обязательно является линейным.

Теорема Эйдельхейта - пространство Фреше либо изоморфно банаховому пространству, либо имеет фактор-пространство, изоморфное пространству ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}.}$

Дифференциация функций
Основная статья: Дифференцирование в пространствах Фреше
Если и являются пространствами Фреше, то пространство, состоящее из всех непрерывных линейных отображений из в это не пространство Фреше в любом естественным образом. Это главное различие между теорией банаховых пространств и теорией пространств Фреше и требует другого определения непрерывной дифференцируемости функций, определенных на пространствах Фреше, производной Гато : ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ Displaystyle L (X, Y)}$ ${\ Displaystyle L (X, Y)}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$

Предположим, что открытое подмножество пространства Фреше является функцией ценится в пространстве Фреше и карта является дифференцируемой в в направлении, если предел ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ ${\ displaystyle Y,}$ $Y,$ ${\ displaystyle x \ in U}$ $х \ в U$ ${\ displaystyle h \ in X.}$ ${\ displaystyle h \ in X.}$ ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle h}$ $час$

${\ Displaystyle D (P) (x) (h) = \ lim _ {t \ to 0} \, {\ frac {1} {t}} \ left (P (x + th) -P (x) \ Правильно)}$ ${\ Displaystyle D (P) (x) (h) = \ lim _ {t \ to 0} \, {\ frac {1} {t}} \ left (P (x + th) -P (x) \ Правильно)}$

существуют. Отображение называется непрерывно дифференцируемым по, если отображение ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle U}$ $U$

${\ Displaystyle D (P): U \ раз от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle D (P): U \ раз от X \ до Y}$

непрерывно. Поскольку произведение пространств Фреше снова является пространством Фреше, мы можем попытаться таким образом дифференцировать и определять высшие производные от. ${\ Displaystyle D (P)}$ ${\ Displaystyle D (P)}$ ${\ displaystyle P}$ $п$

Оператор производной, определяемый с помощью, сам бесконечно дифференцируем. Первая производная дается формулой ${\ Displaystyle P: C ^ {\ infty} ([0,1]) \ к C ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle P: C ^ {\ infty} ([0,1]) \ к C ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle P (f) = f '}$ ${\ Displaystyle P (f) = f '}$

${\ Displaystyle D (P) (f) (h) = h '}$ $D (P) (f) (h) = h '$

для любых двух элементов. Это главное преимущество пространства Фреше над банаховым пространством для конечных ${\ displaystyle f, h \ in C ^ {\ infty} ([0,1]).}$ ${\ displaystyle f, h \ in C ^ {\ infty} ([0,1]).}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle С ^ {к} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle С ^ {к} ([0,1])}$ ${\ displaystyle k.}$ $k.$

Если - непрерывно дифференцируемая функция, то дифференциальное уравнение ${\ displaystyle P: U \ to Y}$ ${\ displaystyle P: U \ to Y}$

${\ displaystyle x '(t) = P (x (t)), \ quad x (0) = x_ {0} \ in U}$ $x '(t) = P (x (t)), \ quad x (0) = x_0 \ в U$

не обязательно иметь никаких решений, и даже если они есть, решения не обязательно должны быть уникальными. Это резко контрастирует с ситуацией в банаховых пространствах.

В общем случае теорема об обратной функции неверна в пространствах Фреше, хотя частичной заменой является теорема Нэша – Мозера.

Многообразия Фреше и группы Ли
Основная статья: многообразие Фреше
Можно определить многообразия Фреше как пространства, которые «локально выглядят как» пространства Фреше (точно так же, как обычные многообразия определяются как пространства, которые локально выглядят как евклидово пространство ), а затем можно распространить понятие группы Ли на эти многообразия. Это полезно, потому что для данного (обычного) компактного многообразия множество всех диффеоморфизмов образует обобщенную группу Ли в этом смысле, и эта группа Ли захватывает симметрии. Некоторые отношения между алгебрами Ли и группами Ли остаются в силе в этом случае. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle f: M \ to M}$ ${\ displaystyle f: M \ to M}$ ${\ displaystyle M.}$ ${\ displaystyle M.}$

Другой важный пример группы Фреше Ли - группа петель компактной группы Ли гладких () отображений, поточечно умноженных на ${\ displaystyle G,}$ $ГРАММ,$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {{\ infty}}$ ${\ displaystyle \ gamma: S ^ {1} \ to G,}$ ${\ displaystyle \ gamma: S ^ {1} \ to G,}$ ${\ displaystyle \ left (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right) (t) = \ gamma _ {1} (t) \ gamma _ {2} (t)..}$ ${\ displaystyle \ left (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right) (t) = \ gamma _ {1} (t) \ gamma _ {2} (t)..}$

Обобщения

Если мы откажемся от требования, чтобы пространство было локально выпуклым, мы получим F-пространства : векторные пространства с полными трансляционно-инвариантными метриками.

LF-пространства - это счетные индуктивные пределы пространств Фреше.

Смотрите также

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство

Пространство Браунера

Полное метрическое пространство - метрическая геометрия

Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.

F-пространство - Топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.

Решетка Фреше

Градуированное пространство Фреше

Гильбертово пространство - Обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечные измерения

Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.

Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена с помощью метрики.

Сюръекция пространств Фреше - Характеризация сюръективности

Приручить пространство Фреше

Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.

Примечания

Цитаты

использованная литература

"Пространство Фреше", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов. Тексты для выпускников по математике. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.

Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.

Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.

Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.

Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства. Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.

Ярчоу, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.

Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.

Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science amp; Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498. OCLC 840293704.

Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.

Прессли, Эндрю; Сегал, Грэм (1986). Группы петель. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853535-X. Руководство по ремонту 0900587.

Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства. Кембриджские трактаты по математике. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.

Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

Шефер, Гельмут Х. ; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Сергеев, Армен (2010). Кэлерова геометрия петлевых пространств. Мемуары математического общества Японии. 23. Мировое научное издательство. DOI : 10.1142 / e023. ISBN 978-4-931469-60-0.

Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости. Конспект лекций по математике. 639. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.

Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.

Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.