Свойство аппроксимации

редактировать

Построение банахова пространства без свойства аппроксимации заработать ed Пер Энфло живой гусь в 1972 году, который был обещан Станиславом Мазуром (слева) в 1936 году.

В математике, в частности функционального анализа, говорят, что банахово пространство имеет свойство аппроксимации (AP), если каждый компактный оператор является пределом конечного -ранговые операторы. Обратное всегда верно.

Каждое гильбертово пространство имеет это свойство. Однако есть банаховы пространства, которых нет; Пер Энфло опубликовал первый контрпример в статье 1973 года. Однако большая работа в этой области была проделана Гротендиком (1955).

Позже было найдено много других контрпримеров. Пространство ограниченных операторов на $ℓ 2 {\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ не имеет свойства аппроксимации (). Пробелы $ℓ p {\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ для $p ≠ 2 {\ displaystyle p \ neq 2}$ $p \ neq 2$ и $c 0 {\ displaystyle c_ {0}}$ $c_ {0}$ (см. Пространство последовательности ) имеют закрытые подпространства, не обладающие свойством аппроксимации.

Содержание

1 Определение
2 Связанные определения
3 Примеры
4 Ссылки
5 Библиография

Определение

A локально выпуклое топологическое векторное пространство X, как говорят, имеет свойство аппроксимации, если тождественное отображение может быть аппроксимировано равномерно на предкомпактных множествах непрерывными линейными отображениями конечного ранга.

Для локально выпуклого пространства X, следующие эквивалентны:

X имеет свойство аппроксимации;
закрытие $X ′ ⊗ X {\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes X}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes X}$ в $L п ⁡ (X, X) {\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ содержит карту идентичности $Id: X → X {\ displaystyle \ operatorname {Id}: X \ to X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Id}: X \ to X}$ ;
$X ′ ⊗ X {\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes X}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes X}$ плотно в $L p ⁡ (X, X) {\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, X)}$ ;
для каждого локально выпуклого пространства Y, $X ′ ⊗ Y {\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes Y}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes Y}$ плотно в $L p ⁡ (X, Y) {\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ ;
для любого локально выпуклого пространства Y, $Y ′ ⊗ X {\ displaystyle Y ^ {\ prime} \ otimes X}$ ${\ displaystyle Y ^ {\ prime} \ otimes X}$ плотно в $L p ⁡ (Y, Икс) {\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (Y, X)}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (Y, X)}$ ;

где $L p ⁡ (X, Y) {\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$ обозначает пространство непрерывных линейных операторов из X в Y, наделенное топологией равномерной сходимости на прекомпактных подмножествах X.

Если X является банаховым пространством это требование становится тем, что для каждого компакта $K ⊂ X {\ displaystyle K \ subset X}$ $K \ subset X$ и каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует оператор $T: X → X {\ displaystyle T \ двоеточие X \ to X}$ $T \ двоеточие X \ to X$ конечного ранга, так что $‖ T x - x ‖ ≤ ε {\ displaystyle \ | Tx-x \ | \ leq \ varepsilon}$ $\ | Tx-x \ | \ leq \ varepsilon$ для каждого $x ∈ K {\ displaystyle x \ in K}$ $x \ in K$ .

Связанные определения

Некоторые другие разновидности AP изучаются:

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет банаховым пространством и пусть $1 ≤ λ < ∞ {\displaystyle 1\leq \lambda <\infty }$ $1 \ leq \ lambda <\ infty$ . Мы говорим, что X имеет свойство $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -approximation ( $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -AP ), если для каждого компактный набор $К ⊂ Икс {\ Displaystyle K \ подмножество X}$ $K \ subset X$ и каждые $ε>0 {\ Displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ , есть оператор $T: Икс → Икс {\ Displaystyle T \ двоеточие X \ к X}$ $T \ двоеточие X \ to X$ конечного ранга, так что $‖ T x - x ‖ ≤ ε {\ displaystyle \ | Tx-x \ | \ leq \ varepsilon}$ $\ | Tx-x \ | \ leq \ varepsilon$ для каждого $x ∈ K {\ displaystyle x \ in K}$ $x \ in K$ и $‖ T ‖ ≤ λ {\ displaystyle \ | T \ | \ leq \ lambda}$ $\ | T \ | \ leq \ lambda$ .

Говорят, что банахово пространство имеет свойство ограниченной аппроксимации (BAP ), если оно имеет $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -AP для некоторого $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Говорят, что банахово пространство имеет свойство метрической аппроксимации (MAP ), если это 1-АП.

Говорят, что банахово пространство обладает свойством компактной аппроксимации (CAP ), если в определении AP оператор конечного ранга заменяется компактным оператором.

Примеры

Каждое подпространство произвольного произведения гильбертовых пространств обладает свойством аппроксимации. В частности,
- каждое гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации.
- каждый проективный предел гильбертовых пространств, а также любое подпространство такого проективного предела обладает свойством аппроксимации.
- каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации.
Каждое отделимое пространство Фреше, содержащее базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации.
Каждое пространство с базисом Шаудера имеет AP (мы можем использовать проекции, связанные с базой, как $T {\ displaystyle T}$ $T$ в определении), поэтому можно найти много мест с AP. Например, $ℓ p {\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ пробелы или симметричное пространство Цирельсона.

Ссылки

Библиография

Bartle, RG (1977). "MR0402468 (53 # 6288) (Обзор работы Пера Энфло" Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах "Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)». Mathematical Reviews. MR 0402468.
Enflo, P. : контрпример к свойству аппроксимации в банаховых пространствах. Acta Math. 130, 309–317 (1973).
Grothendieck, A. : Produitstensoriels topologiques et espaces nucleaires. Памятка. Амер. Математика. Soc. 16 (1955).
Halmos, Paul R. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячник. 85(4): 256–257. DOI : 10.2307 / 2321165. JSTOR 2321165. MR 0488901.
Пол Р. Халмос, "Прогресс в математике замедлился?" Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 7, 561–588. MR 1066321
Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные отделимые банаховы пространства» в Роберте Г. Бартле (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу, Математическая ассоциация Америки.
Квапень С. "На примере Энфло банахова пространства без свойства аппроксимации". Séminaire Goulaouic – Schwartz 1972–1973: Équations aux dérivées partielles et analysis fonctionnelle, Exp. № 8, 9 стр. Center de Math., École Polytech., Paris, 1973. MR 407569
Lindenstrauss, J. ; Цафрири, Л.: Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей, 1977.
Недевски, П.; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил отрицательную проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства». Физ.-мат. Spis. Булгар. Акад. Наук. 16 (49): 134–138. MR 0458132.
Пич, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. MR 2300779.
Карен Сакс, Beginning Functional Анализ, Тексты для студентов по математике, 2002 Springer-Verlag, New York.
Schaefer, Helmuth H.; Вольф, М. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 9780387987262.
Певец Иван. Базы в банаховых пространствах. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii + 880 стр. ISBN 3-540-10394-5. MR 610799