Пер Энфло

• проблема базиса и проблема аппроксимации, а затем
• проблема инвариантного подпространства для банаховых пространств.

При решении этих проблем Энфло разработал новые методы, которые затем использовались другими исследователями в функциональном анализе и теории операторов годами. Некоторые исследования Энфло были важны и в других областях математики, таких как теория чисел и информатика, особенно компьютерная алгебра и алгоритмы аппроксимации..

Энфло работает в Государственном университете Кента, где он имеет звание профессора университета. Энфло ранее занимал должности в Институте Миллера фундаментальных исследований в области науки в Калифорнийском университете в Беркли, Стэнфордском университете, École Polytechnique, (Париж ) и Королевский технологический институт, Стокгольм.

Энфло также концертный пианист.

Содержание

• 1 Вклад Энфло к функциональному анализу и теории операторов
  • 1.1 Пятая проблема Гильберта и вложения
    • 1.1.1 Приложения в информатике
  • 1.2 Геометрия банаховых пространств
  • 1.3 Проблема базиса и гусь Мазура
    • 1.3.1 Базис проблема Банаха
    • 1.3.2 Задача 153 в шотландской книге: гусь Мазура
    • 1.3.3 Формулировка задачи аппроксимации Гротендиком
    • 1.3.4 Решение Энфло
  • 1.4 Проблема инвариантного подпространства и многочлены
    • 1.4.1 Мультипликативные неравенства для однородных многочленов
      • 1.4.1.1 Норма Бомбьери
    • 1.4.2 Приложения
• 2 Математическая биология: динамика популяции
  • 2.1 Человек e volution
• 3 Piano
• 4 Ссылки
  • 4.1 Примечания
  • 4.2 Библиография
• 5 Внешние источники
  • 5.1 Базы данных

Вклад Enflo в функциональный анализ и теорию операторов

In математика, Функциональный анализ занимается изучением векторных пространств и операторов, действующих на них. Его исторические корни лежат в изучении функциональных пространств, в частности преобразований функций, таких как преобразование Фурье, а также в изучении дифференциальные и интегральные уравнения. В функциональном анализе важный класс векторных пространств состоит из полных нормированных векторных пространств над действительными или комплексными числами, которые являются называется банаховыми пространствами. Важным примером банахова пространства является гильбертово пространство, где норма возникает из внутреннего продукта. Гильбертовые пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики, стохастических процессов и анализа временных рядов. Помимо изучения пространств функций, функциональный анализ также изучает непрерывные линейные операторы на пространствах функций.

Пятая проблема Гильберта и вложения

В Стокгольмском университете Ханс Радстрем предложил Энфло рассмотреть пятую проблему Гильберта в духе функционального анализа. За два года, 1969–1970, Энфло опубликовал пять статей по пятой проблеме Гильберта; эти статьи собраны в Enflo (1970) вместе с кратким изложением. Некоторые из результатов этих статей описаны в Enflo (1976) и в последней главе Benyamini and Lindenstrauss.

Applications in computer science

Методы Энфло нашли применение в информатике.. Теоретики алгоритмов выводят алгоритмы аппроксимации, которые встраивают конечные метрические пространства в низкоразмерные евклидовы пространства с низким «искажением» (в Громова ). терминология для категории Липшица категории ; ср расстояние Банаха – Мазура ). Конечно, задачи с малой размерностью имеют меньшую вычислительную сложность. Что еще более важно, если задачи хорошо укладываются либо в евклидову плоскость, либо в трехмерное евклидово пространство, тогда геометрические алгоритмы становятся исключительно быстрыми.

Однако такие методы встраивания имеют ограничения, как показывает теорема Энфло (1969):

для каждого $m\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; 2\}$, куб Хэмминга $C\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\}$не может быть встроен с "искажением $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$"(или меньше) в $2\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{m\}\}$-мерное евклидово пространство, если . Следовательно, оптимальное вложение - это естественное вложение, при котором $\{0,\; 1\}\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \}\; ^\; \{m\}\}$как подпространство $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$-мерное евклидово пространство.

Эта теорема, "найденная Энфло [1969], вероятно, является первым результатом, показывающим неограниченное искажение для вложений в Евклидовы пространства. Энфло рассматривал проблему равномерной встраиваемости среди банаховых пространств, и искажение было вспомогательным средством в его доказательстве ».

Геометрия Банахово пространство

A равномерно выпуклое пространство является банаховым пространством, так что для каждого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$есть $\delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta>0\}$так, чтобы для любых двух векторов с $\Vert \; x\; \Vert \; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; 1\}$и $\Vert \; y\; \Vert \; \le \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; 1,\}$

$\Vert \; x\; +\; y\; \Vert >2\; -\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; +\; y\; \backslash \; |>2-\; \backslash \; delta\}$

подразумевает, что

Интуитивно понятно, что центр линейного сегмента внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если сегмент не короткий.

В 1972 году Энфло доказал, что «каждое сверхрефлексивное банахово пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму».

Проблема базиса и гусь Мазура

В одной статье, опубликованной в 1973 году, Пер Энфло решил три проблемы, которые на протяжении десятилетий ставили в тупик функциональных аналитиков: проблема базиса из Стефана Банаха., «проблема Гуся » Станислава Мазура и задача аппроксимации из Александра Гротендика. Гротендик показал, что его проблема аппроксимации была центральной проблемой в теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов.

Базисная проблема Банаха

Проблема базиса была поставлена ​​Стефаном Банахом в его книге «Теория линейных операторов». Банах спросил, имеет ли каждое разделимое банахово пространство базис Шаудера.

A базис Шаудера или счетный базис аналогичен обычному (Hamel) базису векторного пространства ; разница в том, что для базисов Гамеля мы используем линейные комбинации, которые являются конечными суммами, тогда как для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховых пространств.

Базы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 году. Пусть V обозначает a банахово пространство над полем F. Базис Шаудера - это последовательность (bn) элементов из V такая, что для каждого элемента v ∈ V существует уникальная последовательность (α n) элементов из F, так что

$v\; Знак\; равно\; \sum \; N\; \in \; N\; \alpha \; nbn\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; b\_\; \{n\}\; \backslash ,\}$

где сходимость понимается с учетом топологии norm . Базисы Шаудера также могут быть определены аналогично в общем топологическом векторном пространстве.

Задача 153 в шотландской книге: Гусь Мазура

Банах и другие польские математики работали над математическими задачами в Scottish Café. Когда проблема была особенно интересной и когда ее решение казалось трудным, проблема записывалась в сборник задач, который вскоре стал известен как Scottish Book. Для проблем, которые казались особенно важными или сложными, или и тем и другим, автор проблемы часто обещал присудить приз за ее решение.

6 ноября 1936 г. Станислав Мазур поставил задачу о представлении непрерывных функций. Формально записав задачу 153 в Шотландскую книгу, Мазур пообещал в качестве награды «живого гуся», особенно высокую цену во время Великой депрессии и накануне Второй мировой войны.

Справедливо Вскоре после этого выяснилось, что проблема Мазура тесно связана с проблемой Банаха о существовании базисов Шаудера в сепарабельных банаховых пространствах. Большинство других проблем в шотландской книге решались регулярно. Однако в решении проблемы Мазура и некоторых других проблем не было большого прогресса, которые стали известными открытыми задачами математикам всего мира.

Формулировка проблемы аппроксимации Гротендиком

Работа Гротендика по теории банаховых пространств и линейным непрерывным операторам ввела свойство аппроксимации. Говорят, что банахово пространство обладает свойством аппроксимации , если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга. Обратное всегда верно.

В длинной монографии Гротендик доказал, что если бы каждое банахово пространство обладало свойством аппроксимации, то каждое банахово пространство имело бы базис Шаудера. Таким образом, Гротендик сосредоточил внимание функциональных аналитиков на решении вопроса о том, каждое ли банахово пространство обладает свойством аппроксимации.

Решение Энфло

В 1972 году Пер Энфло построил отделимое банахово пространство, в котором отсутствует свойство аппроксимации и Основа Шаудера. В 1972 году Мазур вручил Энфло живого гуся на церемонии в Центре Стефана Банаха в Варшаве ; церемония «награды гуся» транслировалась по всей Польше.

Проблема инвариантного подпространства и многочлены

В функциональном анализе одной из наиболее заметных проблем было инвариантное подпространство задача, которая потребовала оценки истинности следующего утверждения:

Дано сложное банахово пространство H размерности >1 и ограниченный линейный оператор T: H → H, то H имеет нетривиальное замкнутое T-инвариантное подпространство, т.е. существует замкнутое линейное подпространство W в H которое отличается от {0} и H таких, что T (W) ⊆ W.

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Энфло. (Для гильбертовых пространств проблема инвариантного подпространства остается открытой.)

Энфло предложил решение проблемы инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав набросок в 1976 году. Enflo представил полную статью в 1981 году, а сложность и объем статьи отложили ее публикацию до 1987 года. Длинная «рукопись Enflo имела всемирное распространение среди математиков», и некоторые из ее идей были описаны в публикациях помимо Enflo (1976). Работы Энфло вдохновили подобную конструкцию оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло.

В 1990-х Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантного подпространства на гильбертовых пространствах.

Мультипликативные неравенства для однородных многочленов

Существенной идеей в конструкции Энфло была «концентрация многочленов с низкими степенями »: для всех натуральных чисел $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, существует $C\; (m,\; n)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (m,\; n)>0\}$такие, что для всех однородных многочленов $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$градусов $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$(в $k\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; k\}$переменные), затем

$|\; P\; Q\; |\; \ge \; C\; (m,\; n)\; |\; P\; |\; |\; Q\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; PQ\; |\; \backslash \; geq\; C\; (m,\; n)\; |\; P\; |\; \backslash ,\; |\; Q\; |,\}$

где $|\; P\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; P\; |\}$обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Энфло доказал, что $C\; (m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (m,\; n)\}$не зависит от количества переменных $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Первоначальное доказательство Энфло было упрощено Монтгомери.

. Этот результат был обобщен на другие нормы в векторном пространстве однородных многочленов. Из этих норм чаще всего использовалась норма Бомбьери.

норма Бомбьери

норма Бомбьери определяется в терминах следующего скалярного произведения : Для всех $\alpha ,\; \beta \; \in \; NN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; ^\; \{N\}\}$мы имеем

$⟨X\; \alpha \; |\; Икс\; \beta ⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; |\; X\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$, если $\alpha \; \ne \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; neq\; \backslash \; beta\; \}$

Для каждого $\alpha \; \in \; NN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; ^\; \{N\}\}$мы определяем $|\; |\; X\; \alpha \; |\; |\; 2\; =\; |\; \alpha \; |\; !\; \alpha !,\; \{\backslash \; displaystyle\; ||\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; ||\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; alpha\; |!\}\; \{\backslash \; alpha!\}\},\}$

где мы используем следующие обозначения: if $\alpha \; =\; (\alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; N)\; \in \; NN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{N\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; ^\; \{N\}\}$, пишем $|\; \alpha \; |\; Знак\; равно\; \Sigma \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \alpha \; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; \backslash \; альфа\; |\; =\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\}$и $\alpha !\; Знак\; равно\; \Pi \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (\alpha \; я!)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа!\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; (\backslash \; альфа\; \_\; \{я\}!)\}$и $X\; \alpha \; знак\; равно\; \Pi \; i\; =\; 1\; NX\; i\; \alpha \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; X\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\}.\}$

Самым замечательным свойством этой нормы является Bombieri неравенство:

Пусть $P,\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P,\; Q\}$два однородных многочлена соответственно степени $d\; \circ \; (P)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; (P)\}$и $d\; \circ \; (Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; (Q)\}$с $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$переменных, тогда выполняется следующее неравенство:

$d\; \circ \; (P)!\; d\; \circ \; (Q)!\; (d\; \circ \; (P)\; +\; d\; \circ \; (Q))!\; |\; |\; P\; |\; |\; 2\; |\; |\; Q\; |\; |\; 2\; \le \; |\; |\; P\; \cdot \; Q\; |\; |\; 2\; \le \; |\; |\; P\; |\; |\; 2\; |\; |\; Q\; |\; |\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; (P)!\; d\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; (Q)!\}\; \{(d\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; (P)\; +\; d\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; (Q))\; !\}\}\; ||\; P\; ||\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; ||\; Q\; ||\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; ||\; P\; \backslash \; cdot\; Q\; ||\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; ||\; P\; ||\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; ||\; Q\; ||\; ^\; \{2\}.\}$

В приведенном выше утверждении неравенство Бомбьери является неравенством левой части; неравенство в правой части означает, что норма Бомбьери является нормой алгебры многочленов при умножении.

Неравенство Бомбьери подразумевает, что произведение двух полиномов не может быть сколь угодно малым, и эта нижняя граница является фундаментальной в таких приложениях, как факторизация полинома (или в конструкции Энфло оператора без инварианта подпространство).

Приложения

Идея Энфло о «концентрации многочленов с низкими степенями» привела к важным публикациям в теории чисел алгебраических и диофантовых геометрия и полиномиальная факторизация.

Математическая биология: динамика популяции

В прикладной математике Пер Энфло опубликовал несколько статей по математической биологии, в частности, в динамике популяции.

Эволюция человека

Энфло также опубликовал в популяционной генетике и палеоантропологии.

Сегодня все люди принадлежат к одной популяции Homo sapiens sapiens, который разделен видовым барьером. Однако, согласно модели «Out of Africa», это не первый вид гоминидов: первый вид рода Homo, Homo habilis, появился в Восточной Африке не менее 2 млн лет назад, и представители этого вида населяли разные части Африки в относительно короткое время. Homo erectus эволюционировал более 1,8 млн. Лет назад и к 1,5 млн. Лет распространился по Старому Свету.

Антропологи разделились во мнениях относительно того, эволюционировала ли нынешняя человеческая популяция как одна взаимосвязанная популяция (как постулируется в Мультирегиональной эволюции гипотеза), или возникла только в Восточной Африке, определена, а затем мигрировала из Африки и заменила человеческие популяции в Евразии (так называемая Модель «Из Африки» или « Полная замена "модели").

Неандертальцы и современные люди сосуществовали в Европе в течение нескольких тысяч лет, но продолжительность этого периода неизвестна. Современные люди, возможно, впервые мигрировали в Европу 40–43 000 лет назад. Неандертальцы, возможно, жили всего 24000 лет назад в убежищах на южном побережье Пиренейского полуострова, таких как пещера Горхэма. Было высказано предположение о взаимной стратификации останков неандертальцев и современных людей, но это оспаривается.

Вместе с Хоуксом и Вулпофф Энфло опубликовал объяснение окаменелостей на ДНК неандертальца и современного человека. В этой статье предпринимается попытка разрешить спор в эволюции современного человека между теориями, предполагающими либо мультирегиональное, и единственное африканское происхождение. В частности, исчезновение неандертальцев могло произойти из-за того, что волны современных людей проникли в Европу - технически говоря, из-за «непрерывного притока современной человеческой ДНК в генофонд неандертальцев»

Энфло также писал о динамике популяции мидий зебры в озере Эри.

Фортепиано

Пер Энфло также концертный пианист.

A вундеркинд как в музыке, так и в математике, Энфло выиграл шведский конкурс среди молодых пианистов в возрасте 11 лет в 1956 году и он выиграл тот же конкурс в 1961 году. В 12 лет Энфло выступил в качестве солиста Королевского оперного оркестра Швеции. Он дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году. Учителями Энфло были Бруно Зайдлхофер, Геза Анда и Готфрид Бун (который сам был учеником Артура Шнабеля)

Энфло регулярно выступает около Кента и в серии Моцарт в Колумбусе, Огайо (с Triune Festival Orchestra). Его сольные концерты на фортепиано появлялись в сети Classics Network радиостанции WOSU, спонсируемой Государственным университетом Огайо.

Ссылки

Notes

1. ^Страница 586 в Халмосе 1990.
2. ^Пер Энфло: Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах. Acta Mathematica vol. 130, нет. 1, Juli 1973
3. ^*Enflo, Per (1976). «К проблеме инвариантного подпространства в банаховых пространствах». Séminaire Maurey - Schwartz (1975-1976) Espaces L, Applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. №№ 14-15. Center Math., École Polytech., Palaiseau. п. 7. MR 0473871.
   • Энфло, Пер (1987). «К проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств». Acta Mathematica. 158 (3): 213–313. doi : 10.1007 / BF02392260. ISSN 0001-5962. MR 0892591.
4. ^Сам Радстрём опубликовал несколько статей по пятой проблеме Гильберта с точки зрения теории полугрупп. Радстрем был также (начальным) советником Мартина Рибе, который написал диссертацию о метрических линейных пространствах, которые не обязательно должны быть локально выпуклыми; Рибе также использовал некоторые идеи Энфло о метрической геометрии, особенно о «округлости», для получения независимых результатов о однородных и липшицевых вложениях (Беньямини и Линденштраус). В этой ссылке также описаны результаты Энфло и его учеников по таким вложениям.
5. ^Теорема 15.4.1 в Матушеке.
6. ^Матушек 370.
7. ^Матушек 372.
8. ^Бозами 1985, стр. 298.
9. ^Пизье.
10. ^Шаудер Дж (1927). "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen" (PDF). Mathematische Zeitschrift. 26 : 47–65. DOI : 10.1007 / BF01475440. hdl : 10338.dmlcz / 104881.
11. ^Schauder J (1928). "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems". Mathematische Zeitschrift. 28 : 317–320. doi : 10.1007 / BF01181164.
12. ^Маулдин
13. ^ Джорам Линденштраус и Л. Цафрири.
14. ^«Сенсация» Энфло обсуждается на странице 287 в Питч, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. MR 2300779.Введение в решение Enflo было написано Халмосом, Джонсон, Квапень, Линденштраус и Цафрири, Недевски и Троянски, и Зингер.
15. ^Калужа, Сакс, Эгглтон, Маулдин.
16. ^ Beauzamy 1988; Ядав.
17. ^Ядав, стр. 292.
18. ^Например, Раджави и Розенталь (1982).
19. ^Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства». Математический интеллект. 4 (1): 33–37. doi : 10.1007 / BF03022994.
20. ^Стр. 401 в Фойаш, Киприан; Юнг, Иль Бонг; Ко, Юнгил; Пирси, Карл (2005). «О квазинильпотентных операторах. III». Журнал теории операторов. 54 (2): 401–414.. Метод Энфло ("вперед") "минимальных векторов" также отмечен в обзоре этой исследовательской статьи Жилем Кассье в Mathematical Reviews : MR 2186363 Метод минимального вектора Энфло описан более подробно в обзорная статья по проблеме инвариантного подпространства Энфло и Виктора Ломоносова, которая появилась в Справочнике по геометрии банаховых пространств (2001).
21. ^Шмидт, стр. 257.
22. ^Монтгомери. Шмидт. Бозами и Энфло. Бозами, Бомбьери, Энфло и Монтгомери
23. ^Бомбьери и Габлер
24. ^Кнут. Бозами, Энфло и Ван.
25. ^Модель эволюции генетики человеческой популяции (разработанная Энфло и его соавторами) была опубликована на титульной странице крупной шведской газеты. Jensfelt, Annika (14 января 2001 г.). Svenska Dagbladet : 1. Отсутствует или отсутствует | title =()
26. ^Мелларс, П. (2006). «Новая радиоуглеродная революция и распространение современного человека в Евразии ». Природа. 439 (7079): 931–935. Bibcode : 2006Natur.439..931M. doi : 10.1038 / nature04521. PMID 16495989.
27. ^Бэнкс, Уильям Э.; Франческо д'Эррико; А. Таунсенд Петерсон; Маса Кагеяма; Адриана Сима; Мария -Фернанда Санчес-Гони (24 декабря 2008 г.). Харпендинг, Генри (редактор). «Вымирание неандертальцев путем конкурентного исключения». PLoS ONE. Публичная научная библиотека. 3 (12): e3972. Bibcode : 2008PLoSO... 3.3972B. doi : 10.1371 / journal.pone.0003972. ISSN 1932-6203. PMC 2600607. PMID 19107186.
28. ^Ринкон, Пол (13 сентября 2006 г. «Последнее каменное убежище неандертальцев». BBC News. Проверено 11 октября 2009 г.
29. ^Финлейсон, К., Ф. Г. Пачеко, Х. Родригес-Видаль, Д. A. Fa, JMG Lopez, AS Perez, G. Finlayson, E. Allue, JB Preysler, I. Caceres, JS Carrion, YF Jalvo, CP Gleed-Owen, FJJ Espejo, P. Lopez, JAL Saez, JAR Cantal, AS Марко, Ф. Г. Гусман, К. Браун, Н. Фуэнтес, К. А. Валарино, А. Вильяльпандо, С. Б. Стрингер, Ф. М. Руис и Т. Сакамото. 2006. Позднее выживание неандертальцев на крайнем юге Европы. Продвинутое онлайн-издание Nature.
30. ^Gravina, B.; Mellars, P.; Рэмси, К. Б. (2005). «Радиоуглеродное датирование перемежающихся стратифицированных неандертальцев и ранних современных человеческих профессий на типовой территории Шательперрон». Природа. 438 (7064): 51–56. Bibcode : 2005Natur.438... 51G. doi : 10.1038 / nature04006. PMID 16136079.
31. ^Zilhão, João; Франческо д'Эррико; Жан-Гийом Бордес; Арно Ленобль; Жан-Пьер Тексье; Жан-Филипп Риго (2006). «Анализ интерстратификации ориньякцев на территории типа Châtelperronian и последствия для поведенческой современности неандертальцев». PNAS. 103 (33): 12643–12648. Bibcode : 2006PNAS..10312643Z. doi : 10.1073 / pnas.0605128103. PMC 1567932. PMID 16894152.
32. ^Стр. 665:
    • Пяабо, Сванте и другие. «Генетический анализ древней ДНК». Анну. Преподобный Жене. 38, 645–679 (2004).
33. ^Йенсфельт, Анника (14 января 2001 г.). Svenska Dagbladet : 1. Отсутствует или пусто | title =()
34. ^"'Теория Пера Энфло чрезвычайно хорошо продумана и имеет высочайшее значение «... сказал американский антрополог Милфорд Уолпофф, профессор Мичиганского университета» (стр. 14 в Jensfelt, Annika (14 января 2001 г.). «Ny brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung (швед.) ". Svenska Dagbladet : 14–15.)
35. ^Saxe
36. ^ * Серия концертов камерной музыки Chagrin Valley 2009-2010 Архивировано 11.11.2012 в Wayback Machine.
37. ^Saxe.
38. ^Майкл Киммельман (8 августа 1999 г.) «Возвращение Prodigy's». The New York Times Magazine. Раздел 6, стр. 30.

• "Объявлены лауреаты премии выдающегося ученого 2005 г. в Государственном университете Кента ", eInside, 2005-4-11. Проверено 4 февраля 2007 г.

Библиография

• Enflo, Per. ( 1970) Исследования по пятой проблеме Гильберта для нелокально компактных групп (Стокгольмский университет). Диссертация Энфло содержит оттиски ровно пяти работ:
  • Энфло, Пер (1969a). «Топологические группы, в которых умножение на одной стороне дифференцируемо или линейно». Математика. Сканд. 24 : 195–197. doi : 10.7146 / math.scand.a-10930.
  • Пер Энфло (1969). «Об отсутствии однородных гомеоморфизмов между L p пространствами». Арк. Мат. 8 (2): 103–5. Bibcode : 1970ArM..... 8..103E. doi : 10.1007 / BF02589549.
  • Энфло, Пер (1969b). «По проблеме Смирнова». Ark. Math. 8 (2): 107–109. Bibcode : 1970ArM..... 8..107E. doi : 10.1007 / bf02589550.
  • Энфло, Пер (1970a). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах I ». Israel J. Math. 8 (3): 230–252. doi : 10.1007 / BF02771560.
  • Энфло, Пер (1970b). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах II ». Israel J. Math. 8 (3): 253–272. doi : 10.1007 / BF02771561.
    • Энфло, пер. 1976. Равномерные гомеоморфизмы между банаховыми пространствами. Séminaire Maurey-Schwartz (1975–1976), Espaces, $L\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{p\}\}$, Applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. № 18, 7 стр. Center Math., École Polytech., Palaiseau. MR 0477709 (57 # 17222) [Основные моменты статей по пятой проблеме Гильберта и по независимым результатам Мартина Рибе, другого ученика Ханса Радстрема]
• Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал. 13 (3–4): 281–288. doi : 10.1007 / BF02762802. MR 0336297.
• Энфло, Пер (1973). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах». Acta Mathematica. 130 : 309–317. doi : 10.1007 / BF02392270. MR 0402468.
• Энфло, Пер (1976). «К проблеме инвариантного подпространства в банаховых пространствах» (PDF). Séminaire Maurey - Schwartz (1975-1976) Espaces L, Applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. №№ 14–15. Center Math., École Polytech., Palaiseau. С. 1–7. MR 0473871.
• Энфло, Пер (1987). «К проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств». Acta Mathematica. 158 (3): 213–313. doi : 10.1007 / BF02392260. ISSN 0001-5962. MR 0892591.
• Бозами, Бернар; Бомбьери, Энрико ; Энфло, Пер; Монтгомери, Хью Л. (1990). «Произведения многочленов от многих переменных». Журнал теории чисел. 36(2): 219–245. DOI : 10.1016 / 0022-314X (90) 90075-3. hdl : 2027.42 / 28840. MR 1072467.
• Бозами, Бернар; Энфло, Пер; Ван, Пол (октябрь 1994). «Количественные оценки многочленов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел до символьных и массово-параллельных вычислений». Математический журнал. 67(4): 243–257. JSTOR 2690843.(доступен для читателей с бакалавриатом математики)
• P. Энфло, Джон Д. Хокс, М. Вольпофф. «Простая причина, по которой происхождение неандертальцев может соответствовать современной информации ДНК». Американский журнал Physical Anthropology, 2001
• Enflo, Per; Ломоносов, Виктор (2001). «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства». Справочник по геометрии банаховых пространств. Я . Амстердам: Северная Голландия. С. 533–559.
• Бартл Р. Г. (1977). «Обзор работы Пера Энфло« Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах »Acta Mathematica 130 (1973), 309–317». Математические обзоры. 130 : 309–317. doi : 10.1007 / BF02392270. MR 0402468.
• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4. MR 0889253.
• Beauzamy, Bernard (1988). Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства. Северная Голландия. ISBN 0-444-70521-X. MR 0967989.
• Энрико Бомбьери и Уолтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Кембридж Ю. П. ISBN 0-521-84615-3.
• Роджер Б. Эгглтон (1984). «Обзор книги Молдина« Шотландская книга: математика из шотландского кафе »». Mathematical Reviews. MR 0666400.
• Grothendieck, A. : Производит тензорные топологии и космические ядра. Памятка. Амер. Математика. Soc. 16 (1955).
• Халмос, Пол Р. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячник. 85(4): 256–257. DOI : 10.2307 / 2321165. JSTOR 2321165. MR 0488901.
• Пол Р. Халмос, "Прогресс в математике замедлился?" Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 7, 561–588. MR 1066321
• Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные сепарабельные банаховы пространства» в Роберте Дж. Бартле (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу, Математическая ассоциация Америки.
• Калужа, Роман (1996). Анн Костант и Войбор Войчинский (ред.). Глазами репортера: жизнь Стефана Банаха. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3772-9. MR 1392949.
• Кнут, Дональд Э (1997). «4.6.2 Факторизация многочленов». Получисловые алгоритмы. Искусство программирования. 2(Третье изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2.
• Квапень, С. «На примере Энфло банахова пространства без свойства аппроксимации». Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972–1973: Équations aux dérivées partielles et analysis fonctionnelle, Exp. No. 8, 9 pp. Center de Math., École Polytech., Paris, 1973. MR 407569
• Lindenstrauss, Joram и Benyamini, Yoav. Публикации коллоквиума по геометрическому нелинейному функциональному анализу, 48. Американское математическое общество.
• Lindenstrauss, J. ; Цафрири, Л.: Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей, 1977. Springer-Verlag.
• Matoušek, Jiří (2002). Лекции по дискретной геометрии. Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95373-1..
• Р. Даниэль Молдин, изд. (1981). The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café (включая избранные доклады, представленные на Шотландской книжной конференции, состоявшейся в Университете штата Северный Техас, Дентон, Техас, май 1979 г.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. С. xiii + 268 с. (2 пластины). ISBN 3-7643-3045-7. MR 0666400.
• Nedevski, P.; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил отрицательную проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства». Физ.-мат. Spis. Булгар. Акад. Наук. 16 (49): 134–138. MR 0458132.
• Пич, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов]. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. MR 2300779.
• Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Israel J. Math. 20 (3–4): 326–350. doi : 10.1007 / BF02760337. MR 0394135.
• Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства». Математический интеллект. 4 (1): 33–37. doi : 10.1007 / BF03022994.
• Карен Сакс, Начало функционального анализа, Тексты для бакалавров по математике, 2002 г., Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. (Страницы 122–123 представляют собой набросок биографии Пера Энфло.)
• Шмидт, Вольфганг М. (1980 [1996 год с небольшими исправлениями]) Диофантово приближение. Конспект лекций по математике 785. Спрингер.
• Певец Иван. Базы в банаховых пространствах. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981. viii + 880 pp. ISBN 3-540-10394-5. MR 610799
• Ядав Б.С. (2005). «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства». Миланский математический журнал. 73 : 289–316. doi : 10.1007 / s00032-005-0048-7. ISSN 1424-9286. MR 2175046.

Внешние источники

• Биография Пера Энфло в Колледже Канисиуса
• Домашняя страница Пера Энфло в Государственный университет Кента
• Энфло, Пер (25 апреля 2011 г.). «Личные заметки, моими собственными словами». perenflo.com. Архивировано из оригинального 26 апреля 2012 г. Получено 13 декабря 2011 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Базы данных

• Per Enflo в Mathematics Genealogy Project
• Google Scholar. "Per Enflo". Проверено 15 мая 2010 г.
• Mathematical Reviews. "Per Enflo". Проверено 14 мая 2010 г.

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте