Базис Шаудера

В математике используется базис Шаудера или счетный базис аналогичен обычному (Hamel ) базису векторного пространства ; разница в том, что в базисах Хамеля используются линейные комбинации, которые представляют собой конечные суммы, а в базисах Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховых пространств.

Базы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 году, хотя такие базы обсуждались ранее. Например, базис Хаара был дан в 1909 году, а Георг Фабер обсуждал в 1910 году основу для непрерывных функций на интервале, иногда называется системой Фабера – Шаудера .

• 1 Определения
• 2 Свойства
• 3 Примеры
  • 3.1 Связь с рядами Фурье
  • 3.2 Основания для пространств операторов
• 4 Необусловленность
• 5 Основания Шаудера и двойственность
• 6 Понятия, связанные с данным
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература

Пусть V обозначает a банахово пространство над полем F. Базис Шаудера - это последовательность {bn} элементов V такая, что для каждого элемента v ∈ V существует уникальная последовательность {α n } скаляров в F так что

$v\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \alpha \; nbn,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; b\_\; \{n\},\}$

где сходимость понимается относительно топологии нормы, т. е.

$lim\; n\; \to \; \infty \; \Vert \; v\; -\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \alpha \; kbk\; \Vert \; V\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; v-\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}\; =\; 0.\}$

Базисы Шаудера также могут быть определены аналогично в общем топологическое векторное пространство. В отличие от базиса Гамеля, элементы базиса должны быть упорядочены, поскольку ряд не может сходиться безусловно.

Базис Шаудера {b n}n ≥ 0 называется быть нормализованным, когда все базисные векторы имеют норму 1 в банаховом пространстве V.

Последовательность {x n}n ≥ 0 в V является базовым последовательность, если она является базисом Шаудера своей замкнутой линейной оболочки.

Два базиса Шаудера, {b n } в V и {c n } в W, называются эквивалентными, если существуют две константы c>0 и C такие, что для каждого натурального числа N ≥ 0 и всех последовательностей {α n } скаляров,

$c\; \Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; N\; \alpha \; kbk\; \Vert \; V\; \le \; \Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; N\; \alpha \; kck\; \Vert \; W\; \le \; C\; \Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; N\; \alpha \; kbk\; \Vert \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; c\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{W\}\; \backslash \; leq\; C\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}.\}$

Семейство векторов в V составляет всего, если его линейная длина (набор из конечные линейные комбинации) плотно в V. Если V является гильбертовым пространством, ортогональный базис представляет собой общее подмножество B группы V, элементы которой не равны нулю и попарно ортогональны. Далее, когда каждый элемент в B имеет норму 1, тогда B является ортонормированным базисом V.

Пусть {b n } - базис Шаудера банахова пространства V над F= Rили C . Тонким следствием теоремы об открытом отображении является то, что линейные отображения {P n }, определенные как

$v\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; \alpha \; kbk\; ⟶\; P\; n\; P\; n\; (\; v)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; \alpha \; kbk\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; textstyle\; P\_\; \{n\}\; \}\; \{\backslash \; longrightarrow\}\}\; \backslash \; \backslash \; P\_\; \{n\}\; (v)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\}$

равномерно ограничены некоторой константой C. Когда C = 1, базис называется монотонным базисом. Карты {P n } являются базисными проекциями.

. Пусть {b * n } обозначает координатные функционалы, где b * n назначает каждому вектору v в V координату α n v в приведенном выше расширении. Каждый b * n является ограниченным линейным функционалом на V. В самом деле, для любого вектора v в V

$|\; b\; n\; \ast \; (v)\; |\; \Vert \; B\; n\; \Vert \; V\; =\; |\; \alpha \; n\; |\; \Vert \; B\; N\; \Vert \; V\; знак\; равно\; \Vert \; \alpha \; N\; B\; N\; \Vert \; V\; =\; \Vert \; P\; n\; (v)\; -\; P\; n\; -\; 1\; (v)\; \Vert \; V\; \le \; 2\; C\; \Vert \; v\; \Vert \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; b\_\; \{n\}\; ^\; \{*\}\; (v)\; |\; \backslash ;\; \backslash \; |\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}\; =\; |\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; |\; \backslash ;\; \backslash \; |\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}\; =\; \backslash \; |\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}\; =\; \backslash \; |\; P\_\; \{n\}\; (v)\; -P\_\; \{n-1\}\; (v)\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}\; \backslash \; leq\; 2C\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\; \_\; \{V\}.\}$

Эти функционалы {b * n } называются биортогональными функционалами, связанными с базисом {b n }. Когда базис {b n } нормализован, координатные функционалы {b * n } имеют норму ≤ 2C в непрерывном двойственном V ′ для V.

Банахово пространство с базисом Шаудера обязательно отделимо, но обратное неверно. Поскольку каждый вектор v в банаховом пространстве V с базисом Шаудера является пределом P n (v), с P n конечного ранга и равномерно ограниченным, такое пространство V удовлетворяет свойство ограниченной аппроксимации.

Теорема, приписываемая Мазуру, утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство V содержит базовую последовательность, т. е. существует бесконечномерное подпространство V, которое имеет пространство Шаудера. основание. Проблема базиса - это вопрос, который задает Банах, имеет ли каждое отделимое банахово пространство базис Шаудера. На это отрицательно ответил Пер Энфло, построивший разделимое банахово пространство, не имеющее свойства аппроксимации, таким образом, пространство без базиса Шаудера.

Стандартные базисы единичных векторов из c0 и из ℓ для 1 ≤ p < ∞, are monotone Schauder bases. In this базис единичного вектора {bn}, вектор b n в V = c 0 или в V = ℓ - это скалярная последовательность {b n, j }j, где все координаты b n, j равны 0, кроме n-й координаты:

$bn\; =\; \{bn,\; j\; \}\; j\; =\; 0\; \infty \; \in \; V,\; bn,\; j\; =\; \delta \; n,\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{b\_\; \{n,\; j\}\; \backslash \}\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; in\; V,\; \backslash \; \backslash \; b\_\; \{n,\; j\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; j\},\}$

где δ n, j - дельта Кронекера. Пространство ℓ неотделимо и поэтому не имеет базиса Шаудера.

Каждый ортонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве является базисом Шаудера. Каждый счетный ортонормированный базис эквивалентен стандартному базису единичных векторов в.

Система Хаара является примером основы для L ([0, 1]), когда 1 ≤ p < ∞. When 1 < p < ∞, another example is the trigonometric system defined below. The Banach space C([0, 1]) of continuous functions on the interval [0, 1], with the supremum norm, допускает основу Шаудера. Система Фабера – Шаудера является наиболее часто используемым базисом Шаудера для C ([0, 1]).

Несколько базисов для классических пространств были открыты до появления книги Банаха (Банах (1932)), но некоторые другие дела долгое время оставались открытыми. Например, вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра A (D) базис Шаудера, оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев не показал в 1974 году, что базис, построенный из системы Франклина существует в A (D). Можно также доказать, что периодическая система Франклина является базисом для банахова пространства A r, изоморфного A (D). Это пространство A r состоит из всех сложных непрерывных функций на единичной окружности T, чья сопряженная функция также является непрерывной. Система Франклина является еще одним базисом Шаудера для C ([0, 1]), и это базис Шаудера в L ([0, 1]), когда 1 ≤ p < ∞. Systems derived from the Franklin system give bases in the space C([0, 1]) of дифференцируемые функции на единичном квадрате. Существование базиса Шаудера в C ([0, 1]) было вопросом из книги Банаха.

Связь с рядами Фурье

Пусть {x n } будет, в реальном случае последовательность функций

$\{1,\; cos\; \; (x),\; sin\; \; (x),\; cos\; \; (2\; x),\; sin\; \; (2\; x),\; cos\; \; (3\; x),\; sin\; \; (3\; Икс),\dots \}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; соз\; (х),\; \backslash \; грех\; (х),\; \backslash \; соз\; (2х),\; \backslash \; грех\; (2х),\; \backslash \; соз\; (3х),\; \backslash \; грех\; (3х),\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$

или, в сложном случае,

$\{1,\; eix,\; e\; -\; ix,\; e\; 2\; ix,\; e\; -\; 2\; ix,\; e\; 3\; ix,\; e\; -\; 3\; ix,\dots \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1,\; e\; ^\; \{ix\},\; e\; ^\; \{-\; ix\},\; e\; ^\; \{2ix\},\; e\; ^\; \{-\; 2ix\},\; e\; ^\; \{3ix\},\; e\; ^\; \{-\; 3ix\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Последовательность {x n } называется тригонометрической системой . Это базис Шаудера для пространства L ([0, 2π]) для любого p такого, что 1 < p < ∞. For p = 2, this is the content of the теорема Рисса – Фишера, а для p ≠ 2 это следствие ограниченность на пространстве L ([0, 2π]) преобразования Гильберта на окружности. Из этой ограниченности следует, что проекции P N, определенные как

$\{f:\; x\; \to \; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; +\; \infty \; ckeikx\}\; ⟶\; PN\; \{PN\; f:\; x\; \to \; \sum \; k\; =\; -\; NN\; ckeikx\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f:\; x\; \backslash \; to\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; c\_\; \{k\}\; e\; ^\; \{ikx\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; \{\backslash \; overset\; \{P\_\; \{N\}\; \}\; \{\backslash \; longrightarrow\}\}\; \backslash \; \backslash \; left\; \backslash \; \{P\_\; \{N\}\; f:\; x\; \backslash \; to\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -N\}\; ^\; \{N\}\; c\_\; \{k\}\; e\; ^\; \{ikx\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

равномерно ограничены на L ([0, 2π]), когда 1 < p < ∞. This family of maps {PN } является равностепенно непрерывным и стремится к тождеству на плотном подмножестве, состоящем из тригонометрических полиномов. Отсюда следует, что P N f стремится к f в L-норме для любого f ∈ L ([0, 2π]). Другими словами, {x n } является базисом Шаудера L ([0, 2π]).

Однако множество {x n } не является базис Шаудера для L ([0, 2π]). Это означает, что в L есть функции, ряд Фурье которых не сходится по L-норме, или, что то же самое, проекции P N не ограничены равномерно по L-норме. Кроме того, набор {x n } не является базисом Шаудера для C ([0, 2π]).

Базисы пространств операторов

Пространство K (ℓ) компактных операторов в гильбертовом пространстве ℓ имеет базис Шаудера. Для любых x, y в ℓ пусть x ⊗ y обозначает оператор ранга один v ∈ ℓ → y. Если {e n }n ≥ 1 является стандартным ортонормированным базисом, базис для K (ℓ) задается последовательностью

$e\; 1\; \otimes \; e\; 1,\; e\; 1\; \otimes \; e\; 2,\; e\; 2\; \otimes \; e\; 2,\; e\; 2\; \otimes \; e\; 1,\dots ,\; e\; 1\; \otimes \; en,\; e\; 2\; \otimes \; en,\dots ,\; en\; \otimes \; en,\; en\; \otimes \; en\; -\; 1,\dots ,\; en\; \otimes \; e\; 1,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{1\},\; \backslash \; \backslash \; e\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{2\},\; \backslash ;\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{2\},\; \backslash ;\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \backslash \; e\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{n\},\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{n\},\; \backslash \; ldots,\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{n\},\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{n\; -1\},\; \backslash \; ldots,\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; otimes\; e\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для каждого n последовательность, состоящая из первых n векторов в этом базисе, является подходящим порядком семейство {e j ⊗ e k }, для 1 ≤ j, k ≤ n.

Предыдущий результат можно обобщить: банахово пространство X с базисом обладает свойством аппроксимации, поэтому пространство K (X) компактных операторов на X изометрически изоморфно пространству инъективное тензорное произведение

$X\; \prime \; \otimes \; ^\; \epsilon \; X\; \simeq \; K\; (X).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; otimes\}\}\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; X\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; (X).\}$

Если X - банахово пространство с базисом Шаудера {e n }n ≥ 1 такое, что биортогональные функционалы являются базисом двойственного, то есть банахова пространства с сжимающимся базисом, то пространство K (X) допускает базис, образованный операторы первого ранга e * j ⊗ e k : v → e * j (v) e k с тем же порядком как прежде. В частности, это применимо к любому рефлексивному банаховому пространству X с базисом Шаудера

. С другой стороны, пространство B (ℓ) не имеет базиса, поскольку оно неотделимо. Кроме того, B (ℓ) не обладает свойством аппроксимации.

Базис Шаудера {b n } является безусловным, если всякий раз ряд $\sum \; \alpha \; nbn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; b\_\; \{n\}\}$сходится, сходится безусловно. Для базиса Шаудера {b n } это эквивалентно существованию константы C такой, что

$\Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \epsilon \; k\; \alpha \; kbk\; \Vert \; V\; \le \; C\; \Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \alpha \; kbk\; \Vert \; В\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Bigl\; \backslash \; |\}\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{k\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \{\backslash \; Bigr\; \backslash \; |\}\; \_\; \{V\; \}\; \backslash \; leq\; C\; \{\backslash \; Bigl\; \backslash \; |\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \{\backslash \; Bigr\; \backslash \; |\}\; \_\; \{V\}\}$

для всех натуральных чисел n, все скалярные коэффициенты {α k } и все знаки ε k = ± 1. Безусловность является важным свойством, поскольку позволяет забыть о порядке суммирования. Базис Шаудера является симметричным, если он безусловен и равномерно эквивалентен всем его перестановкам : существует константа C такая, что для любого натурального числа n каждая перестановка π множества {0, 1,…, n}, все скалярные коэффициенты {α k } и все знаки {ε k },

$\Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \epsilon \; k\; \alpha \; kb\; \pi \; (\; k)\; V\; \le \; C\; \Vert \; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \alpha \; kbk\; \Vert \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Bigl\; \backslash \; |\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{k\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\; \_\; \{\backslash \; pi\; (k)\}\; \{\backslash \; Bigr\; \backslash \; |\}\; \_\; \{V\; \}\; \backslash \; leq\; C\; \{\backslash \; Bigl\; \backslash \; |\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{k\}\; b\_\; \{k\}\; \{\backslash \; Bigr\; \backslash \; |\}\; \_\; \{V\}.\}$

Стандартные основы из пространств последовательностей c0и ℓ для 1 ≤ p < ∞, as well as every orthonormal basis in a Hilbert space, are unconditional. These bases are also symmetric.

Тригонометрическая система не является безусловным базисом в L, за исключением p = 2.

Система Хаара является безусловный базис в L для любого 1 < p < ∞. The space L([0, 1]) has no unconditional basis.

Возникает естественный вопрос, имеет ли каждое бесконечномерное банахово пространство бесконечномерное подпространство с безусловным базисом. Эта проблема была решена отрицательно Тимоти Гауэрсом и Бернардом Мори в 1992 году.

Основание {e n}n≥ 0 банахова пространства X является ограниченно полным, если для каждой последовательности {a n}n≥0 скаляров таких, что частичные суммы

$V\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; nakek\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{k\}\; e\_\; \{k\}\}$

ограничены в X, последовательность {V n } сходится в X. Базис единичного вектора для ℓ, 1 ≤ p < ∞, is boundedly complete. However, the unit vector basis is not boundedly complete in c0. В самом деле, если a n = 1 для каждого n, то

$\Vert \; V\; n\; 0\; c\; 0\; =\; max\; 0\; \le \; k\; \le \; n\; |\; а\; к\; |\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; V\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{c\_\; \{0\}\}\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{0\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; n\}\; |\; a\_\; \{k\}\; |\; =\; 1\}$

для каждого n, но последовательность {V n } не сходится в c 0, поскольку || V n + 1 - V n || = 1 для каждого n.

Пространство X с ограниченно полным базисом {e n}n≥0 изоморфно двойственному пространству, а именно, пространство X изоморфно двойственному пространству замкнутая линейная оболочка в двойственном X 'биортогональных функционалов, связанных с базисом {e n}.

Базис {e n}n≥0 X является сжимающимся, если для каждого ограниченного линейного функционала f на X, последовательность неотрицательных чисел

$\phi \; n\; =\; sup\; \{|\; f\; (x)\; |\; :\; x\; \in \; F\; n,\; \Vert \; x\; \Vert \; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; \{|\; f\; (x)\; |:\; x\; \backslash \; in\; F\_\; \{n\},\; \backslash ;\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}\}$

стремится к 0, когда n → ∞, где F n - линейная оболочка базисных векторов e m для m ≥ n. Базис единичного вектора для ℓ, 1 < p < ∞, or for c0, сжимается. Он не сжимается в ℓ :, если f - ограниченный линейный функционал на ℓ, заданный как

$f:\; x\; =\; \{xn\}\; \in \; \ell \; 1\; \to \; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; xn,\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; x\; =\; \backslash \; \{x\_\; \{n\}\; \backslash \}\; \backslash \; in\; \backslash \; ell\; ^\; \{1\}\; \backslash \; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\_\; \{n\},\}$

, затем φ n ≥ f (e n) = 1 для каждого n.

Базис {e n }n ≥ 0 X сжимается тогда и только тогда, когда биортогональные функционалы {e * n }n ≥ 0 образуют базис двойственного X ′.

Роберт С. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство X с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис одновременно сжимающийся и ограниченно полный. Джеймс также доказал, что пространство с безусловным базисом нерефлексивно тогда и только тогда, когда оно содержит подпространство, изоморфное c 0 или ℓ.

A Базис Гамеля - это подмножество B векторного пространства V, такое что каждый элемент v ∈ V может быть однозначно записан как

$v\; =\; \sum \; b\; \in \; B\; \alpha \; bb\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{b\; \backslash \; in\; B\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{b\}\; b\}$

с α b ∈ F, с дополнительным условием, что набор

$\{b\; \in \; B\; \mid \; \alpha \; b\; \ne \; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{b\; \backslash \; in\; B\; \backslash \; mid\; \backslash \; alpha\; \_\; \{b\}\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \}\}$

конечно. Это свойство делает базис Гамеля громоздким для бесконечномерных банаховых пространств; поскольку базис Гамеля для бесконечномерного банахова пространства должен быть несчетным. (Каждое конечномерное подпространство бесконечномерного банахова пространства X имеет пустую внутренность и нигде не плотно в X. Тогда из теоремы Бэра о категориях следует, что счетное объединение этих конечномерных подпространства не могут служить базисом.)

• базис Маркушевича
• Обобщенный ряд Фурье
• Ортогональные многочлены
• вейвлет Хаара
• Банахово пространство

1. ^см. Шаудер (1927).
2. ^ Шаудер, Юлиуш (1928). "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems". Mathematische Zeitschrift. 28 : 317–320. doi : 10.1007 / bf01181164.
3. ^ Faber, Georg (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», Deutsche Math.-Ver (на немецком языке) 19 : 104–112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
4. ^см. Теорему 4.10 в Fabian et al. (2011).
5. ^раннее опубликованное доказательство см. На стр. 157, C.3 в Bessaga, C. и Pełczyński, A. (1958), "О базисах и безусловной сходимости рядов в банаховых пространствах", Studia Math. 17 : 151–164. В первых строках этой статьи Бессага и Пелчинский пишут, что результат Мазура без доказательства появляется в книге Банаха, а точнее, на с. 238 - но они не предоставляют ссылку, содержащую доказательство.
6. ^Enflo, Per (июль 1973 г.). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах». Acta Mathematica. 130 (1): 309–317. doi : 10.1007 / BF02392270.
7. ^см. Стр. 48–49 в Schauder (1927). Шаудер определяет здесь общую модель этой системы, частным случаем которой является система Фабера – Шаудера, используемая сегодня.
8. ^см. Бочкарев С.В. (1974), «Существование базиса в пространстве функций, аналитических в круге, и некоторые свойства системы Франклина», Матем. Сб. (N.S.) 95 (137): 3–18, 159. В переводе на математик. СССР-Сб. 24 (1974), 1–16. Вопрос находится в книге Банаха, Banach (1932) стр. 238, § 3.
9. ^См. Стр. 161, III.D.20 в Войтащик (1991).
10. ^См. Стр. 192, III.E.17 в Войтащик (1991).
11. ^Франклин, Филип (1928). «Набор непрерывных ортогональных функций». Математика. Энн. 100 : 522–529. doi : 10.1007 / bf01448860.
12. ^см. Стр. 164, III.D.26 в Wojtaszczyk (1991).
13. ^см. Ciesielski, Z (1969). «Построение базы в C (I)». Studia Math. 33 : 243–247. и Шонефельд, Стивен (1969). «Базисы Шаудера в пространствах дифференцируемых функций». Бык. Амер. Математика. Soc. 75 (3): 586–590. doi : 10.1090 / s0002-9904-1969-12249-4.
14. ^см. Стр. 238, §3 в Banach (1932).
15. ^см. Стр. 40, II.B.11 в Wojtaszczyk (1991).
16. ^ см. Предложение 4.25, стр. 88 в Ryan (2002).
17. ^см. Следствие 4.13, с. 80 в Ryan (2002).
18. ^см. Szankowski, Andrzej (1981). «B (H) не имеет свойства аппроксимации». Acta Math. 147 : 89–108. doi : 10.1007 / bf02392870.
19. ^см. Стр. 24 в Lindenstrauss Tzafriri (1977).
20. ^Gowers, W. Timothy; Мори, Бернар (6 мая 1992 г.). «Проблема безусловной основной последовательности». arXiv : math / 9205204.
21. ^см. Стр. 9 в Lindenstrauss Tzafriri (1977).
22. ^см. Стр. 8 в Lindenstrauss Tzafriri (1977).
23. ^см. Джеймс, Роберт. C. (1950), "Основы и рефлексивность банаховых пространств", Ann. математики. (2) 52 : 518–527. См. Также Lindenstrauss Tzafriri (1977) стр. 9.
24. ^см. Джеймс, Роберт К. (1950), "Основы и рефлексивность банаховых пространств", Ann. математики. (2) 52 : 518–527. Также стр. 23 в Lindenstrauss Tzafriri (1977).
25. ^Carothers, NL (2005), Краткий курс теории пространства Банаха, Cambridge University Press ISBN 0-521-60372 -2

Эта статья включает материал из Countable based на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

• Schauder, Juliusz (1927), "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen", Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 26 : 47–65, doi : 10.1007 / BF01475440, hdl : 10338.dmlcz / 104881.
• Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 года. Дата обращения 11 июля 2020 года.
• Lindenstrauss, Joram ; Цафрири, Лиор (1977), Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces, Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540- 08072-4.
• Фабиан, Мариан; Хабала, Петр; Гайек, Петр; Монтесинос, Висенте; Зизлер, Вацлав (2011), Теория банахового пространства: основа для линейного и нелинейного анализа, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4419-7514-0.
• Ryan, Раймонд А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств, Монографии Спрингера по математике, Лондон: Springer-Verlag, стр. Xiv + 225, ISBN 1-85233-437-1.
• Шефер, Хельмут Х. (1971), Топологические векторные пространства, Graduate Texts in Mathematics, 3, New York: Springer-Verlag, pp. Xi + 294, ISBN 0 -387-98726-6.
• Войтащик, Пшемыслав (1991), Пространства Банаха для аналитиков, Кембриджские исследования в области высшей математики, 25, Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xiv + 382, ​​ISBN 0-521-35618-0.
• Голубов Б.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

.

• Heil, Christopher E. (1997). «Учебник по основам теории» (PDF)..
• Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL:

• Куфнер, Алоис (2013), Функциональные пространства, серия Де Грюйтера в нелинейном анализе и приложениях, 14, Прага: Academia Publishing House Чехословацкой академии наук, de Грюйтер

.