Теорема Банаха – Алаоглу

Для этого доказательства мы будет использовать основные свойства, перечисленные в статьях: полярный набор, двойная система и непрерывный линейный оператор.

Напомним, что когда X наделен слабая * топология $\sigma \; (X\; \#,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\}$, затем $(X\; \#,\; \sigma \; (X\; \#,\; X))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$полный пробел ; однако $(X\; \prime ,\; \sigma \; (X\; \prime ,\; X))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$может не быть полным пробелом. На всем протяжении, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонического спаривания $(X,\; X\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\; \}$где $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$- непрерывное двойственное пространство X.

Пусть U - окрестность начало координат в X и пусть:

• $U\; \circ \; =\; \{f\; \in \; X\; \prime :\; sup\; u\; \in \; U\; |\; f\; (u)\; |\; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}:\; \backslash \; sup\; \_\; \{u\; \backslash \; in\; U\}\; \backslash \; left\; |\; f\; \backslash \; left\; (u\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$быть полярным U относительно канонической пары $(X,\; X\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\}$;
• U быть биполярным элементом U относительно $(X,\; X\; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\}$;
• $U\; \#\; =\; \{f\; \in \; X\; \#:\; sup\; u\; \in \; U\; |\; f\; (u)\; |\; \le \; 1\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; \#\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{\backslash \; \#\}:\; \backslash \; sup\; \_\; \{u\; \backslash \; in\; U\}\; \backslash \; left\; |\; f\; (u)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- полярность U относительно канонической дуальной системы $(X,\; X\; \#).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X,\; X\; ^\; \{\backslash \; \#\}\; \backslash \; right).\}$

Хорошо известный факт о полярах множеств состоит в том, что U = U.

(1) Сначала покажите, что U = U, а затем вывести, что U является $\sigma \; (X\; \#,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\}$-замкнутым подмножеством $X\; \#:\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; \#\}:\}$Это хорошо известный результат, что полярная точка набора слабо замкнута, что означает, что $U\; \#\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; \#\}\}$- это $\sigma \; (X\; \#,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\}$-закрытое подмножество $X\; \#.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; \#\}.\}$Поскольку каждый непрерывный линейный функционал является линейным функционалом, выполняется U ⊆ U. Для обратного включения, если f ∈ U, то поскольку $sup\; u\; \in \; U\; |\; f\; (u)\; |\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sup\; \_\; \{u\; \backslash \; in\; U\}\; \backslash \; left\; |\; f\; (u)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; 1\}$и U - окрестность 0 в X, отсюда следует, что f является непрерывный линейный функционал (то есть $f\; \in \; X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$), из которого следует, что U ⊆ U).

(2) Показать, что U $\sigma \; (X\; \prime ,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$-полностью ограничено подмножество $X\; \text{'}:\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}:\}$Согласно биполярной теореме, U ⊆ U, так как U поглощает в X, следует, что $U\; \circ \; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\; \backslash \; circ\}\}$также является поглощающим подмножеством X, что, как можно показать, подразумевает, что $U\; \circ \; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$равно $\sigma \; (X\; \text{'},\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$-ограниченный. Поскольку X различает точки из $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$, можно показать, что подмножество $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$равно $\sigma \; (X\; \text{'},\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$- ограничен тогда и только тогда, когда он $\sigma \; (X\; \text{'},\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$-полностью ограничен. Отсюда следует, что $U\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$равно $\sigma \; (X\; \text{'},\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\; \},\; X\; \backslash \; right)\}$-полностью ограничено.

(3) Теперь покажите, что $U\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$равно $\sigma \; (X\; \#,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\}$-общее ограниченное подмножество $X\; \#:\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; \#\}:\}$Напомним, что $\sigma \; (X\; \prime ,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$топология на $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\; \backslash \; prime\}\}$идентична топологии подпространства, которую $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$наследует от $(X\; \#,\; \sigma \; (X\; \#,\; ИКС)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\; \backslash \; right).\}$Этот факт вместе с (2) подразумевает что $U\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$является $\sigma \; (X\; \#,\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\}$-общее ограниченное подмножество $X\; \#.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; \#\}.\}$

(4) Наконец, выведите, что $U\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$является $\sigma \; (X\; \text{'},\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$-компактное подмножество $X\text{'}:\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}:\; \}$Потому что $(X\; \#,\; \sigma \; (X\; \#,\; X))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$- это полное пространство, а $U\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$- замкнутый (на (1)) и полностью ограниченный (по (3)) подмножество $(X\; \#,\; \sigma \; (X\; \#,\; X))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; \#\},\; X\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$, то U компактно. ∎

Если X является нормированным векторным пространством, то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в двойственном пространстве. В частности, если U - открытый (или замкнутый) единичный шар в X, то полярный шар U - это замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$X (с обычной двойственной нормой ). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для:

теоремы Банаха-Алаоглу : если X - нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \}$(наделенный своей обычной операторной нормой ) компактен относительно топологии weak- *.

Когда непрерывное двойное пространство $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$X является бесконечномерным нормированным пространством, тогда это невозможно для замкнутого единичного шара в $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$быть компактным подмножеством, когда $X\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$имеет свою обычную топологию нормы. Это потому, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (ср. теорема Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия разных топологий в одном векторном пространстве.

Следует предупредить, что, несмотря на внешность, теорема Банаха – Алаоглу не подразумевает, что топология weak- * локально компактна. Это связано с тем, что замкнутый единичный шар является только окрестностью начала координат в сильной топологии, но обычно не является окрестностью начала координат в слабой * топологии, поскольку он имеет пустую внутренность в слабой * топологии. топология, если пространство не конечномерно. Фактически, это результат Weil, что все локально компактные Hausdorff топологические векторные пространства должны быть конечномерными.

Последовательная теорема Банаха – Алаоглу

Частным случаем теоремы Банаха – Алаоглу является последовательная версия теоремы, которая утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства сепарабельное нормированное векторное пространство - это последовательно компактное в слабой * топологии. Фактически, слабая * топология на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству метризуема, и поэтому компактность и секвенциальная компактность эквивалентны.

В частности, пусть X будет сепарабельным нормированным пространством, а B - замкнутым единичным шаром в X. Так как X отделимо, пусть (x n). n = 1 будет счетным плотным подмножеством. Тогда следующее определяет метрику, где для любых x, y ∈ B:

$\rho \; (x,\; y)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 2\; -\; n\; |\; ⟨x\; -\; y,\; xn⟩\; |\; 1\; +\; |\; ⟨x\; -\; y,\; xn⟩\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; langle\; xy,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\}\; \{1+\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; langle\; xy,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\}\}\}$

, где $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$обозначает двойственное спаривание X и X. Последовательная компактность B в этой метрике может быть показана с помощью аргумента диагонализации , аналогичного тому, который использовался в доказательстве Теорема Арзела – Асколи.

Из-за конструктивного характера ее доказательства (в отличие от общего случая, основанного на аксиоме выбора), секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу часто используется в области уравнения в частных производных для построения решений PDE или вариационные задачи. Например, если кто-то хочет минимизировать функционал $F:\; X\; \prime \; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$на двойственном элементе разделимого нормированное векторное пространство X, одна общая стратегия состоит в том, чтобы сначала построить минимизирующую последовательность $x\; 1,\; x\; 2,\dots \; \in \; X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\; \}\}$который приближается к точной нижней грани F, используйте последовательную теорему Банаха – Алаоглу, чтобы извлечь подпоследовательность, сходящуюся в слабой * топологии к пределу x, а затем установить, что x является минимизатором F. последний шаг часто требует, чтобы F подчинялся (последовательному) свойству нижней полунепрерывности в слабой * топологии.

Когда $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$- это пространство конечных радоновых мер на действительной прямой (так что $X\; =\; C\; 0\; (\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; C\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; right)\}$- это пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, по теореме о представлении Рисса ), последовательная теорема Банаха – Алаоглу эквивалентна теореме Хелли о выборе.

Для любого x ∈ X, пусть

$D\; x\; =\; \{z\; \in \; C:\; |\; z\; |\; \le \; \Vert \; Икс\; \Vert \},\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\_\; \{x\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}:\; \backslash \; left\; |\; z\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

и

$D\; =\; \prod \; x\; \in \; XD\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\; D\_\; \{x\}.\}$

Поскольку каждое D x является компактным подмножеством комплексной плоскости, D также компактно в топология продукта по теореме Тихонова.

Замкнутый единичный шар в $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$, B 1 (X *) можно естественным образом идентифицировать как подмножество D:

$f\; \in \; B\; 1\; (X\; \prime )\; \mapsto \; (f\; (x))\; x\; \in \; X\; \in \; D.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; B\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; left\; (f\; (x)\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\; \backslash \; in\; D.\}$

Это map является инъективным и непрерывным, причем B 1 (X *) имеет топологию weak- *, а D - топологию произведения. Инверсия этой карты, определенная на ее диапазоне, также является непрерывной.

Чтобы завершить доказательство этой теоремы, теперь будет показано, что диапазон приведенной выше карты замкнут. Дана сеть

$(f\; \alpha \; (x))\; x\; \in \; X\; \to \; (\lambda \; x)\; x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (f\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (x)\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{x\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\}$

в D, функционал определяется как

$g\; (x)\; =\; \lambda \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{x\}\}$

лежит в $B\; 1\; (X\; \text{'}).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{1\}\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\}).\}$

Последствия для нормированных пространств

Предположим, что X - это нормированное пространство, и наделим его непрерывным двойственным пространством $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$с обычной двойной нормой.

• Замкнутый единичный шар в $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\; \}\}$является слабо * компактным.
  • Обратите внимание, что если $X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$бесконечномерно, то его замкнутое единичный шар обязательно не компактен в топологии нормы согласно F. Теорема Рисса (несмотря на то, что оно слабо- * компактно).
• A Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар равен $\sigma \; (X\; \text{'},\; X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (X\; ^\; \{\backslash \; prime\},\; X\; \backslash \; right)\}$-compact.
• Если X является рефлексивным банаховым пространством, то каждая ограниченная последовательность в X имеет слабо сходящаяся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха – Алаоглу к слабо метризуемому подпространству в X; или, более кратко, путем применения теоремы Эберлейна – Шмулиана.) Например, предположим, что X = L ( μ), 1
  $\int \; fnkgd\; \mu \; \to \; \int \; fgd\; \mu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\_\; \{n\_\; \{k\}\}\; g\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; fg\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$
  для всех g ∈ L (μ) = X * (где 1 / p + 1 / q = 1). Соответствующий результат для p = 1 неверен, так как L (μ) не рефлексивно.

Последствия для гильбертовых пространств

• В гильбертовом пространстве любое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящаяся подсеть (гильбертовы пространства рефлексивны ).
• Как замкнутые по норме, выпуклые множества слабо замкнуты (теорема Хана – Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых пространствах или рефлексивные Банаховы пространства слабо компактны.
• Замкнутые и ограниченные множества в B (H) предкомпактны относительно слабой операторной топологии (слабая операторная топология слабее, чем сверхслабая топология, что, в свою очередь, является слабой * топологией по отношению к предуальным операторам B (H) класса трассировки ). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, B (H) обладает свойством Гейне – Бореля, если он снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией.

Поскольку теорема Банаха – Алаоглу обычно доказывается с помощью теоремы Тихонова, она опирается на аксиоматическую структуру ZFC и, в частности, на аксиому выбора . Большинство основных функций функционального анализа также опираются на ZFC. Однако теорема не опирается на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. Ниже): в этом случае фактически имеется конструктивное доказательство. В несепарабельном случае лемма об ультрафильтре, которая строго слабее выбранной аксиомы, достаточна для доказательства теоремы Банаха-Алаоглу и фактически эквивалентна ей.

• Теорема Бишопа – Фелпса
• Теорема Банаха – Мазура
• Теорема о дельта-компактности
• Теорема Эберлейна – Шмулиана - связывает три различных вида слабой компактности в банахе пространство
• Теорема Голдстайна
• Теорема Джеймса
• Теорема Крейна-Мильмана
• Лемма Мазура - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

• Кёте, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Нью-Йорк: Springer-Verlag. CS1 maint: ref = harv (link ) См. §20.9.
• Meise, Reinhold; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9. CS1 maint: ref = harv (link ) См. Теорему 23.5, стр. 264.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Рудин У. (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054236-8. CS1 maint: ref = harv (link ) См. Теорему 3.15, стр. 68.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

• Джон Б. Конвей (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5.См. Главу 5, раздел 3.
• Питер Б. Лакс (2002). Функциональный анализ. Wiley-Interscience. С. 120–121. ISBN 0-471-55604-1.