Рефлексивное пространство

редактировать

В области математики, известной как функциональный анализ, рефлексивное пространство локально выпуклое топологическое пространство прозрачное (TVS) такое, что каноническая оценка отображает из X в его двузначное (является сильным двойным сильным двойным X) изоморфизмом ТВС. Временное нормируемое TVS является рефлексивным тогда и только тогда, когда оно полурефлексивное, каждое нормированное пространство (и, в частности, каждое банахово пространство ) X рефлексивен тогда и только тогда, когда каноническая оценочная карта из X в его двузначное значение сюръективно ; в этом случае нормированное пространство обязательно также является банаховым. Обратите внимание, что в 1951 году Р. К. Джеймс открыл нерефлексивное банахово пространство, которое изометрически изоморфно своему бидуалу (любой такой изоморфизм, таким образом, обязательно не является каноническим отображением вычислений).

Рефлексивные пространства играют роль в общей теории локально выпуклых ТВП и в теории банаховых пространств в частности. Гильбертовы пространства являются яркими примерами рефлексивных банаховых пространств. Рефлексивные банаховы пространства часто характеризуются своими геометрическими свойствами.

Содержание

1 Определение
2 Полурефлексивные пространства
- 2.1 Характеристики
3 Рефлексивные пространства
- 3.1 Характеристики
- 3.2 Достаточные условия
- 3.3 Контрпримеры
- 3.4 Свойства
4 Рефлексивные банаховы пространства
- 4.1 Замечание
- 4.2 Примеры
- 4.3 Свойства
- 4.4 Суперрефлексивное пространство
- 4.5 Конечные деревья в банаховых пространствах
5 Рефлексивные локально выпуклые пространства
- 5.1 Примеры
6 Другие типы рефлексивности
7 См.
8 Примечания
9 Ссылки

Определение

Также Определение двунаправленного выражения

Предположим, что X - это топологическое новое пространство (TVS) над полем $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ $\ mathbb {F}$ (которое представляет собой действительные или комплексные числа), непрерывное двойное пространство, $X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ , разделяет точку на X (то есть есть для любого x в X некоторый $x ′ ∈ X ′ {\ displaystyle x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime}}$ такой, что $x ′ (x) ≠ 0 {\ displaystyle x ^ {\ prime} (x) \ neq 0}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} (x) \ neq 0}$ ). Пусть $Икс b ′ {\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ отображает tyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ и $X β ′ {\ displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ prime}}$ оба обозначают обе сильную двойную X, которая является векторным пространством $X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ непрерывных линейных функционалов на X, наделенных с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмноже X; эта топология также называется, и это топология «по умолчанию», размещенная в непрерывном двойном пространстве (если не указана другая топология). Если X - нормированное пространство, то сильное двойное пространство X - это непрерывное двойное пространство $X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ с его обычной топологией нормы. двунаправленный X, обозначаемый $X ′ ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ , является сильным двойственным к $X b ′ {\ Displaystyle X_ { b} ^ {\ prime}}$ ${\ отображает tyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ; то есть это пространство $(X b ') b' {\ displaystyle \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ . Если X - нормированное пространство, то $X ′ ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ - непрерывное двойное пространство банахова пространства $X b ′ {\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ отображает tyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ с его обычной топологией нормы.

Определения оценочной карты и рефлексивных пространств

Для любого x ∈ X пусть $J x: X ′ → F {\ displaystyle J_ {x}: X ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle J_ {x}: X ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$ определяется как $J x (x ′) = x ′ (x) {\ displaystyle J_ {x} \ left (x ^ {\ prime} \ right) = x ^ {\ prime} ( x)}$ ${\ displaystyle J_ {x} \ left (x ^ {\ prime} \ right) = x ^ {\ prime} ( x)}$ , где J x - это линейная карта, называемая оценочной картой в x ; поскольку $J x: X b ′ → F {\ displaystyle J_ {x}: X_ {b} ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle J_ { x}: X_ {b} ^ {\ prime} \ to \ mathbb {F}}$ обязательно непрерывно, отсюда следует, что $J x ∈ (X b ') ′ {\ displaystyle J_ {x} \ in \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J_ {x} \ in \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ . <Время304>X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}} ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ разделяет точки на X, линейная карта $J: X → (X b ′) ′ {\ displaystyle J: X \ в \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ , определяемый $J (x): = J x {\ displaystyle J (x): = J_ {x}}$ ${\ displaystyle J (x): = J_ {x}}$ является инъективным, где карта называется оценочной картой или канонической картой . Мы называем X полурефлексивным, если $J: X → (X b ′) ′ {\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime } \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle J: X \ to \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime}}$ биективно (или, что эквивалентно, сюръективно ), и мы называем X рефлексивным, если также $J : Икс → X ′ ′ = (X b ′) b ′ {\ displaystyle J: X \ to X ^ {\ prime \ prime} = \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ ${ \ displaystyle J: X \ to X ^ {\ prime \ prime} = \ left (X_ {b} ^ {\ prime} \ right) _ {b} ^ {\ prime}}$ является изоморфизмом TVS. нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда оценочная карта сюръективна.

Полурефлексивные пространства

Характеристики

Если X - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны:

X - полурефлексивное;
слабое топология на X свойство Гейне-Бореля (т.е. для слабой топологии $σ (X, X ') {\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ , каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X σ {\ displaystyle X _ {\ sigma}}$ $X _ {{\ sigma}}$ слабо компактно).
Если линейная форма на $X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ , который непрерывен, когда $X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime} }$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ имеет сильную двойную топологию, тогда он непрерывен, когда $X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$ имеет слабую топологию;
$Икс τ ′ {\ Displaystyle X _ {\ tau} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle X _ {\ tau} ^ {\ prime}}$ имеет бочку;
X слабая слабая топология $σ (X, X ') {\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ является квазиполным.

Рефлексивным пространством

Теорема. Если X - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то каноническая инъекция из X в его двузначное представление топологическим вложением тогда и только тогда, когда X инфузионно.

Характеризации

Если X - хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны:

X является рефлексивным;
X является полурефлексивным и инфрарефлексивным ;
X является полурефлексивным и является ствольным ;
X ствольным, аая топология на X обладает своимством Гейне-Бореля (т. Е. для слабой топологии $σ (X, X ') {\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ , каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X σ {\ displaystyle X _ {\ sigma}}$ $X _ {{\ sigma}}$ слабо компактный).
X полурефлексивный и квазибаррелевый.

Если X - нормированный пространство, то следующие условия эквивалентны:

X рефлексивно;
замкнутый единый шаровой компактен, когда X имеет слабую топологию $σ (X, X ') {\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$ .
X является банаховым пространством, а $X b '{\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ ${\ отображает tyle X_ {b} ^ {\ prime}}$ рефлексивно.
последовательность последовательности ${C n} n = 1 ∞ {\ displaystyle \ {C_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {C_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ , с $C n + 1 ⊂ C n ∀ n {\ displaystyle C_ {n + 1} \ subset C_ {n} \ forall n}$ ${\ displaystyle C_ {n + 1} \ subset C_ {n} \ forall n}$ непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств X имеет непустое пересечение.

Теорема : вещественное банахово пространство тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из ограничено, может быть строго разделены гиперплоскостью.

Теорема Джеймса : A Банахово рефлексивно тогда и только тогда, когда каждый непрерывный линейный функционал на B достигает своей супремум на замкнутом единичный шаре в B.
Достаточные условия
Замкнутое векторное подпространство рефлексивного банахова пространства рефлексивно.
Пусть X - банахово пространство, а M - замкнутое векторное подпространство в X. Если два из X, M и X / M рефлексивны, то все они рефлексивны.
Вот почему рефлексивность называется как трех пространств.
Сильное двойное рефлексивное пространство рефлексивно.
Если бочкообразное локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно, то оно рефлексивно.
Полупреломляющее нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством.
Каждое пространство Монтеля рефлексивно.
Сильное двойное пространство пространства Монтеля - пространство Монтеля (и, следовательно, рефлексивно).
Контрпримеры
Существует нерефлексивная локально выпуклая TVS, s
Свойства
Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа имеет бочку.
Если X - нормированное пространство, то $I: X → X ′ ′ {\ Displaystyle I: X \ to X ^ {\ prime \ prime}}$ ${\ displaystyle I: X \ to X ^ {\ prime \ prime}}$ - это изометрия на замкнутое подпространство в $X ′ ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ . Эта изометрия может быть выражена следующим образом:
$‖ x ‖ = sup x ′ ∈ X ′, ‖ x ′ ‖ ≤ 1 | ⟨X ′, x⟩ | {\ Displaystyle \ | х \ | = \ sup _ {x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime}, \ | x ^ {\ prime} \ | \ leq 1} | \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle |}$ ${\ displaystyle \ | x \ | = \ sup _ {x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime}, \ | x ^ {\ prime} \ | \ leq 1} | \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle |}$ .
Предположим, что X - нормированное пространство, а $X ′ ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ - его двузначное число, снабженное двунаправленной нормой. Тогда единичный шар X, $I ({x ∈ X: ‖ x ‖ ≤ 1}) {\ displaystyle I \ left (\ {x \ in X: \ | x \ | \ leq 1 \} \ right)}$ ${\ displaystyle I \ left (\ {x \ in X: \ | x \ | \ leq 1 \} \ right)}$ плотно в единичном шаре ${x ′ ′ ∈ X ′ ′: ‖ x ′ ′ ‖ ≤ 1} {\ displaystyle \ left \ {x ^ {\ prime \ prime} \ в X ^ { \ prime \ prime}: \ | x ^ {\ prime \ prime} \ | \ leq 1 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {x ^ {\ prime \ prime} \ in X ^ {\ prime \ prime}: \ | x ^ {\ prime \ prime} \ | \ leq 1 \ right \}}$ из $X ′ ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime \ prime}}$ для слабой топологии $σ (X ′ ′, X ') {\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime \ prime}, X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime \ prime}, X ^ {\ prime} \ right)}$ .
Рефлексивные банаховы пространства
Предположим, $X { \ displaystyle X}$ $X$ - это нормированное пространство над числовым полем $F = R {\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$ ${\ mathbb {F}} = {\ mathbb {R}}$ или $F = C {\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {F}} = {\ mathbb {C}}$ (действительное или комплексное число ) с нормой $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ . Рассмотрим его двойное нормированное пространство $X ′ {\ displaystyle X '}$ $X'$ , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалов $е: X → F {\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {F}}}$ $f: X \ to {{\ mathbb F}}$ и оснащен двойным нормой $‖ ⋅ ‖ ′ {\ displaystyle \ | \ cdot \ | '}$ $\|\cdot \|'$ определяется как
$‖ f ‖ ′ = sup {| f (x) | : x ∈ X, ‖ x ‖ = 1}. {\ displaystyle \ | f \ | '= \ sup \ {| f (x) | \,: \, x \ в X, \ \ | х \ | = 1 \}.}$ $\|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.$
Двойственный $X ′ {\ displaystyle X '}$ $X'$ - нормированное пространство (точнее банахово пространство ), и его двойное нормированное пространство $X ″ = (X ′) ′ {\ displaystyle X '' = (X ')'}$ $X''=(X')'$ называется двунаправленным пространством для $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Двуал состоит из всех непрерывных линейных функционалов $h: X ′ → F {\ displaystyle h: X '\ to {\ mathbb {F}}}$ $h:X'\to {{\mathbb F}}$ и снабжен нормой $‖ ⋅ ‖ ″ { \ Displaystyle \ | \ cdot \ | ''}$ $\|\cdot \|''$ двойной к $‖ ⋅ ‖ ′ {\ displaystyle \ | \ cdot \ | '}$ $\|\cdot \|'$ . Каждый вектор $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ генерирует скалярную функцию $J (x): X ′ → F {\ displaystyle J (x): X '\ to { \ mathbb {F}}}$ $J(x):X'\to {{\mathbb F}}$ по формуле:
$J (x) (f) = f (x), f ∈ X ′, {\ displaystyle J (x) (f) = f ( x), \ qquad f \ in X ',}$ $J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',$
и $J (x) {\ displaystyle J (x)}$ $J (x)$ - непрерывный линейный функционал на $X ′ {\ displaystyle X '}$ $X'$ , т. е. $J (x) ∈ X ″ {\ displaystyle J (x) \ in X ''}$ $J(x)\in X''$ . Таким образом получить карту
$J: X → X ″ {\ displaystyle J: X \ to X ''}$ $J:X\to X''$
, называемую оценочной картой, которая является линейной. Из теоремы Хана - Банаха следует, что $J {\ displaystyle J}$ $J$ инъективен и сохраняет нормы:
$∀ x ∈ X ‖ J (x) ‖ ″ Знак равно ‖ Икс ‖, {\ Displaystyle \ forall x \ в X \ qquad \ | J (x) \ | '' = \ | x \ |,}$ $\forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|,$
т.е. $J {\ displaystyle J}$ $J$ изометрически отображает $X {\ displaystyle X}$ $X$ на свое изображение $J (X) {\ displaystyle J (X)}$ $J (X)$ в $X ″ {\ Displaystyle X ''}$ $X''$ . Кроме того, изображение $J (X) {\ displaystyle J (X)}$ $J (X)$ закрывается в $X ″ {\ displaystyle X ''}$ $X''$ , но для этого требуется не быть равным $X ″ {\ displaystyle X ''}$ $X''$ .

Нормированное пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется рефлексивным, если оно удовлетворяет следующие условия :
(i) оценочная карта $J: X → X ″ {\ displaystyle J: X \ to X ''}$ $J:X\to X''$ является сюръективным,
(ii) оценочная карта $J: X → X ″ {\ displaystyle J: X \ to X ''}$ $J:X\to X''$ изометрическим изоморфизмом нормированных пространств,
(iii) оценочная карта $J: X → X ″ {\ displaystyle J: X \ to X ''}$ $J:X\to X''$ изоморфизмом нормированных пространств.
Рефлексивное пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ является банаховым пространством, поскольку $X {\ displaystyle X}$ $X$ тогда изометрично банаховому пространству $X ″ { \ Displaystyle X ''}$ $X''$ .
Замечание
Банахово пространство X рефлексивно, если оно линейно изометрично своему двумерному при этом каноническом вложении J. Пространство является Джеймса примером нерефлексивного пространства, которое линейно изометрично своим двумерному. Более того, образ пространства Джеймса при каноническом вложении J имеет коразмерность единица в своем бидуале. Банахово пространство X называется квазирефлексивным (порядок d), если фактор-пространство X ′ ′ / J (X) имеет конечную размерность d.
Примеры
1). ранг - недействительность.

2) Банахово пространство c0 скалярных последовательностей, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженное нормой супремума, не рефлексивно. Из общих свойств ниже следует, что ℓ и ℓ не рефлексивны, потому что ℓ изоморфно двойного к c 0, а ℓ изоморфно двойного к.

3) Все гильбертовы пространства рефлексивны, как и L-пространства для 1 < p < ∞. More generally: all равномерно выпуклые банаховы пространства рефлексивны согласно Теорема Мильмана - Петтиса. Пространства L (μ) и L (μ) не являются рефлексивными (если они не являются конечными, что происходит, например, когда μ является конечным множеством). Точно так же банахово пространство C ([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1] не рефлексивно.

4) Пространства S p (H) операторов из класса Шаттена в гильбертовом пространстве H равномерно выпуклы, а значит, рефлексивны, когда 1 < p < ∞. When the dimension of H is infinite, then S1 (H) (класс следа ) не рефлексивен, потому что он содержит подпространство, изоморфное ℓ, и S ∞ (H) = L (H) (ограниченные линейные операторы на H) не рефлексивны, так как содержат подпространство, изоморфное. В обоих случаях может быть выбрано операторы, диагональные относительно ортонормированного базиса данного H.
Свойства
Если банахово пространство Y изоморфно рефлексивному банахову пространству X, то Y рефлексивно.

Каждое замкнутое линейное подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. Непрерывное двойное рефлексивное пространство рефлексивно. Каждое частное рефлексивного пространства по замкнутому подпространству рефлексивно.

Пусть X - банахово пространство. Следующие варианты эквивалентны.
Пространство X рефлексивно.
Непрерывное двойное к X рефлексивно.
Замкнутый единичный шар X компактен в слабой топологии. (Это известно как теорема Какутани.)
Каждая ограниченная последовательность в X имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.
Каждый непрерывный линейный функционал на X достигает своего максимума на замкнутом единичном шаре в X. (Теорема Джеймса )
замкнутые по норме выпуклые подмножества в банаховом пространстве слабо замкнуты, из Как следствие, любая непрерывная непрерывная функция выпуклая функция f на замкнутом выпуклом подмножестве C в X, такая что набор
$CT = {x ∈ C: f (x) ≤ t} {\ displaystyle C_ {t} = \ {x \ in C \,: \, f (x) \ Leq t \}}$ $C_ {t} = \ {x \ in C \,: \, f (x) \ leq t \}$
непусто и ограничено для некоторого действующего числа t, достигает своего минимального значения на C.

Обещанное геометрическое свойство рефлексивных банаховых пространств следующее: if C - замкнутое непустое выпуклое подмножество рефлексивного пространства X, тогда для e v Для любого x в X существует c в C такое, что ǁx - cǁ минимизирует расстояние между x и точками C. Это следует из предыдущего результата для выпуклых функций, примененного к f (y) = ǁy - xǁ. Обратите внимание, что хотя минимальное расстояние между x и C однозначно определяет x, точка c - нет. Ближайшая точка c единственна, когда X равномерно выпукло.

Рефлексивное банахово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда его непрерывное двойное пространство сепарабельно. Это следует из того факта, что для любого нормированного пространства Y отделимость непрерывного двойного Y ′ влечет отделимость Y.
Суперрефлексивное пространство
Неформально суперрефлексивное банахово пространство X имеет следующее свойство: для произвольного банахова пространства Y, если все конечерные подпространства Y очень похожую копию, находящуюся где-то в X, то Y должно быть рефлексивным. По этому определению само пространство X должно быть рефлексивным. В качестве примера примера примера: банахово пространство Y, двумерные подпространства которого изометрично подпространствам X = ℓ, удовлетворяет закону параллелограмма, следовательно, Y - гильбертово пространство, следовательно, Y рефлексивно. Итак, ℓ суперрефлексивен.

Формальное определение использует не изометрии, а почти изометрии. Банахово пространство Y является конечно представимым в банаховом пространстве X, если для любого конечномерного подпространства Y 0 в Y и любого ε>0 существует подпространство X 0 от X такое, что мультипликативное расстояние Банаха – Мазура между X 0 и Y 0 удовлетворяет
$d (X 0, Y 0) < 1 + ε. {\displaystyle d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon.}$ $d (X_ {0}, Y_ {0}) <1+ \ varepsilon.$
Банахово пространство, конечно представимое в М, является гильбертовым пространством. Каждое банахово пространство конечно представимо в c 0. Пространство L ([0, 1]) конечно представимо в.

Банахово пространство X является суперрефлексивным, если все банаховы пространства Y, конечно представимые в X, рефлексивны, или, другими словами, если никакое нерефлексивное пространство Y конечно представимо в X • Понятие ультрапроизведения семейства банаховых пространств позволяет дать краткое определение: банахово пространство X является суперрефлексивным, когда его сверхстепени рефлексивны.

Джеймс доказал, что пространствосуперрефлексивно тогда и только тогда, когда его двойное суперрефлексивно.
Конечные деревья в банаховых пространствах
Одна из характеристик суперрефлексивного -рефлексивность использует рост отдельных деревьев. Описание двоичного дерева начинается с корневого двоичного дерева, помеченного векторами: дерево высота n в банаховом пространстве X является семейством из 2-1 векторов X, которые могут быть организованы в последовательные уровни, начиная с с уровнем 0, который состоит из одного вектора x ∅, корня дерева, за которым следует, для k = 1,…, n, семейством из 2 векторов, образующих уровень k:
${x ε 1,…, ε k}, ε j = ± 1, j = 1,…, k, {\ displaystyle \ {x _ {\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsilon _ {k }} \}, \ quad \ varepsilon _ {j} = \ pm 1, \ quad j = 1, \ ldots, k,}$ $\ {x _ {{\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsilon _ {k}}} \}, \ quad \ varepsilon _ {j} = \ pm 1 \ quad j = 1, \ ldots, k,$
, которые являются дочерними вершин уровня k - 1. Помимо древовидной структуры , здесь требуется, чтобы каждый вектор, который является внутренней вершиной дерева, был серединой между его двое детей:
$x ∅ = x 1 + x - 1 2, x ε 1,…, ε k = x ε 1,…, ε k, 1 + x ε 1,…, ε k, - 1 2, 1 ≤ k < n. {\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k$ $x _ {\ emptyset} = {\ frac {x_ {1} + x _ {{- 1}}} {2}}, \ quad x _ {{\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsilon _ { k}}} = {\ frac {x _ {{\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsi lon _ {k}, 1}} + x _ {{\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsilon _ {k}, - 1}}} {2}}, \ quad 1 \ leq k <n.$
Учитывая положительное действительное число t, д ерево называется t-разделенным, если потом для каждой внутренней вершине, два разделены t в заданной пространственной норме:
$‖ x 1 - x - 1 ‖ ≥ t, ‖ x ε 1,…, ε k, 1 - x ε 1,…, ε k, - 1 ‖ ≥ t, 1 ≤ k < n. {\displaystyle \|x_{1}-x_{-1}\|\geq t,\quad \|x_{\varepsilon _{1},\ldots,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots,\varepsilon _{k},-1}\|\geq t,\quad 1\leq k$ $\ | x_ {1} -x_ { {-1}} \ | \ geq t, \ quad \ | x _ {{\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsilon _ {k}, 1}} - x _ {{\ varepsilon _ {1}, \ ldots, \ varepsilon _ {k}, - 1}} \ | \ geq t, \ quad 1 \ leq k <n.$
Теорема. тогда Банахово пространство X суперрефлексивно тогда и только, когда для каждого t ∈ (0, 2] существует число n (t) такое, что каждое t-разделенное дерево, содержащееся в единичном шаре X, имеет высоту меньше n (t)

Равномерно выпуклое пространство суперрефлексивны. Пусть X равномерно выпуклое, с модулем выпуклости δXи пусть t будет действительным числом в (0, 2]. По свойствам модуля выпуклости, t-разделенное дерево высоты n, содержащееся в единичном шаре, должны иметь все точки уровня n - 1, содержащиеся в шаре радиуса 1 - δ X (t) < 1. By induction, it follows that all points of level n − j are contained in the ball of radius
$(1 - δ X (t)) j, j = 1,…, n. {\ displaystyle (1- \ delta _ {X} (t)) ^ {j}, \ j = 1, \ ldots, n.}$ ${\ displaystyle (1- \ delta _ {X} (t)) ^ { j}, \ j = 1, \ ldots, n.}$
Если высота n была настолько большой, что
$(1 - δ X (t)) n - 1 < t / 2, {\displaystyle (1-\delta _{X}(t))^{n-1}$ $(1- \ delta _ {X} (t)) ^ {{n-1}} <t / 2,$
, тогда две точки x 1, x −1 первого уровня могут быть t- Это дает дополнительную границу n (t), только функцию δ X (t).

Используя древовидную характеристику, Enflo доказал, что суперрефлексивные банаховы пространства допускают эквивалентную равномерно выпуклую норму. Деревья в банаховом пространстве являются частным случаем векторнозначных мартингалов. Добавление методов из скалярной теории мартингалов, Пизье улучшил результат Энфло, показав, что суперрефлексивное пространство X допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет для некоторой константы c>0 и некоторого действующего числа q ≥ 2,
$δ X (t) ≥ ctq, t ∈ [0, 2]. {\ displaystyle \ delta _ {X} (t) \ geq c \, t ^ {q}, \ quad t \ in [0,2].}$ $\ delta _ {X} (t) \ geq c \, t ^ {q }, \ quad t \ in [0,2].$
Рефлексивные локально выпуклые пространства
Понятие рефлексивного банахова пространства можно обобщить на топологические пространства пространства следующим образом.

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет топологическим векторным пространством над числовым полем $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ $\ mathbb F$ (из вещественных чисел $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ или комплексных чисел $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ). Рассмотрим его сильное двойное пространство $X β ′ {\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ $X'_{\beta }$ , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалы $f: X → F {\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {F}}}$ $f: X \ to {{\ mathbb F}}$ и оснащен сильной топологией $β (X ′, X) {\ displaystyle \ beta (X ', X)}$ $\beta (X',X)$ , есть топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Пространство $X β ′ {\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ $X'_{\beta }$ является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассматривать его сильно дуальное пространство $(X β ′) β ′ {\ displaystyle (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $(X'_{\beta })'_{\beta }$ , которое называется строгим двунаправленным пространством для $Х {\ Displaystyle X}$ $X$ . Он состоит из всех непрерывных линейных функционалов $h: X β ′ → F {\ displaystyle h: X '_ {\ beta} \ to {\ mathbb {F}}}$ $h:X'_{\beta }\to {{\mathbb F}}$ и оснащен сильной топологией $β ((Икс β ')', Икс β ') {\ displaystyle \ beta ((X' _ {\ beta}) ', X' _ {\ beta})}$ $\beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })$ . Каждый вектор $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ генерирует карту $J (x): X β ′ → F {\ displaystyle J (x): X '_ {\ beta} \ to {\ mathbb {F}}}$ $J(x):X'_{\beta }\to {{\mathbb F}}$ по следующей формуле:
$J (x) (f) = f (x), f ∈ X ′. {\ displaystyle J (x) (f) = f (x), \ qquad f \ in X '.}$ $J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.$
Это непрерывный линейный функционал на $X β ′ {\ displaystyle X' _ {\ beta}}$ $X'_{\beta }$ , то есть $J (x) ∈ (X β ′) β ′ {\ displaystyle J (x) \ in (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }$ . Получается карта под названием оценочная карта :
$J: X → (X β ') β'. {\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}.}$ $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }.$
Эта карта линейна. Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является локально выпуклым, из теоремы Хана - Банаха следует, что $J {\ displaystyle J}$ $J$ инъективным и открытым (то есть для каждой окрестности нуля $U {\ displaystyle U}$ $U$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ существует обновность нуля $V {\ displaystyle V}$ $V$ в $(X β ′) β ′ {\ displaystyle (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $(X'_{\beta })'_{\beta }$ такие, что $J (U) ⊇ V ∩ J (X) {\ Displaystyle J (U) \ supseteq V \ cap J (X)}$ $J (U) \ supseteq V \ cap J (X)$ ). Но он может быть несюръективным и / или прерывистым.

Локально выпуклое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется
– полурефлексивным, если карта оценки $J: X → (X β ′) Β ′ {\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ сюръективно (следовательно, биективно),
– рефлексивно, если оценочная карта $J: X → (X β ') β ′ {\ displaystyle J: X \ to (X' _ {\ beta}) '_ {\ beta}}$ $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ сюръективно и непрерывно (в данном случае $J {\ displaystyle J}$ $J$ является изоморфизмом топологических векторных пространств).
Теорема. Локально выпуклое хаусдорфово пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ является полурефлексивным тогда и только тогда, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ с $σ (X, X ∗) {\ displaystyle \ sigma (X, X ^ {*})}$ $\ sigma (X, X ^ {*})$ -топология обладает своим Гейне - Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества $X {\ displaystyle X}$ $X$ слабо компактны).

Теорема. Локально выпуклое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и имеет цилиндрическую форму.

Теорема. Сильный дуальный к полурефлексивному пространству стволовый.
Примеры
1) Каждое конечное хаусдорфово топологическое новое пространство рефлексивно, потому что J биективно по линейной алгебре и потому что существует единственная хаусдорфова топология пространства на конечном векторном пространстве.

2) Нормированное пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ рефлексивно как нормированное пространство тогда и только тогда, когда оно рефлексивно как локально выпуклое пространство. Это следует из того факта, что для нормированного пространства $X {\ displaystyle X}$ $X$ его двойное нормированное пространство $X ′ {\ displaystyle X '}$ $X'$ совпадает как топологическое векторное пространство с сильным двойным пространством $X β ′ {\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ $X'_{\beta }$ . Как следствие, оценочная карта $J: X → X ″ {\ displaystyle J: X \ to X ''}$ $J:X\to X''$ совпадает с оценочной картой $J: X → (X β ′) β ′ {\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ , и следующие условия становятся эквивалентными:
(i) $X {\ displaystyle X}$ $X$ - рефлексивное нормированное пространство (например, $J: X → X ″ {\ displaystyle J: X \ to X ''}$ $J:X\to X''$ - изоморфизм нормированные пространства),
(ii) $X {\ displaystyle X}$ $X$ - рефлексивное локально выпуклое пространство (т.е. $J: X → (X β ′) β ′ {\ displaystyle J : X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ - изоморфизм топологических векторных пространств),
(iii) $Икс {\ Displaystyle X }$ $X$ является полурефлексивным локально выпуклым пространством (например, $J: X → (X β ') β' {\ Displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ сюръективно).
3) Пример (несколько искусственный) полурефлексивного пространства, которое не является рефлексивным, получается следующим образом: пусть Y будет бесконечномерный рефлексивный Банахово пространство, и пусть X - топологическое пространство (Y, σ (Y, Y ′)), то есть новое пространство Y, снабженное слабой топологией. Тогда непрерывное двойное к X и Y ′ является одним и тем же набором функций, ограниченными подмножествами X (т. Е. Слабо ограниченные подмножества Y) ограничены по норме, следовательно, банахово пространство Y является сильным двойным к X. Времен Y рефлексивно, непрерывный двойственный к X ′ = Y ′ равен образу J (X) X при каноническом вложении J, но топология на X (слабая топология Y) не является сильной топологией β (X, X ′), что равно топологии нормы Y.

4) Пространства Монтеля являются рефлексивными локально выпуклыми топологическими векторными пространствами. В частности, следующие функциональные пространства, часто используемые в функциональном анализе, представляют собой рефлексивными локально выпуклыми пространствами:
пространство $C ∞ (M) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$ $C ^ {\ infty} (M)$ гладких функций на произвольном (вещественном) гладком разнообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ и его сильном двойном изображении $(C ∞) ′ (M) {\ displaystyle (C ^ {\ infty}) '(M)}$ $(C^{\infty })'(M)$ распределений с компактной поддержкой в $M {\ displaystyle M}$ $M$ ,
дизайн $D (M) {\ displaystyle {\ mathcal {D}} ( M)}$ ${{\ mathcal D}} (M)$ гладких функций с компактным носителем на произвольном (вещественном) гладком разнообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ и его сильном двойном пространстве $D ′ (M) { \ displaystyle {\ mathcal {D}} '(M)}$ ${{\mathcal D}}'(M)$ распределений на $M {\ displaystyle M}$ $M$ ,
в пространстве $O (M) {\ displaystyle {\ mathcal { O}} (M)}$ ${{\ mathcal O}} (M)$ голоморфных функций на произвольном комплексном разнообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ и его сильное двойное пространство $O '(М) {\ Displaystyle {\ mathcal {O}}' (М)}$ ${{\mathcal O}}'(M)$ аналитических функционалов в $M {\ displaystyle M}$ $M$ ,
фотография Шварца $S (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} ({\ mathbb {R}} ^ {n}) }$ ${{\ mathcal S}} ({{\ mathbb R}} ^ {п})$ на $R n {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ ${{\ mathbb R}} ^ {n}$ и его сильном двойное пространство $S ′ (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} '({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ ${{\mathcal S}}'({{\mathbb R}}^{n})$ умеренных распределений на $R n {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n }}$ ${{\ mathbb R}} ^ {n}$ .
Другие типы рефлексивности
Пространство стереотипов или полярное рефлексивное пространство определяет как топологическое пространство, удовлетворяющие аналогичным условиям рефлексивности, но с топологией равной сходимости на полностью ограниченных подмножеств (вместо ограниченных подмножеств) в определении двойного пространства X '. Точнее, топологическое векторное пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется полярно-рефлексивным или стереотипным, если отображается во втором двойном пространстве
$J: X → X ⋆ ⋆, J (Икс) ( е) знак равно е (Икс), Икс ∈ Икс, е ∈ Икс ⋆ {\ Displaystyle J: Икс \ к X ^ {\ звезда \ звезда}, \ quad J (х) (е) = е (х), \ quad x \ in X, \ quad f \ in X ^ {\ star}}$ $J: X \ to X ^ {{\ star \ star}}, \ quad J (x) (f) = f (x), \ quad x \ in X, \ quad f \ in X ^ {\ star}$
- это изоморфизм топологических векторных пространств. Здесь стереотипное двойное пространство $X ⋆ {\ displaystyle X ^ {\ star}}$ $X ^ {\ star}$ топ определяется как пространство непрерывных линейных функций $X ′ {\ displaystyle X '}$ $X'$ сологией равномерной сходимости на полностью ограниченных множествах в $X {\ displaystyle X}$ $X$ (и стереотипное второе двойное пространство $X ⋆ ⋆ {\ displaystyle X ^ {\ star \ star}}$ $X ^ {{\ star \ star}}$ - это пространство, двойное к $X ⋆ {\ displaystyle X ^ {\ star}}$ $X ^ {{\ star}}$ в том же смысле).

Отличие от классических рефлексивных пространств, класс Ste стереотипных пространств очень широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и, таким образом, все Банаховы пространства ), он образует закрытую моноидальную категорию и допускает стандартные операции (определенные внутри Ste ) построения новых пространств, такие как взятие замкнутых подпространств, факторных пространств проективные и инъективные пределы, пространство операторов, тензорные произведения и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности для некоммутативных групп.

Аналогичным образом можно заменить класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в X в определении двойственного пространства X 'другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в X - пространства, определяемые соответствующим условием рефлексивности, называются рефлексивными, и они образуют даже более широкий класс, чем Ste, но неясно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, аналогичными свойствам Ste .
См. Также
Обобщением, которое обладает некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включает много пространств, имеющих практическое значение, является концепция пространства Гротендика.
Рефлексивная операторная алгебра
Примечания
Ссылки
Бернардес мл., Нильсон К. (2012), О вложенных последовательностях выпуклых множеств в банаховых пространствах, 389, Журнал математического анализа и приложений, стр. 558–561.
Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа. Спрингер.
Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
Джеймс, Роберт К. (1972), Некоторые самодуальные свойства линейных нормированных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, штат Луизиана, 1967), Ann. математики. Исследования, 69, Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, стр. 159–175.
Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Векторпримеры в топологических пространств. Конспект лекций по математике. 936 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
Колмогоров, А.Н.; Фомин, С. В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства. Рочестер: Graylock Press.
Megginson, Robert E. (1998), Введение в теорию пространства Банаха, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, pp. Xx +596, ISBN 0-387-98431-3.
; (2011). Топологические информационные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
(1966). Топологические информационные пространства. Нью-Йорк: Компания «Макмиллан».
Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические информационные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические системы пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.