Локально выпуклое топологическое векторное пространство

редактировать

Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами

В функциональном анализе и связанные области математики, локально выпуклые топологические векторные пространства (LCTVS ) или локально выпуклые пространства являются примерами топологические векторные пространства (TVS), которые обобщают нормированные пространства. Их можно определить как топологические векторные пространства, топология которых сгенерирована посредством переводов сбалансированных, поглощающих, выпуклых множеств. В качестве альтернативы они могут быть определены как векторное пространство с семейством из полунорм, и топология может быть определена в терминах этого семейства. Хотя в целом такие пространства не обязательно нормируемы, существование выпуклой локальной базы для нулевого вектора достаточно сильно для Хана – Банаха. теорема, дающая достаточно богатую теорию непрерывных линейных функционалов.

Пространства Фреше - это локально выпуклые пространства, которые полностью метризуемы (с выбором полной метрики). Они являются обобщениями банаховых пространств, которые являются полными векторными пространствами относительно метрики, порожденной нормой .

Содержание

1 История
2 Определение
- 2.1 Определение через выпуклые множества
- 2.2 Определение через полунормы
  - 2.2.1 Топология семинорм
    - 2.2.1.1 Базис и подбазис
    - 2.2.1.2 Базы полунорм и насыщенные семейства
      - 2.2.1.2.1 Базис норм
    - 2.2.1.3 Сети
- 2.3 Эквивалентность определений
- 2.4 Способы определения локально выпуклой топологии
3 Дополнительные определения
4 Достаточные условия
5 Свойства
- 5.1 Топологические свойства
- 5.2 Топологические свойства выпуклых подмножеств
- 5.3 Свойства выпуклых оболочек
6 Примеры и непримеры
- 6.1 Самая тонкая и грубая локально выпуклая топология
- 6.2 Примеры локально выпуклых пространств
- 6.3 Примеры пространств, лишенных локальной выпуклости
7 Непрерывные отображения
- 7.1 Линейные функционалы
- 7.2 Многолинейные отображения
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки

История

Я Тризуемые топологии в векторных пространствах изучаются с момента их введения в Мориса Фреше 1902 г., докторская диссертация Sur quelques points du calc fonctionnel (в которой впервые было введено понятие метрики ). После того, как понятие общего топологического пространства было определено Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, хотя локально выпуклые топологии неявно использовались некоторыми математиками, до 1934 года только Джон фон Нейман, казалось, имел явно определены слабая топология на гильбертовых пространствах и сильная операторная топология на операторах в гильбертовых пространствах. Наконец, в 1935 году фон Нейман представил общее определение локально выпуклого пространства (названного им выпуклым пространством).

Замечательный пример результата, который должен был подождать развития и распространения общих локально выпуклых пространств. (среди других понятий и результатов, таких как сети, топология произведения и теорема Тихонова ), которые необходимо доказать во всей своей общности, является Банах– Теорема Алаоглу, которую Стефан Банах впервые установил в 1932 году с помощью элементарного диагонального аргумента для случая сепарабельных нормированных пространств (в этом случае единичный шар двойственного объекта является метризуемым ).

Определение

Предположим, X - векторное пространство над 𝕂, подполе из комплексных чисел (обычно ℂ само или ℝ ). Локально выпуклое пространство определяется либо в терминах выпуклых множеств, либо, что то же самое, в терминах полунорм.

Определение через выпуклые множества

Подмножество C в X называется

Выпуклым, если для всех x, y в C и 0 ≤ t ≤ 1, tx + (1 - t) y находится в C. Другими словами, C содержит все отрезки прямых между точками в C.
Обведено, если для всех x в C, λx находится в C, если | λ | = 1. Если 𝕂 = ℝ, это означает, что C равно своему отражению через начало координат. Для 𝕂 = ℂ это означает, что для любого x в C, C содержит окружность, проходящую через x, с центром в начале координат, в одномерном комплексном подпространстве, порожденном x.
A конус (когда лежащий в основе поле упорядочено ), если для всех x в C и 0 ≤ λ ≤ 1, λx находится в C.
Сбалансировано, если для всех x в C, λx находится в C, если | λ | ≤ 1. Если 𝕂 = ℝ, это означает, что если x находится в C, C содержит отрезок прямой между x и −x. Для 𝕂 = ℂ это означает, что для любого x в C, C содержит диск с x на его границе с центром в начале координат в одномерном комплексном подпространстве, порожденном x. Эквивалентно сбалансированным множеством является обведенный конус.
Поглощающий или поглощающий, если для каждого x в X существует r>0 такое, что x находится в tC для всех t ∈ 𝕂, удовлетворяющих | t |>р. Набор C можно масштабировать на любое "большое" значение, чтобы поглотить каждую точку в пространстве.
- В любой TVS каждая окрестность начала отсчета является абсорбирующей.
Абсолютно выпуклый или диск, если он одновременно сбалансирован и выпукл. Это равносильно тому, что она замкнута относительно линейных комбинаций, абсолютная сумма коэффициентов которых равна ≤ 1; такой набор абсорбирующий, если он охватывает все X.

Определение : топологическое векторное пространство называется локально выпуклым, если начало координат имеет базис окрестности (т.е. локальная база), состоящая из выпуклых множеств.

Фактически, каждая локально выпуклая TVS имеет базис окрестностей начала координат, состоящий из абсолютно выпуклых множеств (т. Е. Дисков), где этот базис соседства может быть выбран также полностью из открытых множеств или полностью из замкнутых множеств.. Каждая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из сбалансированных множеств, но только локально выпуклая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из сбалансированных и выпуклых множеств. Обратите внимание, что TVS может иметь некоторые окрестности начала координат, которые являются выпуклыми, но не локально выпуклыми.

Поскольку трансляция (по определению «топологического векторного пространства») непрерывна, все трансляции являются гомеоморфизмами, поэтому каждая база окрестностей начала координат может быть переведена в базу окрестностей любого заданного вектора.

Определение через полунормы

A семинорма на X - это отображение p: X → ℝ такое, что

p положительно или положительно полуопределено: p (x) ≥ 0;
p является положительно однородным или положительно масштабируемым: p (λx) = | λ | p (x) для любого скаляра λ. Так, в частности, p (0) = 0;
p является субаддитивным. Он удовлетворяет неравенству треугольника: p (x + y) ≤ p (x) + p (y).

Если p удовлетворяет положительной определенности, которая утверждает, что если p (x) = 0, то x = 0, то p равно норма . Хотя в общем случае полунормы не обязательно должны быть нормами, существует аналог этого критерия для семейств полунорм, отделенность, определенный ниже.

Определение : если X - векторное пространство и 𝒫 - семейство полунорм на X, то подмножество 𝒬 из 𝒫 называется базой полунорм для, если для всех p ∈ 𝒫 существует существует aq ∈ 𝒬 и вещественное r>0 такое, что p ≤ rq.

Определение (вторая версия): A локально выпуклое пространство определяется как векторное пространство X вместе с семейство 𝒫 полунорм на X.

Топология семинор

Предположим, что X - векторное пространство над 𝕂, где 𝕂 - действительные или комплексные числа, и пусть B 0 в 𝕂. Семейство полунорм на векторном пространстве X индуцирует каноническую топологию векторного пространства на X, называемую исходной топологией, индуцированной полунормами, превращая ее в топологическое векторное пространство (TVS). По определению, это грубейшая топология на X, для которой все отображения в непрерывны.

Непрерывность операций с векторным пространством в этой топологии следует из свойств 2 и 3 выше. Легко видеть, что результирующее топологическое векторное пространство является «локально выпуклым» в смысле первого определения, данного выше, потому что каждое U B, ε (0) является абсолютно выпуклым и впитывающим (и потому что последнее свойства сохраняются переводами).

Обратите внимание на то, что локально выпуклая топология на пространстве X может быть индуцирована семейством норм, но X не является нормируемым (т. Е. Его топология может быть индуцированные единой нормой).

Базис и подбазис

Предположим, что 𝒫 - семейство полунорм на X, которое индуцирует локально выпуклую топологию 𝜏 на X. подбазис в начале координат задается всеми множества вида $p - 1 (B < r) = { x ∈ X : p ( x) < 1 } {\displaystyle p^{-1}\left(B_{$ $p^{-1}\left(B_{<r}\right)=\left\{x\in X:p(x)<1\right\}$ , поскольку p принимает значения 𝒫, а r - положительные действительные числа. База в начале координат задается набором всех возможных конечных пересечений таких подбазисных множеств.

Напомним, что топология TVS инвариантна относительно сдвигов, что означает, что если S - любое подмножество X, содержащее начало координат, то для любого x ∈ X S является окрестностью 0 тогда и только если x + S - окрестность точки x; поэтому достаточно определить топологию в начале координат.База окрестностей точки y для этой топологии получается следующим образом: для любого конечного подмножества F множества и любого r>0, let

UF, r (y): = {x ∈ X: p (x - y) < r for all p ∈ F } {\displaystyle U_{F,r}(y):=\left\{x\in X:p(x-y)

U_{F,r}(y):=\left\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\right\}

Базы полунорм и насыщенных семейств

Определение : Если X - локально выпуклое пространство и если 𝒬 является набором непрерывных полунорм на X, то называется базой непрерывных полунорм, если она является базой полунорм для набора всех непрерывных полунорм на X.

В явном виде это означает, что для всех непрерывных полунорм p на X существует aq ∈ 𝒬 и вещественное r>0 такое, что p ≤ rq.

Если 𝒬 - база непрерывных полунорм для локально выпуклой TVS X, то семейство всех множеств вида ${x ∈ X: q (x) < r } {\displaystyle \left\{x\in X:q\left(x\right)$ $\left\{x\in X:q\left(x\right)<r\right\}$ , поскольку q изменяется в пределах, а r изменяется в зависимости от положительных действительных чисел, является базой окрестностей начала координат в X (а не просто подбазой, поэтому нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств).

Определение : Семейство 𝒫 полунорм на векторном пространстве X называется насыщенным, если для любых p и q в полунорма определяется как

x ↦ max {p (x), q (x)} {\ displaystyle x \ mapsto \ max \ {p (x), q (x) \}}

x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}

принадлежит 𝒫.

Если 𝒫 - насыщенное семейство непрерывных полунорм, индуцирующей топологию на X, то совокупность всех множеств вида {x ∈ X: p (x) < r } as p ranges over 𝒫 and r ranges over all positive real numbers, forms a neighborhood basis at the origin consisting of convex open sets; note that this forms a basis at the origin rather than merely a subbasis so that in particular, there is no need to take finite intersections of such sets.

Базис из n orms

Из следующей теоремы следует, что если X - локально выпуклое пространство, то топология X может быть определена семейством непрерывных норм на X (a norm является инъективной полунормой ) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на X. Если существует непрерывная норма на топологическом векторном пространстве X, то X обязательно хаусдорфово, но обратное, вообще говоря, неверно (даже для локально выпуклых пространств или пространств Фреше ).

Теорема - Пусть X - пространство Фреше над полем 𝕂. Тогда следующие условия эквивалентны:

X не допускает непрерывной нормы (т.е. любая непрерывная полунорма на X не может быть нормой).
X содержит дополняемое векторное подпространство, которое TVS-изоморфно 𝕂.

Сети

Предположим, что топология локально выпуклого пространства X индуцирована семейством 𝒫 непрерывных полунорм на X. Если x ∈ X и если x • = ( x i)i ∈ I является сетью в X, то x • → x в X тогда и только тогда, когда для всех p ∈ 𝒫, p (x • - x) = (p (x i - x)) i ∈ I → 0. Более того, если x • является Коши в X, тогда так же p (x •) = (p (x i))i ∈ I для любого p ∈ 𝒫.

Эквивалентность определений

Хотя определение в терминах базы окрестностей дает лучшую геометрическую картину, с определением в терминах полунорм легче работать на практике. Эквивалентность двух определений следует из конструкции, известной как функционал Минковского или шкала Минковского. Ключевой особенностью полунорм wh ich обеспечивает выпуклость их ε- шаров является неравенством треугольника.

Для поглощающего множества C, такого, что если x находится в C, то tx находится в C всякий раз, когда 0 ≤ t ≤ 1, определим функционал Минковского для C как
$μ C (x) = inf {λ>0: x ∈ λ C}. {\ displaystyle \ mu _ {C} (x) = \ inf \ {\ lambda>0: x \ in \ lambda C \}.}$ $\mu _{C}(x)=\inf\{\lambda>0: x \ in \ lambda C \}.$
Из этого определения следует, что μ C - полунорма, если C сбалансирована и выпуклая (она также поглощает по предположению). И наоборот, для семейства полунорм множества
${x: p α 1 (x) < ε 1, …, p α n ( x) < ε n } {\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$ $\left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}$
образуют основу из выпуклых впитывающих сбалансированных множеств.
Способы определения локально выпуклой топологии
Теорема - Предположим, что X - (действительное или комплексное) векторное пространство, и пусть ℬ - фильтруйте базу подмножеств X, такую что:
Каждый B ∈ ℬ является выпуклым, сбалансированным и поглощающим ;
Для каждого B ∈ ℬ существует некоторое вещественное число r, удовлетворяющее 0 < r ≤ 1/2 such that rB ∈ ℬ.
Тогда ℬ является базой окрестности в точке 0 для локально выпуклой топологии TVS на X.

Теорема. Предположим, что X является (вещественным или комплексным) векторное пространство и пусть 𝒮 - непустой столбец разделение выпуклых, сбалансированных и поглощающих подмножеств X. Тогда множество всех положительных скалярных кратных конечных пересечений множеств в 𝒮 образует окрестность база в 0 для локально выпуклой топологии TVS на X.
Дальнейшие определения
Семейство полунорм {p α}αназывается total или разделены или называется разделяют точки, если всякий раз, когда p α (x) = 0, выполняется для любого α, то x обязательно 0. Локально выпуклое пространство - это Hausdorff , если и только если имеет обособленное семейство полунорм. Многие авторы используют критерий Хаусдорфа в определении.
A псевдометрический - это обобщение метрики, которая не удовлетворяет условию, что d (x, y) = 0, только когда x = y. Локально выпуклое пространство псевдометризуемо, что означает, что его топология возникает из псевдометрии тогда и только тогда, когда у него есть счетное семейство полунорм. В самом деле, псевдометрия, вызывающая ту же топологию, тогда задается следующим образом:
$d (x, y) = ∑ n ∞ 1 2 npn (x - y) 1 + pn (x - y) {\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {p_ {n} (xy)} {1 + p_ {n} (xy)}} }$ $d(x,y)=\sum^\infty_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}$
(где 1/2 может быть заменена любой положительной суммируемой последовательностью a n). Эта псевдометрия инвариантна относительно сдвига, но не однородна, что означает d (kx, ky) ≠ | k | d (x, y), и поэтому не определяет (псевдо) норму. Псевдометрика является честной метрикой тогда и только тогда, когда семейство полунорм разделено, поскольку это так, если и только если пространство хаусдорфово. Если, кроме того, пространство полно, оно называется пространством Фреше.
Как и любое топологическое векторное пространство, локально выпуклое пространство также является равномерным пространством. Таким образом, можно говорить о равномерной непрерывности, равномерной сходимости и последовательностях Коши.
A сеть Коши в локально выпуклом пространстве это сеть {xκ}κтакое, что для любого ε>0 и любой полунормы p α существует такое κ, что для всех последовательностей λ, μ>κ, p α(xλ- x μ) < ε. In other words, the net must be Cauchy in all the seminorms simultaneously. The definition of completeness is given here in terms of nets instead of the more familiar , поскольку в отличие от Фреше Пространства, которые являются метризуемыми, общие пространства могут быть определены несчетным семейством псевдометрик. Последовательностей, которые по определению счетны, недостаточно для характеристики сходимости в таких пространствах. Локально выпуклое пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши сходится.
Семейство полунорм становится предварительно упорядоченным множеством по отношению p α ≤ p β тогда и только тогда, когда существует M>0 такое, что для всех x, p α (x) ≤ Mp β (x). Говорят, что это направленное семейство полунорм, если семейство является направленным множеством с добавлением в качестве соединения, другими словами, если для любых α и β, существует такое γ, что p α + p β ≤ p γ. Каждое семейство полунорм имеет эквивалентное направленное семейство, то есть семейство, определяющее одну и ту же топологию. Действительно, для семейства {p α}α ∈ I, пусть Φ - множество конечных подмножеств I, тогда для каждого F из Φ определим
$q F = ∑ α ∈ F p α {\ displaystyle q_ {F} = \ sum _ {\ alpha \ in F} p _ {\ alpha}}$ $q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }$ .
Можно проверить, что {q F}F ∈ Φ является эквивалентным направленным семейством.
Если топология пространства индуцирована одной полунормой, то пространство полунормируемо . Любое локально выпуклое пространство с конечным семейством полунорм полунормируемо. Более того, если пространство хаусдорфово (семейство разделено), то пространство нормируемо с нормой, заданной суммой полунорм. В терминах открытых множеств локально выпуклое топологическое векторное пространство является полунормируемым тогда и только тогда, когда 0 имеет ограниченную окрестность.
Достаточные условия
Свойство расширения Хана-Банаха
Пусть X ТВС. Скажем, что векторное подпространство M в X обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал на M может быть расширен до непрерывного линейного функционала на X. Скажем, что X имеет Хан-Банаха свойство расширения (HBEP ), если каждое векторное подпространство X имеет свойство расширения.

Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое подпространство Хаусдорфа локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых TVS существует обратное:

Теорема (Kalton) - Всякая полная метризуемая TVS со свойством продолжения Хана-Банаха является локально выпуклой.

Если векторное пространство X имеет несчетную размерность и если мы наделим его лучшей векторной топологией, то это TVS с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым.
Свойства
На всем протяжении 𝒫 - это семейство непрерывных полунорм, которые порождают топологию X.
Топологические свойства
Предположим, что Y является TVS (не обязательно локально выпуклой или хаусдорфовой) над вещественной или комплексные числа. Тогда открытые выпуклые подмножества Y - это в точности те, которые имеют вид z + {y ∈ Y: p (y) < 1 } = { y ∈ Y : p(y - z) < 1} for some z ∈ Y and some positive continuous сублинейный функционал p на Y.
Если S ⊆ X и x ∈ X, то x ∈ cl S тогда и только тогда, когда для любого r>0 и любого конечного набора p 1,..., p n ∈ 𝒫 существует некоторый s ∈ S такое, что Σ. i = 1 pi(x - s) < r.
Замыкание {0} в X равно $∩ p ∈ P p - 1 (0) {\ displaystyle \ cap _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {- 1} (0)}$ $\cap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0)$ .
Каждая локально выпуклая TVS по Хаусдорфу гомеоморфна подпространству продукта банаховых пространств.
Топологические свойства выпуклых подмножеств
Внутренность и замыкание выпуклого подмножества TVS снова выпукло.
Сумма Минковского двух выпуклых множества выпуклые; кроме того, скалярное кратное выпуклого множества снова выпукло.
Если C - выпуклое множество с непустой внутренней частью, то замыкание C равно замыканию внутренней части C; кроме того, внутренность C равна внутренней части замыкания C.
Итак, если выпуклое множество C имеет непустую внутренность, то C является замкнутым (соответственно открытым) множеством тогда и только тогда, когда оно является регулярным замкнутым (соответственно, регулярным открытым) множеством.
Если C - выпуклое подмножество TVS X (не обязательно Хаусдорфа), x принадлежит внутренности S, а y принадлежит замыканию S, то открытый отрезок прямой, соединяющий x и y (т.е. {tx + (1 - t) y: 0 < t < 1}) belongs to the interior of S.
Если X - локально выпуклое пространство (не обязательно Хаусдорфово), M - замкнутое векторное подпространство в X, V - выпуклая окрестность 0 в M, и если z ∈ X - вектор, не входящий в V, то существует выпуклая окрестность U точки 0 в X такая, что V = U ∩ M и z ∉ U.
замыкание выпуклого подмножества хаусдорфовой локально выпуклой TVS X одинаково для всех локально выпуклых хаусдорфовых топологий TVS на X, которые совместимы с двойственностью между X и его непрерывным двойственным пространством.
В локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и диск h ull вполне ограниченного множества вполне ограничено.
В полном локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка компакта являются компактными.
В более общем смысле, если K - компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка co K (соотв. дисковая оболочка cobal K) компактна тогда и только тогда, когда она полна.
В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это неверно для TVS в целом.
В пространстве Фреше замкнутая выпуклая оболочка компакта компактна.
В локально выпуклом пространстве любое линейная комбинация вполне ограниченных множеств полностью ограничена.
Свойства выпуклой оболочки
Для любого подмножества S TVS X выпуклая оболочка (соотв. замкнутая выпуклая оболочка, сбалансированная оболочка, соответственно выпуклая сбалансированная оболочка ) S, обозначаемая co (S) (соответственно $co ¯ (S) {\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (S)}$ ${\overline {\operatorname {co} }}(S)$ , bal (S), cobal (S)), является наименьшим выпуклым (соответственно замкнутым выпуклым, сбалансированным, выпуклым сбалансированным) подмножество X, содержащее S.
В квазиполном локально выпуклом TVS замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества снова компактно.
В локально выпуклом хаусдорфе TVS, выпуклая оболочка прекомпактного набора снова прекомпактна. Следовательно, в полной локально выпуклой хаусдорфовой TVS замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова является компактной.
В любой TVS выпуклая оболочка конечного объединения компактных Выпуклые множества компактны (и выпуклы).
Обратите внимание, что это означает, что в любой TVS Хаусдорфа выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств замкнута (помимо того, что они компактны и выпуклы) ; в частности, выпуклая оболочка такого объединения равна замкнутой выпуклой оболочке этого объединения.
В общем случае замкнутая выпуклая оболочка компакта не обязательно компактна.
В любой нехаусдорфовой TVS, существуют подмножества, которые являются компактными (и, следовательно, полными), но не замкнутыми.
биполярная теорема утверждает, что биполярная (т.е. полярная полярная) подмножества локально выпуклой TVS Хаусдорфа равно замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке этого множества.
сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно выпуклая.
Если C и D - выпуклые подмножества топологического векторного пространства (TVS) X и если x ∈ co (C ∪ D), то существуют c ∈ C, d ∈ D и действительное число r, удовлетворяющий 0 ≤ r ≤ 1, такой, что x = rc + (1 - r) d.
Если M - векторное подпространство TVS X, C - выпуклое подмножество M, а D - выпуклое подмножество X такое, что D ∩ M ⊆ C, тогда C = M ∩ co (C ∪ D).
Напомним, что наименьшее сбалансированное подмножество X, содержащее набор S называется сбалансированной оболочкой S и обозначается bal (S). Для любого подмножества S из X, выпуклая сбалансированная оболочка множества S, обозначенная cobal (S), является наименьшим подмножеством X, содержащим S, которое является выпуклым и сбалансированным. Выпуклая сбалансированная оболочка S равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки S (то есть cobal (S) = co (bal (S))), но выпуклая сбалансированная оболочка S не обязательно равна сбалансированной оболочке выпуклая оболочка S (т.е. cobal (S) не обязательно равна bal (co (S))).
Если A и B являются подмножествами TVS X и если r - скаляр, то co ( A∪B) знак равно co (A) ∪co (B), co (rA) = rco (A) и $co ¯ (r A) = r co ¯ (A) {\ displaystyle {\ overline {\ OperatorName {co}}} (rA) = r {\ overline {\ operatorname {co}}} (A)}$ ${\overline {\operatorname {co} }}(rA)=r{\overline {\operatorname {co} }}(A)$ . Более того, если $co ¯ (A) {\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (A)}$ ${\overline {\operatorname {co} }}(A)$ компактно, то $co ¯ (A + B) = co ¯ (A) + co ¯ (B) {\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (A + B) = {\ overline {\ operatorname {co}}} (A) + {\ overline {\ operatorname {co}}} (B)}$ ${\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B)$
Если A и B - подмножества TVS X, замкнутая выпуклая оболочка которой компактна, то $co ¯ (A ∪ B) = co ¯ (co ¯ (A) ∪ co ¯ (B)) {\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (A \ cup B) = {\ overline {\ operatorname {co}}} \ left ({\ overline {\ operatorname {co} }}} (A) \ cup {\ overline {\ operatorname {co}}} (B) \ right)}$ ${\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right)$ .
Если S - выпуклое множество в комплексном векторном пространстве X и существует некоторый z ∈ X такой, что z, iz, -z, -iz ∈ S, то rz + siz ∈ S для всех вещественных r, s таких, что | r | + | s | ≤ 1. В частности, az ∈ S для всех скаляров a таких, что | a | ≤ 1/2.
Примеры и непримеры
Самая точная и грубая локально выпуклая топология
Самая грубая векторная топология
Любое векторное пространство X, наделенное тривиальной топологией (т.е. недискретная топология) - это локально выпуклая ТВП (и, конечно, самая грубая такая топология). Эта топология хаусдорфова тогда и только тогда, когда X = {0}. Недискретная топология превращает любое векторное пространство в полную псевдометризуемую локально выпуклую TVS.

Напротив, дискретная топология формирует векторную топологию на X тогда и только тогда, когда X = {0}. Это следует из того факта, что каждое топологическое векторное пространство является связным пространством.
Тончайшая локально выпуклая топология
Если X - вещественное или комплексное векторное пространство и если 𝒫 - множество всех полунорм на X, то локально выпуклая топология TVS, обозначенная by lc, которую 𝒫 индуцирует на X, называется тончайшей локально выпуклой топологией на X. Эту топологию также можно описать как TVS-топология на X, имеющая в качестве базы окрестности в 0 множество всех поглощающих дисков в X. Любая локально выпуклая TVS-топология на X обязательно является подмножеством 𝜏 lc. (X, 𝜏 lc) - это Хаусдорф. Любое линейное отображение из (X, 𝜏 lc) в другую локально выпуклую TVS обязательно непрерывно. В частности, каждый линейный функционал на (X, lc) непрерывен, а каждое векторное подпространство X замкнуто в (X, 𝜏 lc).; следовательно, если X бесконечномерно, то (X, 𝜏 lc) не является псевдометризуемым (и, следовательно, не метризуемым). Более того, 𝜏 lc является единственной хаусдорфовой локально выпуклой топологией на X со свойством непрерывности любого линейного отображения из нее в любое хаусдорфово локально выпуклое пространство. Пространство (X, 𝜏 lc) является борнологическим пространством.
Примеры локально выпуклых пространств
Каждое нормированное пространство является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, и большая часть теории локально выпуклых пространств обобщает части теории нормированных пространств. Семейство полунорм можно принять за единую норму. Каждое банахово пространство является полным хаусдорфовым локально выпуклым пространством, в частности, L пространства с p ≥ 1 являются локально выпуклыми.

Вообще говоря, каждое пространство Фреше локально выпукло. Пространство Фреше можно определить как полное локально выпуклое пространство с выделенным счетным семейством полунорм.

Пространство ℝ вещественнозначных последовательностей с семейством полунорм, заданным как
$p i ({x n} n) = | х я |, я ∈ N {\ Displaystyle p_ {i} \ left (\ left \ {x_ {n} \ right \} _ {n} \ right) = \ left | x_ {i} \ right |, \ qquad i \ in \ mathbf {N}}$ $p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbf {N}$
локально выпуклый. Счетное семейство полунорм полно и сепарабельно, значит, это пространство Фреше, которое не нормируется. Обратите внимание, что это также предельная топология пространств ℝ, вложенных в ℝ естественным образом, путем дополнения конечных последовательностей бесконечным числом 0.

Для любого векторного пространства X и набора F линейных функционалов на нем, X можно превратить в локально выпуклое топологическое векторное пространство, задав ему самую слабую топологию, делающую все линейные функционалы в F непрерывными. Это известно как слабая топология или начальная топология, определяемая F. Набор F может быть алгебраическим двойственным X или любым другим набором. Семейство полунорм в этом случае определяется выражением p f (x) = | f (x) | для всех f в F.

Пространства дифференцируемых функций дают другие ненормируемые примеры. Рассмотрим пространство гладких функций f: ℝ → ℂ таких, что sup x | xDf | < ∞, where a and b are мультииндексы. Семейство полунорм, определяемое формулами p a, b (f) = sup x | xDf (x) | разделено и счетно, и пространство полно, поэтому это метризуемое пространство является пространством Фреше. Оно известно как пространство Шварца, или пространство функций быстрого убывания, и его двойное пространство - это пространство умеренных распределений.

Важное Функциональное пространство в функциональном анализе - это пространство D (U) гладких функций с компактным носителем в U ⊆ ℝ. Для топологии этого пространства требуется более детальное построение, поскольку пространство C. 0(U) не полно в равномерной норме. Топология на D (U) определяется следующим образом: для любого фиксированного компакта K ⊂ U пространство C. 0(K) функций f ∈ C. 0(U) с supp ( е) ⊂ K - пространство Фреше со счетным семейством полунорм || f || m = sup k≤m sup x | D f (x) | (на самом деле это нормы, и пополнение пространства C. 0(K) нормой || ⋅ || m является банаховым пространством D (K)). Для любого набора {K λ}λкомпактов, управляемых включением и таких, что их объединение равно U, C. 0(Kλ) образуют прямую систему, а D (U) определяется как предел этой системы. Такой предел пространств Фреше известен как LF-пространство. Более конкретно, D (U) - это объединение всех C. 0(Kλ) с сильнейшей локально выпуклой топологией, которая делает каждое отображение включения C. 0(Kλ) ↪ D (U) непрерывным. Это пространство локально выпукло и полно. Однако оно не метризуемо, и поэтому не является пространством Фреше. Двойственное пространство к D () - это пространство распределений на ℝ.

Более абстрактно, учитывая топологическое пространство X, пространство C (X) непрерывных (не обязательно ограниченных) функций на X может иметь топологию равномерной сходимости на компактах. Эта топология определяется полунормами φ K (f) = max {| f (x) | : x ∈ K} (поскольку K изменяется на направленном множестве всех компактных подмножеств X). Когда X локально компактно (например, открытое множество в ℝ) применяется теорема Стоуна-Вейерштрасса - в случае вещественнозначных функций любая подалгебра в C (X), которая разделяет точки и содержит постоянные функции (например, подалгебра многочленов) плотна.
Примеры пространств, лишенных локальной выпуклости
Многие топологические векторные пространства являются локально выпуклыми. Примеры пространств, в которых отсутствует локальная выпуклость, включают следующее:
пространства L ([0, 1]) для 0 < p < 1 are equipped with the F-норма
$‖ f ‖ p = ∫ 0 1 | f (x) | п д х. {\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {p} \, dx.}$ $\|f\|_{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.$
Они не являются локально выпуклыми, поскольку выпуклая окрестность нуля - все пространство. В более общем плане пространства L (μ) с безатомной конечной мерой μ и 0 < p < 1 are not locally convex.
Пространство измеримых функций на единичном интервале [0, 1] (где мы определяем две функции, которые равны почти всюду ) имеет топологию векторного пространства, определяемую инвариантной метрикой: (которая индуцирует сходимость в мере измеримых функций; для random переменные, сходимость по мере сходимость по вероятности )
$d (f, g) = ∫ 0 1 | f (x) - g (x) | 1 + | f (x) - g (x) | dx. {\ Displaystyle d (f, g) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {| f (x) -g (x) |} {1+ | f (x) -g (x) |}} \, dx.}$ $d(f, g) = \int_0^1 \frac{|f(x) - g(x)|}{1+|f(x) - g(x)|} \, dx.$
Это пространство часто обозначается L 0.
Оба примера обладают тем свойством, что любое непрерывное линейное отображение в действительные числа равно 0. В частности, их двойное пространство тривиально, то есть оно содержит только нулевой функционал.
Пространство последовательностей ℓ (N ), 0 < p < 1, is not locally convex.
Непрерывные отображения
Теорема - Пусть T: X → Y - линейный оператор между TVS, где Y является локально выпуклым (заметим, что X может не быть локально выпуклым). Тогда T непрерывна тогда и только тогда, когда для любой непрерывной полунормы q на Y существует непрерывная полунорма p на X такая, что q ∘ T ≤ p.

Поскольку локально выпуклые пространства являются топологическими пространствами, а также векторными пространствами, естественными функциями, которые следует учитывать между двумя локально выпуклыми пространствами, являются непрерывные линейные отображения. Используя полунормы, можно дать необходимый и достаточный критерий непрерывности линейного отображения, который очень похож на более знакомое условие ограниченности, найденное для банаховых пространств.

Для локально выпуклых пространств X и Y с семействами полунорм {p α}αи {q β}βсоответственно, линейное отображение T: X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда для любого β существуют α 1, α 2,..., α n и M>0 такие, что для всех v в X
$q β (T v) ≤ M (p α 1 (v) + ⋯ + p α n (v)). {\ displaystyle q _ {\ beta} (Tv) \ leq M \ left (p _ {\ alpha _ {1}} (v) + \ dotsb + p _ {\ alpha _ {n}} (v) \ right).}$ $q_\beta(Tv)\le M \left (p_{\alpha_1}(v) +\dotsb+p_{\alpha_n}(v) \right).$
Другими словами, каждая полунорма диапазона T ограничена сверху некоторой конечной суммой полунорм в области. Если семейство {p α}αявляется направленным семейством, и его всегда можно выбрать для управления, как описано выше, тогда формула становится еще проще и привычнее:
$q β (T v) ≤ M p α ( v). {\ displaystyle q _ {\ beta} (Tv) \ leq Mp _ {\ alpha} (v).}$ $q_\beta(Tv)\le Mp_\alpha(v).$
Класс всех локально выпуклых топологических векторных пространств образует категорию с непрерывными линейными отображениями как морфизмы.
Линейные функционалы
Теорема - Если X является TVS (не обязательно локально выпуклым) и если f является линейным функционалом на X, то f непрерывен тогда и только если существует непрерывная полунорма p на X такая, что | f | ≤ p.

Обратите внимание: если X - вещественное или комплексное векторное пространство, f - линейный функционал на X, а p - полунорма на X, то | f | ≤ p тогда и только тогда, когда f ≤ p. Если f - ненулевой линейный функционал на вещественном векторном пространстве X и если p - полунорма на X, то f ≤ p тогда и только тогда, когда $f - 1 (1) ∩ {x ∈ X: p (x) < 1 } = ∅ {\displaystyle f^{-1}\left(1\right)\cap \left\{x\in X:p(x)<1\right\}=\emptyset }$ $f^{-1}\left(1\right)\cap \left\{x\in X:p(x)<1\right\}=\emptyset$ .
Multilinear maps
Let n ≥ 1 be an integer, X1,..., Xnbe TVSs (not necessarily locally convex), let Y be a locally convex TVS whose topology is determined by a family 𝒬 of continuous seminorms, and let $M : ∏ i = 1 n X i → Y {\displaystyle M:\prod _{i=1}^{ n}X_{i}\to Y}$ $M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y$ be a multilinear operator that is linear in each of its n coordinates. The following are equivalent:
M is continuous.
For every q ∈ 𝒬, there exist continuous seminorms p1,..., pnon X1,..., Xn, respectively, such that $q ( M ( x)) ≤ p 1 ( x 1) ⋯ p n ( x n) {\displaystyle q\left(M\left(x\right)\right)\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ $q\left(M\left(x\right)\right)\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)$ for all $x = ( x 1, …, x n) ∈ ∏ i = 1 n X i {\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ $x=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}$ .
For every q ∈ 𝒬, there exists some neighborhood of 0 in $∏ i = 1 n X i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ on which q ∘ M is bounded.
See also
Convex set – In geometry, set that intersects every line into a single line segment
Krein–Milman theorem – On when a space equals the closed convex hull of its extreme points
Linear form – Linear map from a vector space to its field of scalars
Minkowski functional
Seminorm
Sublinear functional
Topological group – Group that is a topological space with continuous group action
Topological vector space – Vector space with a notion of nearness
Vector space – Basic algebraic structure of linear algebra
Notes
References
Jarchow, Hans (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Тюбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5 [Sur certains espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. 96(2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
Dunford, Nelson (1988). Linear operators (in Romanian). New York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261.
Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Köthe, Gottfried (1969). Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
; (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces.. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8(Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H. ; (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8(Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.