Семейство наборов

В теории множеств и связанных разделах математики, коллекция F подмножеств заданный набор S называется семейством подмножеств S или семейством множеств над S. В более общем смысле, совокупность любых наборов вообще называется семейство наборов или набор-семейство или набор-система .

Термин «набор» используется здесь, потому что в некоторых контекстах семейство наборов может может содержать повторяющиеся копии любого заданного члена, а в других контекстах он может образовывать правильный класс, а не набор.

Конечное семейство подмножеств конечного множества S также называется гиперграфом.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Специальные типы семейств множеств
• 3 Свойства
• 4 Понятия, связанные с данным
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Примеры

• Power set P(S) - это семейство наборов над S.
• k-подмножества S множества S образуют семейство множеств.
• Пусть S = {a, b, c, 1, 2}, пример семейства множеств над S (в смысле мультимножество ) дается формулой F = {A 1, A 2, A 3, A 4 }, где A 1 = {a, b, c}, A 2 = {1,2}, A 3 = {1,2} и A 4 = {a, b, 1}.
• Порядок класса всех порядковых чисел большое семейство наборов; то есть сам по себе не является набором, а вместо этого является надлежащим классом.

Специальные типы семейств множеств

A Семейство Спернера - это семейство наборов, в котором ни один из наборов не содержит ни одного из другие. Теорема Спернера ограничивает максимальный размер семьи Спернер.

A Семейство Хелли - это семейство множеств, такое что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением имеет ограниченный размер. Теорема Хелли утверждает, что выпуклые множества в евклидовых пространствах ограниченной размерности образуют семейства Хелли.

абстрактный симплициальный комплекс - это семейство множеств F, которое является закрытым вниз, т. Е. Каждое подмножество множества в F является также в F. A матроид - абстрактный симплициальный комплекс с дополнительным свойством, называемым свойством увеличения.

Свойства

• Любое семейство подмножеств S само по себе является подмножеством набора степеней P (S), если оно не имеет повторяющихся членов.
• Любое семейство наборы без повторений являются подклассом надлежащего класса V всех наборов (теорема брака вселенной ).
• Холла, из-за Филипа Холла, дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечное семейство непустых множеств (разрешено повторение) имело систему различных представителей.

Связанные понятия

Определенные типы объектов из других областей математика эквивалентна семействам множеств в том смысле, что их можно описать просто как совокупность множеств объектов определенного типа:

• A гиперграф, также называемый системой множеств, образован множеством вершин вместе с другим набором гиперребер, каждое из которых может быть произвольным набором. Гиперребра гиперграфа образуют семейство множеств, и любое семейство множеств можно интерпретировать как гиперграф, имеющий объединение множеств как его ve rtices.
• абстрактный симплициальный комплекс - это комбинаторная абстракция понятия симплициального комплекса, формы, образованной объединениями отрезков прямых, треугольников, тетраэдров и многомерные симплексы, соединенные лицом к лицу. В абстрактном симплициальном комплексе каждый симплекс представлен просто как множество его вершин. Любое семейство конечных множеств без повторений, в котором подмножества любого множества в семействе также принадлежат семейству, образует абстрактный симплициальный комплекс.
• структура инцидентности состоит из набора точек, набор линий и (произвольное) бинарное отношение, называемое отношением инцидентности, определяющее, какие точки каким линиям принадлежат. Структура инцидентности может быть задана семейством множеств (даже если две различные линии содержат один и тот же набор точек), наборы точек, принадлежащие каждой линии, и любое семейство множеств могут быть интерпретированы таким образом как структура инцидентности.
• Двоичный блочный код состоит из набора кодовых слов, каждое из которых представляет собой строку , состоящую из нулей и единиц одинаковой длины. Когда каждая пара кодовых слов имеет большое расстояние Хэмминга, его можно использовать как код с исправлением ошибок. Блочный код также можно описать как семейство наборов, описывая каждое кодовое слово как набор позиций, в которых оно содержит 1.
• A топологическое пространство состоит из пары (X, τ), где X - это множество (называемых точками), а τ - это семейство множеств (называемых открытыми множествами) над X. τ должно содержать как пустое множество, так и само X, и замкнуто при объединении множеств и пересечении конечных множеств.

См. также

• Алгебра множеств
• Класс (теория множеств)
• Комбинаторный дизайн
• δ-кольцо
• Поле множеств
• Индексированное семейство
• λ-система (система Дынкина)
• π-система
• Кольцо множеств
• парадокс Рассела (или Множество множеств, не содержащих самих себя)
• σ-алгебра
• σ-кольцо

Примечания

Ссылки

• Биггс, Норман Л. (1985), Дискретная математика, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Бруальди, Ричард А. (2010), Введение в комбинаторику (5-е изд.), Верхняя Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл, ISBN 0-13-602040-2
• Робертс, Фред С.; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

Внешние ссылки

• Связанные со СМИ на Установить семейства на Wikimedia Commons