Слабая топология

редактировать

Топология, в которой сходимость точек определяется сходимостью их изображения при непрерывных линейных функционалах

В математика, слабая топология - это альтернативный термин для определенных исходных топологий, часто для топологических векторных пространств или пространств линейных операторов, например, в гильбертовом пространстве. Этот термин чаще всего используется для начальной топологии топологического векторного пространства (такого как нормированное векторное пространство ) по отношению к его непрерывному двойственному. Остальная часть статьи будет посвящена этому случаю, который является одной из концепций функционального анализа.

Подмножества топологического векторного пространства можно назвать слабо замкнутыми (соответственно, слабо compact и т. д.), если они замкнуты (соответственно compact и т. д.) относительно слабой топологии. Точно так же функции иногда называют слабо непрерывными (соответственно слабо дифференцируемыми, слабоаналитическими и т. Д.), Если они непрерывный (соответственно дифференцируемый, аналитический и т. д.) относительно слабой топологии.

Содержание

1 История
2 Слабая и сильная топологии
- 2.1 Слабая топология по отношению к спариванию
  - 2.1.1 Каноническая двойственность
  - 2.1.2 Слабая и слабая * топологии
- 2.2 Слабая топология, индуцированная непрерывным двойственным пространством
- 2.3 Слабая сходимость
- 2.4 Другие свойства
3 Слабая * топология
- 3.1 Свойства
4 Примеры
- 4.1 Гильбертовы пространства
- 4.2 Распределения
- 4.3 Слабая топология, вызванная алгебраическим двойственным
5 Топологиями операторов
6 См. Также
7 Ссылки
8 Библиография

История

Начиная с начала 1900-х годов, Давид Гильберт и Марсель Рис широко использовали слабую сходимость. Первые пионеры функционального анализа не ставили конвергенцию нормы выше слабой и часто считали слабую конвергенцию предпочтительной. В 1929 г. Банах ввел слабую сходимость для нормированных пространств, а также ввел аналогичную слабую * сходимость. Слабая топология также называется топологией faible и schwache Topologie.

Слабая и сильная топологии

Пусть 𝕂 будет топологическим полем, а именно полем с топологией таким, что сложение, умножение и деление непрерывны. В большинстве приложений 𝕂 будет либо полем комплексных чисел, либо полем действительных чисел с известными топологиями.

Слабая топология по отношению к спариванию

Как слабая топология, так и слабая * топология являются частными случаями более общей конструкции для пар, которую мы сейчас опишем. Преимущество этой более общей конструкции состоит в том, что любое определение или доказанный результат применим как к слабой топологии, так и к слабой * топологии, тем самым делая ненужными многие определения, формулировки теорем и доказательства. Это также причина того, почему слабую * топологию также часто называют «слабой топологией»; потому что это просто пример слабой топологии в контексте этой более общей конструкции.

Предположим, что (X, Y, b) - это пара векторных пространств над топологическим полем 𝕂 (т.е. X и Y - векторные пространства над, а b: X × Y → 𝕂 - билинейное отображение ).

Обозначение. Для всех x ∈ X пусть b (x, •): Y → 𝕂 обозначает линейный функционал на Y, определенный как y ↦ b (x, y). Аналогично, для всех y ∈ Y пусть b (•, y): X → 𝕂 определяется как x ↦ b (x, y).

Определение. Слабая топология на X индуцированная Y (и b), является самой слабой топологией на X, обозначаемой 𝜎 (X, Y, b) или просто 𝜎 (X, Y), что делает все отображения b (•, y): X → 𝕂 непрерывными, поскольку y диапазоны более Y.

Слабая топология на Y теперь автоматически определяется, как описано в статье Двойная система. Однако для наглядности сейчас повторим.

Определение. Слабая топология на Y, индуцированная X (и b), является самой слабой топологией на Y, обозначаемой 𝜎 (Y, X, b) или просто 𝜎 (Y, X), делая все отображения b (x, •): Y → 𝕂 непрерывными, поскольку x пробегает X.

Если поле 𝕂 имеет абсолютное значение | ⋅ |, то слабая топология 𝜎 ( X, Y, b) на X индуцировано семейством полунорм, p y : X → ℝ, определенных как

py(x): = | b (x, y) |

для всех y ∈ Y и x ∈ X. Это показывает, что слабые топологии локально выпуклые.

Предположение. В дальнейшем мы будем предполагать, что 𝕂 либо действительные числа ℝ или комплексные числа ℂ.

Каноническая двойственность

Теперь рассмотрим частный случай, когда Y - векторное подпространство алгебраического двойственного пространства X (т. Е. Вектор пространство линейных функционалов на X).

Существует пара, обозначаемая $(X, Y, ⟨⋅, ⋅⟩) {\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ ${\ displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ или $(X, Y) {\ displaystyle (X, Y)}$ $(X, Y)$ , называемое канонической парой, чье билинейное отображение $⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ - это каноническая оценочная карта, определяемая как $⟨x, x ′⟩ = x ′ (x) {\ displaystyle \ langle x, x '\ rangle = x' (x)}$ $\langle x,x'\rangle =x'(x)$ для всех $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ и $x ′ ∈ Y {\ displaystyle x '\ in Y}$ $x'\in Y$ . В частности, обратите внимание на то, что $⟨⋅, x ′⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, x '\ rangle}$ $\langle \cdot,x'\rangle$ - это просто еще один способ обозначения $x ′ {\ displaystyle x'}$ $x'$ т.е. $⟨⋅, x ′⟩ = x ′ (⋅) {\ displaystyle \ langle \ cdot, x '\ rangle = x' (\ cdot)}$ $\langle \cdot,x'\rangle =x'(\cdot)$ .

Допущение. Если Y - векторное подпространство алгебраическое двойственное пространство к X, то мы будем предполагать, что они связаны с каноническим спариванием ⟨X, Y⟩.

В этом случае слабая топология на X (соответственно. слабая топология на Y), обозначаемая 𝜎 (X, Y) (соответственно 𝜎 (Y, Y)), является слабой топологией на X (соответственно на Y) относительно канонического спаривания ⟨X, Y⟩.

Топология σ (X, Y) - это начальная топология X относительно Y.

Если Y - векторное пространство линейных функционалов на X, то непрерывный двойственный X относительно топологии σ (X, Y) в точности равен Y. (Рудин 1991, теорема 3.10)

Слабая и слабая * топологии

Пусть X будет топологическим векторным пространством (TVS) над 𝕂, то есть X - это векторное пространство 𝕂 , снабженное топологией , так что вектор сложение и скалярное умножение являются непрерывными. Мы называем топологию, в которой X начинается с исходной, начиная с или заданной топологии (читателя предостерегают от использования терминов «исходная топология "и" сильная топология "для ссылки на исходную топологию, поскольку они уже имеют хорошо известные значения, поэтому их использование может вызвать путаницу). Мы можем определить, возможно, другую топологию на X, используя топологическое или непрерывное двойственное пространство $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ , которое состоит из всех линейные функционалы из X в базовое поле 𝕂, которые непрерывны по отношению к данной топологии.

Напомним, что $⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ - это каноническая карта оценки, определяемая как $⟨x, x ′ ⟩ Знак равно x ′ (x) {\ displaystyle \ langle x, x '\ rangle = x' (x)}$ $\langle x,x'\rangle =x'(x)$ для всех $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ и $x ′ ∈ Y {\ displaystyle x '\ in Y}$ $x'\in Y$ , где, в частности, $⟨⋅, x ′⟩ = x ′ (⋅) = x ′ { \ displaystyle \ langle \ cdot, x '\ rangle = x' (\ cdot) = x '}$ $\langle \cdot,x'\rangle =x'(\cdot)=x'$ .

Определение. слабая топология на X - это слабая топология на X относительно каноническая пара

⟨X, X ∗⟩ {\ displaystyle \ langle X, X ^ {*} \ rangle}

\ langle X, X ^ {*} \ rangle

. То есть это самая слабая топология на X, составляющая все карты

x ′ = ⟨⋅, x ′⟩: X → K {\ displaystyle x '= \ langle \ cdot, x' \ rangle: X \ to \ mathbb {K}}

x'=\langle \cdot,x'\rangle :X\to \mathbb {K}

непрерывно, поскольку

x ′ {\ displaystyle x '}

x'

превышает

X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}

X ^ {*}

Определение : слабая топология на

X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}

X ^ {*}

- это слабая топология на

X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}

X ^ {*}

в отношении канонической пары

⟨X, X ∗⟩ {\ displaystyle \ langle X, X ^ {*} \ rangle}

\ langle X, X ^ {*} \ rangle

. То есть это самая слабая топология на Y, составляющая все отображения

⟨x, ⋅⟩: X ∗ → K {\ displaystyle \ langle x, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ to \ mathbb {K} }

{\ displaystyle \ langle x, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ to \ mathbb {K}}

непрерывно, поскольку x пробегает X. Эта топология также называется слабой * топологией .

. Ниже мы даем альтернативные определения.

Слабая топология, вызванная непрерывным двойным пространством

В качестве альтернативы, слабая топология на TVS X является исходной топологией по отношению к семейству $Икс * {\ Displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ . Другими словами, это самая грубая топология на X такая, что каждый элемент $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ остается непрерывной функцией.

A подбаза для слабой топологии - это набор множеств вида $ϕ - 1 (U) {\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (U)}$ где $ϕ ∈ X ∗ {\ displaystyle \ phi \ in X ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi \ in X ^ {*}}$ , а U - открытое подмножество основного поля 𝕂. Другими словами, подмножество X открыто в слабой топологии тогда и только тогда, когда оно может быть записано как объединение (возможно, бесконечного множества) множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств вида $ϕ - 1 (U) {\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (U)}$ .

С этой точки зрения, слабая топология - это грубейшая полярная топология ; подробнее см. слабая топология (полярная топология).

Слабая сходимость

Слабая топология характеризуется следующим условием: a net $(x λ) {\ displaystyle (x _ {\ lambda})}$ ${\ displaystyle (x _ {\ lambda})}$ в X сходится в слабой топологии к элементу x из X тогда и только тогда, когда $ϕ (x λ) {\ displaystyle \ phi (x _ {\ lambda})}$ ${\ displaystyle \ phi (x _ {\ lambda})}$ сходится к $ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ в ℝ или ℂ для всех $ϕ ∈ X ∗ {\ displaystyle \ phi \ in X ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi \ in X ^ {*}}$ .

В частности, если $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ является последовательностью в X, то $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ слабо сходится к x, если

φ (xn) → φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x_ {n}) \ to \ varphi (x)}

\ varphi (x_ {n}) \ to \ varphi (x)

при n → ∞ для все $φ ∈ X ∗ {\ displaystyle \ varphi \ in X ^ {*}}$ $\ varphi \ in X ^ {*}$ . В этом случае обычно пишут

xn ⟶ wx {\ displaystyle x_ {n} {\ overset {\ mathrm {w}} {\ longrightarrow}} x}

x_ {n} {\ overset {\ mathrm {w}} {\ longrightarrow}} x

или, иногда,

xn ⇀ х. {\ displaystyle x_ {n} \ rightharpoonup x.}

x_ {n} \ rightharpoonup x.

Другие свойства

Если X снабжен слабой топологией, то сложение и скалярное умножение остаются непрерывными операциями, а X является локально выпуклым топологическое векторное пространство.

Если X - нормированное пространство, то двойственное пространство $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ само является нормированным векторным пространством с использованием нормы

‖ Φ ‖ = sup ‖ x ‖ ≤ 1 | ϕ (x) |. {\ displaystyle \ | \ phi \ | = \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} | \ phi (x) |.}

{\ displaystyle \ | \ phi \ | = \ sup _ {\ | х \ | \ Leq 1} | \ phi (x) |.}

Эта норма порождает топологию, называемую сильной топологией на $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ . Это топология равномерной сходимости. Равномерная и сильная топологии обычно различны для других пространств линейных отображений; увидеть ниже.

Слабая * топология

Слабая * топология - важный пример полярной топологии.

Пространство X может быть встроено в его двойной дуальный X ** по

x ↦ {T x: X ∗ → KT x (ϕ) = ϕ (x) {\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} T_ {x}: X ^ {*} \ to \ mathbb {K} \\ T_ {x} (\ phi) = \ phi (x) \ end {cases}}}

{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} T_ {x}: X ^ {*} \ to \ mathbb {K} \\ T_ {x} (\ phi) = \ phi (x) \ end {case}}}

Таким образом, $T: X → X ∗ {\ displaystyle T: X \ to X ^ {*}}$ ${\ displaystyle T: X \ to X ^ {*}}$ является инъективным линейным отображением, хотя не обязательно сюръективным (пространства, для которых это каноническое вложение сюръективно, называются рефлексивными ). weak- * топология на $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ - это слабая топология, вызванная изображением $T: T (X) ⊂ X ∗ ∗ {\ Displaystyle T: T (X) \ подмножество X ^ {**}}$ ${\ displaystyle T: T (X) \ subset X ^ {**}}$ . Другими словами, это самая грубая топология такая, что карты T x, определенные как $T x (ϕ) = ϕ (x) {\ displaystyle T_ {x} (\ phi) = \ phi (x)}$ ${\ displaystyle T_ {x} (\ phi) = \ phi (x)}$ от $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ до основного поля ℝ или ℂ остаются непрерывными.

Слабая * конвергенция

A net $ϕ λ {\ displaystyle \ phi _ {\ lambda}}$ $\ phi _ {{\ lambda}}$ в $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*} }$ $X ^ {*}$ сходится к $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ в слабой * топологии, если сходится поточечно:

ϕ λ (x) → ϕ (x) {\ displaystyle \ phi _ {\ lambda} (x) \ to \ phi (x)}

{\ displaystyle \ phi _ {\ lambda} (x) \ to \ phi (x)}

для всех $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ . В частности, последовательность из $ϕ n ∈ X ∗ {\ displaystyle \ phi _ {n} \ in X ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {п} \ в X ^ {*}}$ сходится к $ϕ { \ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ при условии, что

ϕ n (x) → ϕ (x) {\ displaystyle \ phi _ {n} (x) \ to \ phi (x)}

\ phi _ {n} (x) \ to \ phi (x)

для все x ∈ X. В этом случае записывается

ϕ n → w ∗ ϕ {\ displaystyle \ phi _ {n} {\ overset {w ^ {*}} {\ to}} \ phi}

{\ displaystyle \ phi _ {n} {\ overset {w ^ {*}} {\ to}} \ phi}

при n → ∞.

Слабая * сходимость иногда называется простой сходимостью или точечной сходимостью . Действительно, это совпадает с поточечной сходимостью линейных функционалов.

Свойства

Если X является сепарабельным (т.е. имеет счетное плотное подмножество) локально выпуклым пространством и H является подмножеством его непрерывного двойственного пространства, то H наделен слабая топология * (подпространства) является метризуемым топологическим пространством. Если X - сепарабельное метризуемое локально выпуклое пространство, то слабая * топология на непрерывном двойственном пространстве X отделима.

Свойства на нормированных пространствах

По определению слабая * топология слабее, чем слабая топология на $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ . Важным фактом о слабой * топологии является теорема Банаха – Алаоглу : если X нормировано, то замкнутый единичный шар в $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ является слабым * - компактным (в более общем смысле, полярный в $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ окрестности 0 в X является слабым * -компактным). Более того, замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X компактен в слабой топологии тогда и только тогда, когда X рефлексивно.

В более общем смысле, пусть F - локально компактное поле со значениями (например, действительные числа, комплексные числа, или любую из p-адических систем счисления). Пусть X - нормированное топологическое векторное пространство над F, совместимое с модулем в F. Тогда в $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ топологическое двойственное пространство X непрерывного F -значные линейные функционалы на X, все замкнутые по норме шары компактны в слабой * топологии.

Если X - нормированное пространство, то подмножество непрерывного двойственного пространства является слабым * компактным тогда и только тогда, когда оно слабо * замкнуто и ограничено по норме. Это означает, в частности, что когда X - бесконечномерное нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в начале координат в двойственном пространстве X не содержит слабой * окрестности 0.

Если X является нормированное пространство, то X сепарабельно тогда и только тогда, когда слабая * топология на замкнутом единичном шаре $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ метризуема, и в этом случае слабая * топология метризуема на всех ограниченных по норме подмножествах $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ . Если нормированное пространство X имеет двойственное пространство, которое сепарабельно (относительно топологии двойственной нормы), то X обязательно сепарабельно. Если X является банаховым пространством, слабая * топология не является метризуемой на всем $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ , если X не является конечномерным.

Примеры

Гильбертовы пространства

Рассмотрим, например, разницу между сильной и слабой сходимостью функций в гильбертовом пространстве L (ℝ). Сильная сходимость последовательности $ψ k ∈ L 2 (R n) {\ displaystyle \ psi _ {k} \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ psi _ {k} \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ элементу ψ означает, что

∫ R n | ψ k - ψ | 2 d μ → 0 {\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ psi _ {k} - \ psi | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ mu \, \ to 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ psi _ {k} - \ psi | ^ {2} \, {\ rm {d} } \ mu \, \ to 0}

при k → ∞. Здесь понятие сходимости соответствует норме на L.

Напротив, для слабой сходимости требуется только, чтобы

∫ R n ψ ¯ kfd μ → ∫ R n ψ ¯ fd μ {\ displaystyle \ int _ { \ mathbb {R} ^ {n}} {\ bar {\ psi}} _ {k} f \, \ mathrm {d} \ mu \ to \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ bar {\ psi}} f \, \ mathrm {d} \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ bar {\ psi}} _ {k} f \, \ mathrm {d} \ mu \ to \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ bar {\ psi} } е \, \ mathrm {d} \ mu}

для всех функций f ∈ L (или, что более типично, всех f в плотном подмножестве L, таком как пространство тестовых функций, если последовательность {ψ k } ограничена). Для заданных тестовых функций соответствующее понятие сходимости соответствует только топологии, использованной в ℂ.

Например, в гильбертовом пространстве L (0, π) последовательность функций

ψ k (x) = 2 / π sin ⁡ (kx) {\ displaystyle \ psi _ {k} (x) = {\ sqrt {2 / \ pi}} \ sin (kx)}

\ psi _ {k} (x) = {\ sqrt {2 / \ pi}} \ sin (kx)

образуют ортонормированный базис. В частности, (строгий) предел $ψ k {\ displaystyle \ psi _ {k}}$ $\ psi _ {k}$ при k → ∞ не существует. С другой стороны, по лемме Римана – Лебега слабый предел существует и равен нулю.

Распределения

Пространства распределений обычно получают, формируя строго двойственное пространство пробных функций (таких как гладкие функции с компактным носителем на ℝ). В качестве альтернативы конструкции таких пространств можно взять слабое двойственное пространство пробных функций внутри гильбертова пространства, такого как L. Таким образом, можно рассмотреть идею оснащенного гильбертова пространства.

Слабая топология, индуцированная алгебраическим двойственным

Предположим, что X - векторное пространство, а X - алгебраическое двойственное пространство к X (то есть векторное пространство всех линейных функционалов на X). Если X наделен слабой топологией, индуцированной X, то непрерывным двойственным пространством X является X, каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X, каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение.

Операторные топологии

Если X и Y - топологические векторные пространства, пространство L (X, Y) линейных непрерывных операторов f: X → Y может нести множество различных возможных топологий. Именование таких топологий зависит от типа топологии, используемой в целевом пространстве Y для определения сходимости операторов (Yosida 1980, IV.7 Топологии линейных отображений). В общем, существует огромное множество возможных операторных топологий на L (X, Y), именование которых не совсем интуитивно понятно.

Например, сильная операторная топология на L (X, Y) является топологией точечной сходимости. Например, если Y - нормированное пространство, то эта топология определяется полунормами, индексируемыми x ∈ X:

f ↦ ‖ f (x) ‖ Y. {\ displaystyle f \ mapsto \ | f (x) \ | _ {Y}.}

f \ maps в \ | f (x) \ | _ {Y}.

В более общем смысле, если семейство полунорм Q определяет топологию на Y, то полунормы p q, x на L (X, Y), определяющем сильную топологию, задаются как

pq, x: f ↦ q (f (x)), {\ displaystyle p_ {q, x}: f \ mapsto q (f (x)),}

p_ {q, x}: f \ mapsto q (е (х)),

с индексами q ∈ Q и x ∈ X.

В частности, см. слабую операторную топологию и слабую * операторную топологию.

См. Также

Ссылки

Библиография

Конвей, Джон Б. (1994), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Педерсен, Герт (1989), Analysis Now, Springer, ISBN 0-387-96788-5
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Уиллард, Стивен (февраль 2004 г.). Общая топология. Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797.
Йосида, Косаку (1980), Функциональный анализ (6-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8