Слабая сходимость (гильбертово пространство)

В математике, слабая сходимость в Гильберте пробел - это схождение последовательности точек в слабой топологии.

• 1 Определение
• 2 Свойства
  • 2.1 Пример
  • 2.2 Слабая сходимость ортонормированных последовательностей
• 3 Теорема Банаха – Сакса
• 4 Обобщения

A последовательность точек $(xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\}$в гильбертовом пространстве H, как говорят, слабо сходится к точке x в H, если

$⟨xn,\; y⟩\; \to \; ⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\_\; \{\; n\},\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; to\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}$

для всех y в H. Здесь $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$понимается как внутренний продукт в гильбертовом пространстве. Обозначение

$x\; n\; \rightharpoonup \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rightharpoonup\; x\}$

иногда используется для обозначения такого рода сходимости.

• Если последовательность сильно сходится (т. Е. Если она сходится по норме), то она также сходится слабо.
• Так как каждое замкнутое и ограниченное множество слабо относительно компактный (его замыкание в слабой топологии компактно), каждая ограниченная последовательность $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\}$в гильбертовом пространстве H содержит слабо сходящаяся подпоследовательность. Обратите внимание, что замкнутые и ограниченные множества в общем случае не являются слабо компактными в гильбертовых пространствах (рассмотрим множество, состоящее из ортонормированного базиса в бесконечно мерном гильбертовом пространстве, которое является замкнутым и ограниченным, но не слабо компактным, поскольку оно не содержат 0). Однако ограниченные и слабо замкнутые множества слабо компактны, поэтому каждое выпуклое ограниченное замкнутое множество слабо компактно.
• Как следствие принципа равномерной ограниченности, любая слабо сходящаяся последовательность является ограничено.
• Норма (последовательно) слабо полунепрерывно снизу : если $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\}$слабо сходится к x, то

$\Vert \; x\; \Vert \; \le \; lim\; inf\; n\; \to \; \infty \; \Vert \; xn\; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Vert\; x\; \backslash \; Vert\; \backslash \; leq\; \backslash \; liminf\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; Vert\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; Vert,\}$

и это неравенство строгое, если сходимость не сильная. Например, бесконечные ортонормированные последовательности слабо сходятся к нулю, как показано ниже.

• Если $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\}$слабо сходится к $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и у нас есть дополнительное предположение, что $\Vert \; xn\; \Vert \; \to \; \Vert \; x\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lVert\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rVert\; \backslash \; to\; \backslash \; lVert\; x\; \backslash \; rVert\}$, затем $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\}$сходится к $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$строго:

$⟨x\; -\; xn,\; x\; -\; xn⟩\; =\; ⟨\; x,\; x⟩\; +\; ⟨xn,\; xn⟩\; -\; ⟨xn,\; x⟩\; -\; ⟨x,\; xn⟩\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x-x\_\; \{n\},\; x-x\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; x\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; x\_\; \{n\},\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; -\; \backslash \; langle\; x\_\; \{n\},\; x\; \backslash \; rangle\; -\; \backslash \; langle\; x,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rightarrow\; 0.\}$

• Если Гильберта пространство конечномерно, то есть евклидово пространство, тогда понятия слабой и сильной сходимости совпадают.

Пример

Первые 3 функции в последовательности $fn\; (x)\; =\; грех\; \; (nx)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; (nx)\}$на $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\; \}$. Поскольку $n\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$$fn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\}$слабо сходится к $f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; 0\}$.

Гильбертово пространство $L\; 2\; [0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$- это пространство квадратично интегрируемых функции на интервале $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$, снабженные внутренним продуктом, определенным как

$⟨f,\; g⟩\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; е\; (Икс)\; \cdot \; г\; (Икс)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; f\; (x)\; \backslash \; cdot\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx,\}$

(см. L пробел ). Последовательность функций $f\; 1,\; f\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$определяется как

$fn\; (x)\; =\; sin\; \; (nx)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; (nx)\}$

слабо сходится к нулевой функции в $L\; 2\; [0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{2\}\; [0,\; 2\; \backslash \; pi]\}$, как интеграл

$\int \; 0\; 2\; \pi \; sin\; \; (nx)\; \cdot \; g\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; sin\; (nx)\; \backslash \; cdot\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

стремится к нулю для любой интегрируемой с квадратом функции $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$на $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$стремится к бесконечности, что соответствует лемме Римана – Лебега, т.е.

$⟨fn,\; g⟩\; \to \; ⟨0,\; g⟩\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{n\},\; g\; \backslash \; rangle\; \backslash \; to\; \backslash \; langle\; 0,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; 0.\}$

Хотя $fn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\}$имеет увеличивающееся количество нулей в $[0,\; 2\; \pi \; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$поскольку $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$стремится к бесконечности, это, конечно, не равно нулевой функции для любого $п\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Обратите внимание, что $fn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\}\}$не сходится к 0 в $L\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$или $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$норм. Это несходство - одна из причин, почему этот тип конвергенции считается «слабым».

Слабая сходимость ортонормированных последовательностей

Рассмотрим последовательность $en\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\}$, которая была сконструирована как ортонормированная, то есть

$⟨En,\; em⟩\; =\; \delta \; mn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; e\_\; \{n\},\; e\_\; \{m\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{mn\}\}$

где $\delta \; mn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{mn\; \}\}$равно единице, если m = n, и нулю в противном случае. Мы утверждаем, что если последовательность бесконечна, то она слабо сходится к нулю. Простое доказательство состоит в следующем. Для x ∈ H имеем

$\sum \; n\; |\; ⟨E\; n,\; x⟩\; |\; 2\; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; |\; \backslash \; langle\; e\_\; \{n\},\; x\; \backslash \; rangle\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}$(неравенство Бесселя )

где равенство имеет место, когда {e n } является базисом гильбертова пространства. Поэтому

$|\; ⟨E\; n,\; x⟩\; |\; 2\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; langle\; e\_\; \{n\},\; x\; \backslash \; rangle\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$(поскольку указанный выше ряд сходится, соответствующая ему последовательность должна стремиться к нулю)

т.е.

$⟨en,\; x⟩\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; e\_\; \{n\},\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rightarrow\; 0.\}$

Теорема Банаха – Сакса утверждает, что каждая ограниченная последовательность $xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\}$содержит подпоследовательность $xnk\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\_\; \{k\}\}\}$и точка x такая, что

$1\; N\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; xnk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; x\_\; \{n\_\; \{k\}\}\}$

сильно сходится к x, когда N стремится к бесконечности.

Определение слабой сходимости может быть расширено до банаховых пространств. Говорят, что последовательность точек $(xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\}$в банаховом пространстве B слабо сходится к точке x в B, если

$f\; (xn)\; \to \; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{n\})\; \backslash \; to\; f\; (x)\}$

для любого ограниченного линейного функционального $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$определено в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, то есть для любого $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в двойное пространство $B\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; B\text{'}\}$. Если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является пробелом Lp на $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$и , тогда, любой такой $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет форму

$f\; (x)\; =\; \int \; \Omega \; xyd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; x\; \backslash ,\; y\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

Для некоторых $y\; \in \; L\; q\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; \backslash ,\; L\; ^\; \{q\}\; (B)\}$где $1\; p\; +\; 1\; q\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{q\}\}\; =\; 1\}$и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- это показатель на $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$.

. В случае, когда $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это Тогда по теореме о представлении Рисса,

$f\; (\cdot )\; =\; ⟨\cdot ,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; cdot)\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; y\; \backslash \; rangle\}$

для некоторых $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, поэтому можно получить определение слабой сходимости в гильбертовом пространстве.