Последовательность

редактировать
Конечный или бесконечный упорядоченный список элементов

В математике последовательность - это нумерованная коллекция объектов, в которой разрешены повторения и порядок имеет значение. Как и набор , он содержит элементы (также называемые элементы или терминами). Количество элементов (возможно, бесконечное) называется последовательную. В отличие от набора одни и те же элементы могут отображаться несколько раз в разных позициях в следующих, и, в отличие от набора, порядок имеет значение. Формально последовательность может быть определена как функция , домен является либо набором натуральных чисел (для бесконечных последовательностей), либо набором первых n натуральных чисел (для последовательности конечной длины n).

Например, (M, A, R, Y) - это последовательность букв с буквой «M» первой и последней буквой «Y». Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Кроме того, последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), которая содержит число 1 в двух разных позициях, является допустимой последовательностью. Последовательности могут быть ными, как в этих примерах, или бесконечными, такими как последовательность всех семи положительных целых чисел (2, 4, 6,...).

Позиция элемента в следовать - это его ранг или индекс; это натуральное число, для которого элемент является изображением. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или специального соглашения. В математическом анализе последовательность часто обозначается буквами в форме an {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} , bn {\ displaystyle b_ {n}}b_ {n} и cn {\ displaystyle c_ {n}}c_ {n} , где нижний индекс n относится к n-му элементу следовать; например, n-й элемент придерживается Фибоначчи F {\ displaystyle F}F обычно обозначается как F n {\ displaystyle F_ {n}}F_ {n} .

В вычислениях и информатике конечные следовать иногда называют строками, словами или списками, разными именами, обычно соответствующими различными способами их представления в памяти компьютера ; бесконечные следуют называются потоками. Пустая последовательность () включена в большинство понятий, но может быть исключена в зависимости от контекста.

Бесконечная последовательность действительных чисел (синего цвета). Эта последовательность не является ни убывающей, ни возрастающей, ни Коши. Однако он ограничен.

Содержание

  • 1 Примеры и обозначения
    • 1.1 Примеры
    • 1.2 Индексирование
    • 1.3 Определение следовать с помощью рекурсии
  • 2 Формальное определение и основные свойства
    • 2.1 Определение
    • 2.2 Конечное и бесконечное
    • 2.3 Увеличение и уменьшение
    • 2.4Последовательность
    • 2.5 Подпоследовательности
    • 2.6 Другие типы последовательностей
  • 3 Пределы и сходимость
    • 3.1 Формальное определение сходимости
    • 3.2 Приложения и важные результаты
    • 3.3 Посательности Коши
    • 3.4 Бесконечные пределы
  • 4 Серия
  • 5 Использование в других областях математики
    • 5.1 Топология
      • 5.1.1 Топология продукта
    • 5.2 Анализ
      • 5.2.1 Пространства последовательностей
    • 5.3 Линейная алгебра
    • 5.4 Абстрактная алгебра
      • 5.4.1 Свободный моноид
      • 5.4.2 Точные последующие
      • 5.4.3 Спектральные последовательность
    • 5.5 Набор теории
    • 5.6 Вычисления
    • 5.7 Потоки
  • 6 См. также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки

Примеры и обозначения

Последовательность можно придумать как список элементов в определенном порядке. Последовательности полезны в ряде математических дисциплин для изучения функций, пробелов и других математических структур, использующих свойства сходимости последовательностей. В частности, используется эта серия для , которые важны в дифференциальных уравнениях и анализом. Последовательности также представляют интерес сами по себе, и их можно изучать как шаблоны или головоломки, например, при изучении простых чисел.

Существует несколько способов обозначения, некоторые из которых более полезны. для определенных типов последовательностей. Один из способов указать последовательность - перечислить все ее элементы. Например, первые четыре нечетных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Это обозначение используется и для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечетных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7,...). Обозначение последовательности последовательностей с помощью многоточия приводит к неоднозначности, перечисление наиболее полезных для обычных бесконечных последовательностей, которые можно легко распознать по их первым нескольким элементам. Другие способы обозначения наблюдаются после примеров.

Примеры

A мозаики квадратами, стороны которых являются последовательными числами Фибоначчи по длине.

простые числа - это натуральные числа больше единицы, которые не имеют делителей, кроме 1 и самих себя. Если взять в их естественном порядке, получится их последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...). Простые числа широко используются в математике, особенно в теории чисел, где существует множество соответствующих с ними результатов.

Числа Фибоначчи составляют целочисленную последовательность, элементы которой являются суммой двух предыдущих элементов. Первые два элемента - это либо 0 и 1, либо 1 и 1, так что последовательность будет (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...).

Другие примеры последовательностей включают состоящие из рациональных чисел, действующих чисел и комплексных чисел. Последовательность (.9,.99,.999,.9999,...), например, приближается к 1. Фактически, каждое действующее число может быть записано как limit рациональные числа (например, через десятичное расширение ). В качестве другого примера, π - это предел установить (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...), которая увеличивается. Связанная последовательность - это последовательность десятичных цифр числа π, то есть (3, 1, 4, 1, 5, 9,...). В отличие от предыдущей последовательности, эта последовательность не имеет никакого рисунка, который можно было бы легко различить при осмотре.

Большой список примеров целочисленных последовательностей см. Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.

Индексирование

Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, шаблон которых трудно угадать., или для последовательностей, которые не имеют шаблона, такие как цифры π. Одно из таких обозначений состоит в том, чтобы записать общую формулу для вычислений n-го члена функции как от n, заключить его в круглые скобки и включить нижний индекс, указывающий набор значений, которые могут принимать n. Например, в этой записи последовательности четных чисел можно записать как (2 n) n ∈ N {\ displaystyle (2n) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (2n) _ {n \ in \ mathbb {N}}} . Последовательность квадратов может быть записана как (n 2) n ∈ N {\ displaystyle (n ^ {2}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (п ^ {2}) _ {п \ in \ mathbb {N}}} . Переменная n называется индексом, набор значений, который она может принимать, называется индексным набором.

. Часто бывает полезно комбинировать эту нотацию с техникой обработки элементов последовательности как отдельные переменные. Это дает такие выражения, как (an) n ∈ N {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} , что обозначает последовательность, для которой задан n-й элемент an {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} . Например:

a 1 = 1-й элемент из (an) n ∈ N a 2 = 2-й элемент a 3 = 3-й элемент ⋮ an - 1 = (n - 1) -й элемент an = n- й элемент an + 1 = (n + 1) -й элемент ⋮ {\ displaystyle {\ begin {align} a_ {1} = 1 {\ text {st element of}} (a_ {n}) _ {n \ в \ mathbb {N}} \\ a_ {2} = 2 {\ text {nd element}} \\ a_ {3} = 3 {\ text {rd element}} \\ \ vdots \\ a_ { n-1} = (n-1) {\ text {th element}} \\ a_ {n} = n {\ text {th element}} \\ a_ {n + 1} = (n + 1) {\ text {th element}} \\ \ vdots \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} a_ {1} = 1 {\ text {st элемент}} (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \\ a_ {2} = 2 {\ text {nd element}} \ \ a_ {3} = 3 {\ text {rd element}} \\ \ vdots \\ a_ {n-1} = (n-1) {\ text {th element}} \\ a_ {n} = n {\ text {th element}} \\ a_ {n + 1} = (n + 1) {\ text {th element}} \\ \ vdots \ end {align}}}

Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например (bn) n ∈ N {\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb { N}}} может быть другой последовательностью, чем (an) n ∈ N {\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} . Можно даже последовательностей последовательностей: ((am, n) n ∈ N) m ∈ N {\ displaystyle ((a_ {m, n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle ((a_ {m, n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}) _ {m \ in \ mathbb {N}}} обозначает последовательность, m-й член последовательности (am, n) n ∈ N {\ displaystyle (a_ {m, n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ {m, n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} .

Альтернативой записи задается нижний индексе диапазона значений, который может принимать индекс путем перечисления самого высокого и самого низкого допустимых значений. Например, запись (k 2) k = 1 10 {\ displaystyle (k ^ {2}) _ {k = 1} ^ {10}}{\ displaystyle (k ^ {2}) _ {k = 1} ^ { 10}} обозначает десятичную последовательность квадратов (1, 4, 9,..., 100) {\ displaystyle (1,4,9,..., 100)}{\ displaystyle (1,4,9,..., 100)} . Пределы ∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty и - ∞ {\ displaystyle - \ infty}- \ infty допустимы, но они не допускают допустимые значения для индекса., только верхняя грань или нижняя грань таких значений. Например, последовательность (an) n = 1 ∞ {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}} такая же, как последовательность (an) n ∈ N {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} и не содержит дополнительного термина «на бесконечности». Последовательность (an) n = - ∞ ∞ {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = - \ infty} ^ {\ infty}}{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = - \ infty} ^ {\ infty}} является би-бесконечной последовательностью, а также может быть записана как (..., a - 1, a 0, a 1, a 2,....) {\ displaystyle (..., a _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, a_ {2},...)}{\ displaystyle (..., a _ {- 1}, a_ {0}, a_ {1}, a_ {2 },...)} .

В случаях, когда понятен набор индексов, нижние и верхние индексы часто опускаются. То есть, для произвольной последовательности просто записывается (a k) {\ displaystyle (a_ {k})}(a_ {k}) . Обычно считается, что индекс k проходит от 1 до ∞. Однако следует часто индексируются, начиная с нуля, как в

(a k) k = 0 ∞ = (a 0, a 1, a 2,...). {\ displaystyle (a_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2},...).}{\ displaystyle (a_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty} = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2},...).}

В некоторых случаях элементы приведенным естественным образом связаны последовательностью целых чисел, образец которой легко вывести. В этих индексных наборах может быть перечислением нескольких первых абстрактных элементов. Например, последовательность квадратов нечетных чисел может быть обозначена любым из следующих способов.

  • (1, 9, 25,...) {\ Displaystyle (1,9,25,...)}{\ displaystyle (1,9,25,...)}
  • (a 1, a 3, a 5,....), Ak = к 2 {\ displaystyle (a_ {1}, a_ {3}, a_ {5},...), \ qquad a_ {k} = k ^ {2}}{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {3}, a_ {5},...), \ qquad a_ {k} = к ^ {2}}
  • (a 2 k - 1) k = 1 ∞, ak знак равно К 2 {\ Displaystyle (a_ {2k-1}) _ {k = 1} ^ {\ infty}, \ qquad a_ {k} = k ^ {2}}(a_ {2k-1}) _ {к = 1} ^ \ infty, \ qquad a_k = k ^ 2
  • (ak) к Знак равно 1 ∞, ак знак равно (2 к - 1) 2 {\ displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}, \ qquad a_ {k} = (2k-1) ^ {2}}(a_ {k}) _ {k = 1} ^ \ infty, \ qquad a_k = (2k-1) ^ 2
  • ((2 к - 1) 2) к = 1 ∞ {\ displaystyle ((2k-1) ^ {2}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}((2k-1) ^ 2) _ {к = 1} ^ \ infty

Кроме того, нижние индексы а верхние индексы можно было бы опустить в третью, четвертой и пятой нотации, если бы набор индексации понимался как натуральные числа. Во втором и третьем пунктах есть четко определенная последовательность (ak) k = 1 ∞ {\ displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}{\ displaystyle (a_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}} , но это не то же самое, что последовательность, обозначенная выражением.

Определение последовательности рекурсии

Последовательности, элементы которых связаны напрямую с предыдущими элементами, определяются с помощью рекурсии. Это контрастирует с определением последовательностей элементов как функций их позиций.

Чтобы выполнить последовательность операций рекурсии, необходимо правило, называемое отношением рекурсии, для построения каждого элемента в терминах предшествующих. Кроме того, должно быть предусмотрено достаточно начальных элементов, чтобы все последующие элементы могли быть вычислены последовательного применения рекуррентного отношения.

Последовательность Фибоначчи - простой классический пример, определяемый рекуррентным путем

an = an - 1 + an - 2, {\ displaystyle a_ {n} = a_ {n -1} + a_ {n-2},}{\ displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + a_ {n-2 },}

с начальными членами a 0 = 0 {\ displaystyle a_ {0} = 0}a_ {0} = 0 и a 1 = 1 {\ Displaystyle a_ { 1} = 1}a_ {1} = 1 . Это простое вычисление показывает, что первые десять членов этой системы представляют - это 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34.

Сложный пример настоящего рекуррентным представлением является последовательностью Рекамана, определенная рекуррентным реагированием

{an = an - 1 - n, если результат положительный и еще не в предыдущих членах, an = an - 1 + n, в случае опасности {\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {n} = a_ {n-1} -n, \ quad {\ text {если результат положительный, а не в предыдущих условиях,}} \\ a_ {n} = a_ {n-1} + n, \ quad {\ text {else}}, \ end {cases}}}{\ displaystyle {\ begin {cases } a_ {n} = a_ {n-1} -n, \ quad {\ text {, если результат положительный, а не в предыдущих терминах,}} \\ a_ {n} = a_ {n-1} + п, \ quad {\ текст {иначе}}, \ end {case}}

с начальным членом a 0 = 0. {\ displaystyle a_ {0} = 0.}{\ displaystyle a_ { 0} = 0.}

Линейное повторение с постоянными коэффициентами - это рекуррентное отношение вида

an = c 0 + c 1 an - 1 + ⋯ + ckan - k, {\ displaystyle a_ {n} = c_ {0} + c_ {1} a_ {n-1} + \ dots + c_ {k} a_ {nk},}{\ displaystyle a_ {n} = c_ {0} + c_ {1} a_ {n-1} + \ dots + c_ {k} a_ {nk},}

где c 0,…, ck {\ displaystyle c_ {0}, \ dots, c_ {k}}{\ displaystyle c_ {0}, \ dots, c_ {k}} - константы. Существует общий метод выражения общего термина a n {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} такой следовать как функции от n; см. Линейное повторение. В случае установки Фибоначчи c 0 = 0, c 1 = c 2 = 1, {\ displaystyle c_ {0} = 0, c_ {1} = c_ {2} = 1,}{\ displaystyle c_ {0} = 0, c_ {1} = c_ {2} = 1,} , а результирующая функция n определяется по формуле Бине..

A голономная последовательность - это последовательность, определяемая рекуррентным производством вида

an = c 1 an - 1 + ⋯ + ckan - k, {\ displaystyle a_ {n} = c_ {1} a_ {n-1 } + \ dots + c_ {k} a_ {nk},}{\ displaystyle a_ {n} = c_ {1} a_ {n-1} + \ dots + c_ {k} a_ {nk},}

где c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k}}{\ displaystyle c_ {1}, \ point, c_ {k}} - это полиномы от n. Для большинства голономных последовательностей не существует явной формулы дляного выражения a n {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} как функции от n. Тем не менее голономные рабочие роли в различных областях математики. Например, многие специальные функции имеют ряд Тейлора, последовательность последовательности которого голономна. Использование рекуррентного отношения позволяет быстро вычислять значения таких специальных функций.

Не все следовать можно указать с помощью рекуррентного отношения. Примером может служить последовательность простых чисел в их естественном порядке (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...).

Формальное определение и основные свойства

В математике существует множество различных понятийных последовательностей, некоторые из которых (например, точная последовательность ) не охватываются определми и обозначениями представленными ниже.

Определение

В статье последовательность формально определяется как функция, домен, которая является интервалом из целые числа. Это определение нескольких вариантов использования слова «последовательность», включая односторонние бесконечные виды последовательностей, бибесконечные последовательные последовательности и конечные последовательности (определения этих последовательностей см. Ниже). Однако многие используют более узкое определение, требуя, чтобы домен был набором натуральных чисел. Недостаток этого более узкого определения состоит в том, что оно исключает конечные исходные и бибесконечные последовательности, которые в стандартной математической практике обычно называют последовательностями. Другой недостаток состоит в том, что при удаленных первых членах необходимо переиндексировать остальные термины для этого определению. В некоторых контекстах, чтобы сократить описание, кодовый домен установить фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы он был набором R действительных чисел, набором C комплексных чисел или топологическое пространство.

Хотя используются стандартные функции, они обычно условно отличаются от функций тем, что входные данные записываются в виде нижнего индекса, а не в круглых скобках, то есть n, а не a ( п). Существуют также терминологические системы: ввод на втором самом нижнем входе (часто 1) называется «первый элемент», который находится на втором самом маленьком входе (часто 2), называется «вторым самым вводом», и т. д. Кроме того, хотя функция, обычно обозначается одна буква, например, последовательность, извлеченная из ее входных данных, обычно записывается с помощью такой записи, как (an) n ∈ A {\ displaystyle (a_ { n}) _ {n \ in A}}{\ displaystyle ( a_ {n}) _ {n \ in A}} или так же, как (ан). {\ displaystyle (a_ {n}).}{\ displaystyle (a_ {n}).} Здесь A - домен или набор индексов следовать.

Последовательности и их пределы (см. Ниже) - концепции для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является концепция сетей. net - это функция из (возможно, несчетного ) направленного набора в топологическое пространство. Условные обозначения для последовательностей обычно применимы и к сетям.

Конечное и бесконечное

Длина определяет как количество членов в последовательную.

Последовательность конечной прочности также называется n-кортежем. Конечные последовательности включают пустую последовательность (), не имеющую отношения к элементам.

Обычно последовательность бесконечная последовательность имеет к последовательности, которая бесконечна в одном направлении и конечна в другом - последовательность имеет первый элемент, но не конечный элемент. Такая последовательность называется односторонней бесконечной последовательностью или односторонней бесконечной последовательностью, когда необходимо разрешение неоднозначности. Напротив, последовательность, которая бесконечна в обоих направлениях, т.е. который не имеет ни первого, ни последнего элемента - называется би-бесконечной последовательностью, двусторонней бесконечной последовательностью или дважды бесконечной последовательностью . Функция из набора Z всех целых чисел в набор, такую ​​как, например, последовательность всех четных целых чисел (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8...), является би-бесконечным. Эта последовательность может быть обозначена (2 n) n = - ∞ ∞ {\ displaystyle (2n) _ {n = - \ infty} ^ {\ infty}}(2n) _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} .

Увеличение и уменьшение

A последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый член больше или равен предыдущему. Например, последовательность (an) n = 1 ∞ {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}(a_n) _ {n = 1} ^ {\ infty} монотонно возрастает тогда и только тогда, когда a n+1≥ {\ displaystyle \ geq}\ geq anдля всех n ∈ N . Если каждый последующий член строго больше (>) предыдущего члена, то последовательность называется строго монотонно возрастающей . Последовательность является монотонно убывающей, если каждый последующий член меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывающей, если каждый из них строго меньше предыдущего. Если последовательность увеличивается или уменьшается, она называется монотонной последовательностью. Это частный случай более общего понятия монотонной функции.

Термины неубывающая и невозрастающая часто используются вместо увеличения и уменьшения, чтобы избежать любая возможная путаница со строго возрастающим и строго убывающим соответственно.

Ограниченный

Если последовательность действительных чисел (a n) такова, что все члены меньше некоторого действительного числа M, то последовательность называется ограничено сверху . Другими словами, это означает, что существует M такое, что для всех n a n ≤ M. Любое такое M называется верхней границей. Аналогично, если для некоторого действительного m a n ≥ m для всех n, больших, чем некоторое N, то последовательность ограничена снизу, и любое такое m называется нижней границей. Если последовательность ограничена сверху и снизу, тогда последовательность называется ограниченной .

подпоследовательностью

A подпоследовательностью данной последовательности - это последовательность, образованная из данной последовательности. путем удаления некоторых элементов без нарушения взаимного расположения остальных элементов. Например, последовательность положительных целых чисел (2, 4, 6,...) является подпоследовательностью натуральных чисел (1, 2, 3,...). Положение некоторых элементов изменяется при удалении других элементов. Однако взаимное расположение сохраняется.

Формально подпоследовательность последовательности (an) n ∈ N {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} является любая последовательность вида (ank) k ∈ N {\ displaystyle (a_ {n_ {k}}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (a_ {n_ {k}}) _ {к \ in \ mathbb {N}}} , где ( nk) k ∈ N {\ displaystyle (n_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (n_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}} - это строго возрастающая последовательность положительных целых чисел.

Другие типы последовательностей

Некоторые другие типы последовательностей, которые легко определить, включают:

  • целочисленная последовательность - это последовательность, термы являются целыми числами.
  • A полиномиальная последовательность - последовательность, члены которой являются полиномами.
  • Положительная целочисленная последовательность иногда называется мультипликативной, если нм = a namдля всех пар n, m, таких что n и m взаимно просты. В других случаях последовательности часто называют мультипликативными, если a n = na 1 для всех n. Более того, мультипликативная последовательность Фибоначчи удовлетворяет соотношению рекурсии a n = a n − 1 a n − 2.
  • A двоичная последовательность - это последовательность, члены которой имеют одно из двух дискретных значений, например основание 2 значения (0,1,1,0,...), серия подбрасываний монеты (орел / решка) H, T, H, H, T,..., ответы на набор истинных или ложных вопросов (T, F, T, T,...) и т. д.

Пределы и конвергенция

График сходящейся последовательности (a n) отображается синим цветом. Из графика мы видим, что последовательность сходится к пределу нуля с увеличением n.

Важным свойством последовательности является сходимость. Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она сходится . Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся .

Неформально, последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению L {\ displaystyle L}L ( называется пределом последовательности), и они становятся и остаются произвольно близкими к L {\ displaystyle L}L , что означает, что с учетом действительного числа d {\ displaystyle d}d больше нуля, все элементы последовательности, кроме конечного числа, имеют расстояние от L {\ displaystyle L}L меньше d {\ displaystyle d}d .

Например, последовательность an = n + 1 2 n 2 {\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {n + 1} {2n ^ {2}}}}{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {n + 1} {2n ^ {2}}}} показана для справа сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности bn = n 3 {\ displaystyle b_ {n} = n ^ {3}}{\ displaystyle b_ {n} = n ^ {3}} (который начинается с 1, 8, 27,…) И cn = (- 1) n {\ displaystyle c_ {n} = (- 1) ^ {n}}{\ displaystyle c_ {n} = (- 1) ^ {n}} (которое начинается -1, 1, -1, 1, …) Расходятся.

Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, уникально. Это значение называется пределом последовательности. Предел сходящейся последовательности (an) {\ displaystyle (a_ {n})}(a_ {n}) обычно обозначается lim n → ∞ an {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty } a_ {n}} . Если (an) {\ displaystyle (a_ {n})}(a_ {n}) - расходящаяся последовательность, тогда выражение lim n → ∞ an {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty } a_ {n}} не имеет смысла.

Формальное определение сходимости

Последовательность действительных чисел (an) {\ displaystyle (a_ {n})}(a_ {n}) сходится к действительному числу L {\ displaystyle L}L , если для всех ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}\varepsilon>0 , существует натуральное число N {\ displaystyle N}N так что для всех n ≥ N {\ displaystyle n \ geq N}n \ geq N у нас есть

| an - L | < ε. {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon.}{\ displaystyle | a_ {n} -L | <\ varepsilon.}

If (an) {\ displaystyle (a_ { n})}(a_ {n}) представляет собой последовательность комплексных чисел, а не последовательность действительных чисел, эта последняя формула все еще может использоваться для определения сходимости при условии, что | ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}| \ cdot | обозначает комплексный модуль, то есть | z | = z ∗ z {\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z ^ {*} z}}}{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z ^ {*} z}}} . Если (an) {\ displaystyle (a_ {n})}(a_ {n}) - это последовательность точек в метрике пробел, то формулу можно использовать для определения сходимости, если выражение | а н - L | {\ displaystyle | a_ {n} -L |}{\ displaystyle | a_ {n} -L |} заменяется выражением dist (an, L) {\ displaystyle {\ text {dist}} (a_ {n}, L) }{\ displaystyle { \ text {dist}} (а _ {п}, L)} , который обозначает расстояние между an {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} и L {\ displaystyle L}L .

Приложения и важные результаты

Если (an) {\ displaystyle (a_ {n})}(a_ {n}) and (bn) {\ displaystyle (b_ {n})}(b_ {n}) - сходящиеся последовательности, тогда существуют следующие пределы, которые можно вычислить следующим образом:

  • lim n → ∞ (an ± bn) = lim n → ∞ an ± lim n → ∞ bn {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ pm \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ pm \ lim _ {n \ к \ infty} b_ {n}}
  • lim n → ∞ can = c lim n → ∞ an {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} ca_ {n} = c \ lim _ {n \ to \ infty} a_ { n}}{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} ca_ {n} = c \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}} для всех действительных чисел c {\ displaystyle c}c
  • lim n → ∞ (anbn) = (lim n → ∞ an) (lim n → ∞ bn) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) = \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) \ left (\ lim _ {n \ в \ в fty} b_ {n} \ right)}{ \ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) = \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) \ left (\ lim _ { n \ to \ infty} b_ {n} \ right)}
  • lim n → ∞ anbn = lim n → ∞ an lim n → ∞ bn {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n} } {b_ {n}}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {n \ to \ infty} a_ {n}} {\ lim \ limits _ {n \ to \ infty} b_ {n}}}}{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {n \ to \ infty} a_ {n}} {\ lim \ limits _ {п \ к \ infty} b_ {n}}}} при условии, что lim n → ∞ bn ≠ 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} \ neq 0}\ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} \ neq 0
  • lim n → ∞ anp = ( lim n → ∞ an) п {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} ^ {p} = \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) ^ {p}}{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} ^ {p} = \ left (\ lim _ {n \ to \ infty} a_ { n} \ right) ^ {p}} для всех p>0 {\ displaystyle p>0}p>0 и an>0 {\ displaystyle a_ {n}>0}a_ {n}>0

Кроме того:

Если <186 an ≤ bn {\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}a_ {n} \ leq b_ {n} для всех n {\ displaystyle n}n больше некоторых N {\ displaystyl e N}N , затем lim n → ∞ an ≤ lim n → ∞ bn {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} .

  • (Теорема сжатия ). Если (cn) {\ displaystyle (c_ {n})}{\ displaystyle (c_ {n})} - последовательность, такая что an ≤ cn ≤ bn {\ displaystyle a_ {n} \ leq c_ {n} \ leq b_ {n}}a_ {n} \ leq c_ {n} \ leq b_ {n} для всех n>N {\ displaystyle n>N}n>N и lim n → ∞ an = lim n → ∞ bn = L {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = L}\ lim _ {n \ к \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = L ,. тогда (cn) {\ displaystyle (c_ {n})}{\ displaystyle (c_ {n})} сходится, а lim n → ∞ cn = L {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty } c_ {n} = L}\ lim _ {n \ to \ infty} c_ {n} = L .
  • Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда все его подпоследовательностей сходятся.
  • Последовательности Коши

    График последовательности Коши (X n), показанный синим цветом, как X n по сравнению с n. На графике последовательность кажется сходящейся к пределу, поскольку расстояние между последовательными членами в последовательности становится меньше с увеличением n. В вещественных числах каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

    Последовательность Коши - это последовательность, члены которой становятся произвольно близкими друг к другу, когда n становится очень большим. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе. Одним из особенно важных результатов реального анализа является характеристика Коши сходимости последовательностей:

    Последовательность действительных чисел сходится (в действительных числах) тогда и только тогда, когда она является Коши.

    Напротив, существуют последовательности Коши рациональные числа, которые не сходятся в рациональных числах, например последовательность, определяемая как x 1 = 1 и x n + 1 = x n + 2 / x n / 2, является Коши, но не имеет рационального предела, ср. здесь. В более общем смысле, любая последовательность рациональных чисел, которая сходится к иррациональному числу, является Коши, но не сходящейся при интерпретации как последовательность в наборе рациональных чисел.

    Метрические пространства, удовлетворяющие сходимости Коши для последовательностей, называются полными метрическими пространствами и особенно удобны для анализа.

    Бесконечные пределы

    В исчислении принято определять обозначения для последовательностей, которые не сходятся в рассмотренном выше смысле, но вместо этого становятся и остаются произвольно большими или становятся и остаются произвольно отрицательными. Если {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} становится произвольно большим при n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}n \ to \ infty , мы пишем

    lim n → ∞ an = ∞. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ infty.}\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = \ infty.

    В этом случае мы говорим, что последовательность расходится или что она сходится к бесконечности . Примером такой последовательности является n = n.

    Если {\ displaystyle a_ {n}}a_ {n} становится произвольно отрицательным (т.е. отрицательным и большим по величине) при n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}n \ to \ infty , мы пишем

    lim n → ∞ an = - ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = - \ infty}\ lim_ { n \ to \ infty} a_n = - \ infty

    и говорим, что последовательность расходится или сходится к отрицательной бесконечности. .

    Серия

    A Серия, неформально говоря, является суммой членов последовательности. То есть это выражение вида ∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n }} или a 1 + a 2 + ⋯ {\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots}{\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots} , где (an) {\ displaystyle (a_ {n})}(a_ {n}) - это последовательность действительных или комплексных чисел. частичные суммы ряда - это выражения, полученные в результате замены символа бесконечности на конечное число, то есть N-я частичная сумма ряда ∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n }} - это число

    SN = ∑ n = 1 N an = a 1 + a 2 + ⋯ + a N. {\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {N}.}{\ displaystyle S_ { N} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {N}.}

    Частичные суммы сами образуют последовательность (SN) N ∈ N {\ displaystyle (S_ {N}) _ {N \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (S_ {N}) _ {N \ in \ mathbb {N}}} , которая называется последовательностью частичные суммы ряда ∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n }} . Если последовательность частичных сумм сходится, то мы говорим, что ряд ∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n }} является сходящимся, а предел lim N → ∞ SN {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N}}{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} S_ {N}} называется значение серии. The same notation is used to denote a series and its value, i.e. we write ∑ n = 1 ∞ a n = lim N → ∞ S N {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = \ lim _ { N \ to \ infty} S_ {N}} .

    Use in other fields of mathematics

    Topology

    Sequences play an important role in topology, especially in the study of metric spaces. For instance:

    • A metric space is compact exactly when it is sequentially compact.
    • A function from a metric space to another metric space is continuous exactly when it takes convergent sequences to convergent sequences.
    • A metric space is a connected space if and only if, whenever the space is partitioned into two sets, one of the two sets contains a sequence converging to a point in the other set.
    • A topological space is separable exactly when there is a dense sequence of points.

    Sequences can be generalized to nets or filters. These generalizations allow one to распространить некоторые из приведенных выше теорем на пространства без метрики.

    Топология продукта

    Топологическое произведение последовательности топологических пространств - это декартово произведение этих пространств, снабженное естественным топология называется топологией продукта.

    Более формально, учитывая последовательность пространств (X i) i ∈ N {\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N }}}{\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}} , пространство продукта

    X: = ∏ i ∈ NX i, {\ displaystyle X: = \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} X_ {i},}{\ displaystyle X: = \ prod _ {я \ in \ mathbb {N}} X_ {i},}

    определяется как набор всех последовательностей (xi) i ∈ N {\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}} таких, что для каждый i, xi {\ displaystyle x_ {i}}x_ {i} является элементом X i {\ displaystyle X_ {i}}X_ {i} . канонические проекции - это карты p i : X → X i, определенные уравнением pi ((xj) j ∈ N) знак равно xi {\ displaystyle p_ {i} ((x_ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}) = x_ {i}}{\ displaystyle p_ {i} ((x_ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}) = x_ {i}} . Затем топология продукта на X определяется как самая грубая топология (т. Е. Топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции p i равны непрерывный. Топологию продукта иногда называют топологией Тихонова .

    Анализ

    В анализе, когда говорят о последовательностях, обычно рассматриваются последовательности вида

    (x 1, x 2, x 3,…) или (x 0, x 1, x 2,…) {\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots) {\ text {или} } (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ точки) {\ текст {или}} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}

    то есть бесконечные последовательности элементов, индексированных натуральными числами.

    Может быть удобно иметь последовательность начинается с индекса, отличного от 1 или 0. Например, последовательность, определенная как x n = 1 / log (n), будет определена только для n ≥ 2. При разговоре Что касается таких бесконечных последовательностей, обычно достаточно (и это не сильно меняется для большинства соображений) предположить, что члены последовательности определены, по крайней мере, для всех индексов , достаточно больших, то есть больше некоторых заданных N.

    Самым элементарным типом последовательностей являются числовые, то есть последовательности действительного или комплексного числа. с. Этот тип можно обобщить на последовательности элементов некоторого векторного пространства. При анализе рассматриваемые векторные пространства часто являются функциональными пространствами. В более общем смысле, можно изучать последовательности с элементами в некотором топологическом пространстве.

    Пространства последовательностей

    A пространство последовательностей - это векторное пространство, элементы которого являются бесконечными последовательностями вещественных или комплексные числа. Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K, где K - это либо поле действительные числа или поле комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами в K и может быть преобразовано в векторное пространство с помощью операций поточечно. сложение функций и поточечное скалярное умножение. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или, по крайней мере, структурой топологического векторного пространства.

    . Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются -пространства, состоящие из суммируемых последовательностей в p-степени., с p-нормой. Это частные случаи L пробелов для счетной меры на множестве натуральных чисел. Другие классы последовательных последовательностей, такие как сходящие или нулевые следовать, образуют пространства последовательностей, соответствующие обозначенные c и c 0, с нормой sup. Любое пространство последовательностей также может быть оснащено топологией с точечной сходимостью, при которой оно становится особой разновидностью пространства Фреше, называемого FK-пространством..

    Линейная алгебра

    Последовательности в также рассматриваться как поведение в векторном пространстве . В частности, набор F-значных последовательностей (где F - поле) представляет собой функциональное пространство (фактически, пространство продукта ) F-значных функций над множеством естественных чисел.

    Абстрактная алгебра

    Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, включая математических объектов, таких как группы или кольца.

    Свободный моноид

    Если A - это множество, свободный моноид над A (обозначенный A, также называемый звездой Клини A) моноид, поставляются все конечные строки (или строки) из нуля или более элементов A, с бинарной операцией конкатенации. Свободная полугруппа A - это подполугруппа A, содержащая все элементы, кроме пустую.

    Точные следовать

    В контексте теории групп последовательность

    G 0 → f 1 G 1 → f 2 G 2 → f 3 ⋯ → fn G n {\ displaystyle G_ {0} \; {\ xrightarrow {f_ {1}}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {f_ {2}}} \; G_ {2} \; {\ xrightarrow {f_ {3}}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {f_ {n}}} \; G_ {n}}G_ {0} \; {\ xrightarrow {f_ {1}}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {f_ {2}}} \; G_ {2} \; {\ xrightarrow {f_ {3}}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {f_ {n}}} \; G_ {n}

    из групп и гомоморфизмов групп называется точным, если изображение (или диапазон ) каждого гомоморфизма равно ядру следующего:

    им (fk) = ker (fk + 1) {\ displaystyle \ mathrm {im} (f_ {k}) = \ mathrm {ker} (f_ {k + 1})}\ mathrm {im} (f_ {k}) = \ mathrm {ker} (е_ {к + 1})

    Последовательность групп и гомоморфизмов может быть либо конечным, либо бесконечным.

    Аналогичное определение может быть сделано для некоторых других алгебраических структур. Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных карт или модулей и гомоморфизмов модулей.

    Спектральных последовательностей

    В гомологической алгебре и алгебраической топологии, спектральная последовательность является методом вычисления групп гомологий путем принятия последовательных приближений. Спектральная система обеспечивает обобщение точных последовательностей, и с момента их введения Жаном Лере (1946) они стали важным инструментом исследования, особенно в теория гомотопии.

    теория множеств

    последовательность с порядковым индексом - это обобщение следовать. Если α является предельным порядковым номером и X является набором, α-индексированная последовательность операций X является функцией от α до X. В терминологии ω-индексированной последовательности элементов последовательности.

    Вычисления

    В информатике конечные следовать называются списками. Потенциально бесконечные следовать называются потоками. Конечные последовательные символы или цифр называются строками.

    потоками

    Бесконечные следовать цифр (или символов ), взятые из конечного алфавит Выберите особый интерес в теоретической информатике. Их часто называют просто последовательностями или потоками, в отличие от конечных строк. Бесконечные двоичные следовать, например, предоставить себя бесконечные следовать битов (символы, взятые из алфавита {0, 1}). Набор C = {0, 1} всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют канторовским пространством.

    Бесконечная двоичная последовательность может представлять формальный язык (набор строк) путем установки n-й бит последовательности равен 1 тогда и только тогда, когда n-я строка (в порядке сокращений ) находится на языке. Это представление полезно в методе диагонализации для доказательств.

    См. Также

    Операции
    Примеры
    Типы
    Понятия, связанные с

    Примечания

    Ссылки

    Внешние ссылки

    Искать последовательность в Викисловаре, бесплатном языке.
    Найдите перечислить или collection в Викисловарь, бесплатном способ.
    Последняя правка сделана 2021-06-07 10:45:22
    Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
    Обратная связь: support@alphapedia.ru
    Соглашение
    О проекте