Операторские топологии

редактировать

В поле Mathematical раздела Functional Analysis есть несколько стандартных топологий , которые заданы алгебре B (X) линейных ограниченных операторов на банаховом пространстве X.

Содержание

1 Введение
2 Список топологий на B (H)
3 Взаимосвязи между топологиями
4 Какую топологию мне следует использовать?
5 См. Также
6 Ссылки

Введение

Пусть $(T n) n ∈ N {\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ будет последовательность линейных операторов в банаховом пространстве X. Рассмотрим утверждение, что $(T n) n ∈ N {\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ сходится к некоторому оператору T на X. Это может иметь несколько разных значений:

Если $‖ T n - T ‖ → 0 {\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ to 0}$ $\ | T_n - T \ | \ to 0$ , то есть оператор norm из $T n - T {\ displaystyle T_ {n} -T}$ ${\ displaystyle T_ {n} -T}$ (верхняя грань $‖ T nx - T x ‖ X {\ displaystyle \ | T_ {n} x-Tx \ | _ {X}}$ ${\ displaystyle \ | T_ {n} x-Tx \ | _ {X}}$ , где x пробегает единичный шар в X) сходится к 0, мы говорим, что $T n → T {\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ $T_n \ to T$ в топологии унифицированного оператора .
Если $T nx → T x { \ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ $T_n x \ к Tx$ для всех $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X }$ $x \ in X$ , тогда мы говорим $T n → T {\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ $T_n \ to T$ в топологии сильного оператора .
Наконец, предположим, что для всех x ∈ X мы имеем $T nx → T x {\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ $T_n x \ к Tx$ в слабой топологии X. Это означает, что $F (T nx) → F (T x) {\ displaystyle F (T_ {n} x) \ to F (Tx)}$ $F (T_n x) \ к F (T x)$ для всех линейных функционалов F на X. В этом случае мы говорим, что $T n → T {\ displaystyle T_ {n} \ to T}$ $T_n \ to T$ в слабой операторной топологии .

Список топологий на B (H)

Схема отношений между топологиями на пространстве B (X) ограниченных операторов

Есть много топологий, которые могут быть определены на B (X) помимо использованных выше; большинство из них сначала определяются только тогда, когда X = H является гильбертовым пространством, хотя во многих случаях есть соответствующие обобщения. Все перечисленные ниже топологии являются локально выпуклыми, что означает, что они определяются семейством полунорм.

. В анализе топология называется сильной, если у нее много открытых множеств, и слабой, если у нее мало открытых множеств, поэтому что соответствующие режимы сходимости являются соответственно сильной и слабой. (В собственно топологии эти термины могут предлагать противоположное значение, поэтому сильные и слабые заменяются соответственно точными и грубыми.) Диаграмма справа представляет собой краткое изложение отношений со стрелками, указывающими от сильного к слабому.

Если H является гильбертовым пространством, гильбертово пространство B (X) имеет (уникальное) предварительное $B (H) ∗ {\ displaystyle B (H) _ {*}}$ ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$ , состоящий из операторов класса трассировки, двойственным к которым является B (X). Полунорма p w (x) для w, положительного в предуале, определяется как B (w, xx).

Если B - векторное пространство линейных отображений на векторном пространстве A, то σ (A, B) определяется как самая слабая топология на A такая, что все элементы B непрерывны.

топология нормы или унифицированная топология или унифицированная операторная топология определяется обычной нормой || x || на B (H). Она сильнее, чем все другие топологии ниже.
Слабая (банахово пространство) топология - это σ (B (H), B (H)), в другими словами, самая слабая топология такая, что все элементы двойственного B (H) непрерывны. Это слабая топология на банаховом пространстве B (H). Он сильнее, чем сверхслабая и слабая операторная топологии. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
Топология Макки или Топология Аренса-Макки - это сильнейшая локально выпуклая топология на B (H) такая, что двойственная - это B (H) *, а также топология равномерной сходимости на Bσ (B (H) *, B (H) -компактные выпуклые подмножества B (H) *. Это сильнее, чем все приведенные ниже топологии.
σ-сильная топология или сверхсильная топология - это самая слабая топология, более сильная, чем сверхсильная топология, такая, что сопряженное отображение непрерывно. Она определяется семейством полунорм p w (x) и p w (x) для положительных элементов w из B (H) *. Это сильнее, чем все приведенные ниже топологии.
The σ-сильная топология или сверхсильная топология или сильнейшая топология или операторная топология определяется семейством полунорм p w (x) для положительных элементов w из B (H) *. Это сильнее, чем все приведенные ниже топологии, кроме сильной топологии. Предупреждение: несмотря на название «самая сильная топология», она слабее, чем топология нормы.)
σ-слабая топология или сверхслабая топология или слабая топология оператора или слабая * топология или слабая топология или σ (B (H), B (H) *) топология определяется семейством полунорм | (w, x) | для элементов w из B (H) *. Это сильнее слабой операторной топологии. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
сильная операторная топология или сильная топология определяется полунормами || x (h) || и || x (h) || для h ∈ H. Она сильнее, чем сильная и слабая операторные топологии.
сильная операторная топология (SOT) или сильная топология определяется полунормами || x (h) || для h ∈ H. Она сильнее, чем топология слабого оператора.
Определяется слабая операторная топология (WOT) или слабая топология полунормами | (x (h 1), h 2) | для h 1, h 2 ∈ H. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)

Связи между топологиями

Непрерывные линейные функционалы на B (H) для слабой, сильной и сильной (операторной) топологий одинаковы и представляют собой конечные линейные комбинации линейных функционалы (xh 1, h 2) для h 1, h 2 ∈ H. Непрерывные линейные функционалы на B (H) для сверхслабой, сверхсильной, сверхсильной топологии и топологии Аренса-Макки одинаковы и являются элементами предвойственной B (H) *.

По определению, непрерывные линейные функционалы в топологии нормы такие же, как и в слабой банаховой топологии. топология пространства. Этот дуал - довольно большое пространство с множеством патологических элементов.

На ограниченных по норме множествах B (H) слабая (операторная) и сверхслабая топологии совпадают. Это можно увидеть, например, с помощью теоремы Банаха – Алаоглу. По существу по той же причине сверхсильная топология такая же, как и сильная топология на любом (по норме) ограниченном подмножестве B (H). То же самое верно для топологии Аренса-Макки, сверхсильной и сильной топологий.

В локально выпуклых пространствах замыкание выпуклых множеств можно охарактеризовать непрерывными линейными функционалами. Следовательно, для выпуклого подмножества K в B (H) условия замкнутости K в сверхсильной, сверхсильной и сверхслабой топологиях эквивалентны, а также эквивалентны условиям, что для всех r>0, K имеет замкнутое пересечение с замкнутым шаром радиуса r в сильной, сильной или слабой (операторной) топологиях.

Нормальная топология метризуема, а остальные нет; фактически они не могут быть засчитаны первым. Однако, когда H отделима, все вышеперечисленные топологии метризуемы при ограничении на единичный шар (или на любое ограниченное по норме подмножество).

Какую топологию мне использовать?

Наиболее часто используемые топологии - это топологии нормального, сильного и слабого операторов. Слабая операторная топология полезна для аргументов компактности, потому что единичный шар компактен по теореме Банаха – Алаоглу. Топология нормы является фундаментальной, потому что она превращает B (H) в банахово пространство, но она слишком сильна для многих целей; например, B (H) не отделима в этой топологии. Чаще всего может использоваться сильная операторная топология.

Сверхслабая и сверхсильная топологии ведут себя лучше, чем топологии слабых и сильных операторов, но их определения более сложны, поэтому они обычно не используются, если их лучшие свойства действительно не нужны. Например, двойственное пространство к B (H) в слабой или сильной операторной топологии слишком мало, чтобы иметь много аналитического содержания.

Сопряженное отображение не является непрерывным в сильных операторных и сверхсильных топологиях, в то время как сильные * и сверхсильные * топологии являются модификациями, так что сопряженное становится непрерывным. Они используются не очень часто.

Топология Аренса – Макки и топология слабого банахова пространства используются относительно редко.

Подводя итог, три основных топологии на B (H) - это нормальная, сверхсильная и сверхслабая топологии. Слабые и сильные операторные топологии широко используются как удобные аппроксимации сверхслабых и сверхсильных топологий. Остальные топологии относительно неясны.

См. Также

Банахово пространство - Полное нормированное векторное пространство
Ограниченный оператор - Линейный оператор, который отправляет ограниченные подмножества в ограниченные подмножества
Непрерывный линейный оператор
Гильбертово пространство - внутреннее пространство продукта, которое является метрически полным; банахово пространство, норма которого индуцирует внутренний продукт (норма удовлетворяет тождеству параллелограмма)
Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
Нормированное векторное пространство - Векторное пространство, на котором расстояние равно определены
Топологии на пространствах линейных отображений
Топология - Раздел математики

Ссылки

Функциональный анализ, Рид и Саймон, ISBN 0-12- 585050-6
Теория операторных алгебр I, М. Такесаки (особенно глава II.2) ISBN 3-540-42248-X