Непрерывный линейный оператор

В функциональном анализе и связанных областях математики, непрерывный линейный оператор или непрерывное линейное отображение является непрерывным линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.

Оператор между двумя нормированными пространствами является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейный оператор.

• 1 Непрерывные линейные операторы
  • 1.1 Характеристики непрерывности
  • 1.2 Достаточные условия непрерывности
  • 1.3 Свойства непрерывных линейных операторов
• 2 Непрерывные линейные функционалы
  • 2.1 Характеристика непрерывных линейных функционалов
  • 2.2 Достаточные условия для непрерывных линейных функционалов
  • 2.3 Свойства непрерывных линейных функционалов
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Характеристики непрерывности

Предположим, что F: X → Y - линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (TVS). Следующие утверждения эквивалентны:

1. F непрерывен в 0 в X.
2. F непрерывен в некоторой точке x 0 ∈ X.
3. F непрерывен всюду в X

и если Y локально выпуклый, то мы можем добавить к этому списку:

4. для любой непрерывной полунормы q на Y, существует непрерывная полунорма p на X такая что q ∘ F ≤ p.

и если X и Y оба хаусдорфовы локально выпуклые пространства, то мы можем добавить к этому списку:

5. F является слабо непрерывным и его транспонируют F: Y '→ X' отображает равностепенно непрерывные подмножества Y 'в равностепенные подмножества X'.

и если X псевдометризуем (т.е. если он имеет счетное базис окрестности в начале координат), то мы можем добавить к этому списку:

6. F является ограниченным линейным оператором (т.е. он отображает ограниченные подмножества X в ограниченные подмножества Y).

и если X и Y - полунормированные пространства, то мы можем добавить к этому списку:

7. для любого ε>0 существует такое δ>0, что || x - y || < δ implies ||Fx - Fy|| < ε;

и если Y локально ограничен, то мы можем добавить к этому списку:

8. F отображает некоторую окрестность 0 в ограниченное подмножество Y.

и если X и Y локально хаусдорфовы выпуклые TVS с конечномерными Y, то мы можем добавить к этому списку:

9. график F замкнут в X × Y.

Достаточные условия непрерывности

Предположим, что F: X → Y линейный оператор между двумя TVS.

• Если существует такая окрестность U точки 0 в X, что F (U) является ограниченным подмножеством Y, то F непрерывно.
• Если X является псевдометризуемой TVS и F отображает ограниченные подмножества X в ограниченные подмножества Y, тогда F является непрерывным.

Свойства непрерывных линейных операторов

A локально выпуклый метризуемый TVS нормируемый, если и только если каждый линейный функционал на нем непрерывен.

Непрерывный линейный оператор отображает ограниченные множества в ограниченные множества.

В доказательстве используется тот факт, что преобразование открытого множества в линейное топологическое пространство снова является открытым множеством, и равенство

F (D) + x 0 = F (D + F (x 0))}}

для любого подмножества D из Y и любого x 0 ∈ X, что верно из-за аддитивности F.

Каждый линейный функционал в TVS является линейным оператором, поэтому к ним применимы все свойства, описанные выше для непрерывных линейных операторов. Однако из-за их специализированного характера мы можем сказать о непрерывных линейных функционалах даже больше, чем о более общих непрерывных линейных операторах.

Характеристика непрерывных линейных функционалов

Пусть X будет топологическим векторным пространством (TVS) (мы не предполагаем, что X хаусдорфово или локально выпуклое ) и пусть f будет линейным функционалом на X. Следующие утверждения эквивалентны:

1. f непрерывен.
2. f непрерывен в начале координат.
3. f is непрерывна в некоторой точке X.
4. f равномерно непрерывна на X.
5. Существует некоторая окрестность U начала координат такая, что f (U) ограничена.
6. ядро f замкнуто в X.
7. Либо f = 0, либо ядро ​​f не плотно в X.
8. Re f непрерывно, где Re f обозначает действительную часть f.
9. Существует непрерывная полунорма p на X такая, что | f | ≤ p.
10. График функции f замкнут.

и если X псевдометризуем (т.е. если он имеет счетный базис окрестности в начале координат), то мы можем добавить к этому списку:

11. f является локально ограниченным (т. е. он отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества).

и если дополнительно X является векторным пространством над действительными числами (что, в частности, подразумевает, что f вещественнозначен), то мы можем добавить к этому списку:

12. Существует непрерывная полунорма p на X такая, что f ≤ p.
13. Для некоторых вещественное r, полупространство {x ∈ X: f (x) ≤ r} замкнуто.
14. Вышеупомянутое утверждение, но со словом «некоторые» заменено на «любое».

и если X является комплексным топологическим векторным пространством (TVS), то мы можем добавить к этому списку:

15. Мнимая часть f непрерывна.

Таким образом, если X является комплексным, то либо все три из f, Re f и Im f являются непрерывными (соответственно ограниченными ), иначе все три являются разрывными (соответственно неограниченными).

Достаточные условия для непрерывных линейных функционалов

• Любая линейная функция на конечномерном топологическом векторном пространстве Хаусдорфа непрерывна.
• Если X является TVS, то каждый ограниченный линейный функционал на X является непрерывна тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве.

Свойства непрерывных линейных функционалов

Если X является сложным нормированным пространством и f - линейный функционал на X, то || f || = || Re f || (где, в частности, одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна).

Каждый нетривиальный непрерывный линейный функционал на TVS X является открытым отображением. Заметим, что если X - вещественное векторное пространство, f - линейный функционал на X, а p - полунорма на X, то | f | ≤ p тогда и только тогда, когда f ≤ p.

• Линейный ограниченный оператор
• Разрывное линейное отображение
• Линейные функционалы
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Положительный линейный функционал
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости
• Неограниченный оператор

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости. Конспект лекций по математике. {3834. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Ярчоу, Ханс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur specific espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Перевод Eggleston, H.G.; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96(2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства. Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Ярчоу, Ханс (1981). Локально выпуклые пространства. Штутгарт: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Кёте, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, Д.Дж.Х. Нью-Йорк: Springer Science Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Рудин, Вальтер (январь 1991 г.). Функциональный анализ. McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Swartz, Charles (1992). Введение в функциональный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Trèves, François (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.