Неограниченный оператор

редактировать

В математике, в частности, функциональном анализе и теории операторов понятие неограниченного оператора обеспечивает абстрактную основу для работы с дифференциальными операторами, неограниченными наблюдаемыми в квантовой механике и другими случаями.

Термин «неограниченный оператор» может вводить в заблуждение, поскольку

«неограниченный» иногда следует понимать как «необязательно ограниченный»;
«оператор» следует понимать как «линейный оператор "(как в случае" ограниченного оператора ");
область определения оператора - это линейное подпространство, не обязательно все пространство;
это линейное подпространство не обязательно закрыто; часто (но не всегда) предполагается, что он плотный;
в частном случае ограниченного оператора, тем не менее, область обычно считается всем пространством.

В отличие от ограниченные операторы, неограниченные операторы в данном пространстве не образуют алгебру или даже линейное пространство, потому что каждый из них определен в своей собственной области.

Термин «оператор» часто означает «ограниченный линейный оператор», но в контексте этой статьи он означает «неограниченный оператор» с оговорками, сделанными выше. Предполагается, что данное пространство является гильбертовым пространством. Возможны некоторые обобщения банаховых пространств и более общих топологических векторных пространств.

Содержание

1 Краткая история
2 Определения и основные свойства
3 Пример
4 Сложенный
5 Транспонирование
6 Замкнутые линейные операторы
- 6.1 Пример
7 Симметричный операторы и самосопряженные операторы
8 Связанные с расширением
9 Важность самосопряженных операторов
10 См. также
11 Примечания
12 Ссылки

Краткая история

Теория неограниченных операторов развивалась в конце 1920-х - начале 1930-х годов как часть разработки строгой математической основы квантовой механики. Развитие теории принадлежит Джону фон Нейману и Маршаллу Стоуну. Фон Нейман представил использование графов для анализа неограниченных операторов в 1936 году.

Определения и основные свойства

Пусть X, Y будут банаховыми пространствами. Неограниченный оператор (или просто оператор) T: X → Y - это линейное отображение T из линейного подпространства D (T) ⊆ X - области определения T - в пространство Y. Вопреки обычному соглашению, T не может быть определен на всем пространстве X. Два оператора равны, если они имеют общую область определения и совпадают в этой общей области.

Оператор T называется закрытый, если его граф Γ (T) является закрытым множеством. (Здесь граф Γ (T) является линейным подпространством прямой суммы X ⊕ Y, определяемой как множество всех пар (x, Tx), где x пробегает область определения T). В явном виде это означает, что для каждой последовательности {x n } точек из области определения T такой, что x n → x и Tx n → y, она выполняется, что x принадлежит области определения T и Tx = y. Замкнутость также можно сформулировать в терминах нормы графа: оператор T замкнут тогда и только тогда, когда его область определения D (T) является полным пространством относительно нормы:

‖ x ‖ Т знак равно ‖ Икс ‖ 2 + ‖ Т х ‖ 2. {\ displaystyle \ | x \ | _ {T} = {\ sqrt {\ | x \ | ^ {2} + \ | Tx \ | ^ {2}}}.}

\ | x \ | _T = \ sqrt {\ | x \ | ^ 2 + \ | Tx \ | ^ 2}.

Оператор T называется плотно определенный, если его домен плотный в X. Это также включает операторы, определенные на всем пространстве X, поскольку все пространство плотно само по себе. Плотность области необходима и достаточна для существования сопряженного (если X и Y - гильбертовы пространства) и транспонирования; см. разделы ниже.

Если T: X → Y замкнут, плотно определен и непрерывен в своей области определения, то его область определения - это все X.

Плотно определенный оператор T на Гильбертово пространство H называется ограниченным снизу, если T + a является положительным оператором для некоторого действительного числа a. То есть ⟨Tx | x⟩ ≥ −a || x || для всех x в области определения T (или, альтернативно, ⟨Tx | x⟩ ≥ a || x ||, поскольку a произвольно). Если и T, и −T ограничены снизу, то T ограничена.

Пример

Пусть C ([0, 1]) обозначает пространство непрерывных функций на единичном интервале, и пусть C ([0, 1]) обозначает пространство непрерывно дифференцируемых функций. Мы снабжаем $C ([0, 1]) {\ displaystyle C ([0,1])}$ $C ([0,1])$ нормой супремума, $‖ ⋅ ‖ ∞ {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$ , что делает его банаховым пространством. Определим классический оператор дифференцирования d / dx: C ([0, 1]) → C ([0, 1]) по обычной формуле:

(ddxf) (x) = lim h → 0 f (x + h) - f (x) h, ∀ x ∈ [0, 1]. {\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dx}} f \ right) (x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} { h}}, \ qquad \ forall x \ in [0,1].}

\ left (\ frac {d} {dx } f \ right) (x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) - f (x)} {h}, \ qquad \ forall x \ in [0, 1].

Каждая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому C ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]). Мы утверждаем, что d / dx: C ([0, 1]) → C ([0, 1]) - корректно определенный неограниченный оператор с областью определения C ([0, 1]). Для этого нам нужно показать, что $ddx {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}}$ ${\ frac {d} {dx}}$ линейно, а затем, например, показать некоторые ${fn} n ⊂ C 1 ([0, 1]) {\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n} \ subset C ^ {1} ([0,1])}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n} \ subset C ^ {1} ([0,1])}$ такой, что $‖ Fn ‖ ∞ знак равно 1 {\ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty} = 1}$ ${ \ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty} = 1}$ и $sup n ‖ ddxfn ‖ ∞ = + ∞ {\ displaystyle \ sup _ {n} \ | {\ frac {d} {dx}} f_ {n} \ | _ {\ infty} = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ sup _ {n} \ | {\ frac {d} {dx}} f_ {n} \ | _ {\ infty} = + \ infty}$ .

Это линейный оператор, поскольку линейная комбинация af + bg двух непрерывно дифференцируемые функции f, g также непрерывно дифференцируемы, и

(ddx) (af + bg) = a (ddxf) + b (ddxg). {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {d} {dx}} \ right) (af + bg) = a \ left ({\ tfrac {d} {dx}} f \ right) + b \ left ({\ tfrac {d} {dx}} g \ right).}

\ left (\ tfrac {d} {dx} \ right) (af + bg) = a \ left (\ tfrac {d} {dx} f \ right) + b \ left (\ tfrac {d} {dx} g \ right).

Оператор не ограничен. Например,

{fn: [0, 1] → [- 1, 1] fn (x) = sin ⁡ (2 π nx) {\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {n}: [0, 1] \ to [-1,1] \\ f_ {n} (x) = \ sin (2 \ pi nx) \ end {ases}}}

\ begin {cases} f_n: [0, 1] \ to [-1, 1] \\ f_n (x) = \ sin (2 \ pi nx) \ end {cases}

удовлетворяет

‖ fn ‖ ∞ = 1, { \ displaystyle \ left \ | f_ {n} \ right \ | _ {\ infty} = 1,}

{\ displaystyle \ left \ | f_ {n} \ right \ | _ {\ infty} = 1,}

но

‖ (ddxfn) ‖ ∞ = 2 π n → ∞ {\ displaystyle \ left \ | \ left ({\ tfrac {d} {dx}} f_ {n} \ right) \ right \ | _ {\ infty} = 2 \ pi n \ to \ infty}

{\ displaystyle \ left \ | \ left ({\ tfrac {d} {dx}} f_ {n} \ right) \ right \ | _ {\ infty} = 2 \ pi n \ to \ infty}

при $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ .

Оператор четко определен и закрыт.

Один и тот же оператор можно рассматривать как оператор Z → Z для многих вариантов выбора банахова пространства Z, и он не может быть ограничен ни одним из них. В то же время его можно ограничить как оператор X → Y для других пар банаховых пространств X, Y, а также как оператор Z → Z для некоторых топологических векторных пространств Z. Пусть, например, I ⊂ R будет открытым интервалом и рассмотрим

ddx: (C 1 (I), ‖ ⋅ ‖ C 1) → (C (I), ‖ ⋅ ‖ ∞), {\ displaystyle {\ frac {d} {dx }}: \ left (C ^ {1} (I), \ | \ cdot \ | _ {C ^ {1}} \ right) \ to \ left (C (I), \ | \ cdot \ | _ { \ infty} \ right),}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}: \ left (C ^ {1} (I), \ | \ cdot \ | _ {C ^ {1}} \ right) \ to \ left (C (I), \ | \ cdot \ | _ {\ infty} \ right),}

где:

‖ f ‖ C 1 = ‖ f ‖ ∞ + ‖ f ′ ‖ ∞. {\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {1}} = \ | f \ | _ {\ infty} + \ | f '\ | _ {\ infty}.}

\| f \|_{C^1} = \| f \|_{\infty} + \| f' \|_{\infty}.

Смежный

Сопряженный к неограниченному оператору можно определить двумя эквивалентными способами. Пусть T: D (T) ⊆ H 1 → H 2 - неограниченный оператор между гильбертовыми пространствами.

Во-первых, это можно определить аналогично тому, как определяют сопряженный оператор ограниченного оператора. А именно, сопряженный T: D (T) ⊆ H 2 → H 1 к T определяется как оператор со свойством:

⟨T x ∣ y⟩ 2 = ⟨X ∣ T ∗ y⟩ 1, x ∈ D (T). {\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle _ {2} = \ left \ langle x \ mid T ^ {*} y \ right \ rangle _ {1}, \ qquad x \ in D (T).}

\ langle Tx \ mid y \ rangle_2 = \ left \ langle x \ mid T ^ * y \ right \ rangle_1, \ qquad x \ in D (T).

Точнее, T определяется следующим образом. Если y ∈ H 2 таково, что $x ↦ ⟨T x ∣ y⟩ {\ displaystyle x \ mapsto \ langle Tx \ mid y \ rangle}$ $x \ mapsto \ langle Tx \ mid y \ rangle$ является непрерывным линейным функционал на области определения T, то y объявляется элементом D (T), и после расширения линейного функционала на все пространство с помощью теоремы Хана – Банаха можно найти az в H 1 такой, что

⟨T x ∣ y⟩ 2 = ⟨x ∣ z⟩ 1, x ∈ D (T), {\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle _ {2 } = \ langle x \ mid z \ rangle _ {1}, \ qquad x \ in D (T),}

\ langle Tx \ mid y \ rangle_2 = \ langle x \ mid z \ rangle_1, \ qquad x \ in D (T),

, поскольку двойственное гильбертову пространство можно отождествить с набором линейных функционалов, заданных внутренним произведением. Для каждого y, z определяется однозначно тогда и только тогда, когда расширенный линейный функционал был плотно определен; т.е. если T плотно определен. Наконец, если положить T y = z, построение T завершается. Обратите внимание, что T существует тогда и только тогда, когда T плотно определен.

По определению, область T состоит из элементов y в H 2 таких, что $x ↦ ⟨T x ∣ y⟩ {\ displaystyle x \ mapsto \ langle Tx \ mid y \ rangle}$ $x \ mapsto \ langle Tx \ mid y \ rangle$ непрерывно в области T. Следовательно, область T может быть чем угодно; он может быть тривиальным (т.е. содержать только ноль). Может случиться так, что область T представляет собой замкнутую гиперплоскость и T обращается в нуль всюду на области. Таким образом, ограниченность T на его области определения не влечет ограниченности T. С другой стороны, если T определено на всем пространстве, то T ограничено на его области определения и поэтому может быть продолжено по непрерывности до ограниченного оператора на всем пространстве.. Если область T плотная, то она имеет сопряженный T. Замкнутый плотно определенный оператор T ограничен тогда и только тогда, когда T ограничен.

Другое эквивалентное определение сопряженного может быть получено, если обратить внимание на общий факт. Определите линейный оператор J следующим образом:

{J: H 1 ⊕ H 2 → H 2 ⊕ H 1 J (x ⊕ y) = - y ⊕ x {\ displaystyle {\ begin {cases} J: H_ {1 } \ oplus H_ {2} \ to H_ {2} \ oplus H_ {1} \\ J (x \ oplus y) = - y \ oplus x \ end {cases}}}

\ begin {cases} J: H_1 \ oplus H_2 \ to H_2 \ oplus H_1 \\ J (x \ oplus y) = -y \ oplus x \ end {case}

Поскольку J - изометрическая сюръекция, она унитарна. Следовательно: J (Γ (T)) является графиком некоторого оператора S тогда и только тогда, когда T плотно определен. Простое вычисление показывает, что этот "некоторый" S удовлетворяет:

⟨T x ∣ y⟩ 2 = ⟨x ∣ S y⟩ 1, {\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle _ {2} = \ langle x \ mid Sy \ rangle _ {1},}

\ langle Tx \ mid y \ rangle_2 = \ langle x \ mid Sy \ rangle_1,

для любого x в области определения T. Таким образом, S является сопряженным к T.

Непосредственно из приведенного выше определения следует, что сопряженный T является закрыто. В частности, самосопряженный оператор (т. Е. T = T) замкнут. Оператор T замкнут и плотно определен тогда и только тогда, когда T = T.

Некоторые хорошо известные свойства ограниченных операторов обобщаются на замкнутые плотно определенные операторы. Ядро замкнутого оператора замкнуто. Более того, ядро замкнутого плотно определенного оператора T: H 1 → H 2 совпадает с ортогональным дополнением образа сопряженного. То есть

ker ⁡ (T) = ran ⁡ (T ∗) ⊥. {\ displaystyle \ operatorname {ker} (T) = \ operatorname {ran} (T ^ {*}) ^ {\ bot}.}

\ operatorname {ker} (T) = \ operatorname {ran} (T ^ *) ^ \ bot.

Теорема фон Неймана утверждает, что TT и TT самосопряжены, и что I + TT и I + TT имеют ограниченные обратные. Если T имеет тривиальное ядро, T имеет плотный диапазон (в соответствии с указанным выше тождеством). Более того:

T сюръективно тогда и только тогда, когда существует K>0 такое, что || f || 2 ≤ K || T f || 1 для всех f в D (T). (По сути, это вариант так называемой теоремы о закрытом диапазоне.) В частности, T имеет закрытый диапазон тогда и только тогда, когда T имеет закрытый диапазон.

В отличие от ограниченного случая, это не обязательно, чтобы (TS) = ST, поскольку, например, возможно даже, что (TS) не существует. Однако это так, если, например, T ограничен.

Плотно определенный замкнутый оператор T называется нормальным, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

TT = TT;
область определения T равна области определения T, и || Tx || = || T x || для каждого x в этой области;
существуют самосопряженные операторы A, B такие, что T = A + iB, T = A - iB и || Tx || = || Ax || + || Bx || для любого x в области определения T.

Каждый самосопряженный оператор нормален.

Транспонировать

Пусть T: B 1 → B 2 будет оператором между банаховыми пространствами. Затем транспонирует (или двойное) $T ′: B 2 ∗ → B 1 ∗ {\ displaystyle T ': {B_ {2}} ^ {*} \ to {B_ {1}} ^ {*}}$ $T ': {B_2}^* \to {B_1}^*$ из T - оператор, удовлетворяющий:

⟨T x, y ′⟩ = ⟨x, T ′ y ′⟩ {\ displaystyle \ langle Tx, y '\ rangle = \ langle x, T'y '\ rangle}

\langle T x, y' \rangle = \langle x, T' y' \rangle

для всех x в B 1 и y в B 2. Здесь мы использовали обозначение: $⟨x, x ′⟩ = x ′ (x) {\ displaystyle \ langle x, x '\ rangle = x' (x)}$ $\langle x, x' \rangle = x'(x)$ .

Необходимое и достаточное условие для транспонирование T для существования состоит в том, что T плотно определено (по существу, по той же причине, что и для присоединений, как обсуждалось выше).

Для любого гильбертова пространства H существует антилинейный изоморфизм:

J : H ∗ → H {\ displaystyle J: H ^ {*} \ to H}

J: H ^ * \ to H

, задаваемое формулой Jf = y, где $f (x) = ⟨x ∣ y⟩ H, (x ∈ H) {\ displaystyle f (x) = \ langle x \ mid y \ rangle _ {H}, (x \ in H)}$ $f (x) = \ langle x \ mid y \ rangle_H, (x \ in H)$ . Благодаря этому изоморфизму транспонированный T относится к присоединенному T следующим образом:

T ∗ = J 1 T ′ J 2 - 1 {\ displaystyle T ^ {*} = J_ {1} T'J_ {2} ^ {- 1}}

T^* = J_1 T' J_2^{-1}

где $J j: H j ∗ → H j {\ displaystyle J_ {j}: H_ {j} ^ {*} \ to H_ {j}}$ $J_j: H_j ^ * \ to H_j$ . (Для конечномерного случая это соответствует тому факту, что сопряженная матрица является сопряженным транспонированием.) Обратите внимание, что это дает определение сопряженного в терминах транспонирования.

Замкнутые линейные операторы

Замкнутые линейные операторы - это класс линейных операторов в банаховых пространствах. Они более общие, чем ограниченные операторы, и, следовательно, не обязательно непрерывные, но они по-прежнему сохраняют достаточно хорошие свойства, чтобы можно было определить спектр и (при определенных предположениях) функциональное исчисление для таких операторов. Многие важные линейные операторы, которые не могут быть ограничены, оказываются замкнутыми, например, производная и большой класс дифференциальных операторов.

Пусть X, Y - два банаховых пространства. линейный оператор A: D (A) ⊆ X → Y является закрытым, если для каждой последовательности {xn} в D (A) сходится к x в X таким, что Ax n → y ∈ Y при n → ∞, x ∈ D (A) и Ax = y. Эквивалентно, A замкнут, если его граф является замкнутым в прямой сумме X ⊕ Y.

Учитывая линейный оператор A, не обязательно замкнут, если замыкание его графика в X ⊕ Y оказывается графиком некоторого оператора, этот оператор называется замыканием оператора A, и мы говорим, что A закрываемый . Обозначим замыкание A через A. Отсюда следует, что A - это ограничение A на D (A).

A ядро (или существенный домен ) закрываемого оператора - это подмножество C из D (A), такое что закрытие ограничения от A до C равно A.

Пример

Рассмотрим оператор производной A = d / dx, где X = Y = C ([a, b]) - банахово пространство всех непрерывные функции на интервале [a, b]. Если взять его область определения D (A) как C ([a, b]), то A - замкнутый оператор, который не ограничен. С другой стороны, если D (A) = C ([a, b]), то A больше не будет закрытым, но будет закрываемым, причем замыкание будет его расширением, определенным на C ([ а, б]).

Симметричные операторы и самосопряженные операторы

Оператор T в гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда для каждого x и y в области определения T выполняется $⟨T x ∣ Y⟩ знак равно ⟨Икс ∣ T Y⟩ {\ displaystyle \ langle Tx \ mid y \ rangle = \ langle x \ mid Ty \ rangle}$ $\ langle Tx \ mid y \ rangle = \ lang x \ mid Ty \ rang$ . Плотно определенный оператор T является симметричным тогда и только тогда, когда он согласуется со своим сопряженным T, ограниченным областью определения T, другими словами, когда T является расширением T.

В общем случае, если T плотно определен и симметричный, область определения сопряженного T не обязательно должна совпадать с областью определения T. Если T симметрична и область определения T и область сопряженного совпадают, то мы говорим, что T самосопряженный. Заметим, что, когда T самосопряженный, из существования сопряженного следует, что T плотно определен, а поскольку T обязательно замкнуто, T замкнуто.

Плотно определенный оператор T является симметричным, если подпространство Γ (T) (определенное в предыдущем разделе) ортогонально его образу J (Γ (T)) относительно J (где J (x, y) : = (y, -x)).

Эквивалентно, оператор T является самосопряженным, если он плотно определен, замкнут, симметричен и удовлетворяет четвертому условию: оба оператора T - i, T + i сюръективны, то есть отображают область определения T на все пространство H. Другими словами: для каждого x в H существуют y и z в области определения T такие, что Ty - iy = x и Tz + iz = x.

Оператор T является самосопряженным, если два подпространства Γ (T), J (Γ (T)) ортогональны и их сумма составляет все пространство $H ⊕ H. {\ displaystyle H \ oplus H.}$ $H \ oplus H.$

Этот подход не распространяется на неплотно определенные замкнутые операторы. Неплотно определенные симметрические операторы могут быть определены напрямую или через графы, но не через сопряженные операторы.

Симметричный оператор часто изучается с помощью его преобразования Кэли.

Оператор T в комплексном гильбертовом пространстве является симметричным тогда и только тогда, когда его квадратичная форма действительна, то есть число $⟨T x ∣ x⟩ {\ displaystyle \ langle Tx \ mid x \ rangle}$ $\ langle Tx \ mid x \ rangle$ реально для всех x в области T.

плотно определенный замкнутый симметричный оператор T сам -сопряженный тогда и только тогда, когда T симметричен. Может случиться так, что это не так.

Плотно определенный оператор T называется положительным (или неотрицательным), если его квадратичная форма неотрицательна, то есть $⟨T x ∣ x⟩ ≥ 0 {\ displaystyle \ langle Tx \ mid x \ rangle \ geq 0}$ $\ langle Tx \ mid x \ rangle \ ge 0$ для всех x в области определения T. Такой оператор обязательно симметричен.

Оператор TT является самосопряженным и положительным для каждого плотно определенного замкнутого T.

спектральная теорема применима к самосопряженным операторам и, более того, к нормальным операторам, но не к плотно определенным замкнутым операторам в целом, поскольку в этом случае спектр может быть пустым.

Симметричный оператор, определенный всюду, замкнут, поэтому ограничен, что является теоремой Хеллингера – Теплица.

Связано с расширением

По определению оператор T является расширением оператора S, если Γ (S) ⊆ Γ (T). Эквивалентное прямое определение: для каждого x в области определения S, x принадлежит области определения T и Sx = Tx.

Обратите внимание, что везде определенное расширение существует для каждого оператора, что является чисто алгебраическим объясненным фактом at Разрывное линейное отображение # Общая теорема существования и основанная на аксиоме выбора . Если данный оператор не ограничен, то расширение является разрывным линейным отображением. От него мало пользы, так как он не может сохранить важные свойства данного оператора (см. Ниже) и обычно не уникален.

Оператор T называется закрываемым, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

T имеет замкнутое расширение;
замыкание графика T является графиком некоторого оператора;
для каждой последовательности (x n) точек из области T, такой что x n → 0, а также Tx n → y it утверждает, что y = 0.

Не все операторы закрываются.

Закрываемый оператор T имеет наименее закрытое расширение $T ¯ {\ displaystyle {\ overline {T}}}$ $\ overline T$ называется замыканием T. Замыкание графика T равно графику $T ¯. {\ displaystyle {\ overline {T}}.}$ $\ overline T.$

Могут существовать другие неминимальные замкнутые расширения.

Плотно определенный оператор T закрывается тогда и только тогда, когда T плотно определен. В этом случае $T ¯ = T ∗ ∗ {\ displaystyle {\ overline {T}} = T ^ {**}}$ $\ overline T = T ^ {**}$ и $(T ¯) ∗ = T ∗. {\ displaystyle ({\ overline {T}}) ^ {*} = T ^ {*}.}$ $(\ overline T) ^ * = Т ^ *.$

Если S плотно определен и T является расширением S, то S является расширением T.

Каждый симметричный оператор замыкаем.

Симметричный оператор называется максимальным симметричным, если он не имеет симметрических расширений, кроме самого себя.

Каждый самосопряженный оператор является максимальным симметричным. Обратное неверно.

Оператор называется по существу самосопряженным, если его замыкание является самосопряженным.

Оператор по существу самосопряженный тогда и только тогда, когда он имеет один и только один самосопряженное расширение.

Симметричный оператор может иметь более одного самосопряженного расширения и даже их континуум.

Плотно определенный симметричный оператор T по существу самосопряженный, если и только если оба оператора T - i, T + i имеют плотный диапазон значений.

Пусть T - плотно определенный оператор. Обозначая отношение «T является расширением S» через S ⊂ T (обычное сокращение для Γ (S) ⊆ Γ (T)), мы получаем следующее:

Если T симметричный, то T ⊂ T ⊂ T.
Если T замкнуто и симметрично, то T = T ⊂ T.
Если T самосопряженное, то T = T = T.
Если T по существу самосопряженное тогда T ⊂ T = T.

Важность самосопряженных операторов

Класс самосопряженных операторов особенно важен в математической физике. Каждый самосопряженный оператор плотно определен, замкнут и симметричен. Обратное верно для ограниченных операторов, но в общем случае неверно. Самосопряженность существенно более ограничивает, чем эти три свойства. Знаменитая спектральная теорема верна для самосопряженных операторов. В сочетании с теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах он показывает, что самосопряженные операторы являются в точности инфинитезимальными генераторами сильно непрерывных однопараметрических унитарных групп, см. Самосопряженный оператор # Самосопряженный расширения в квантовой механике. Такие унитарные группы особенно важны для описания временной эволюции в классической и квантовой механике.

См. Также

Примечания

Литература

Березанский Ю.М.; Шефтель, З.Г.; Ус, Г.Ф. (1996), Функциональный анализ, II, Birkhäuser (см. Главу 12 «Общая теория неограниченных операторов в гильбертовых пространствах»).
Брезис, Хайм (1983), Analyze fonctionnelle - Théorie et applications (на французском языке), Париж: Mason
, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Hall, BC (2013), «Глава 9. Неограниченные самосопряженные операторы», Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer, ISBN 978-1461471158
Като, Тосио (1995), «Глава 5. Операторы в гильбертовом пространстве», Теория возмущений для линейных операторов, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
Педерсен, Герт К. (1989), Анализ сейчас, Springer (см. Главу 5 «Неограниченные операторы»)
Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики, 1: Функциональный анализ (исправленное и дополненное изд.), Academic Press (см. Главу 8 «Неограниченные операторы»).
Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Провиденс : Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4660-5.
Йошида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

В этой статье используется материал из закрытого оператора на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.