Расплывчатая топология

редактировать

В математике, особенно в области функционального анализа и топологического векторных пространств, нечеткая топология является примером слабой * топологии, которая возникает при изучении мер на локально компактных Хаусдорфах. пространства.

Пусть X - локально компактное хаусдорфово пространство. Пусть M (X) - пространство комплекса радоновских мер на X, а C 0 (X) обозначает двойственное к C 0 (X), банахово пространство комплексных непрерывных функций на X , исчезающих на бесконечности, снабженное равномерной нормой. По теореме о представлении Рисса M (X) изометрично C 0 (X). Изометрия отображает меру μ в линейный функционал $I μ (f): = ∫ X f d μ. {\ displaystyle I _ {\ mu} (f): = \ int _ {X} f \, d \ mu.}$ $I _ {\ mu} (f): = \ int _ {X} f \, d \ mu.$

нечеткая топология - это weak- * топология на C 0 (X). Соответствующая топология на M (X), индуцированная изометрией из C 0 (X), также называется нечеткой топологией на M (X). Так, в частности, последовательность мер (μ n)n∈ℕ слабо сходится к мере μ, если для всех тестовых функций f ∈ C 0 (X),

$∫ X fd μ n → ∫ X fd μ. {\ displaystyle \ int _ {X} fd \ mu _ {n} \ to \ int _ {X} fd \ mu.}$ ${\ displaystyle \ int _ {X} fd \ mu _ {n} \ to \ int _ {X} fd \ mu.}$

Также нередко определять расплывчатую топологию по двойственности с непрерывными функциями, имеющими компактный носитель C c (X), т. е. последовательность мер (μ n)n∈56 неопределенно сходится к мере μ, если указанная выше сходимость выполняется для всех тестов функции f ∈ C c (X). Эта конструкция порождает другую топологию. В частности, топология, определяемая двойственностью с C c (X), может быть метризуемой, тогда как топология определяется двойственностью с C 0 (X) не является.

Одно из приложений этого - теория вероятностей : например, центральная предельная теорема по сути является утверждением, что если μ n являются вероятностными мерами для определенных сумм независимых случайных величин, то μ n сходятся слабо (а и затем неопределенно) к нормальному распределению, то есть мера μ n является "приблизительно нормальной" для больших n.

Ссылки

Дьедонне, Жан (1970), «§13.4. Расплывчатая топология», Трактат по анализу, II, Academic Press.
G. Б. Фолланд, Реальный анализ: современные методы и их приложения, 2-е изд., John Wiley Sons, Inc., 1999.

Эта статья включает материал из топологии Weak- * пространства радоновых мер на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.