Исчезновение на бесконечности

редактировать

В математике, функция на нормированном векторе. Говорят, что пространство исчезает на бесконечности, если

f (x) → 0 {\ displaystyle f (x) \ to 0}

f (x) \ до 0

‖ x ‖ → ∞. {\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty.}

\ | x \ | \ to \ infty.

Например, функция

f (x) = 1 x 2 + 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} { x ^ {2} +1}}}

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

, определенный на вещественной прямой , исчезает на бесконечности. То же самое относится к функции

h (x, y) = 1 x + y {\ displaystyle h (x, y) = {\ frac {1} {x + y}}}

{\ displaystyle h (x, y) = {\ frac {1} {x + y}}}

где $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ действительны и соответствуют точке $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ на $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ .

В более общем смысле, функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ на локально компактном пространстве (которое может иметь или не иметь нормы) исчезает на бесконечности, если задано любое положительное число $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ , существует компактное подмножество $K {\ displaystyle K}$ $K$ такое, что

‖ f (x) ‖ < ϵ {\displaystyle \|f(x)\|<\epsilon }

\ | f (x) \ | <\ epsilon

всякий раз, когда точка $x {\ displaystyle x}$ $x$ лежит за пределами $K {\ displaystyle K}$ $K$ .

Другими словами, для каждого положительного числа $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ множество ${x ∈ X: ‖ е (x) ‖ ≥ ϵ} {\ displaystyle \ left \ {x \ in X: \ | f (x) \ | \ geq \ epsilon \ right \}}$ $\ влево \ {x \ в X: \ | f (x) \ | \ ge \ epsilon \ right \}$ является компактным.. Для данного локально компактного пространства $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , набор таких функций

f: Ω → K {\ displaystyle f: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {K}}

f: \ Омега \ rightarrow \ mathbb {K}

(где $K {\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ равно $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ или $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ) образует $K {\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ -векторное пространство относительно точечно скалярное умножение и сложение, часто обозначаемое $C 0 (Ω) {\ displaystyle C_ {0} (\ Omega)}$ $C _ {{0}} (\ Omega)$ .

Здесь обратите внимание, что два определения могут быть несовместимыми друг с другом: если $f (x) = ‖ x ‖ - 1 {\ displaystyle f (x) = \ | x \ | ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f (x) = \ | x \ | ^ {- 1}}$ в бесконечномерном банаховом пространстве, тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ исчезает на бесконечности на $‖ f (x) ‖ → 0 {\ displaystyle \ | f (x) \ | \ to 0}$ ${\ displaystyle \ | f (x) \ | \ to 0}$ определение, но не определение компакта.

Помимо этого различия, оба эти понятия соответствуют интуитивному понятию добавления точки на бесконечности и требованию, чтобы значения функции были сколь угодно близкими к нулю по мере приближения к ней. Это определение можно формализовать во многих случаях, добавив (фактическую) точку на бесконечности.

Содержание

1 Быстро убывающее
2 См. Также
3 Ссылки
4 Библиография

Быстро уменьшение

Уточняя концепцию, можно более внимательно рассмотреть скорость исчезновения функций на бесконечности. Одна из основных интуиций математического анализа состоит в том, что преобразование Фурье меняет местами условия гладкости с условиями скорости при обращении в нуль на бесконечности. быстро убывающие тестовые функции теории умеренного распределения - это гладкие функции, которые

O (| x | - N) {\ displaystyle O (| x | ^ {- N})}

{\ displaystyle O (| x | ^ {- N})}

для всех $N {\ displaystyle N}$ $N$ , как $| х | → ∞ {\ displaystyle | x | \ to \ infty}$ $| x | \ to \ infty$ , и такие, что все их частные производные также удовлетворяют тому же условию. Это условие устанавливается таким образом, чтобы оно было самодуальным при преобразовании Фурье, так что соответствующая теория распределения умеренных распределений будет иметь такое же хорошее свойство.

См. Также

Ссылки

^«Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - исчезновение». Математическое хранилище. 2019-08-01. Проверено 15 декабря 2019 г.
^«Функция, исчезающая в бесконечности - энциклопедия математики». www.encyclopediaofmath.org. Проверено 15 декабря 2019 г.
^"Исчезновение в бесконечности в nLab". ncatlab.org. Проверено 15 декабря 2019.
^"Исчезновение в бесконечности". planetmath.org. Проверено 15 декабря 2019 г.

Библиография

Хьюитт, Э. и Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ. Springer-Verlag. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )