Проективно расширенная реальная линия

редактировать

Проективно расширенная реальная линия может быть визуализирована как линия вещественного числа, обернутая вокруг круга (с помощью некоторой формы стереографическая проекция ) с дополнительной точкой на бесконечности.

В реальном анализе, проективно расширенная вещественная линия (также называемая одноточечной компактификацией вещественной строки ), является расширением набора вещественных чисел, $R, {\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ ma thbb {R},}$ точкой, обозначенной ∞. Таким образом, это набор $R ∪ {∞} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$ $\ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}$ с расширенными стандартными арифметическими операциями, где это возможно, и иногда обозначается $Р ^. {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}.$ Добавленная точка называется бесконечно удаленной точкой, потому что она считается соседом обоих заканчивается реальной строки. Точнее, бесконечно удаленная точка - это предел каждой последовательности действительных чисел, абсолютные значения которых увеличиваются, а неограничен.

Проективно расширенный Реальная линия может быть отождествлена с проективной линией над реалами, в которых трем точкам были присвоены определенные значения (например, 0, 1 и ∞). Проективно расширенную вещественную прямую не следует путать с прямой расширенной вещественной прямой, в которой + ∞ и −∞ различны.

Содержание

1 Деление на ноль
2 Расширения вещественной линии
3 Порядок
4 Геометрия
5 Арифметические операции
- 5.1 Мотивация для арифметических операций
- 5.2 Арифметические операции которые определены
- 5.3 Арифметические операции, которые не определены
6 Алгебраические свойства
7 Интервалы и топология
8 Интервальная арифметика
9 Исчисление
- 9.1 Окрестности
- 9.2 Пределы
  - 9.2.1 Основные определения пределов
  - 9.2.2 Сравнение с пределами в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
  - 9.2.3 Расширенное определение пределов
- 9.3 Непрерывность
10 Как проективный диапазон
11 Примечания
12 См. также
13 Внешние ссылки

Деление на ноль

В отличие от большинства математических моделей интуитивного понятия «число», эта структура позволяет деление на ноль :

a 0 = ∞ {\ displaystyle {\ frac {a} {0}} = \ infty}

{\ frac {a} {0}} = \ infty

для ненулевого a. В частности, 1/0 = ∞ и, более того, 1 / ∞ = 0, что делает обратной величиной, 1 / x, общей функцией в этой структуре. Однако структура не является полем , и ни одна из двоичных арифметических операций не является полной, о чем свидетельствует, например, неопределенность 0⋅∞, несмотря на то, что обратная величина является общей. Однако у него есть полезные интерпретации - например, в геометрии вертикальная линия имеет бесконечный наклон.

Продолжение действительной прямой

Проективно удлиненная действительная линия расширяет поле из действительных чисел так же, как сфера Римана расширяет поле комплексных чисел, добавляя единственную точку, которая обычно называется $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ .

Напротив, расширенная линия вещественных чисел (также называемая двухточечной компактификацией реальной линии) различает $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ и $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ .

Order

Отношение порядка не может быть расширено до $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ осмысленным образом. Для числа $a ≠ ∞ {\ displaystyle a \ neq \ infty}$ ${\ displaystyle a \ neq \ infty}$ нет убедительного аргумента для определения либо $a>∞ {\ displaystyle a>\ infty}$ $a>\ infty$ или то <40>. Поскольку $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ нельзя сравнивать ни с одним из других элементов, нет смысла сохранять это отношение на $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ . Однако порядок на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ используется в определениях в $R ^ { \ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ .

Геометрия

В основе идеи о том, что ∞ является точкой, не отличающейся от любой другой, является то, как реальная проективная линия является однородное пространство, фактически гомеоморфное окружности . Например, общая линейная группа вещественных обратимых матриц размером 2 × 2 имеет переход Ve действие на это. Групповое действие может быть выражено с помощью преобразований Мёбиуса (также называемых дробно-линейными преобразованиями) с пониманием того, что, когда знаменатель дробно-линейного преобразования равен 0, изображение равно ∞.

Подробный анализ действия показывает, что для любых трех различных точек P, Q и R существует дробно-линейное преобразование, переводящее P в 0, Q в 1 и R в ∞, то есть группу дробно-линейные преобразования - это троекратное переходное на действительной проективной прямой. Это не может быть расширено до 4-х кортежей точек, потому что перекрестное отношение является инвариантным.

Терминология проективная линия подходит, потому что точки находятся во взаимно-однозначном соответствии с одномерными линейными подпространствами из $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ .

Арифметические операции

Мотивация для арифметических операций

Арифметические операции над этим пространством являются расширением тех же операций над вещественными числами. Мотивация для новых определений - пределы функций действительных чисел.

Арифметические операции, которые определены

В дополнение к стандартным операциям над подмножеством $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ из $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ , следующие операции определены для $a ∈ R ^ {\ displaystyle a \ in {\ widehat {\ mathbb {R }}}}$ ${\ displaystyle a \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ , с указанными исключениями:

a + ∞ = ∞ + a = ∞, a ≠ ∞ a - ∞ = ∞ - a = ∞, a ∞ a / ∞ = a ⋅ 0 знак равно 0 ⋅ a = 0, a ≠ ∞ ∞ / a = ∞, a ≠ ∞ a / 0 = a ⋅ ∞ = ∞ ⋅ a = ∞, a ≠ 0 0 / a = 0, a ≠ 0 {\ displaystyle {\ begin {align} a + \ infty = \ infty + a = \ infty, a \ neq \ infty \\ a- \ infty = \ infty -a = \ infty, a \ neq \ infty \\ a / \ infty = a \ cdot 0 = 0 \ cdot a = 0, a \ neq \ infty \\\ infty / a = \ infty, a \ neq \ infty \\ a / 0 = a \ cdot \ infty = \ infty \ cdot a = \ infty, a \ neq 0 \\ 0 / a = 0, a \ neq 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a + \ infty = \ infty + a = \ infty, a \ neq \ infty \\ a- \ infty = \ infty -a = \ infty, a \ neq \ infty \\ a / \ infty = a \ cdot 0 = 0 \ cdot a = 0, a \ neq \ infty \\\ infty / a = \ infty, a \ neq \ infty \\ a / 0 = a \ cdot \ infty = \ infty \ cdot a = \ infty, a \ neq 0 \\ 0 / a = 0, a \ neq 0 \ end {align}}}

Неопределенные арифметические операции

Следующие выражения нельзя мотивировать, учитывая ограничения реальных функций, и никакое их определение не позволяет формулировка стандартных алгебраических свойств, которые должны оставаться неизменными по форме для всех определенных случаев. Следовательно, они остаются неопределенными:

∞ + ∞ ∞ - ∞ ∞ ⋅ 0 0 ⋅ ∞ ∞ / ∞ 0/0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ infty + \ infty \\ \ infty - \ infty \\ \ infty \ cdot 0 \\ 0 \ cdot \ infty \\ \ infty / \ infty \\ 0/0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ infty + \ infty \\ \ infty - \ infty \\ \ infty \ cdot 0 \\ 0 \ cdot \ infty \\ \ infty / \ infty \\ 0/0 \ end {align}}}

Алгебраические свойства

Следующие равенства означает: либо обе стороны не определены, либо обе стороны определены и равны. Это верно для любых $a, b, c ∈ R ^ {\ displaystyle a, b, c \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ $a, b, c \ в {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ .

(a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) a ⋅ b = b ⋅ aa ⋅ ∞ = a 0 {\ displaystyle {\ begin {align} ( a + b) + c = a + (b + c) \\ a + b = b + a \\ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) \\ a \ cdot b = b \ cdot a \\ a \ cdot \ infty = {\ frac {a} {0}} \\\ end {align}}}

{\ begin {align} (a + b) + c = a + (b + c) \ \ a + b = b + a \\ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) \\ a \ cdot b = b \ cdot a \\ a \ cdot \ infty = { \ frac {a} {0}} \\\ конец {выровнен}}

Следующее верно всякий раз, когда правая часть определена, для любого $a, b, c ∈ R ^ {\ displaystyle a, b, c \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ $a, b, c \ в {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ .

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ ca = (ab) ⋅ b = (a ⋅ b) ba = (a + b) - b = (a - b) + b {\ displaystyle {\ begin {выровнено} a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c \\ a = ({\ frac {a} {b}}) \ cdot b = \, \, {\ frac {(a \ cdot b)} {b}} \\ a = (a + b) -b = \, \, (ab) + b \ end {align}}}

{\ begin {align} a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c \\ a = ({\ frac {a} {b}}) \ cdot b = \, \, {\ frac {(a \ cdot b)} { b}} \\ a = (a + b) -b = \, \, (ab) + b \ end {align}}

В общем, все законы арифметики, действительные для $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ также действительны для $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ всякий раз, когда все встречающиеся выражения определено.

Интервалы и топология

Концепцию интервала можно расширить до $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ . Однако, поскольку это неупорядоченный набор, интервал имеет несколько иное значение. Определения для закрытых интервалов следующие (предполагается, что $a, b ∈ R, a < b {\displaystyle a,b\in \mathbb {R},a$ $a, b \ в \ mathbb {R}, a <b$ ):

[a, b] = {x ∣ x ∈ R, a ≤ x ≤ b} [a, ∞] = {x ∣ x ∈ R, a ≤ x} ∪ {∞} [b, a] = {x ∣ x ∈ R, b ≤ x} ∪ {∞} ∪ {x ∣ x ∈ R, x ≤ a} [∞, a] = {∞} ∪ {x ∣ x ∈ R, x ≤ a} [a, a] = {a} [∞, ∞] = {∞} {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ left [a, b \ right] = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, a \ leq x \ leq b \ rbrace \\\ left [a, \ infty \ right] = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, a \ leq x \ rbrace \ cup \ lbrace \ infty \ rbrace \\\ left [b, a \ right] = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, b \ leq x \ rbrace \ cup \ lbrace \ infty \ rbrace \ cup \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, x \ leq a \ rbrace \\\ left [\ infty, a \ right] = \ lbrace \ infty \ rbrace \ cup \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, x \ leq a \ rbrace \\\ left [a, a \ right] = \ {a \ } \\\ left [\ infty, \ infty \ right] = \ lbrace \ infty \ rbrace \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [a, b \ right] = \ lbrace x \ середина x \ in \ mathbb {R}, a \ leq x \ leq b \ rbrace \\\ left [a, \ infty \ right] = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, a \ leq x \ rbrace \ cup \ lbrace \ infty \ rbrace \\\ left [b, a \ right] = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, b \ leq x \ rbrace \ cup \ lbrace \ infty \ rbrace \ cup \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, x \ leq a \ rbrace \\\ left [\ infty, a \ right] = \ lbrace \ infty \ rbrace \ cup \ lbrace x \ середина x \ in \ mathbb {R}, x \ leq a \ rbrace \\\ left [a, a \ right] = \ {a \} \\\ left [\ infty, \ infty \ right] = \ lbrace \ infty \ rbrace \ end {align}}}

За исключением случаев, когда конечные точки равны, соответствующие открытые и полу- открытые интервалы определяются удалением соответствующие конечные точки.

$R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ и пустое множество также являются интервалом, как и $R ^ {\ displaystyle {\ widehat { \ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ за исключением любой отдельной точки.

Открытые интервалы как base определяют топологию на $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ . Для основы достаточно конечных открытых интервалов в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ и интервалов $(b, a) = {x ∣ x ∈ R, b < x } ∪ { ∞ } ∪ { x ∣ x ∈ R, x < a } {\displaystyle (b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R},b для всех a, b ∈ R {\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ таких, что $a < b {\displaystyle a$ $a <b$ .

Как сказано, топология гомеоморфна в круг . Таким образом, это метризуемый, соответствующий (для данного гомеоморфизма) обычной метрике на этой окружности (измеренной либо по прямой, либо по окружности). Нет метрики, которая является расширением обычной метрики на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Интервальная арифметика

Интервальная арифметика расширяется до $R ^ {\ displaystyle { \ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ из $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Результатом арифметической операции над интервалами всегда является интервал, за исключением случаев, когда интервалы с двоичной операцией содержат несовместимые значения, приводящие к неопределенному результату. В частности, для каждого $a, b ∈ R ^ {\ displaystyle a, b \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}}$ $a, b \ in {\ widehat {\ math bb {R}}}$ :

x ∈ [a, b] ⟺ 1 x ∈ [1 b, 1 a], {\ displaystyle x \ in [a, b] \ iff {\ frac {1} {x}} \ in \ left [{\ frac {1} {b}}, {\ frac {1} {a}} \ right],}

{\ displaystyle x \ in [a, b] \ iff {\ frac {1} { x}} \ in \ left [{\ frac {1} {b}}, {\ frac {1} {a}} \ right],}

независимо от того, включает ли какой-либо интервал $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ и $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ .

Исчисление

Инструменты исчисления можно использовать для анализа функций $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ . Определения мотивированы топологией этого пространства.

Окрестности

Пусть $x ∈ R ^, A ⊆ R ^ {\ displaystyle x \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ $x \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ .

A является окрестностью точки x, тогда и только тогда, когда A содержит открытый интервал B и $x ∈ B {\ displaystyle x \ in B}$ $x \ in B$ .
A является правой окрестностью x, если и только если существует $y ∈ R ^ ∖ {x} {\ displaystyle y \ in {\ widehat {\ mathbb {R }}} \ setminus \ {x \}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ setminus \ {x \}}$ такой, что A содержит $[x, y) {\ displaystyle [x, y)}$ $[x, y)$ .
A - это левосторонняя окрестность x, тогда и только тогда, когда существует $y ∈ R ^ ∖ {x} {\ displaystyle y \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ setminus \ {x \}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ setminus \ {x \}}$ такой что A содержит $(y, x] {\ displaystyle (y, x]}$ $(y,x provided$ .
A - (правосторонняя, левосторонняя) проколотая окрестность точки x, если и только если существует $B ⊆ R ^ {\ displaystyle B \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ $B \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ такое, что B является (правой, левой) окрестностью x и $A = B ∖ {x} {\ displaystyle A = B \ se tminus \ {x \}}$ $A = B \ setminus \ {x \}$ .

Пределы

Основные определения пределов

Пусть $f: R ^ → R ^, p ∈ R ^, L ∈ R ^ {\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ in {\ widehat { \ mathbb {R}}}}$ $f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ .

предел для f (x), когда x приближается к p, равен L, обозначаемый

lim x → pf (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}

\ lim _ {х \ к р} {е (х)} = L

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A точки L существует проколотая окрестность B точки p, такая, что $x ∈ B {\ displaystyle x \ in B}$ $x \ in B$ подразумевает $f (x) ∈ A {\ displaystyle f (x) \ in A}$ $f (x) \ в A$ .

односторонний предел f (x) когда x приближается к p справа (слева), это L, обозначается

lim x → p + f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p ^ {+}} {f (x)} = L}

\ lim _ {x \ to p ^ {+}} {f (x)} = L

(lim x → p - f (x) = L) {\ displaystyle \ left (\ lim _ {x \ to p ^ {-}} {f (x)} = L \ right)}

\ left (\ lim _ {x \ to p ^ {-}} {f (x)} = L \ right)

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A точки L существует правосторонняя (левосторонняя) проколотая окрестность B точки p, такая, что $x ∈ B {\ displaystyle x \ in B }$ $x \ in B$ подразумевает $f (x) ∈ A {\ displaystyle f (x) \ in A}$ $f (x) \ в A$ .

Можно показать, что $lim x → pf (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {х \ к р} {е (х)} = L$ тогда и только тогда, когда оба $lim x → p + f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p ^ {+}} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {x \ to p ^ {+}} {f (x)} = L$ и $lim x → p - f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p ^ {-}} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {x \ to p ^ {-}} {f (x)} = L$ .

Сравнение с пределами в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
Определения, данные выше, можно сравнить с обычными определениями пределы реальных функций. В следующих утверждениях, $p, L ∈ R {\ displaystyle p, L \ in \ mathbb {R}}$ $p, L \ in \ mathbb {R}$ , первый предел соответствует определению выше, а второй предел соответствует обычному смысл:
$lim x → pf (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {х \ к р} {е (х)} = L$ эквивалентно $lim x → pf (x) знак равно L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {х \ к р} {е (х)} = L$ .
$lim x → ∞ + f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {+}} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {x \ to \ infty ^ {+}} {f (x)} = L$ эквивалентно $lim x → - ∞ f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} {е (х)} = L}$ $\ lim _ {x \ to - \ infty} {f (x)} = L$ .
$lim x → ∞ - f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {-}} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {x \ to \ infty ^ {-}} {f (x)} = L$ эквивалентно $lim x → + ∞ f (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {f (x)} = L}$ $\ lim _ {x \ to + \ infty} {f (x)} = L$ .
$lim x → pf (x) = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = \ infty}$ $\ lim _ {x \ to p} { е (х)} = \ infty$ эквивалентно $lim x → p | f (x) | Знак равно + ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {| f (x) |} = + \ infty}$ $\ lim _ {x \ to p} {| f (х) |} = + \ infty$ .
$lim x → ∞ + f (x) = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {+}} {f (x)} = \ infty}$ $\ lim _ {x \ to \ infty ^ { +}} {f (x)} = \ infty$ эквивалентно $lim x → - ∞ | f (x) | Знак равно + ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} {| f (x) |} = + \ infty}$ $\ lim _ {x \ to - \ infty} {| f (x) |} = + \ infty$ .
$lim x → ∞ - f (x) = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {-}} {f (x)} = \ infty}$ $\ lim _ {x \ to \ infty ^ {-}} {f (x)} = \ infty$ эквивалентно $lim x → + ∞ | f (x) | = + ∞ {\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {| f (x) |} = + \ infty}$ $\ lim _ {x \ to + \ infty} {| е (х) |} = + \ infty$ .

Расширенное определение ограничений

Пусть $A ⊆ R ^ {\ displaystyle A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ $A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ . Тогда p является предельной точкой A тогда и только тогда, когда каждая окрестность p включает точку $y ∈ A {\ displaystyle y \ in A}$ $y \ in A$ такую, что $y ≠ п {\ displaystyle y \ neq p}$ ${\ displaystyle y \ neq p}$ .

Пусть $f: R ^ → R ^, A ⊆ R ^, L ∈ R ^, p ∈ R ^ {\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ $f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}} }, A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}$ , pa предельная точка A. Предел f (x), когда x приближается к p через A, равен L, тогда и только тогда, когда для каждого В окрестности B точки L существует проколотая окрестность C точки p, такая что $x ∈ A ∩ C {\ displaystyle x \ in A \ cap C}$ $x \ in A \ cap C$ влечет $f (x) ∈ B {\ displaystyle f (x) \ in B}$ $е (х) \ в B$ .

Это соответствует обычному топологическому определению непрерывности, применяемому к топологии подпространства на $A ∪ {p} {\ displaystyle A \ чашка \ lbrace p \ rbrace}$ $A \ cup \ lbrace p \ rbrace$ и ограничение f до $A ∪ {p} {\ displaystyle A \ cup \ lbrace p \ rbrace}$ $A \ cup \ lbrace p \ rbrace$ .

Continuity

Функция

f: R ^ → R ^, p ∈ R ^. {\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, \ quad p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}

f : {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, \ quad p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}.

является непрерывным в точке p тогда и только тогда, когда f определена в точке p и

lim x → pf (x) = f (p). {\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = f (p).}

\ lim _ {x \ to p} {f (x)} = f (p).

Если $A ⊆ R ^, {\ displaystyle A \ substeq {\ widehat {\ mathbb { R}}},}$ ${\ displaystyle A \ substeq {\ widehat {\ mathbb {R}}},}$ функция

f: A → R ^ {\ displaystyle f: A \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle f: A \ to {\ widehat {\ math bb {R}}}}

непрерывна в A тогда и только тогда, когда для каждого $p ∈ A {\ displaystyle p \ in A}$ $p \ in A$ , f определяется в p и предел f (x), когда x стремится к p через A, равен f (п).

Каждую рациональную функцию P (x) / Q (x), где P и Q - многочлены, можно уникальным образом продолжить до функции от $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ до $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ , который непрерывен в $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ . В частности, это случай полиномиальных функций, которые принимают значение $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ в $∞, {\ displaystyle \ infty,}$ $\ infty,$ , если они непостоянны.

Кроме того, если функция касательной tan расширена так, что

tan ⁡ (π 2 + n π) = ∞ для n ∈ Z, {\ displaystyle \ tan \ left ( {\ frac {\ pi} {2}} + n \ pi \ right) = \ infty {\ text {for}} n \ in \ mathbb {Z},}

\ tan \ left ( {\ frac {\ pi} {2}} + n \ pi \ right) = \ infty {\ text {for}} n \ in \ mathbb {Z},

тогда tan непрерывен в $R, {\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ ma thbb {R},}$ , но не может быть продолжен до функции, которая является непрерывной в $R ^. {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}.$

Многие элементарные функции, которые непрерывны в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ не может быть продолжен до функций, непрерывных в $R ^. {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$ Это случай, например, экспоненциальной функции и всех тригонометрических функций. Например, функция синуса является непрерывной в $R, {\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ ma thbb {R},}$ , но ее нельзя сделать непрерывной в $∞. {\ displaystyle \ infty.}$ $\ infty.$ Как видно выше, касательную функцию можно продолжить до функции, которая является непрерывной в $R, {\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ ma thbb {R},}$ , но эту функцию нельзя сделать непрерывной при $∞. {\ displaystyle \ infty.}$ $\ infty.$

Многие прерывистые функции, которые становятся непрерывными, когда кодомен расширяется до $R ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}$ останутся прерывистыми, если кодомен расширен до аффинно расширенной системы действительных чисел $R ¯. {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$ Это случай функции $x ↦ 1 x. {\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}.}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}.}$ С другой стороны, некоторые функции, непрерывные в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ и прерывистые в $∞ ∈ R ^ {\ displaystyle \ infty \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle \ infty \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ становятся непрерывными, если домен расширяется до $R ¯. {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$ Это случай арктангенса .

В качестве проекционного диапазона

Когда реальная проективная линия рассматривается в контексте реальной проективной плоскости, тогда следствия теоремы Дезарга неявны. В частности, построение проективного гармонического сопряженного отношения между точками является частью структуры реальной проективной прямой. Например, для любой пары точек точка на бесконечности является проективным гармоническим сопряжением их средней точки.

Поскольку проекции сохраняют гармоническое отношение, они образуют автоморфизмы вещественной проективной прямой. Проективности алгебраически описываются как омографии, поскольку действительные числа образуют кольцо, в соответствии с общей конструкцией проективной прямой над кольцом. Вместе они образуют группу PGL (2, R).

Проективности, которые сами по себе являются обратными, называются инволюциями. гиперболическая инволюция имеет две неподвижные точки. Два из них соответствуют элементарным арифметическим операциям над реальной проективной линией: отрицание и взаимное действие. В самом деле, 0 и ∞ фиксируются при отрицании, а 1 и −1 фиксируются при возврате.

Примечания

См. Также

Внешние ссылки

Проективно расширенные действительные числа - из Mathworld