Войти
В топологии и связанных разделах математики топологическое пространство называется локально компактным, если, грубо говоря, каждая небольшая часть пространства выглядит как небольшая часть компактного пространства.
Пусть X будет топологическим пространством. Чаще всего X называется локально компактным, если каждая точка x из X имеет компактную окрестность, т. Е. Существует открытое множество U и компакт K, такие что 
Есть и другие общие определения: все они эквивалентны, если X является хаусдорфовым пространством (или предрегулярным). Но они не эквивалентны в целом:
Логические соотношения между условиями:
Условие (1), вероятно, является наиболее часто используемым определением, поскольку оно наименее ограничительно, а другие эквивалентны ему, когда X это Хаусдорф. Эта эквивалентность является следствием того факта, что компактные подмножества хаусдорфовых пространств замкнуты, а замкнутые подмножества компактных пространств компактны.
Поскольку они определены в терминах относительно компактных множеств, пространства, удовлетворяющие (2), (2 '), (2 "), могут более конкретно называться локально относительно компактными . Steen Seebach вызывает (2), (2 '), (2 ") сильно локально компактным в отличие от свойства (1), которое они называют локально компактным.
Условие (4) используется, например, в Бурбаки. Почти во всех приложениях локально компактные пространства действительно также хаусдорфовы. Эти локально компактные хаусдорфовы (LCH) пространства, таким образом, являются пространствами, которым в первую очередь посвящена данная статья.
Каждое компактное хаусдорфово пространство также локально компактно, и многие примеры компактных пространств можно найти в статье компактное пространство. Здесь мы упоминаем только:
Как упоминалось в следующем разделе, если Хаусдорфово пространство локально компактно, тогда оно также является тихоновским пространством ; в этой статье есть несколько примеров хаусдорфовых пространств, которые не являются тихоновскими. Но есть также примеры тихоновских пространств, которые не могут быть локально компактными, например:
Первые два примера показывают, что подмножество локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным, что контрастирует с открытыми и замкнутыми подмножествами в предыдущем разделе. Последний пример контрастирует с евклидовыми пространствами в предыдущий раздел; чтобы быть более конкретным, топологическое векторное пространство Хаусдорфа локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно (в этом случае это евклидово пространство). Этот пример также контрастирует с Гильбертовым кубом как примером компактного пространства; противоречия нет, потому что куб не может быть окрестностью какой-либо точки в гильбертовом пространстве.
Каждое локально компактное предрегулярное пространство фактически является полностью регулярным. Отсюда следует, что всякое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским пространством. Поскольку прямая регулярность является более привычным условием, чем предрегулярность (которая обычно слабее) или полная регулярность (которая обычно сильнее), локально компактные предрегулярные пространства обычно упоминаются в математической литературе как локально компактные регулярные пространства. Аналогично локально компактные тихоновские пространства обычно называют локально компактными хаусдорфовыми пространствами.
Каждое локально компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра. Таким образом, выполняется вывод теоремы Бэра о категориях : внутренняя часть каждого объединения из счетного числа нигде не плотно подмножества является пустым.
A подпространством X локально компактного хаусдорфового пространства Y локально компактным тогда и только тогда, когда X можно записать как теоретико-множественная разность двух замкнутых подмножеств Y. Как следствие, плотное подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X является открытым подмножеством Y. Кроме того, если подпространство X любого хаусдорфова пространства Y локально компактно, то X по-прежнему должно быть разностью двух замкнутых подмножеств Y, хотя обратное не должно выполняться в этом случае.
Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств компактно порождены. Наоборот, каждое компактно порожденное хаусдорфово пространство является фактором некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.
Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость совпадает с компактной сходимостью.
Поскольку каждое локально компактное хаусдорфово пространство X является тихоновским, его можно вложить в компактное хаусдорфово пространство b (X) с помощью компактификации Стоуна – Чеха. Но на самом деле есть более простой метод, доступный в локально компактном случае; одноточечная компактификация вложит X в компактное хаусдорфово пространство a (X) всего с одной дополнительной точкой. (Одноточечная компактификация может применяться к другим пространствам, но a (X) будет хаусдорфовым тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.) Таким образом, локально компактные хаусдорфовы пространства можно охарактеризовать как открытые подмножества компактных хаусдорфовых пространств.
Интуитивно дополнительную точку в (X) можно представить как точку на бесконечности . Бесконечную точку следует рассматривать как лежащую вне любого компактного подмножества X. Используя эту идею, можно сформулировать многие интуитивные понятия о стремлении к бесконечности в локально компактных хаусдорфовых пространствах. Например, непрерывная вещественная или комплексная оцененная функция f с доменом X называется обращаются в нуль на бесконечности, если для любого положительного числа e существует компактное подмножество K в X такое, что | f (x) | < e whenever the точка x лежит вне K. Это определение имеет смысл для любого топологического пространства X. Если X локально компактно и хаусдорфово, такими функциями являются в точности те функции, которые продолжаются до непрерывной функции g на ее одноточечной компактификации a ( X) = X ∪ {∞}, где g (∞) = 0.
Множество C 0 (X) всех непрерывных комплекснозначных функций, обращающихся в нуль на бесконечности, равно a C * -алгебра. Фактически, каждая коммутативная C * -алгебра изоморфна C 0 (X) для некоторого уникального (до гомеоморфизм ) локально компактное хаусдорфово пространство X. Точнее, категории локально компактных хаусдорфовых пространств и коммутативных C * -алгебр двойственны ; это показано с использованием представления Гельфанда. Формирование одноточечной компактификации a (X) X соответствует при этой двойственности присоединению элемента идентичности к C 0 (X).
Понятие локальной компактности важно при изучении топологических групп главным образом потому, что каждая хаусдорфова локально компактная группа G имеет естественные меры, называемые мерами Хаара, которые позволяют интегрировать измеримые функции, определенные на G. мера Лебега на вещественная линия Rявляется частным случаем этого.
Понтрягин, двойственный к топологической абелевой группе A, является локально компактным тогда и только тогда, когда A локально компактно. Точнее, двойственность Понтрягина определяет само- двойственность категории локально компактных абелевых групп. Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа, области, которая с тех пор распространилась на неабелевы локально компактные группы.
