Войти
вещественные числа образуют топологическую группу под сложение В математике топологическая группа представляет собой группу G вместе с топологией на G, так что обе бинарная операция группы и элементы группы отображения функций на их соответствующие инверсии являются непрерывными функциями по отношению к топологии. Топологическая группа - это математический объект, имеющий как алгебраическую структуру, так и топологическую структуру. Таким образом, можно выполнять алгебраические операции из-за структуры группы и можно говорить о непрерывных функциях из-за топологии.
Топологические группы, наряду с непрерывными групповыми действиями, используются для изучения непрерывных симметрий, которые имеют множество приложений, например, в физике. В функциональном анализе каждое топологическое векторное пространство является аддитивной топологической группой с дополнительным свойством, что скалярное умножение является непрерывным; следовательно, многие результаты теории топологических групп могут быть применены к функциональному анализу.
A топологическая группа, G, - это топологическое пространство, которое также является группой, при которой групповая операция ( в данном случае произведение):
и отображение инверсии:
являются непрерывными Здесь G × G рассматривается как топологическое пространство с топологией продукта. Такая топология называется совместимой с групповыми операциями и называется групповой топологией .
Отображение произведения непрерывно тогда и только тогда, когда для любых x, y ∈ G и любой окрестности W точки xy в G существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ V ⊆ W, где U ⋅ V: = {u ⋅ v: u ∈ U, v ∈ V}. Отображение инверсии непрерывно тогда и только тогда, когда для любого x ∈ G и любой окрестности V точки x в G существуют такие окрестности U точки x в G, что U ⊆ V, где U: = {u: u ∈ U}.
Чтобы показать, что топология совместима с групповыми операциями, достаточно проверить, что отображение
непрерывно. Явно это означает, что для любых x, y ∈ G и любой окрестности W в G точки xy существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ (V) ⊆ W.
В этом определении используются обозначения мультипликативных групп; эквивалент для аддитивных групп состоит в том, что следующие две операции являются непрерывными:
Хотя это и не является частью этого определения, многие авторы требуют, чтобы топология на G была Хаусдорфовой. Одна из причин этого заключается в том, что любую топологическую группу можно канонически связать с топологической группой Хаусдорфа, взяв соответствующий канонический фактор; это, однако, часто требует работы с исходной нехаусдорфовой топологической группой. Другие причины и некоторые эквивалентные условия обсуждаются ниже.
В этой статье не предполагается, что топологические группы обязательно хаусдорфовы.
На языке теории категорий топологические группы могут быть кратко определены как групповые объекты в категории топологических пространств в так же, как обычные группы являются объектами группы в категории наборов. Обратите внимание, что аксиомы даны в терминах отображений (двоичное произведение, унарное обратное и нулевое тождество), следовательно, являются категориальными определениями.
A гомоморфизм топологических групп означает непрерывный гомоморфизм групп G → H. Топологические группы вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию. Групповой гомоморфизм между коммутативными топологическими группами непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в некоторой точке.
изоморфизм топологических групп - это групповой изоморфизм, который также является гомеоморфизм основных топологических пространств. Это сильнее, чем просто требование непрерывного группового изоморфизма - обратное также должно быть непрерывным. Есть примеры топологических групп, которые изоморфны как обычные группы, но не как топологические группы. Действительно, любая недискретная топологическая группа также является топологической группой, если рассматривать ее с дискретной топологией. Основные группы те же самые, но как топологические группы не существует изоморфизма.
Каждую группу можно тривиально превратить в топологическую группу, рассматривая ее с помощью дискретной топологии ; такие группы называются дискретными группами. В этом смысле теория топологических групп включает теорию обычных групп. Недискретная топология (то есть тривиальная топология) также превращает каждую группу в топологическую группу.
вещественные числа, ℝ с обычной топологией при сложении образуют топологическую группу. Евклидово n-пространство ℝ также является топологической группой при сложении, и в более общем плане каждое топологическое векторное пространство образует (абелеву) топологическую группу. Некоторые другие примеры абелевых топологических групп - круговая группа S или тор (S) для любого натурального числа n.
классические группы - важные примеры неабелевых топологических групп. Например, общая линейная группа GL (n, ℝ) всех обратимых матриц n × n с реальными элементами может рассматриваться как топологическая группа с топологией, определенной путем просмотра GL (n, ℝ) как подпространство евклидова пространства ℝ. Другой классической группой является ортогональная группа O (n), группа всех линейных отображений из ℝ в себя, которые сохраняют длину всех векторов. Ортогональная группа компактна как топологическое пространство. Большая часть евклидовой геометрии может рассматриваться как изучение структуры ортогональной группы или тесно связанной группы O (n) ⋉ ℝ из изометрий из of.
Все упомянутые группы являются группами Ли, что означает, что они гладкие многообразия таким образом, что групповые операции гладкие, а не просто непрерывно. Группы Ли - это наиболее понятные топологические группы; многие вопросы о группах Ли можно преобразовать в чисто алгебраические вопросы об алгебрах Ли и затем решить.
Примером топологической группы, которая не является группой Ли, является аддитивная группа ℚ рациональных чисел с топологией, унаследованной от ℝ. Это счетное пространство , и оно не имеет дискретной топологии. Важным примером для теории чисел является группа ℤ p из p-адических чисел для простого числа p, что означает обратный предел конечных групп ℤ / p при стремлении n к бесконечности. Группа ℤ p ведет себя хорошо тем, что она компактна (фактически, гомеоморфна канторову множеству ), но она отличается от (реальных) групп Ли тем, что она полностью отключен. В более общем плане существует теория p-адических групп Ли, включая компактные группы, такие как GL (n, ℤ p), а также локально компактные группы например GL (n, ℚ p), где ℚ p - локально компактное поле из p-адических чисел.
Группа ℤ p - проконечная группа ; он изоморфен подгруппе продукта 
Некоторые топологические группы можно рассматривать как бесконечномерные группы Ли ; эту фразу лучше всего понимать неформально, включая несколько различных семейств примеров. Например, топологическое векторное пространство , такое как банахово пространство или гильбертово пространство, является абелевой топологической группой при добавлении. Некоторые другие бесконечномерные группы, которые были изучены с разной степенью успеха: группы петель, группы Каца – Муди, группы диффеоморфизмов, группы гомеоморфизмов и калибровочные группы.
В каждой банаховой алгебре с мультипликативным тождеством множество обратимых элементов образует топологическую группу при умножении. Например, таким образом возникает группа обратимых ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
Операция инверсии топологической группы G является гомеоморфизмом из G в себя. Аналогично, если a - любой элемент группы G, то умножение на a слева или справа дает гомеоморфизм G → G. Следовательно, если 𝒩 является базисом окрестности единицы в коммутативной топологической группе G, то для все x ∈ X,
- базис окрестности x в G, где xN: = {xn: n ∈ N}. В частности, любая групповая топология на коммутативной топологической группе полностью определяется базисом любой окрестности в единичном элементе. Если S - любое подмножество G и U - открытое подмножество G, то SU: = {su: s ∈ S, u ∈ U} - открытое подмножество G.
Подмножество S множества G называется симметричной, если S = S. Замыкание каждого симметрического множества в коммутативной топологической группе симметрично. Если S - любое подмножество коммутативной топологической группы G, то следующие множества также симметричны: S ∩ S, S ∪ S и S S.
Для любой окрестности N в коммутативной топологической группе G группы единичный элемент, существует симметричная окрестность M единичного элемента такая, что MM ⊆ N, где заметим, что MM обязательно является симметричной окрестностью единичного элемента. Таким образом, каждая топологическая группа имеет базис окрестности в единице, состоящей из симметрических множеств.
Если G является локально компактной коммутативной группой, то для любой окрестности N в G единичного элемента существует симметричная относительно компактная окрестность M единичного элемента такая, что cl M ⊆ N (где cl M также является симметричным).
Каждую топологическую группу можно рассматривать как однородное пространство двумя способами; левая равномерность превращает все левые умножения в равномерно непрерывные отображения, а правая равномерность превращает все правые умножения в равномерно непрерывные отображения. Если G неабелева, то эти два могут не совпадать. Единообразные структуры позволяют говорить о таких понятиях, как полнота, равномерная непрерывность и равномерная сходимость на топологических группах.
Если U - открытое подмножество коммутативной топологической группы G и U содержит компакт K, то существует окрестность N единичного элемента такая, что KN ⊆ U.
Как однородное пространство, каждая коммутативная топологическая группа вполне регулярна. Следовательно, для мультипликативной топологической группы G с единичным элементом 1 следующие условия эквивалентны:
A подгруппа коммутативной топологической группы дискретна тогда и только тогда, когда она имеет изолированную точку.
.Если G не хаусдорфова, то можно получить хаусдорфову группу, переходя к фактор-группе G / K, где K - замыкание тождества. Это эквивалентно взятию фактора Колмогорова от G.
теорема Биркгофа – Какутани (названа в честь математиков Гаррет Биркгоф и Шизуо Какутани ) заявляют, что следующие три условия на топологической группе G являются эквивалент:
(Метрика на G называется левоинвариантной, если для каждой точки a ∈ G map x ↦ ax - это изометрия от G к самой себе.)
Каждая подгруппа топологической группы сама является топологической группой, если задано подпространство топология. Каждая открытая подгруппа H также замкнута в G, поскольку дополнение к H - это открытое множество, заданное объединением открытых множеств gH для g ∈ G \ H.Если H - подгруппа группы G, то замыкание H также является подгруппой. Аналогично, если H - нормальная подгруппа G, замыкание H нормально в G.
Если H - подгруппа G, набор левых смежных классов G / H с фактор-топологией называется однородным пространством для G. Факторное отображение q: G → G / H всегда открыто. Например, для положительного целого числа n сфера S является однородным пространством для группы вращения SO (n + 1) в ℝ, с S = SO (n + 1) /Сын). Однородное пространство G / H хаусдорфово тогда и только тогда, когда H замкнуто в G. Отчасти по этой причине при изучении топологических групп естественно сосредоточиться на замкнутых подгруппах.
Если H является нормальной подгруппой группы G, то фактор-группа G / H становится топологической группой при заданной фактор-топологии. Она хаусдорфова тогда и только тогда, когда H замкнута в G. Например, фактор-группа ℝ / ℤ изоморфна группе окружностей S.
В любой топологической группе компонент идентичности (то есть компонент связности, содержащий единичный элемент) является замкнутой нормальной подгруппой. Если C - компонент идентичности, а a - любая точка G, то левый смежный класс aC - это компонент G, содержащий a. Таким образом, совокупность всех левых смежных классов (или правых смежных классов) группы C в G равна совокупности всех компонентов группы G. Отсюда следует, что фактор-группа G / C полностью несвязна.
В любой коммутативной топологической группе произведение (в предположении, что группа мультипликативна) KC компакта K и замкнутого множества C является замкнутым множеством. Кроме того, для любых подмножеств R и S группы G выполняется (cl R) (cl S) ⊆ cl (RS).
Если H - подгруппа коммутативной топологической группы G и если N - окрестность в G единицы такой, что H ∩ cl N замкнуто, то H замкнуто. Каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой коммутативной топологической группы замкнута.
Теоремы об изоморфизме из обычной теории групп не всегда верны в топологической ситуации. Это потому, что биективный гомоморфизм не обязательно должен быть изоморфизмом топологических групп. Теоремы верны, если наложить определенные ограничения на используемые отображения. Например, первая теорема об изоморфизме утверждает, что если f: G → H является гомоморфизмом, то гомоморфизм из G / ker (f) в im (f) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f открыто на его образ.
Есть несколько сильных результатов о связи между топологическими группами и группами Ли. Во-первых, любой непрерывный гомоморфизм групп Ли 
Пятая проблема Гильберта спрашивает, существует ли топологическая группа G то есть топологическое многообразие должно быть группой Ли. Другими словами, имеет ли G структуру гладкого многообразия, что делает групповые операции гладкими? Как показали Эндрю Глисон, Дин Монтгомери и Лео Зиппин, ответ на эту проблему - да. Фактически, G имеет вещественно-аналитическую структуру. Используя гладкую структуру, можно определить алгебру Ли G, объект линейной алгебры, который определяет связную группу G до , покрывающую пространства. В результате решение пятой проблемы Гильберта сводит классификацию топологических групп, являющихся топологическими многообразиями, к алгебраической задаче, хотя и сложной проблеме в целом.
Теорема также имеет последствия для более широких классов топологических групп. Во-первых, каждая компактная группа (понимаемая как хаусдорфова) является обратным пределом компактных групп Ли. (Одним из важных случаев является обратный предел конечных групп, называемый проконечной группой. Например, группа ℤ p целых p-адических чисел и абсолютная группа Галуа поля являются проконечными группами.) Более того, всякая связная локально компактная группа является обратным пределом связных групп Ли. С другой стороны, полностью несвязная локально компактная группа всегда содержит компактную открытую подгруппу, которая обязательно является проконечной группой. (Например, локально компактная группа GL (n, ℚ p) содержит компактную открытую подгруппу GL (n, ℤ p), которая является обратным пределом конечных групп GL (n, ℤ / p) при r 'стремится к бесконечности.)
действие топологической группы G на топологической пространство X - это групповое действие группы G на X такое, что соответствующая функция G × X → X непрерывна. Точно так же представление топологической группы G на вещественном или комплексном топологическом векторном пространстве V является непрерывным действием G на V таким, что для каждого g ∈ G отображение v ↦ gv от V к себе линейно.
Действия групп и теория представлений особенно хорошо изучены для компактных групп, обобщая то, что происходит для конечных групп. Например, каждое конечномерное (действительное или комплексное) представление компактной группы является прямой суммой неприводимых представлений. Бесконечномерное унитарное представление компактной группы может быть разложено как прямая сумма неприводимых представлений в гильбертовом пространстве, которые все конечномерны; это часть теоремы Питера – Вейля. Например,теория Фурье описание разложение унитарного представления группы окружностей S на комплексном гильбертовом пространстве L (S). Все неприводимые представления являются одними и имеют вид z ↦ z для целых n (где S рассматривается как подгруппа мультипликативной группы ℂ *). Каждое из этих представлений с кратностью 1.
Неприводимые представления всех связных компактных групп Ли классифицированы. В частности, символ каждого неприводимого представления задается формулой символа Вейля.
В более общем смысле, локально компактные группы имеют богатую теорию гармонического представления, потому что они допускают естественное понятие меры и интеграла, задаваемые мерой Хаара. Каждое унитарное представление локально компактной группы можно описать как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. (Разложение по уникально, если G имеет тип I, который включает наиболее важные элементы, такие как абелевы группы и полупростые группы Ли.) Базовым примером является Фурье преобразование, которое разлагает действие аддитивной группы на гильбертово пространство L (ℝ) как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений группы. Все неприводимые унитарные представления одномерны и имеют вид x ↦ e для a ∈ ℝ.
Неприводимые унитарные представления локально компактной группы могут быть бесконечномерными. Основная цель теории представлений, связанная с классификацией Ленглендса допустимых представлений, состоит в том, чтобы найти унитарное двойное (пространство всех неприводимых унитарных представлений) для полупростые группы Ли. Унитарный двойственный известен во многих случаях, как SL (2, ℝ), но не во всех.
Для локально компактной абелевой группы G ^ {\ displaystyle {\ hat {G}}}
Каждая локально компактная группа G имеет хороший запас неприводимых унитарных представлений; например, достаточно представлений, чтобы различать точки G (теорема Гельфанда - Райкова ). Напротив, теория представлений для топологических групп, которые не являются локально компактными, до сих порывалась только в особых ситуациях, и, возможно, неразумно ожидать общей теории. Например, существует много абелевых групп Банаха - Ли, для каждого представления в гильбертовом пространстве тривиально.
Топологические группы особенных среди всех топологических пространств, даже с точки зрения точки их гомотопического типа. Один из основных моментов состоит в том, что топологическая группа G определяет линейно связное топологическое пространство, классифицирующее пространство BG (которое при мягких гипотезах классифицирует основное G-расслоения над топологическими пространствами). Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству петель BG; что влечет за собой ограничения на гомотопический тип группы G. Некоторые из этих ограничений выполняются в более широком контексте H-пространств.
Например, фундаментальная группа топологической группы G абелева. (В более общем смысле, произведение Уайтхеда на гомотопических группах G равно нулю.) Кроме того, для любого поля k кольцо когомологий H * (G, k) имеет преобразование алгебра Хопфа. Ввиду структурных теорем об алгебрах Хопфа, сформулированных Хайнцем Хопфом и Армандом Борелем, это накладывает строгие ограничения на возможные кольца когомологий топологических групп. В частности, если G - линейно связная топологическая группа, у которой кольцо рациональных когомологий H * (G, ℚ) полностью в каждой степени, это кольцо должно быть свободной градуиров-коммутативной алгеброй над ℚ, то есть тензорное произведение кольца полиномов на образ четной степени с внешней алгеброй на образующих нечетной степени.
В частности, для связной группы Ли G кольцо рациональных когомологий группы G является внешней алгеброй на соответствующих нечетной степени образ. Более того, связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K, которая единственна с точностью до сопряжения, а включение K в G гомотопической эквивалентностью. Таким образом, описание гомотопических типов сводится к случаю компактных групп Ли. Например, максимальная компактная подгруппа в SL (2,) - это круговая группа SO (2), а однородное пространство SL (2, ℝ) / SO (2) можно отождествить с гиперболической плоскостью. Гиперболическая плоскость стягиваема, включение группы окружности в SL (2, ℝ) гомотопической эквивалентностью.
Наконец, компактные связные группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом, Эли Картаном и Германом Вейлем. В результате получается практически полное описание гомотопических типов групп Ли. Например, компактная связная группа Ли размерности не более 3 является либо тором, группой SU (2) (, диффеоморфной 3-сфере S), либо ее фактор-группой SU (2) / {± 1} ≅ SO (3) (диффеоморфен RP ).
Информацию о сходимости сетей и фильтров, такие как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии.
Любая рассматриваемая нами топологическая группа является аддитивной коммутативной топологической группой с единицей 0.
Определение (Каноническое окружение и диагональ ):Диагональ X - это множество
и для любого N ⊆ X, содержащего 0, каноническое окружение или канонические окрестности вокруг N - это множество
. Определение (Каноническая однородность ): Для топологической группы (X, τ) каноническая однородность на X - это однородная структура, индуцированная множест вом всех канонических окружений Δ (N), когда N пробегает все окрестности 0 в X.
То есть это закрытие снизу вверх следующего предварительного фильтра на X × X,
, где этот предварительный фильтр формирует так называемую основу антуража канонического единообразия.
Определение (Трансляционно-инвариантная однородность ): Для коммутативной аддитивной группы X фундаментальная система окружений ℬ называется трансляционно-инвариантной, если для каждого B ∈ ℬ, (x, y) ∈ B тогда и только тогда, когда (x + z, y + z) ∈ B для всех x, y, z ∈ X. Равномерность ℬ называется трансляционно-инвариантной, если она имеет базу антуражей, инвариантная к трансляциям.Замечания :
Общая теория равномерные пространства имеет собственное определение «предварительного фильтра Коши» и «сети Коши». Для канонической равномерности на X это сводится к определению, описанному ниже.
Определение (Сумма и произведение сетей ): Предположим, что x • = (x i)i ∈ I - сеть в X и y • = (y i)j ∈ J - сеть в Y. Превратите I × J в направленное множество, объявив (i, j) ≤ (i 2, j 2) тогда и только тогда, когда i ≤ i 2 и j ≤ j 2. Тогда x • × y • : = (x i, y j)(i, j) ∈ I × J обозначает Если товарную сеть . X = Y, то изображение эта сеть под картой сложения X × X → X обозначает размер этих двух сетей:, и аналогично их разность определяется как изображение товарной сети под картой вычитания:
или, что эквивалентно, если для каждой окрестности N точек 0 в X некоторый i 0 ∈ I такое, что x i - x j ∈ N для всех i, j ≥ i 0 с i, j ∈ I.
A последовательность Коши - сеть Коши, представляющая собой последовательность.
Определение (N-малое множество ): Если B - подмножество аддитивной группы X, а N - множество, содержащее 0, то мы говорим, что B N-small или, если B - B ⊆ N.Определение (предварительный фильтр Коши ): предварительный фильтр ℬ на аддитивной топ группе X называется предварительным фильтром Коши, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
и если X коммутативно, то также:
Замечание:
Определение Подмножество S называется последовательно полным если каждая последовательность Коши в S (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр Коши / предварительный фильтр на S) сходится по крайней мере к одной точке S.
Определение (Последовательно полная группа ): Это называется последовательно завершенным, если X является последовательно полным подмножеством самого себя.
Замечание:
Ослабляя условия непрерывности, можно получить различные обобщения топологических групп:
