Локально компактная группа

редактировать

В математике локально компактная группа - это топологическая группа G, для которой основная топология локально компактна и Хаусдорфа. Локально компактные группы важны, потому что многие примеры групп, которые возникают в математике, являются локально компактными, и такие группы имеют естественную меру, называемую мерой Хаара. Это позволяет определять интегралы от измеримых по Борелю функций на G, так что стандартные аналитические понятия, такие как преобразование Фурье и $L p { \ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p }$ пробелы можно обобщить.

Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются путем усреднения по группе. Для компактных групп модификации этих доказательств дают аналогичные результаты путем усреднения по нормированному интегралу Хаара. В общем, локально компактном окружении такие методы не нужны. Полученная в результате теория является центральной частью гармонического анализа. Теория представлений для локально компактных абелевых групп описывается двойственностью Понтрягина.

Содержание

1 Примеры и контрпримеры
2 Свойства
3 Локально компактные абелевы группы
4 См. Также
5 Ссылки

Примеры и контрпримеры

Любая компактная группа локально компактна.
- В частности, круговая группа T комплексных чисел с единичным модулем при умножении компактна и как таковая локально компактна. Группа круга исторически служила первой топологически нетривиальной группой, которая также обладала свойством локальной компактности, и как таковая мотивировала поиск более общей теории, представленной здесь.
Любая дискретная группа локально компактна. Таким образом, теория локально компактных групп охватывает теорию обычных групп, поскольку любой группе может быть задана дискретная топология.
Группы Ли, которые являются локально евклидовыми, все являются локально компактными группами.
Хаусдорфово топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.
. Аддитивная группа рациональных чисел Qне является локально компактной, если задано относительная топология как подмножество вещественных чисел. Она локально компактна, если задана дискретная топология.
Аддитивная группа p-адических чисел Qpлокально компактна для любого простого числа p.

Свойства

По однородности, локальная компактность основного пространства для топологической группы должна проверяться только на единице. То есть группа G является локально компактным пространством тогда и только тогда, когда единичный элемент имеет compact окрестность. Отсюда следует, что в каждой точке существует локальная база компактных окрестностей.

Топологическая группа хаусдорфова тогда и только тогда, когда тривиальная одноэлементная подгруппа замкнута.

Каждая замкнутая подгруппа локально компактной группы локально компактна. (Условие замыкания необходимо, как показывает группа рациональных чисел.) Наоборот, каждая локально компактная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута. Каждый фактор локально компактной группы локально компактен. Произведение семейства локально компактных групп локально компактно тогда и только тогда, когда все факторы, кроме конечного числа, действительно компактны.

Топологические группы всегда полностью регулярны как топологические пространства. Локально компактные группы обладают более сильным свойством быть нормальными.

Каждая локально компактная группа, подсчитываемая по секундам, метризуема как топологическая группа (т. Е. Может иметь левую -инвариантная метрика, совместимая с топологией) и полная.

В польской группе G σ-алгебра нулевых множеств Хаара удовлетворяет условию счетной цепи тогда и только тогда, когда G локально компактна.

Локально компактные абелевы группы

Для любой локально компактной абелевой (LCA) группы A группа непрерывных гомоморфизмов

Hom (A, S)

из A в группу окружности снова локально компактна. Двойственность Понтрягина утверждает, что этот функтор индуцирует эквивалентность категорий

LCA → LCA.

Этот функтор меняет несколько свойств топологических групп. Например, конечные группы соответствуют конечным группам, компактные группы соответствуют дискретным группам, а метризуемые группы соответствуют счетным объединениям компактных групп (и наоборот во всех утверждениях).

LCA-группы образуют точную категорию, где допустимые мономорфизмы являются замкнутыми подгруппами, а допустимые эпиморфизмы - топологическими фактор-отображениями. Следовательно, можно рассмотреть K-теорию спектр этой категории. Clausen (2017) показал, что он измеряет разницу между алгебраической K-теорией из Z и R, целыми числами и вещественными числами, соответственно, в том смысле, что существует гомотопическая послойная последовательность

K(Z) → K (R ) → K (LCA).

См. также

Ссылки

Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа, CRC Press, ISBN 978- 0-8493-8490-5.
Клаузен, Дастин (2017), K-теоретический подход к картам Артина, arXiv : 1703.07842, Bibcode : 2017arXiv170307842C