Мера Хаара

В математическом анализе мера Хаара присваивает «неизменный объем» подмножествам локально компактных топологических групп, следовательно, определяя интеграл для функций на этих группах.

Эта мера была введена Альфредом Хааром в 1933 году, хотя ее особый случай для групп Ли был введен Адольфом Гурвицем. в 1897 г. под названием «инвариантный интеграл». Меры Хаара используются во многих разделах анализа, теории чисел, теории групп, теории представлений, статистики, теория вероятностей и эргодическая теория.

• 1 Предварительные сведения
• 2 Теорема Хаара
• 3 Построение меры Хаара
  • 3.1 Конструкция с использованием компактных подмножеств
  • 3.2 Конструкция с использованием функций с компактным носителем
  • 3.3 Конструкция с использованием средних значений функций
  • 3.4 Конструкция на группах Ли
• 4 Правая мера Хаара
  • 4.1 Модульная функция
• 5 Меры на однородных пробелы
  • 5.1 Пример
• 6 Интеграл Хаара
• 7 Примеры
• 8 Использование
  • 8.1 Абстрактный гармонический анализ
  • 8.2 Математическая статистика
• 9 Обратная теорема Вейля
• 10 См. также
• 11 Примечания
• 12 Дополнительная литература
• 13 Внешние ссылки

Пусть $(G,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; (G,\; \backslash \; cdot)\}$быть локально компактной хаусдорфовой топологической группой. $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебра, сгенерированная всеми открытыми подмножествами $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, называется Алгебра Бореля. Элемент борелевской алгебры называется борелевским множеством. Если $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$является элементом $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является подмножеством $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, затем мы определяем левый и правый , переводящие из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$на g следующим образом:

• Левый перевод:

$g\; S\; =\; \{g\; \cdot \; s:\; s\; \in \; S\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; gS\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; cdot\; s\; \backslash ,:\; \backslash ,\; s\; \backslash \; in\; S\; \backslash \}.\}$

• Правый перевод:

$S\; g\; =\; \{s\; \cdot \; g:\; s\; \in \; S\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; Sg\; =\; \backslash \; \{s\; \backslash \; cdot\; g\; \backslash ,:\; \backslash ,\; s\; \backslash \; in\; S\; \backslash \}.\}$

Левый и правый переводит борелевские множества карты в борелевские множества.

Мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на борелевских подмножествах $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$называется left-translation- инвариантен, если для всех борелевских подмножеств $S\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; G\}$и всех $g\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; G\}$имеется

$\mu \; (г\; S)\; =\; \mu \; (S).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (gS)\; =\; \backslash \; mu\; (S).\; \backslash \; quad\}$

мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на борелевских подмножествах $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$называется инвариантным относительно правого перевода, если для всех борелевских подмножеств $S\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; G\}$и всех $g\; \in \; G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; G\}$один имеет

$\mu \; (S\; g)\; =\; \mu \; (S).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (Sg)\; =\; \backslash \; mu\; (S).\; \backslash \; quad\}$

Существует до положительной мультипликативной константы, уникальной счетно-аддитивная, нетривиальная мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на борелевских подмножествах $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, удовлетворяющая следующим свойствам:

• Мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$инвариантна к левому преобразованию: $\mu \; (g\; S)\; =\; \mu \; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (gS)\; =\; \backslash \; mu\; (S)\}$для каждого $g\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; G\}$и всех борелевских множеств $S\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; G\; \}$.
• Мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$конечна на каждом компакте: для всех компактных $K\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; G\}$.
• Мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$равна внешнему регулярному на борелевских множествах $S\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; G\}$:

$\mu \; (S)\; =\; inf\; \{\mu \; (U):\; S\; \subseteq \; U,\; U\; open\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S)\; =\; \backslash \; inf\; \backslash \; \{\backslash \; mu\; (U):\; S\; \backslash \; substeq\; U,\; U\; \{\backslash \; text\; \{open\}\}\; \backslash \}.\}$

• Мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \}$является внутренним регулярным на открытых множествах $U\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; G\}$:

$\mu \; (U)\; =\; sup\; \{\mu \; (K):\; K\; \subseteq \; U,\; K\; компактный\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (U)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; \{\backslash \; mu\; (K):\; K\; \backslash \; substeq\; U,\; K\; \{\backslash \; text\; \{compact\}\}\; \backslash \}.\}$

Такая мера на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$называется левой мерой Хаара. Как следствие вышеуказанных свойств можно показать, что $\mu \; (U)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (U)>0\}$для каждого непустого открытого подмножества $U\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; subset\; G\}$. В частности, если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$компактно, то $\mu \; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (G)\}$конечно и положительно, поэтому мы можем однозначно указать левую меру Хаара на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, добавив условие нормализации $\mu \; (G)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (G)\; =\; 1\}$.

Некоторые авторы определяют меру Хаара на множествах Бэра, а не на множествах Бореля. Это делает ненужными условия регулярности, поскольку меры Бэра автоматически регулярны. Халмос довольно сбивает с толку этот термин "Множество Бореля" для элементов кольца $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, порожденного компактными множествами, и определяет меру Хаара на этих наборах.

Левая мера Хаара удовлетворяет условию внутренней регулярности для всех $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-конечных борелевских множеств, но может не быть внутренней регулярной для всех борелевских множеств. Например, произведение единичной окружности (с ее обычной топологией) и вещественной прямой с дискретной топологией является локально компактной группой с топологией произведения, и мера Хаара на этой группе не является внутренней регулярной для замкнутого подмножества $\{\; 1\}\; \times \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1\; \backslash \}\; \backslash \; times\; [0,1]\}$. (Компактные подмножества этого вертикального сегмента - это конечные множества, и точки имеют меру $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$, поэтому мера любого компактного подмножества этого вертикального сегмента равна $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \}$. Но, используя внешнюю регулярность, можно показать, что отрезок имеет бесконечную меру.)

Существование и единственность (с точностью до масштабирования) левой меры Хаара была впервые доказана в полной общности Автор Андре Вейль. Доказательство Вейля использовало аксиому выбора, а Анри Картан предоставил доказательство, которое избегало его использования. Доказательство Картана также устанавливает существование и единственность одновременно. Упрощенное и полное изложение аргумента Картана было дано Альфсеном в 1963 году. Частный случай инвариантной меры для вторых счетных локально компактных групп был продемонстрирован Хааром в 1933 году.

Конструкция с использованием компактных подмножеств

Следующий метод построения меры Хаара по сути является методом, используемым Хааром и Вейлем.

Для любых подмножеств $S,\; T\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; S,\; T\; \backslash \; subset\; G\}$с $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$непустым определите $[T:\; S]\; \{\backslash \; displaystyle\; [T:\; S]\}$как наименьшее количество левых переводов $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$этого покрытия $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$(значит, это неотрицательное целое число или бесконечность). Это не аддитивно на компактах $K\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; G\}$, хотя имеет свойство $[K:\; U]\; +\; [L:\; U]\; =\; [K\; \cup \; L:\; U]\; \{\backslash \; displaystyle\; [K:\; U]\; +\; [L:\; U]\; =\; [K\; \backslash \; cup\; L:\; U]\}$для непересекающихся компактов $K,\; L\; \subset \; G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K,\; L\; \backslash \; subset\; G\}$при условии, что $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$является достаточно маленькой открытой окрестностью идентичности (в зависимости от $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$). Идея меры Хаара состоит в том, чтобы взять своего рода предел $[K:\; U]\; \{\backslash \; displaystyle\; [K:\; U]\}$как $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$становится меньше, чтобы сделать его аддитивным на всех парах непересекающихся компактов, хотя сначала его нужно нормализовать, чтобы предел не был просто бесконечностью. Итак, исправим компактный набор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$с непустой внутренней частью (которая существует, поскольку группа локально компактна) и для компактного набора $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$определить

$\mu \; A\; (K)\; =\; lim\; U\; [K:\; U]\; [A:\; U]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{A\}\; (K)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{U\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; [K:\; U]\}\; \{[A:\; U]\}\}\}$

где предел берется по подходящему ориентированному набору открытых окрестностей идентичности, в конечном итоге содержащегося в любой данной окрестности; существование направленного множества, для которого существует предел, следует из теоремы Тихонова.

. Функция $\mu \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{A\}\}$аддитивна на непересекающихся компактных подмножествах of $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, что означает, что это обычный контент. Из обычного содержимого можно построить меру, сначала расширив $\mu \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{A\}\}$на открытые множества по внутренней регулярности, затем на все множества по внешней регулярности, а затем ограничивая его множествами Бореля. (Даже для открытых множеств $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$соответствующая мера $\mu \; A\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{A\}\; (U)\}$не обязательно должно задаваться формулой lim sup, приведенной выше. Проблема в том, что функция, заданная формулой lim sup, в общем случае не является счетно субаддитивной и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания, поэтому не является внешней мерой.)

Конструкция с использованием функций с компактным носителем

Картан представил другой способ построения меры Хаара как меры Радона (положительный линейный функционал на непрерывных функциях с компактным носителем), который аналогичен конструкции выше, за исключением того, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$являются положительными непрерывными функции компактной опоры, а не подмножества $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. В этом случае мы определяем $[K:\; U]\; \{\backslash \; displaystyle\; [K:\; U]\}$как нижнюю грань чисел $c\; 1\; +\; \cdots \; +\; cn\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; c\_\; \{n\}\}$такой, что $K\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (g)\}$меньше линейной комбинации $c\; 1\; U\; (г\; 1\; г)\; +\; \cdots \; +\; cn\; U\; (gng)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; U\; (g\_\; \{1\}\; g)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; c\_\; \{n\}\; U\; (g\_\; \{n\}\; g)\}$левых переводов $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$для некоторых $g\; 1,\dots ,\; gn\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; g\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; G\}$. Как и раньше, мы определяем

$\mu \; A\; (K)\; =\; lim\; U\; [K:\; U]\; [A:\; U]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{A\}\; (K)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{U\}\; \{\backslash \; frac\; \{[K\; :\; U]\}\; \{[A:\; U]\}\}\}$.

Тот факт, что предел существует, требует некоторых усилий, чтобы доказать, хотя преимущество этого состоит в том, что доказательство избегает использования аксиомы выбора, а также дает уникальность меры Хаара как побочный продукт. Функционал $\mu \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{A\}\}$расширяется до положительного линейного функционала на непрерывных функциях с компактным носителем и, таким образом, дает меру Хаара. (Обратите внимание, что даже несмотря на то, что ограничение линейно в $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, отдельные термины $[K:\; U]\; \{\backslash \; displaystyle\; [K:\; U]\}$обычно не линейны в $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$.)

Конструкция, использующая средние значения функций

Фон Нейман дал метод построения Мера Хаара использует средние значения функций, хотя она работает только для компактных групп. Идея состоит в том, что для функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на компактной группе можно найти выпуклую комбинацию $\sum \; aif\; (gig)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{i\}\; f\; (g\_\; \{i\}\; g)\}$(где $\sum \; ai\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; a\_\; \{i\}\; =\; 1\}$) из его левый перевод означает, что отличается от постоянной функции не более чем на небольшое число $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$. Затем видно, что, поскольку $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$стремится к нулю, значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$.

Для групп, которые являются локально компактными, но не компактными, эта конструкция не дает меры Хаара, поскольку среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако что-то подобное действительно работает для почти периодических функций в группе, которые имеют среднее значение, хотя это не дается относительно меры Хаара.

Конструкция на группах Ли

На n-мерной группе Ли мера Хаара может быть легко построена как мера, индуцированная левоинвариантной n-формой. Это было известно до теоремы Хаара.

Также можно доказать, что существует единственная (с точностью до умножения на положительная константа) борелевская мера, инвариантная относительно правого сдвига $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$, удовлетворяющий указанным выше условиям регулярности и конечный на компактах, но он не обязательно должен совпадать с инвариантной влево-трансляционной мерой $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$. Левая и правая меры Хаара совпадают только для так называемых унимодулярных групп (см. Ниже). Однако довольно просто найти связь между $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$.

Действительно, для набора Бореля $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, обозначим через $S\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{-\; 1\}\}$множество инверсий элементов $S\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\}$. Если мы определим

$\mu \; -\; 1\; (S)\; =\; \mu \; (S\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{-\; 1\}\; (S)\; =\; \backslash \; mu\; (S\; ^\; \{-\; 1\})\; \backslash \; quad\}$

, тогда это правая мера Хаара. Чтобы показать правую инвариантность, примените определение:

$\mu \; -\; 1\; (S\; g)\; =\; \mu \; ((S\; g)\; -\; 1)\; =\; \mu \; (g\; -\; 1\; S\; -\; 1)\; =\; \mu \; (S\; -\; 1)\; =\; \mu \; -\; 1\; (S).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{-\; 1\}\; (Sg)\; =\; \backslash \; mu\; ((Sg)\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; \backslash \; mu\; (g\; ^\; \{-\; 1\}\; S\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; \backslash \; mu\; (S\; ^\; \{\; -1\})\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{-\; 1\}\; (S).\; \backslash \; Quad\}$

Поскольку правая мера уникальна, отсюда следует, что $\mu \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{-\; 1\}\}$кратно $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$, поэтому

$\mu \; (S\; -\; 1)\; =\; k\; \nu \; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S\; ^\; \{-1\})\; =\; k\; \backslash \; nu\; (S)\; \backslash ,\}$

для всех наборов Бореля $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- некоторая положительная константа.

Модульная функция

Левый сдвиг правой меры Хаара является правой мерой Хаара. Точнее, если $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- правая мера Хаара, то

$S\; \mapsto \; \nu \; (g\; -\; 1\; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; nu\; (g\; ^\; \{-1\}\; S)\; \backslash \; quad\}$

также инвариантно справа. Таким образом, с точностью до постоянного масштабного коэффициента меры Хаара существует функция $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$от группы до положительных вещественных чисел, называемая модулем Хаара., модульная функция или модульный символ, такой, что для каждого набора Бореля $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$

$\nu \; (g\; -\; 1\; S)\; =\; \Delta \; (\; ж)\; \nu \; (S).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (g\; ^\; \{-\; 1\}\; S)\; =\; \backslash \; Delta\; (g)\; \backslash \; nu\; (S).\; \backslash \; quad\}$

Поскольку правая мера Хаара определена с точностью до положительного коэффициента масштабирования, это уравнение показывает модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в приведенном выше уравнении.

Модульная функция - это гомоморфизм непрерывной группы в мультипликативную группу положительных действительных чисел. Группа называется унимодулярной, если модульная функция тождественно $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$или, что то же самое, если мера Хаара инвариантна как слева, так и справа. Примерами унимодулярных групп являются абелевы группы, компактные группы, дискретные группы (например, конечные группы ), полупростые группы Ли. и связанные нильпотентные группы Ли. Примером неунимодулярной группы является группа аффинных преобразований

$\{x\; \mapsto \; ax\; +\; b:\; a\; \in \; R\; \setminus \; \{0\},\; b\; \in \; R\}\; =\; \{[ab\; 0\; 1]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; \backslash \; \{\}\; x\; \backslash \; mapsto\; ax\; +\; b:\; a\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \},\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{bmatrix)\; \}\; a\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

на действительной прямой. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли не обязательно должна быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара задается как $1\; a\; 2\; da\; \wedge \; db\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{2\}\}\}\; da\; \backslash \; wedge\; db\}$, а правая мера Хаара на $1\; |\; а\; |\; da\; \wedge \; db\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; a\; |\}\}\; da\; \backslash \; wedge\; db\}$.

Если локально компактная группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$действует транзитивно в однородном пространстве $G\; /\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; H\}$, можно спросить, имеет ли это пространство инвариантную меру, или в более общем смысле, полуинвариантная мера со свойством: $\mu \; (g\; S)\; =\; \chi \; (g)\; \mu \; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (gS)\; =\; \backslash \; chi\; (g)\; \backslash \; mu\; (S)\}$для некоторого символа $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Необходимым и достаточным условием существования такой меры является ограничение $\chi \; |\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; |\; \_\; \{H\}\}$равно $\Delta \; |\; H\; /\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; |\; \_\; \{H\}\; /\; \backslash \; delta\}$, где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$и $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- это модульные функции для $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$соответственно. В частности, инвариантная мера на $G\; /\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; H\}$существует тогда и только тогда, когда модульная функция $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$of $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$ограничено $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- модульная функция $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$.

Пример

Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- это группа $SL\; 2\; (R)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; SL\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- это подгруппа верхнетреугольных матриц, тогда модульная функция $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$нетривиально, но модульная функция $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$тривиальна. Частное этих чисел не может быть расширено до любого символа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, поэтому частное пространство $G\; /\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; H\}$(которое можно представить как одномерное реальное проективное пространство ) не имеет даже полуинвариантной меры.

Используя общую теорию интегрирования Лебега, можно затем определить интеграл для всех измеримых по Борелю функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Этот интеграл называется интегралом Хаара и обозначается как:

$\int \; f\; (x)\; d\; \mu \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; (x)\}$

, где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- мера Хаара.

Одно свойство левой меры Хаара $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$заключается в том, что, если $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$быть элемент $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, допустимо следующее:

$\int \; G\; f\; (sx)\; d\; \mu \; (x)\; =\; \int \; G\; f\; (x)\; d\; \mu \; (x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{G\}\; f\; (sx)\; \backslash \; d\; \backslash \; mu\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{G\}\; f\; (x)\; \backslash \; d\; \backslash \; mu\; (x)\}$

для любой интегрируемой функции Хаара $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Это немедленно для индикаторных функций :

$\int \; 1\; A\; (tg)\; d\; \mu \; =\; \int \; 1\; t\; -\; 1\; A\; (g)\; d\; \mu \; =\; \mu \; (t\; -\; 1\; A)\; =\; \mu \; (A)\; =\; \int \; 1\; A\; (\; ж)\; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\; \_\; \{A\}\; (tg)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\; \_\; \{t\; ^\; \{-\; 1\}\; A\}\; (g)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; mu\; (t\; ^\; \{-\; 1\}\; A)\; =\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathit\; \{1\}\}\; \_\; \{A\}\; (g)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

что по сути является определением левой инвариантности.

• Мера Хаара в топологической группе $(R,\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; +)\}$, которая принимает значение $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$на интервале $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,1]\}$равно ограничению меры Лебега к борелевским подмножествам $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Это можно обобщить до $(R\; n,\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\},\; +)\}$.
• If $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$группа ненулевых действительных чисел с умножением в качестве операции, тогда мера Хаара $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$задается как

$\mu \; (S)\; =\; \int \; S\; 1\; |\; т\; |\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{|\; t\; |\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

для любого подмножества Бореля $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$ненулевых вещественных чисел.

Например, если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$выбран как интервал $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, тогда находим $\mu \; (S)\; =\; log\; \; (b\; /\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S)\; =\; \backslash \; log\; (b\; /\; a)\}$. Теперь мы позволяем мультипликативной группе действовать на этом интервале, умножая все ее элементы на число $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$, в результате чего получаем $g\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; gS\}$- интервал $[g\; \cdot \; a,\; g\; \cdot \; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [g\; \backslash \; cdot\; a,\; g\; \backslash \; cdot\; b]\}$. Измеряя этот новый интервал, мы находим $\mu \; (g\; S)\; =\; log\; \; ((g\; \cdot \; b)\; /\; (g\; \cdot \; a))\; =\; log\; \; (b\; /\; a)\; =\; \mu \; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (\; gS)\; =\; \backslash \; log\; ((g\; \backslash \; cdot\; b)\; /\; (g\; \backslash \; cdot\; a))\; =\; \backslash \; log\; (b\; /\; a)\; =\; \backslash \; mu\; (S)\}$.

• Если группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$представлен как открытое подмногообразие $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{n\}\}$, затем левой меры Хаара на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$задается как $1\; J\; (x)\; dnx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{J\; (x)\}\}\; d\; ^\; \{n\}\; x\}$, где $J\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (x)\}$- это якобиан левого умножения на $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Правая мера Хаара задается таким же образом, за исключением $J\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (x)\}$якобиана правого умножения на $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.
• Как частный случай предыдущей конструкции, для $G\; =\; GL\; (n,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; GL\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$любая левая мера Хаара является правой мерой Хаара, и одна из таких мер $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$дается выражением

$\mu \; (S)\; =\; \int \; S\; 1\; |\; det\; (X)\; |\; nd\; Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \{1\; \backslash \; over\; |\; \backslash \; det\; (X)\; |\; ^\; \{n\}\}\; \backslash ,\; dX\}$

где $d\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\; \}$обозначает меру Лебега на $R\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}$, идентифицированную с набором всех $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$-матрицы. Это следует из формулы замены переменных .

• . На любой группе Ли размерности $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$левая мера Хаара может быть связана с любым ненулевой левоинвариантный $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$-form $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$в качестве меры Лебега $|\; \omega \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; omega\; |\}$; и аналогично для правых мер Хаара. Это также означает, что модульная функция может быть вычислена как абсолютное значение детерминанта присоединенного представления.
• для определения меры Хаара $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \}$в группе кругов $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{T\}\}$, рассмотрим функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$с $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$на $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{T\}\}$определяется по $е\; (t)\; =\; (соз\; \; (t),\; грех\; \; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; (\backslash \; cos\; (t),\; \backslash \; sin\; (t))\}$. Тогда $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$можно определить как

$\mu \; (S)\; =\; 1\; 2\; \pi \; m\; (f\; -\; 1\; (S)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; m\; \backslash \; left\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (S)\; \backslash \; right),\}$

где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- мера Лебега. Коэффициент $(2\; \pi )\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{-\; 1\}\}$выбирается так, чтобы $\mu \; (T)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (\; \backslash \; mathbb\; \{T\})\; =\; 1\}$.

• гипербола единиц $\{(x,\; y):\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 1,\; x>0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{(x,\; y):\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; =\; 1,\; x>0\; \backslash \}\}$можно рассматривать как группу при умножении, определяемую как комплексные числа с разбиением $z\; =\; x\; +\; yj,\; j\; 2\; =\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; x\; +\; yj,\; \backslash \; \backslash \; j\; ^\; \{2\}\; =\; +\; 1.\}$Обычная площадь мера в полумесяц служит для определения гиперболического угла как площади его гиперболического сектора. Мера Хаара единичной гиперболы порождается гиперболическим углом сегментов на гиперболе. Например, мера в одну единицу задается отрезком, идущим от (1,1) до (e, 1 / e), где e Число Эйлера. Hy перболический угол использовался в математической физике с скоростью вместо классической скорости.

• Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является группой ненулевых кватернионы, тогда $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$можно рассматривать как открытое подмножество $R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{4\}\}$. Мера Хаара $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$определяется как

$\mu \; (S)\; =\; \int \; S\; 1\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; w\; 2)\; 2\; dxdydzdw\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (S)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dz\; \backslash ,\; dw\}$

где $dx\; \wedge \; dy\; \wedge \; dz\; \wedge \; dw\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; \backslash \; wedge\; dy\; \backslash \; wedge\; dz\; \backslash \; wedge\; dw\}$обозначает Мера Лебега в $R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{4\}\}$и $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$является борелевским подмножеством $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

• Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является аддитивной группой $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адических чисел для простое число $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, тогда мера Хаара задается следующим образом: $a\; +\; pn\; O\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; p\; ^\; \{n\}\; O\}$имеют меру $p\; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{-\; n\}\}$, где $O\; \{\backslash \; displaystyle\; O\}$- кольцо $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-адические целые числа.

В том же выпуске Annals of Mathematics и сразу после H В статье Аара теорема Хаара была использована для решения пятой проблемы Гильберта для компактных групп Джоном фон Нейманом.

Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$не является дискретной группе, невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на всех подмножествах $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, предполагая аксиому выбора, согласно теория неизмеримых множеств.

Абстрактный гармонический анализ

Меры Хаара используются в гармоническом анализе локально компактных групп, особенно в теории Понтрягина двойственность. Чтобы доказать существование меры Хаара на локально компактной группе $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, достаточно показать левоинвариантную меру Радона на $G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; G\}$.

Математическая статистика

В математической статистике меры Хаара используются для априорных мер, которые являются априорными вероятностями для компактных групп преобразований. Эти предшествующие меры используются для построения допустимых процедур путем апелляции к описанию допустимых процедур как байесовских процедур (или ограничений байесовских процедур) Вальдом. Например, правая мера Хаара для семейства распределений с параметром местоположения дает результат оценки Питмана, который является наилучшим эквивариантным. Когда левая и правая меры Хаара различаются, правая мера обычно предпочтительнее в качестве предварительного распределения. Для группы аффинных преобразований в пространстве параметров нормального распределения правая мера Хаара - это априорная мера Джеффриса. К сожалению, даже правильные меры Хаара иногда приводят к бесполезным априорным показателям, которые нельзя рекомендовать для практического использования, как и другие методы построения априорных показателей, избегающие субъективной информации.

Другое использование меры Хаара в статистике находится в условный вывод, в котором выборочное распределение статистики обусловлено другой статистикой данных. В теоретико-инвариантном условном выводе выборочное распределение обусловлено инвариантом группы преобразований (относительно которой определена мера Хаара). Результат кондиционирования иногда зависит от порядка, в котором используются инварианты, и от выбора a, так что сам по себе статистический принцип инвариантности не может выбрать какую-либо уникальную лучшую условную статистику (если таковая существует); нужен хотя бы другой принцип.

Для некомпактных групп статистики расширили результаты измерения Хаара, используя аменабельные группы.

В 1936 году Вейль доказал обратное (своего рода) теорему Хаара., показывая, что если группа имеет левоинвариантную меру с некоторым разделяющим свойством, то можно определить топологию на группе, и пополнение группы локально компактно, и данная мера по существу совпадает с мерой Хаара на это завершение.

• двойственность Понтрягина
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани

• Дистел, Джо; Спалсбери, Анджела (2014), Радости измерения Хаара, Исследования в области математики, 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-0935-7, MR 3186070
• Лумис, Линн (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ, Д. ван Ностранд и Ко, hdl : 2027 / uc1.b4250788.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963), Абстрактный гармонический анализ. Vol. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп., Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR 0156915
• Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral, Princeton, NJ: D. Van Nostrand
• Андре Вейл, Basic Number Theory, Academic Press, 1971.

• Существование и единственность интеграла Хаара на локально компактной топологической группе - Герт К. Педерсен
• О существовании и единственности инвариантных мер на локально компактных группах - Саймон Рубинштейн-Зальзедо