Дискретный пробел

редактировать

В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или аналогичной структуры, в которой точки образуют прерывную последовательность, то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология - это лучшая топология, которая может быть задана на множестве, то есть она определяет все подмножества как открытые множества. В частности, каждый синглтон является открытым набором в дискретной топологии.

Содержание

1 Определения
2 Свойства
3 Использует
4 Неконтактные пробелы
5 См. Также
6 Ссылки

Определения

Для данного набора X :

дискретная топология на X определяется, позволяя каждому подмножеству X быть открытым (и, следовательно, также закрытым ), и X является дискретным топологическим пространством, если оно снабжено своей дискретной топологией;
дискретная однородность на X определяется тем, что каждый надмножество диагонали {(x, x): x находится в X} в X × X является окружением, а X является дискретным однородным пространством, если он снабжен своей дискретной однородностью.
дискретная метрика $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ на X определяется как

ρ (x, y) = {1, если x ≠ y, 0, если x = y {\ displaystyle \ rho (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix}} 1 {\ t_dv {if}} \ x \ neq y, \\ 0 {\ t_dv {if}} \ x = y \ end {matrix}} \ right.}

\ rho (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 { \ t_dv {if}} \ x \ neq y, \\ 0 {\ t_dv {if}} \ x = y \ end {matrix}} \ right.

для любых

x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}

x, y \ in X

. В этом случае

(X, ρ) {\ displaystyle (X, \ rho)}

(X, \ rho)

называется дискретным метрическим пространством или пространством изолированного точки.

a установить S является дискретным в метрическом пространстве $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ , для $S ⊆ X {\ displaystyle S \ substeq X}$ $S \ substeq X$ , если для каждого $x ∈ S {\ displaystyle x \ in S}$ $x \ в S$ существует некоторый $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ (в зависимости от $x {\ displaystyle x}$ $x$ ) так, что $d (x, y)>δ {\ displaystyle d (x, y)>\ delta}$ $d(x,y)>\ delta$ для всех $y ∈ S ∖ {x} {\ displaystyle y \ in S \ setminus \ {x \}}$ $y \ in S \ setminus \ {x \}$ ; такой набор состоит из изолированных точек. Набор S равномерно дискретен в метрическом пространстве $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ для $S ⊆ Икс {\ displaystyle S \ substeq X}$ $S \ substeq X$ , если существует ε>0 такое, что для любых двух различных $x, y ∈ S {\ displaystyle x, y \ in S}$ $x, y \ in S$ , $d (x, y) {\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ >ε.

метрическое пространство $(E, d) {\ displaystyle (E, d)}$ $(E, d)$ называется равномерно дискретным, если существует «радиус упаковки» $r>0 {\ displaystyle r>0}$ $r>0$ таким образом, что для любого $x, y ∈ E { \ displaystyle x, y \ in E}$ $x, y \ in E$ , один имеет либо $x = y {\ displaystyle x = y}$ $x=y$ , либо $d (x, y)>r {\ displaystyle d (x, y)>r}$ $d(x,y)>r$ . Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, без равномерной дискретности метрики: например, обычная метрика на множестве {1, 1/2, 1/4, 1/8,...} действительных чисел.

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно является равномерно дискретным
Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8,...}, рассмотрим это множество, используя обычную метрику для действительных чисел. Тогда X - дискретное пространство, поскольку для каждой точки 1/2 мы можем окружить его интервалом (1/2 -, 1/2 + ɛ), где ɛ = 1/2 (1/2 - 1 / 2) = 1/2. Пересечение (1/2 - ɛ, 1/2 + ɛ) ∩ {1/2} - это просто синглтон {1/2}. Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство. Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r>0 такое, что d (x, y)>r всякий раз, когда x ≠ y. Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y, которые ближе друг к другу, чем r. Поскольку расстояние между соседними точками 1/2 и 1/2 равно 1/2, нам нужно найти n, удовлетворяющее этому неравенству: $1/2 n + 1 < r {\displaystyle 1/2^{n+1}$ $1/2 ^ {n + 1} <r$ $1 < r 2 n + 1 {\displaystyle 1$ $1 <r2 ^ {n + 1}$ $1 / r < 2 n + 1 {\displaystyle 1/r<2^{n+1}}$ $1 / r <2 ^ {n + 1}$ $log 2 ⁡ (1 / r) < n + 1 {\displaystyle \log _{2}(1/r)$ $\ log _ {2} (1 / r) <n + 1$ $- log 2 ⁡ (r) < n + 1 {\displaystyle -\log _{2}(r)$ $- \ log _ {2} (r) <n + 1$ $- 1 - log 2 ⁡ (r) < n {\displaystyle -1-\log _{2}(r)$ $-1- \ log _ {2} (r) <n$ Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будет по крайней мере, две точки в X, которые ближе друг к другу, чем любое положительное r, поэтому X не является равномерно дискретным....

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно является равномерно дискретным

Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8,...}, рассмотрим это множество, используя обычную метрику для действительных чисел. Тогда X - дискретное пространство, поскольку для каждой точки 1/2 мы можем окружить его интервалом (1/2 -, 1/2 + ɛ), где ɛ = 1/2 (1/2 - 1 / 2) = 1/2. Пересечение (1/2 - ɛ, 1/2 + ɛ) ∩ {1/2} - это просто синглтон {1/2}. Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство.

Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r>0 такое, что d (x, y)>r всякий раз, когда x ≠ y. Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y, которые ближе друг к другу, чем r. Поскольку расстояние между соседними точками 1/2 и 1/2 равно 1/2, нам нужно найти n, удовлетворяющее этому неравенству:

$1/2 n + 1 < r {\displaystyle 1/2^{n+1}$ $1/2 ^ {n + 1} <r$

$1 < r 2 n + 1 {\displaystyle 1$ $1 <r2 ^ {n + 1}$

$1 / r < 2 n + 1 {\displaystyle 1/r<2^{n+1}}$ $1 / r <2 ^ {n + 1}$

$log 2 ⁡ (1 / r) < n + 1 {\displaystyle \log _{2}(1/r)$ $\ log _ {2} (1 / r) <n + 1$

$- log 2 ⁡ (r) < n + 1 {\displaystyle -\log _{2}(r)$ $- \ log _ {2} (r) <n + 1$

$- 1 - log 2 ⁡ (r) < n {\displaystyle -1-\log _{2}(r)$ $-1- \ log _ {2} (r) <n$

Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будет по крайней мере, две точки в X, которые ближе друг к другу, чем любое положительное r, поэтому X не является равномерно дискретным....

Свойства

Базовая однородность на дискретном метрическом пространстве - это дискретная однородность, а основная топология на дискретном однородном пространстве - это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство X: = {1 / n: n = 1,2,3,...} (с метрикой, унаследованной от вещественной строки и заданной как d (x, y) = | х - у |). Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Мы говорим, что X топологически дискретно, но не равномерно дискретно или метрически дискретно.

Дополнительно:

топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда его синглтоны открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда он не содержит никаких точек накопления.
Синглтоны образуют базис для дискретной топологии.
A равномерное пространство X дискретно тогда и только тогда, когда диагональ {(x, x): x находится в X} является окружением.
. Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделения ; в частности, каждое дискретное пространство Хаусдорфа, то есть разделено.
Дискретное пространство компактное тогда и только тогда, когда это конечное.
Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полное.
Сочетание двух вышеупомянутых фактов показывает, что каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
Каждое дискретное метрическое пространство ограничено.
Каждое дискретное пространство подсчитывается первым ; кроме того, это подсчитываемое по секундам тогда и только тогда, когда оно подсчитываемое.
Каждое дискретное пространство полностью отключено.
Каждое непустое дискретное пространство является второй категорией.
Любые два дискретных пространства с одинаковой мощностью являются гомеоморфными.
Каждое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
Конечное пространство метризуемо, только если оно дискретно.
Если X - топологическое пространство, а Y - множество, несущее дискретную топологию, то X равномерно покрывается X × Y (карта проекции является желаемым покрытием)
топология подпространства на целых числах в качестве подпространства вещественной строки является дискретной топологией.
Дискретное пространство разделяется тогда и только тогда, когда оно счетно.

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство является непрерывной, а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство является равномерно непрерывной. То есть дискретное пространство X свободно на множестве X в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.

С метрическими пространствами дело обстоит сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмов. Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или все непрерывные отображения, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре, только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых отображений, и оно свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевым, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное 1, является короткой.

Если пойти в другом направлении, функция f из топологического пространства Y в дискретное пространство X будет непрерывной тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в Y имеет окрестности, в которой f постоянна.

Использует

Дискретная структура часто используется в качестве «структуры по умолчанию» для набора, который не несет никакой другой естественной топологии, единообразия или метрики; дискретные структуры часто можно использовать в качестве «крайних» примеров для проверки определенных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу, задав ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. В самом деле, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, «дискретными группами ». В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина. 0-мерное многообразие (дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное топологическое пространство. Следовательно, мы можем рассматривать любую дискретную группу как 0-мерное группу Ли.

A произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел is гомеоморфно пространству иррациональных чисел, с гомеоморфизмом, заданным разложением непрерывной дроби. Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства {0,1} гомеоморфно канторовскому множеству ; и фактически равномерно гомеоморфно набору Кантора, если мы используем на произведении. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. пространство Кантора.)

В основах математики исследование свойств компактности продуктов из {0,1} центральное место в топологическом подходе к принципу ультрафильтра, который является слабой формой выбора.

Недискретных пространств

В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), которая имеет наименьшее возможное количество открытых множеств (только пустой набор и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является окончательной или cofree : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство является непрерывной и т. Д.

См. Также

Ссылки

^Pleasants, Peter AB (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы для вырезания и проектирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах. Серия монографий CRM. 13 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.

Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. MR 0507446. Zbl 0386.54001.