Пробел Кантора

редактировать

В математике, пробел Кантора, названный в честь Георга Кантора, является топологической абстракцией классического канторовского множества : топологическое пространство является канторовым пространством, если оно гомеоморфен набору Кантора. В теории множеств топологическое пространство 2 называется канторовым пространством.

Содержание

1 Примеры
2 Характеристика
3 Свойства
4 См. Также
5 Ссылки

Примеры

Канторовское множество само по себе является канторовым пространством. Но каноническим примером канторова пространства является счетно бесконечное топологическое произведение дискретного двухточечного пространства {0, 1}. Обычно это записывается как $2 N {\ displaystyle 2 ^ {\ mathbb {N}}}$ $2 ^ \ mathbb {N}$ или 2 (где 2 обозначает 2-элементный набор {0,1} с дискретной топологией). Точка в 2 - это бесконечная двоичная последовательность, то есть последовательность, которая принимает только значения 0 или 1. Для такой последовательности a 0, a 1, a 2,..., можно отобразить его в действительное число

∑ n = 0 ∞ 2 an 3 n + 1. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2a_ {n}} {3 ^ {n + 1}}}.}

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {2 a_n} {3 ^ {n + 1} }.

Это отображение дает гомеоморфизм из 2 в множество Кантора, демонстрируя, что 2 действительно является канторовским пространством.

Канторовские пространства часто встречаются в реальном анализе. Например, они существуют как подпространства в каждом perfect, complete метрическом пространстве. (Чтобы увидеть это, заметьте, что в таком пространстве любое непустое совершенное множество содержит два непересекающихся непустых совершенных подмножества сколь угодно малого диаметра, и поэтому можно имитировать построение обычного канторовского множества.) Кроме того, каждое несчетное, сепарабельное, вполне метризуемое пространство содержит пространства Кантора как подпространства. Сюда входит большинство обычных типов пространств в реальном анализе.

Характеристика

Топологическая характеристика пространств Кантора дается теоремой Брауэра :

Любые два непустых компактных Хаусдорфовы пространства без изолированных точек и со счетными базами, состоящими из закрытых множеств, гомеоморфны друг другу.

Топологическое свойство наличия базы, состоящей из незамкнутых множеств, иногда называют «нулевой размерностью». Теорема Брауэра может быть переформулирована следующим образом:

Топологическое пространство является канторовым пространством тогда и только тогда, когда оно не пустое, совершенное, компактное, полностью несвязные и метризуемые.

Эта теорема также эквивалентна (с помощью теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр ) тому факту, что любые две счетные безатомные булевы алгебры являются изоморфный.

Свойства

Как и следовало ожидать из теоремы Брауэра, пространства Кантора появляются в нескольких формах. Но многие свойства пространств Кантора могут быть установлены с помощью 2, потому что его построение как продукт делает его поддающимся анализу.

Канторовские пространства обладают следующими свойствами:

мощность любого канторовского пространства $2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ , то есть мощность континуума.
Произведение двух (или даже любого конечного или счетного числа) канторовских пространств является канторовым пространством. Наряду с функцией Кантора, этот факт может быть использован для построения кривых, заполняющих пространство.
A (непустое) хаусдорфово топологическое пространство компактно метризуемо тогда и только тогда, когда оно является непрерывным образом канторова пространства.

Пусть C (X) обозначает пространство всех действительнозначных ограниченных непрерывных функций на топологическом пространстве X. Пусть K обозначает компактное метрическое пространство, а ∆ обозначает канторово множество. Тогда множество Кантора обладает следующим свойством:

C (K) изометрично замкнутому подпространству C (Δ).

В общем, эта изометрия не уникальна и, следовательно, не является собственно универсальное свойство в категориальном смысле.

Группа всех гомеоморфизмов пространства Кантора является простым.

См. Также

Ссылки

^Брауэр, LEJ (1910), «О структуре совершенных множеств точек» (PDF), Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 12 : 785–794.
^N.L. Карозерс, Краткий курс теории банахового пространства, Тексты студентов Лондонского математического общества 64, (2005) Cambridge University Press. См. Главу 12
^Willard, op.cit., См. Раздел 30.7
^https://imgur.com/a/UDgthQm
^Carothers, op.cit.
^Р.Д. Андерсон, Алгебраическая простота некоторых групп гомеоморфизмов, Американский журнал математики 80 (1958), стр. 955-963.

Кечрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств (Тексты для выпускников по математике 156 изд.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.