Войти
В математике, теорема о представлении Стоун для булевых алгебр состояний, что каждая булева алгебра является изоморфной в определенную область множеств. Теорема является фундаментальной для более глубокого понимания булевой алгебры, возникшего в первой половине 20 века. Теорема была впервые доказана Маршаллом Х. Стоуном. Стоун привел к нему его изучению спектральной теории из операторов на гильбертовом пространстве.
Каждая булева алгебра B имеет ассоциированное топологическое пространство, обозначаемое здесь S ( B), которое называется ее пространством Стоуна. Точки в S ( B) являются ультрафильтрами на B или, что эквивалентно, гомоморфизмами из B в двухэлементную булеву алгебру. Топология на S ( B) порождается (замкнутым) базисом, состоящим из всех множеств вида
где Ь является элементом B. Это топология поточечной сходимости сетей гомоморфизмов в двухэлементную булеву алгебру.Для каждой булевой алгебры B, S ( B) представляет собой компактное полностью отсоединен хаусдорфовым ; такие пространства называются каменными пространствами (также проконечными пространствами). Наоборот, учитывая любое топологическое пространство X, совокупность подмножеств X, которые замкнутых (как закрытых, так и открытых) является Булева алгебра.
Простая версия теоремы Стоуна о представлении утверждает, что каждая булева алгебра B изоморфна алгебре открыто-замкнутых подмножеств ее пространства Стоуна S ( B). Изоморфизм отправляет элемент во множество всех ультрафильтров, содержащих b. Это открыто-замкнутое множество из-за выбора топологии на S ( B) и потому, что B - булева алгебра.
Переформулируем теорему на языке теории категорий ; то теорема утверждает, что существует двойственность между категорией из булевых алгебр и категорией каменных пространств. Эта двойственность означает, что помимо соответствия между булевыми алгебрами и их пространствами Стоуна, каждый гомоморфизм булевой алгебры A в булеву алгебру B естественным образом соответствует непрерывной функции из S ( B) в S ( A). Другими словами, существует контравариантный функтор, который обеспечивает эквивалентность категорий. Это был ранний пример нетривиальной двойственности категорий.
Теорема представляет собой частный случай двойственности Стоуна, более общую основу для двойственности между топологическими пространствами и частично упорядоченными множествами.
Доказательство требует либо аксиомы выбора, либо ее ослабленной формы. В частности, теорема эквивалентна булевой теореме о простом идеале, ослабленному принципу выбора, который утверждает, что каждая булева алгебра имеет простой идеал.
Распространение классической двойственности Стоуна на категорию булевых пространств (= нульмерных локально компактных хаусдорфовых пространств) и непрерывных отображений (соответственно совершенных отображений) было получено Г. Д. Димовым (соответственно, HP Doctor).
где Ь является элементом B. Это топология поточечной сходимости сетей гомоморфизмов в двухэлементную булеву алгебру. 