Спектральная теория

В математике, спектральная теория - это всеобъемлющий термин для теорий, расширяющих собственный вектор и собственное значение теория единственной квадратной матрицы к гораздо более широкой теории структуры операторов в различных математических пространствах. Это результат исследований линейной алгебры и решений систем линейных уравнений и их обобщений. Теория связана с теорией аналитических функций, потому что спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра.

• 1 Математические основы
• 2 Физические основы
• 3 Определение спектра
• 4 Кратко о спектральной теории
• 5 Разрешение тождества
• 6 Оператор резольвенты
• 7 Операторные уравнения
• 8 Спектральная теорема и коэффициент Рэлея
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Название спектральная теория было введено Дэвидом Гильбертом в его первоначальной формулировке Гильбертова пространства. теория, выраженная в терминах квадратичных форм от бесконечного множества переменных. Исходная спектральная теорема поэтому была задумана как версия теоремы о главных осях эллипсоида в бесконечномерном контексте. Следовательно, более позднее открытие квантовой механики, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отметив, что «я разработал свою теорию бесконечного множества переменных из чисто математических интересов и даже назвал ее« спектральным анализом », не предполагая, что позже она найдет применение к реальному спектру переменных. физика. "

Было три основных способа сформулировать спектральную теорию, каждый из которых нашел применение в различных областях. После первоначальной формулировки Гильберта более позднее развитие абстрактных гильбертовых пространств и спектральная теория единичных нормальных операторов на них хорошо соответствовали требованиям физики. по работе фон Неймана. Дальнейшая теория, построенная на этом, направлена ​​на рассмотрение банаховых алгебр в целом. Это развитие приводит к представлению Гельфанда, которое охватывает коммутативный случай, и далее к некоммутативному гармоническому анализу.

. Разницу можно увидеть в установлении связи с Анализ Фурье. преобразование Фурье на вещественной линии в некотором смысле является спектральной теорией дифференцирования как дифференциального оператора. Но для того, чтобы охватить явления, нужно уже иметь дело с обобщенными собственными функциями (например, с помощью оснащенного гильбертова пространства ). С другой стороны, легко построить групповую алгебру , спектр которой отражает основные свойства преобразования Фурье, и это осуществляется с помощью двойственности Понтрягина.

. Можно также изучить спектральные свойства операторов в банаховых пространствах. Например, компактные операторы в банаховых пространствах обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матриц.

Основы физики колебаний было объяснено следующим образом:

Спектральная теория связана с исследованием локализованных колебаний множества различных объектов, от атомов и молекул в химии к препятствиям в акустических волноводах. Эти колебания имеют частоты, и проблема состоит в том, чтобы решить, когда возникают такие локализованные колебания, и как рассчитывать частоты. Это очень сложная проблема, поскольку каждый объект имеет не только основной тон, но и сложную серию обертонов, которые радикально меняются от одного тела к другому.

Такие физические идеи не имеют ничего общего с математической теорией на техническом уровне, но есть примеры косвенного участия (см., например, вопрос Марка Каца Вы слышите форму барабана? ). Принятие Гильбертом термина «спектр» было приписано статье 1897 года Вильгельма Виртингера о дифференциальном уравнении Хилла (Жана Дьедонне ), и это было принято его ученики в течение первого десятилетия двадцатого века, среди них Эрхард Шмидт и Герман Вейль. Концептуальная основа для гильбертова пространства была разработана на основе идей Гильберта Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом. Почти двадцать лет спустя, когда квантовая механика была сформулирована в терминах уравнения Шредингера, была установлена ​​связь с атомными спектрами ; связь с математической физикой вибрации подозревалась и раньше, как отмечал Анри Пуанкаре, но отвергалась по простым количественным причинам без объяснения серии Бальмера. Более позднее открытие квантовой механики, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было поэтому случайным, а не объектом спектральной теории Гильберта.

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование T, определенное всюду над общим банаховым пространством. Формируем преобразование:

$R\; \zeta \; =\; (\zeta \; I\; -\; T)\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; zeta\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; zeta\; IT\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

Здесь я - оператор тождества, а ζ - это комплексное число. Обратный к оператору T, то есть T, определяется следующим образом:

$T\; T\; -\; 1\; =\; T\; -\; 1\; T\; =\; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; TT\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; T\; ^\; \{-\; 1\}\; T\; =\; I.\}$

Если существует обратное, T называется регулярным. Если его не существует, T называется сингулярным.

С этими определениями резольвентное множество числа T является набором всех комплексных чисел ζ, таких что R ζ существует и ограничено. Это множество часто обозначается как ρ (T). Спектр T - это набор всех комплексных чисел ζ таких, что R ζне может существовать или неограниченно. Часто спектр оператора T обозначается через σ (T). Функция R ζ для всех ζ в ρ (T) (то есть везде, где R ζ существует как ограниченный оператор) называется резольвентой оператора T. Таким образом, спектр T является дополнением резольвентного множества T в комплексной плоскости. Каждое собственное значение оператора T принадлежит σ (T), но σ (T) может содержать не собственные значения.

Это определение применяется к банаховому пространству, но, конечно, существуют и другие типы пространств. также, например, топологические векторные пространства включают банаховы пространства, но могут быть более общими. С другой стороны, банаховы пространства включают гильбертовы пространства, и именно эти пространства находят наибольшее применение и богатейшие теоретические результаты. При подходящих ограничениях можно многое сказать о структуре спектров преобразований в гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженных операторов спектр лежит на вещественной прямой и (в общем случае) представляет собой спектральную комбинацию точечного спектра дискретного собственные значения и непрерывный спектр.

В функциональном анализе и линейной алгебре спектральная теорема устанавливает условия, при которых оператор может быть выражен в простой форме как сумма более простых операторов. Поскольку полная строгость изложения не подходит для этой статьи, мы применяем подход, который избегает большей части строгости и удовлетворения формального лечения с целью быть более понятным для неспециалистов.

Эту тему проще всего описать, введя для операторов скобочную нотацию из Дирака. Например, очень частный линейный оператор L может быть записан как диадическое произведение :

$L\; =\; |\; k\; 1⟩\; ⟨b\; 1\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; |\; k\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; b\_\; \{1\}\; |,\}$

в терминах «бюстгальтера» ⟨b 1 | и "кет" | k 1 ⟩. Функция f описывается кетом как | f⟩. Функция f (x), определенная в координатах $(x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; \backslash \; dots)\}$обозначается как

$f\; (x)\; =\; ⟨x,\; f⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; langle\; x,\; f\; \backslash \; rangle\}$

, а величина f - как

$\Vert \; f\; \Vert \; 2\; знак\; равно\; ⟨е,\; е⟩\; знак\; равно\; \int \; ⟨е,\; Икс⟩\; ⟨Икс,\; е⟩\; dx\; =\; \int \; е\; *\; (х)\; е\; (х)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; е\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; langle\; f,\; f\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; langle\; f,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; x,\; f\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; f\; ^\; \{*\}\; (x)\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

где обозначение '* 'обозначает комплексное сопряжение. Этот выбор внутреннего продукта определяет очень конкретное внутреннее пространство продукта, ограничивая общность следующих аргументов.

Затем описывается влияние L на функцию f как:

$L\; |\; f⟩\; =\; |\; k\; 1⟩\; ⟨b\; 1\; |\; f⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; |\; f\; \backslash \; rangle\; =\; |\; k\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; b\_\; \{1\}\; |\; f\; \backslash \; rangle\}$

, выражающий результат того, что влияние L на f приводит к созданию новой функции $|\; k\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; k\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\}$, умноженное на внутренний продукт, представленный как $⟨b\; 1\; |\; е⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; b\_\; \{1\}\; |\; f\; \backslash \; rangle\}$.

Более общий линейный оператор L может быть выражен как:

$L\; =\; \lambda \; 1\; |\; e\; 1⟩\; ⟨f\; 1\; |\; +\; \lambda \; 2\; |\; e\; 2⟩\; ⟨f\; 2\; |\; +\; \lambda \; 3\; |\; e\; 3⟩\; ⟨f\; 3\; |\; +\dots ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; |\; e\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{1\}\; |\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; |\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{2\}\; |\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; |\; e\_\; \{3\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{3\}\; |\; +\; \backslash \; dots,\}$

, где $\{\lambda \; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \}\}$- скаляры, а $\{|\; e\; i⟩\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash ,\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; \backslash \}\}$являются базисом, а $\{⟨f\; i\; |\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; \backslash ,\; \backslash \}\}$a взаимное основание для пространства. Отношение между базисом и взаимным базисом частично описывается следующим образом:

$⟨f\; i\; |\; ej⟩\; знак\; равно\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$

Если применяется такой формализм, $\{\lambda \; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \}\}$- это собственные значения L и функций $\{|\; ei⟩\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash ,\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; \backslash \}\}$- это собственные функции L. Собственные значения находятся в спектре L.

Возникают естественные вопросы: при каких обстоятельствах работает этот формализм и для каких операторов L возможно разложение в ряд других подобных операторов? Может ли какая-либо функция f быть выражена через собственные функции (являются ли они базисом Шаудера ) и при каких обстоятельствах возникает точечный спектр или непрерывный спектр? Чем отличаются формализмы для бесконечномерных пространств и конечномерных пространств? Можно ли распространить эти идеи на более широкий класс пространств? Ответы на такие вопросы являются областью спектральной теории и требуют значительного опыта в области функционального анализа и матричной алгебры.

Этот раздел продолжается в грубой и готовой форме. в приведенном выше разделе с использованием обозначений на скобках и упущения многих важных деталей строгого обращения. Строгую математическую трактовку можно найти в различных источниках. В частности, размерность n пространства будет конечной.

Используя обозначение скобками из предыдущего раздела, оператор тождества может быть записан как:

$I\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\}$

где предполагается, как указано выше, что {$|\; e\; i⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}$} являются базисом, а {$⟨f\; i\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\}$} взаимный базис для пространства, удовлетворяющий соотношению:

$⟨f\; i\; |\; е\; j⟩\; знак\; равно\; \delta \; i\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; e\_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}.\}$

Это выражение операции идентификации называется представлением или разрешением идентичности. Это формальное представление удовлетворяет основному свойству тождества:

$I\; k\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; ^\; \{k\}\; =\; I\; \backslash ,\}$

действительно для любого положительного целого числа k.

Применение разрешения идентичности к любой функции в пространстве $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$, получаем:

$I\; |\; \psi ⟩\; =\; |\; \psi ⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; \psi ⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; c\; i\; |\; ei⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; c\_\; \{i\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}$

, которое является обобщенным разложением Фурье функции ψ в терминах базисных функций {e я }. Здесь $c\; i\; =\; ⟨f\; i\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$.

Дано некоторое операторное уравнение вида:

$O\; |\; \psi ⟩\; =\; |\; h⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; |\; h\; \backslash \; rangle\}$

с h в пространстве, это уравнение может быть решено в указанном выше базисе с помощью формальных манипуляций:

$O\; |\; \psi ⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; c\; i\; (O\; |\; e\; i⟩)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; час⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (O\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; h\; \backslash \; rangle,\}$

$⟨fj\; |\; O\; |\; \psi ⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; c\; i\; ⟨f\; j\; |\; O\; |\; e\; i⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; ⟨f\; j\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; h⟩\; =\; ⟨f\; j\; |\; час⟩,\; \forall \; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\}\; |\; O\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\}\; |\; O\; |\; e\_\; \{i\; \}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; h\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\}\; |\; h\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; j\}$

, который преобразует операторное уравнение в матричное уравнение, определяющее неизвестные коэффициенты c j в терминах обобщенных коэффициентов Фурье $⟨fj\; |\; час⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\}\; |\; h\; \backslash \; rangle\}$h и матричные элементы $O\; j\; i\; =\; ⟨f\; j\; |\; O\; |\; ei⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{ji\}\; =\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\}\; |\; O\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}$оператора O.

Роль спектральной теории возникает в установление характера и существования основы и взаимной основы. В частности, базис может состоять из собственных функций некоторого линейного оператора L:

$L\; |\; e\; i⟩\; =\; \lambda \; i\; |\; e\; i⟩;\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash ,;\}$

с {λ i } собственными значениями L из спектр L. Тогда разрешение тождества выше обеспечивает диадное разложение L:

$LI\; =\; L\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; L\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \lambda \; i\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; LI\; =\; L\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; L\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |.\}$

Используя спектральную теорию, оператор резольвенты R:

$R\; =\; (\lambda \; I\; -\; L)\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; (\backslash \; lambda\; IL)\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash ,\}$

можно вычислить в терминах собственных функций и собственных значений L, и можно найти функцию Грина, соответствующую L.

Применение R к некоторой произвольной функции в пространстве, скажем $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$,

$R\; |\; \phi ⟩\; =\; (\lambda \; I\; -\; L)\; -\; 1\; |\; \phi ⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; 1\; \lambda \; -\; \lambda \; i\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; \phi ⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; =\; (\backslash \; lambda\; IL)\; ^\; \{-\; 1\}\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle.\}$

Эта функция имеет полюсов в комплексной λ-плоскости в каждом собственном значении L Таким образом, используя исчисление вычетов :

$1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; CR\; |\; \phi ⟩\; d\; \lambda \; =\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; e\; i⟩\; ⟨f\; i\; |\; \phi ⟩\; =\; -\; |\; \phi ⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; R\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; d\; \backslash \; lambda\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\}\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; =\; -\; |\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle,\}$

где линейный интеграл берется по контуру C, который включает все собственные значения L.

Предположим, что наши функции определены по некоторым координатам {x j }, то есть:

$⟨x,\; \phi ⟩\; =\; \phi \; (x\; 1,\; x\; 2,...).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},...).\}$

Представляем обозначение

$⟨x,\; y⟩\; =\; \delta \; (x\; -\; y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; (xy),\}$

где δ (x - y) = δ (x 1 - y 1, x 2 - y 2, x 3 - y 3,...) - дельта-функция Дирака, мы можем записать

$⟨x,\; \phi ⟩\; =\; \int \; ⟨x,\; y⟩\; ⟨y,\; \phi ⟩\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; y,\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; dy.\}$

Тогда:

$⟨x,\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; \phi \; \lambda \; I\; -\; L\; d\; \lambda ⟩\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; d\; \lambda \; ⟨x,\; \phi \; \lambda \; I\; -\; L⟩\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; d\; \lambda \; \int \; dy\; ⟨x,\; y\; \lambda \; I\; -\; L⟩\; ⟨y,\; \phi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; lambda\; IL\}\}\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; lambda\; IL\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash \; int\; dy\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x,\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\backslash \; lambda\; IL\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; y,\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Функция G (x, y; λ) определяется следующим образом:

$G\; (x,\; y;\; \lambda )\; =\; ⟨x,\; y\; \lambda \; I\; -\; L⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; ⟨x,\; ei⟩\; ⟨fi,\; ej\; \lambda \; I\; -\; L⟩\; ⟨fj,\; y⟩\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; ⟨x,\; ei⟩\; ⟨fi,\; y⟩\; \lambda \; -\; \lambda \; я\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nei\; (x)\; fi\; *\; (y)\; \lambda \; -\; \lambda \; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\; (x,\; y;\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x,\; \{\; \backslash \; frac\; \{y\}\; \{\backslash \; lambda\; IL\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; langle\; x,\; e\_\; \{i\; \}\; \backslash \; побежал\; gle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\},\; \{\backslash \; frac\; \{e\_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; lambda\; IL\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{j\},\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; x,\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\},\; y\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\_\; \{i\}\; (x)\; f\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; (y)\}\; \{\backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\},\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

называется функцией Грина для оператора L и удовлетворяет:

$1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; \; G\; (x,\; y;\; \lambda )\; d\; \lambda \; =\; -\; i\; =\; 1\; n\; ⟨x,\; e\; i⟩\; ⟨f\; i,\; y⟩\; =\; -\; ⟨x,\; y⟩\; =\; -\; \delta \; (x\; -\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; G\; (x,\; y;\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; lambda\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; langle\; x,\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\},\; y\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; delta\; (xy).\}$

Учитывать операторное уравнение:

$(O\; -\; \lambda \; I)\; |\; \psi ⟩\; =\; |\; h⟩;\; \{\backslash \; displaystyle\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; |\; h\; \backslash \; rangle;\}$

в координатах:

$\int \; ⟨x,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; y⟩\; ⟨y,\; \psi ⟩\; dy\; =\; h\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; langle\; x,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; y,\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; dy\; =\; h\; (x).\}$

Частным случаем является λ = 0.

Функция Грина из предыдущего раздела:

$y,\; G\; (\lambda )\; z⟩\; =\; ⟨y,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; -\; 1\; z⟩\; =\; G\; (y,\; z;\; \lambda ),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; y,\; G\; (\backslash \; lambda)\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; y,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; z\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; G\; (y,\; z;\; \backslash \; lambda),\}$

и удовлетворяет:

$\int \; ⟨x,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; y⟩\; ⟨y,\; G\; (\lambda )\; z⟩\; dy\; =\; \int \; ⟨x,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; y⟩\; ⟨y,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; -\; 1\; z⟩\; dy\; =\; ⟨x,\; z⟩\; =\; \delta \; (x\; -\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; langle\; x,\; (O-\; \backslash \; langle\; I)\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; y,\; G\; (\backslash \; lambda)\; z\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; langle\; x,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; y,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; \{-\; 1\}\; z\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; langle\; x,\; z\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; (xz).\}$

Использование этой функции Грина свойство:

$\int \; ⟨x,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; y⟩\; G\; (y,\; z;\; \lambda )\; dy\; =\; \delta \; (x\; -\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; langle\; x,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; y\; \backslash \; rangle\; G\; (y,\; z;\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; delta\; (xz).\}$

Затем, умножая обе части этого уравнения на h (z) и интегрируя:

$\int \; dzh\; (z)\; \int \; dy\; ⟨x,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; y⟩\; G\; (y,\; z;\; \lambda )\; =\; \int \; dy\; ⟨x,\; (O\; -\; \lambda \; I)\; y\; ⟩\; \int \; dzh\; (z)\; G\; (Y,\; z;\; \lambda )\; знак\; равно\; час\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; dz\; \backslash ,\; h\; (z)\; \backslash \; int\; dy\; \backslash ,\; \backslash \; langle\; x,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; y\; \backslash \; rangle\; G\; (y,\; z;\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; int\; dy\; \backslash ,\; \backslash \; langle\; x,\; (O-\; \backslash \; lambda\; I)\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; int\; dz\; \backslash ,\; h\; (z)\; G\; (y,\; z;\; \backslash \; lambda)\; =\; h\; (x),\}$

, что предполагает решение:

$\psi \; (x)\; =\; \int \; h\; (z)\; G\; (x,\; z;\; \lambda )\; dz.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; int\; h\; (z)\; G\; (x,\; z;\; \backslash \; lambda)\; \backslash ,\; dz.\}$

То есть функция ψ (x), удовлетворяющая операторному уравнению, будет найдена, если мы сможем найти спектр O и построить G, например, используя:

$G\; (x,\; z;\; \lambda )\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nei\; (x)\; fi\; \ast \; (z)\; \lambda \; -\; \lambda \; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x,\; z;\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\_\; \{i\}\; (x)\; f\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; (z)\}\; \{\backslash \; lambda\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}.\}$

Конечно, есть много других способов найти G. См. Статьи о функциях Грина и интегральных уравнениях Фредгольма. Следует иметь в виду, что приведенная выше математика является чисто формальной, и ее строгий подход включает в себя довольно сложную математику, в том числе хорошее базовое знание функционального анализа, гильбертовых пространств, дистрибутивы и пр. Обратитесь к этим статьям и ссылкам для получения более подробной информации.

Задачи оптимизации могут быть наиболее полезными примерами комбинаторного значения собственных значений и собственных векторов в симметричных матрицах, особенно для фактора Рэлея с относительно матрицы M.

Теорема Пусть M будет симметричной матрицей и пусть x будет ненулевым вектором, который максимизирует фактор Рэлея с в отношении M . Тогда x является собственным вектором M с собственным значением, равным частному Рэлея. Более того, это собственное значение является наибольшим собственным значением M.

Доказательство Предположим спектральную теорему. Пусть собственные значения M равны $\lambda \; 1\; \le \; \lambda \; 2\; \le \; \cdots \; \le \; \lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$. Поскольку {$vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$}образуют ортонормированный базис, любой вектор x может быть выражен в этом базисе как

$x\; =\; \sum \; ivi\; T\; xvi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; xv\_\; \{i\}\}$

Доказать эту формулу довольно просто. А именно,

$vj\; T\; \sum \; ivi\; T\; xvi\; =\; \sum \; ivi\; T\; xvj\; T\; vi\; =\; (vj\; T\; x)\; vj\; T\; vj\; =\; vj\; T\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; xv\_\; \{i\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; xv\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; v\_\; \{i\; \}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; v\_\; \{j\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

вычислить фактор Рэлея относительно x:

$x\; TM\; x\; =\; (\sum \; i\; (vi\; T\; x)\; vi)\; TM\; (\sum \; j\; (vj\; T\; x)\; vj)\; =\; (\sum \; i\; (vi\; T\; x)\; vi\; T)\; (\sum \; j\; (vj\; T\; x)\; vj\; \lambda \; j)\; =\; \sum \; i,\; j\; (vi\; T\; x)\; vi\; T\; (vj\; T\; x)\; vj\; \lambda \; j\; =\; \sum \; j\; (vj\; T\; Икс)\; (vj\; T\; x)\; \lambda \; j\; знак\; равно\; \sum \; J\; (vj\; T\; x)\; 2\; \lambda \; j\; \le \; \lambda \; N\; \sum \; j\; (vj\; T\; x)\; 2\; =\; \lambda \; nx\; T\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; ^\; \{T\}\; Mx\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; (v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{T\}\; M\; \backslash \; left\; (\backslash \; сумма\; \_\; \{j\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; (v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{j\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt\; ]\; =\; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; (v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{T\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; v\_\; \{j\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; \backslash \backslash \; [4pt\; ]\; =\; \{\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{\; T\}\; x)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (v\_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; x)\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\; \}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; x\; ^\; \{T\}\; x,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где мы использовали идентификатор Парсеваля в последней строке. Наконец, получаем, что

$x\; TM\; xx\; T\; x\; \le \; \lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{T\}\; Mx\}\; \{x\; ^\; \{T\}\; x\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$

поэтому коэффициент Рэлея всегда меньше $\lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\}$.

• Портал математики

• Спектр (функциональный анализ), Резольвентный формализм, Разложение спектра (функциональный анализ)
• Спектральный радиус, Спектр оператора, Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C * -алгебр
• Функции операторов, Теория операторов
• Проектор Рисса
• Самосопряженный оператор
• Теория Штурма – Лиувилля, Интегральные уравнения, Теория Фредгольма
• Компактные операторы, Изоспектральные операторы, Полнота
• Пары Лакса
• Спектральная геометрия
• Теория спектральных графов
• Список тем функционального анализа

• Эдвард Брайан Дэвис (1996). Спектральная теория и дифференциальные операторы; Том 42 в Кембриджских исследованиях по высшей математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58710-7.
• Нельсон Данфорд; Джейкоб Т. Шварц (1988). Линейные операторы, спектральная теория, самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (часть 2) (переиздание в мягкой обложке изд. 1967 г.). Вайли. ISBN 0-471-60847-5. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Нельсон Данфорд; Джейкоб Т. Шварц (1988). Линейные операторы, спектральные операторы (Часть 3) (Перепечатка в мягкой обложке, изд. 1971 г.). Wiley. ISBN 0-471-60846-7. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Садри Хассани (1999). «Глава 4: Спектральное разложение». Математическая физика: современное введение в ее основы. Springer. ISBN 0-387-98579-4.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Шмуэль Канторовиц (1983). Спектральная теория Операторы пространства Банаха; Спрингер.
• Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). «Глава 5, Часть B: Спектр». Теория линейных операторов в технике и науке; Том 40 прикладных математических наук. Springer. p. 411. ISBN 0-387-95001-X.
• Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С Приложения к Шреди Числовые операторы. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• (2018). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки 2-е издание. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

• Эванс М. Харрелл II : Краткая история теории операторов
• Грегори Х. Мур ( 1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940». Historia Mathematica. 22 (3): 262–303. doi :10.1006/hmat.1995.1025.