Спектральный радиус

редактировать

Наибольшее абсолютное значение собственных значений оператора

В математике, спектральный радиус квадратной матрицы или ограниченного линейного оператора является наибольшим абсолютным значением его собственных значений (т. е. супремум среди абсолютные значения элементов в его спектре ). Иногда его обозначают через ρ (·).

Содержание

1 Матрицы
2 Графики
3 Верхняя граница
- 3.1 Верхние границы спектрального радиуса матрицы
- 3.2 Верхние границы спектрального радиуса графа
4 Последовательность степеней
- 4.1 Теорема
- 4.2 Доказательство теоремы
5 Формула Гельфанда
- 5.1 Теорема
- 5.2 Доказательство
6 Следствия Гельфанда
7 Пример
8 Ограниченные линейные операторы
9 Примечания и ссылки
10 Библиография
11 См. Также

Матрицы

Пусть λ 1,..., λ n будет (вещественное или комплексное ) собственные значения матрицы A ∈ C . Тогда его спектральный радиус ρ (A) определяется как:

ρ (A) = max {| λ 1 |,…, | λ n | }. {\ displaystyle \ rho (A) = \ max \ left \ {| \ lambda _ {1} |, \ dotsc, | \ lambda _ {n} | \ right \}.}

{\ displaystyle \ rho (A) = \ max \ left \ {| \ lambda _ {1} |, \ dotsc, | \ lambda _ {n} | \ right \}.}

Номер условия из $A {\ displaystyle A}$ $A$ можно выразить, используя спектральный радиус, как $ρ (A) ρ (A - 1) {\ displaystyle \ rho (A) \ rho (A ^ {- 1})}$ ${\ displaystyle \ rho (A) \ rho (A ^ {- 1})}$ .

Спектральный радиус - это своего рода точная нижняя грань всех норм матрицы. С одной стороны, $ρ (A) ⩽ ‖ A ‖ {\ displaystyle \ rho (A) \ leqslant \ | A \ |}$ ${\ displaystyle \ rho (A) \ leqslant \ | A \ |}$ для любой естественной нормы матрицы $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ , а, с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что $ρ (A) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 / к {\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$ ${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$ ; оба этих результата показаны ниже. Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет условию $‖ A v ‖ ⩽ ρ (A) ‖ v ‖ {\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v } \ |}$ ${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$ для произвольных векторов $v ∈ C n {\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ . Чтобы понять, почему, пусть $r>1 {\ displaystyle r>1}$ $r>1$ будет произвольным и рассмотрим матрицу $C r = (0 r - 1 r 0) {\ displaystyle C_ {r} = {\ begin {pmatrix } 0 r ^ {- 1} \\ r 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle C_ {r} = { \ begin {pmatrix} 0 r ^ {- 1} \\ r 0 \ end {pmatrix}}}$ . характеристический многочлен числа $C r {\ displaystyle C_ {r}}$ ${\ displaystyle C_ {r}}$ равно $λ 2-1 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} -1}$ , следовательно, его собственные значения равны $± 1 {\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ , и, следовательно, $ρ (C r) = 1 {\ displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1}$ ${\ displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1 }$ . Однако $C re 1 = re 2 {\ displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$ ${\ displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$ , поэтому $‖ C re 1 ‖ = r>1 = ρ (C r) ‖ Е 1 ‖ {\ Displaystyle \ | C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} \ | = r>1 = \ rho (C_ {r}) \ | \ mathbf {e} _ {1} \ | }$ $\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1 = \ rho (C_ {r}) \ | \ mathbf {e} _ {1} \ |$ для $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ любой $ℓ p {\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ норма на $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ n$ . Что по-прежнему позволяет $‖ C rk ‖ 1 / k → 1 {\ displaystyle \ | C_ {r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ к 1}$ ${\ displaystyle \ | C_ { r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ to 1}$ как $k → ∞ {\ displaystyle k \ to \ infty}$ $k \ to \ infty$ означает, что $C r 2 = I {\ displaystyle C_ {r} ^ {2} = I}$ ${\ displaystyle C_ {r} ^ {2} = I}$ , что делает $‖ C rk ‖ 1 / k ⩽ ‖ C r ‖ 1 / k = r 1 / k → 1 {\ displaystyle \ | C_ {r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ leqslant \ | C_ {r} \ | ^ {1 / k} = r ^ {1 / k} \ to 1}$ ${\ displaystyle \ | C_ {r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ leqslant \ | C_ {r} \ | ^ {1 / k} = r ^ {1 / k} \ к 1}$ as $k → ∞ {\ displaystyle k \ to \ infty}$ $k \ to \ infty$ .

‖ A v ‖ ⩽ ρ (A) ‖ v ‖ {\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}

{\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}

для всех

v ∈ C n {\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}

действительно, когда $A {\ displaystyle A}$ $A$ является Эрмитова матрица и $‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ - это евклидова норма.

Графики

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности.

. Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число C su ch, что степень каждой вершины графа меньше C). В этом случае для графа G определим:

ℓ 2 (G) = {f: V (G) → R: ∑ v ∈ V (G) ‖ f (v) 2 ‖ < ∞ }. {\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}

\ ell ^ {2} (G) = \ left \ {f: V (G) \ to {\ mathbf {R}} \: \ \ sum \ nolimits _ {{v \ in V (G)}} \ left \ | f (v) ^ {2} \ right \ | <\ infty \ right \}.

Пусть γ - оператор смежности G:

{γ: ℓ 2 (G) → ℓ 2 (G) (γ f) (v) = ∑ (u, v) ∈ E (G) f (u) {\ displaystyle {\ begin {case} \ gamma: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} (G) \\ (\ gamma f) (v) = \ sum _ {(u, v) \ in E (G)} f (u) \ end {ases}}}

{\ begin {случаях } \ gamma: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} (G) \\ (\ gamma f) (v) = \ sum _ {{(u, v) \ in E (G)}} f (u) \ end {cases}}

Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ.

Верхняя граница

Верхние границы для спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение показывает простую, но полезную верхнюю границу для спектрального радиуса матрицы:

Утверждение. Пусть A ∈ C со спектральным радиусом ρ (A) и согласованной матричной нормой || ⋅ ||. Тогда для каждого целого числа $k ⩾ 1 {\ displaystyle k \ geqslant 1}$ ${\ displaystyle k \ geqslant 1}$ :

ρ (A) ≤ ‖ A k ‖ 1 k. {\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}

\ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.

Доказательство

Пусть (v, λ) будет парой собственных значений - собственных значений для матрицы A. По субумножительному свойству нормы матрицы мы получаем:

| λ | к ‖ v ‖ знак равно ‖ λ кв ‖ знак равно ‖ A kv ‖ ≤ ‖ A К ‖ ⋅ ‖ v ‖ {\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ { k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}

| \ lambda | ^ { k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k } \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |

и поскольку v ≠ 0, мы имеем

| λ | k ≤ ‖ A k ‖ {\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ leq \ | A ^ {k} \ |}

| \ лямбда | ^ {к} \ leq \ | A ^ {k} \ |

и, следовательно,

ρ (A) ≤ ‖ A k ‖ 1 k. {\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}

\ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.

Верхние границы спектрального радиуса графа

Там - это множество верхних оценок спектрального радиуса графа, выраженного числом вершин n и числом ребер m. Например, если

(k - 2) (k - 3) 2 ≤ m - n ≤ k (k - 3) 2 {\ displaystyle {\ frac {(k-2) (k-3)} {2 }} \ leq mn \ leq {\ frac {k (k-3)} {2}}}

{\ displaystyle {\ frac {(k-2) (k-3)} {2}} \ leq mn \ leq {\ frac {к (к-3)} {2}}}

где $3 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 3 \ leq k \ leq n}$ ${\ displaystyle 3 \ leq k \ leq n}$ является целым числом, тогда

ρ (G) ≤ 2 m - n - k + 5 2 + 2 m - 2 n + 9 4 {\ displaystyle \ rho (G) \ leq {\ sqrt {2m-n -k + {\ frac {5} {2}} + {\ sqrt {2m-2n + {\ frac {9} {4}}}}}}}

{\ displaystyle \ rho (G) \ leq {\ sqrt {2m-n-k + {\ frac {5) } {2}} + {\ sqrt {2m-2n + {\ frac {9} {4}}}}}}}

Степенная последовательность

Теорема

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, имеет место следующая теорема:

Теорема. Пусть A ∈ C со спектральным радиусом ρ (A). Тогда ρ (A) < 1 if and only if

lim k → ∞ A k = 0. {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0.}

\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0.

С другой стороны, если ρ ( A)>1,

lim k → ∞ ‖ A К ‖ знак равно ∞ {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | = \ infty}

. Утверждение верно для любого выбора матричной нормы на C.

Доказательство теоремы

Предположим, что рассматриваемый предел равен нулю, мы покажем, что ρ (A) < 1. Let (v, λ) будет собственным вектором - пара собственных значений для A. Поскольку A v = λ v, мы имеем:

0 = (lim k → ∞ A k) v знак равно lim К → ∞ (A kv) = lim k → ∞ λ kv = v lim k → ∞ λ K {\ displaystyle {\ begin {align} 0 = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (A ^ {k} \ mathbf {v} \ right) \\ = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ = \ mathbf {v} \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {align}}}

{\ begin {выровнено} 0 = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (A ^ {k} \ mathbf {v} \ right) \\ = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ = \ mathbf {v} \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {align}}

и, поскольку по гипотезе v ≠ 0, мы должны иметь

lim k → ∞ λ k = 0 {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} = 0}

\ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} = 0

что означает | λ | < 1. Since this must be true for any eigenvalue λ, we can conclude ρ(A) < 1.

Теперь предположим, что радиус A меньше 1. Из теоремы о нормальной форме Жордана мы знаем, что для всех A ∈ C существуют V, J ∈ C с неособой V и J блочной диагональю, такой что:

A = VJV - 1 {\ displaystyle A = VJV ^ {- 1}}

A = VJV ^ { -1}

J = [ Дж м 1 (λ 1) 0 0 ⋯ 0 0 Дж м 2 (λ 2) 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 Дж мс - 1 (λ с - 1) 0 0 ⋯ ⋯ 0 Дж мс (λ с)] {\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) 0 0 \ cdots 0 \\ 0 J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ cdots \ ddots \ cdots \ vdots \\ 0 \ cdots 0 J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ {s-1}) 0 \\ 0 \ cdots \ cdots 0 J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}

J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) 0 0 \ cdots 0 \\ 0 J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ cdots \ ddots \ cdots \ vdots \\ 0 \ cdots 0 J_ {m_ {s -1}} (\ lambda _ {s-1}) 0 \\ 0 \ cdots \ cdots 0 J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}

где

J mi (λ i) = [λ i 1 0 ⋯ 0 0 λ i 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 λ i 1 0 0 ⋯ 0 λ i] ∈ C mi × mi, 1 ≤ i ≤ s. {\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} 1 0 \ cdots 0 \\ 0 \ lambda _ {i} 1 \ cdots 0 \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ lambda _ {i} 1 \\ 0 0 \ cdots 0 \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbf { C} ^ {m_ {i} \ times m_ {i}}, 1 \ leq i \ leq s.}

J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i }) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} 1 0 \ cdots 0 \\ 0 \ lambda _ {i} 1 \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ lambda _ {i} 1 \\ 0 0 \ cdots 0 \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbf {C} ^ {m_ {i} \ times m_ {i}}, 1 \ leq i \ leq s.

Легко видеть, что

A k = VJ k V - 1 {\ displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}

A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}

и, поскольку J является блочно-диагональным,

J k = [J m 1 k (λ 1) 0 0 ⋯ 0 0 J m 2 К (λ 2) 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 Дж мс - 1 к (λ s - 1) 0 0 ⋯ ⋯ 0 Дж мск (λ s)] {\ displaystyle J ^ {k} = { \ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1}) 0 0 \ cdots 0 \\ 0 J_ {m_ {2}} ^ {k} (\ lambda _ {2}) 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ cdots \ ddots \ cdots \ vdots \\ 0 \ cdots 0 J_ {m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) 0 \\ 0 \ cdots \ cdots 0 J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}

J ^ {k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1 }) 0 0 \ cdots 0 \\ 0 J_ {m_ {2}} ^ {k} (\ lambda _ {2}) 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ cdots \ ddots \ cdots \ vdots \\ 0 \ cdots 0 J_ {m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) 0 \\ 0 \ cdots \ cdots 0 J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ { s}) \ end {bmatrix}}

Теперь стандартный результат для k-степени $mi × mi {\ displaystyle m_ {i} \ times m_ {i}}$ $m_ {i} \ times m_ {i}$ блок Джордана утверждает, что для $k ≥ mi - 1 {\ displaystyle k \ geq m_ {i} -1}$ $k \ geq m_ {i} -1$ :

Дж мик (λ i) = [λ ik (k 1) λ ik - 1 (k 2) λ ik - 2 ⋯ (kmi - 1) λ ik - mi + 1 0 λ ik (k 1) λ ik - 1 ⋯ (kmi - 2) λ ik - mi + 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ ik (k 1) λ ik - 1 0 0 ⋯ 0 λ ik] {\ displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k} {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} {k \ choose 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} \ cdots {k \ choose m_ {i} -1} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +1} \\ 0 \ lambda _ {i} ^ {k} {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \ cdots {k \ choose m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ { i} +2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ lambda _ {i} ^ {k} {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 0 \ cdots 0 \ lambda _ {i} ^ {k} \ end {bmatrix}}}

J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k } {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} {k \ choose 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} \ cdots {k \ choose m_ {i } -1} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +1} \\ 0 \ lambda _ {i} ^ {k} {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k -1} \ cdots {k \ choose m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ lambda _ {i} ^ {k} {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 0 \ cdots 0 \ lambda _ {i} ^ { k} \ end {bmatrix}}

Таким образом, если $ρ (A) < 1 {\displaystyle \rho (A)<1}$ $\ rho (A) <1$ , то для всех i $| λ i | < 1 {\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$ $| \ lambda _ {i} | <1$ . Следовательно, для всех i мы имеем:

lim k → ∞ J mik = 0 {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0}

\ lim _ {{k \ to \ infty}} J _ {{m_ {i}}} ^ {k} = 0

, что подразумевает

lim k → ∞ J k = 0. {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} = 0.}

\ lim _ {{k \ to \ infty}} J ^ {k} = 0.

Следовательно,

lim k → ∞ A k = lim К → ∞ VJ К В - 1 знак равно В (lim К → ∞ J К) V - 1 знак равно 0 {\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} \ right) V ^ {- 1} = 0}

\ lim _ {{k \ to \ infty}} A ^ {k} = \ lim _ {{k \ to \ infty}} VJ ^ {k} V ^ {{- 1}} = V \ left (\ lim _ {{k \ to \ infty}} J ^ {k} \ right) V ^ {{- 1}} = 0

На другая сторона, если $ρ (A)>1 {\ displaystyle \ rho (A)>1}$ $\rho (A)>1$ , в J есть по крайней мере один элемент, который не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Теорема

Следующая теорема дает спектральный радиус как предел нормы матрицы.

Теорема (Формула Гельфанда; 1941). Для для любой матричной нормы || ⋅ || имеем

ρ (A) = lim k → ∞ ‖ A к ‖ 1 к. {\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}

\ rho (A) = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {{{\ frac {1} {k} }}}.

Доказательство

Для любого ε>0 сначала построим следующие две матрицы:

A ± = 1 ρ (A) ± ε A. {\ displaystyle A _ {\ pm} = {\ frac {1} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}} A.}

A _ {{\ pm}} = {\ frac {1} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}} A.

Тогда:

ρ (A ±) = ρ (A) ρ ( A) ± ε, ρ (A +) < 1 < ρ ( A −). {\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}

\ rho \ left (A_ { {\ pm}} \ right) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}}, \ qquad \ rho (A _ {+}) <1 <\ rho (A_ { -}).

Сначала применим предыдущую теорему к A +:

lim k → ∞ A + k = 0. {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A _ {+ } ^ {k} = 0.}

\ lim _ {{k \ to \ infty}} A _ {+} ^ {k} = 0.

Это означает, что согласно определению предела последовательности существует N +∈ Nтакое, что для всех k ≥ N +,

‖ A + k ‖ < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A _ {+} ^ {k} \ right \ | <1 \ end {align}}}

, поэтому

‖ A k ‖ 1 k < ρ ( A) + ε. {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon.\end{aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon. \ end {align}} }

Применение предыдущей теоремы к A - влечет $‖ A - k ‖ {\ displaystyle \ | A _ {-} ^ {k} \ |}$ $\ | A _ {-} ^ {k} \ |$ не ограничен, и существует N −∈ Nтакое, что для всех k ≥ N −,

‖ A - k ‖>1 {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A _ {-} ^ {k} \ right \ |>1 \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1 \ end {align}}

так

‖ A k ‖ 1 k>ρ (A) - ε. {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}>\ rho (A) - \ varepsilon. \ End {align}}}

{\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\ rho (A) - \ varepsilon. \ end {выровнять ed}}

Пусть N = max {N +, N - }, то имеем:

∀ ε>0 ∃ N ∈ N ∀ k ≥ N ρ (A) - ε <‖ A k ‖ 1 k < ρ ( A) + ε {\displaystyle \forall \varepsilon>0 \ quad \ exists N \ in \ mathbf {N} \ quad \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) - \ varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }

\forall \varepsilon>0 \ quad \ exists N \ in \ mathbf {N} \ quad \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) - \ varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon

, что по определению равно

lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k = ρ ( А). {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A).}

\ lim _ {{k \ to \ infty}} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {{{\ frac {1} {k}}}} = \ rho (A).

Следствия Гельфанда

Формула Гельфанда приводит непосредственно к оценке спектрального радиуса произведения конечного числа матриц, а именно, предполагая, что все они коммутируют, получаем

ρ (A 1 ⋯ A n) ≤ ρ (A 1) ⋯ ρ (A n). {\ displaystyle \ rho (A_ {1} \ cdots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ cdots \ rho (A_ {n}).}

\ rho (A_ {1} \ cdots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ cdots \ rho (A_ {n}).

На самом деле, если норма непротиворечиво, доказательство показывает больше, чем тезис; фактически, используя предыдущую лемму, мы можем заменить в определении предела левую нижнюю грань на сам спектральный радиус и записать более точно:

∀ ε>0, ∃ N ∈ N, ∀ k ≥ N ρ (A) ≤ ‖ A k ‖ 1 k < ρ ( A) + ε {\displaystyle \forall \varepsilon>0, \ существует N \ in \ mathbf {N}, \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\rho (A)+\varepsilon }

\forall \varepsilon>0, \ существует N \ in {\ mathbf {N}}, \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {{{\ frac {1} {k}}}} <\rho (A)+\varepsilon

что, по определению, равно

lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k = ρ (A) +, {\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A) ^ {+},}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A) ^ {+},}

где + означает что предел приближается сверху.

Пример

Рассмотрим матрицу

A = [9 - 1 2 - 2 8 4 1 1 8] {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 -1 2 \\ -2 8 4 \\ 1 1 8 \ end {bmatrix}}}

A = {\ begin {bmatrix} 9 -1 2 \\ - 2 8 4 \\ 1 1 8 \ end {bmatrix}}

, собственные значения которых равны 5, 10, 10; по определению ρ (A) = 10. В следующей таблице значения $‖ A k ‖ 1 k {\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}} }$ $\ | A ^ {k} \ | ^ {{{\ frac {1} {k}}}}$ для четырех наиболее часто используемых норм перечислены в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы $‖. ‖ 1 = ‖. ‖ ∞ {\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ Infty}}$ $\ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}$ ):

k	$‖. ‖ 1 = ‖. ‖ ∞ {\ Displaystyle \ \|. \ \| _ {1} = \ \|. \ \| _ {\ Infty}}$ $\ \|. \ \| _ {1} = \ \|. \ \| _ {\ infty}$	$‖. ‖ F {\ displaystyle \ \|. \ \| _ {F}}$ $\ \|. \ \| _ {F}$	$‖. ‖ 2 {\ displaystyle \ \|. \ \| _ {2}}$ $\ \|. \ \| _ {2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.21604315221 <2335>>	10.351918183
$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031 640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$⋮ { \ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displ aystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$	$⋮ {\ displaystyle \ vdots}$ $\ vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Ограниченные линейные операторы

Для ограниченного линейного оператора A и оператора norm || · ||, мы снова имеем

ρ (A) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k. {\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}

\ rho (A) = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ | A ^ {k} \ | ^ {{{\ frac {1} {k}}}}.

Ограниченный оператор (на комплексное гильбертово пространство) называется спектралоидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с его числовым радиусом . Примером такого оператора является нормальный оператор.

Примечания и ссылки

Библиография

Dunford, Nelson; Шварц, Якоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, Interscience Publishers, Inc.
Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ, Wiley-Interscience, ISBN 0-471 -55604-1

См. Также

Спектральный промежуток
Совместный спектральный радиус - это обобщение спектрального радиуса на наборы матриц.
Спектр матрицы
Спектральный абсцисса