Обычный оператор

редактировать

В математике, особенно функциональном анализе, нормальный оператор в сложном гильбертовом пространстве H является непрерывным линейный оператор N: H → H, который коммутирует с его эрмитовым сопряженным элементом N *, то есть: NN * = N * N.

Нормальные операторы важны, потому что для них выполняется спектральная теорема. Класс нормальных операторов хорошо изучен. Примерами нормальных операторов являются

унитарные операторы : N * = N
эрмитовы операторы (т.е. самосопряженные операторы): N * = N
косоэрмитовы операторы: N * = −N
положительные операторы : N = MM * для некоторого M (так что N является самосопряженным).

A нормальная матрица - это матричное выражение нормального оператора в гильбертовом пространстве C.

Содержание

1 Свойства
2 Свойства в конечномерном случае
3 Нормальные элементы алгебр
4 Неограниченные нормальные операторы
5 Обобщение
6 Ссылки

Свойства

Нормальные операторы характеризуются спектральной теоремой. компактный нормальный оператор (в частности, нормальный оператор в конечномерном линейном пространстве) унитарно диагонализуем.

Пусть T - ограниченный оператор. Следующие варианты эквивалентны.

T в норме.
T * в норме.
|| Tx || = || T * x || для всех x (используйте $‖ T x ‖ 2 = ⟨T ∗ T x, x⟩ = ⟨TT ∗ x, x⟩ = ‖ T ∗ x ‖ 2 {\ displaystyle \ | Tx \ | ^ {2} = \ langle T ^ {*} Tx, x \ rangle = \ langle TT ^ {*} x, x \ rangle = \ | T ^ {*} x \ | ^ {2}}$ $\ | Tx \ | ^ {2} = \ langle T ^ {*} Tx, x \ rangle = \ langle TT ^ {*} x, x \ rangle = \ | T ^ {*} x \ | ^ {2}$ ).
Самосопряженный и анти –Самосопряженные части T коммутируют. То есть, если мы записываем $T ≡ T 1 + i T 2 {\ displaystyle T \ Equiv T_ {1} + iT_ {2}}$ $T \ Equiv T_ {1} + iT_ {2}$ с $T 1: = T + T ∗ 2 {\ displaystyle T_ {1}: = {\ frac {T + T ^ {*}} {2}}}$ $T_ {1}: = {\ frac {T + T ^ {*}} {2}}$ и $i T 2: = T - T ∗ 2 {\ displaystyle i \, T_ {2}: = {\ frac {TT ^ {*}} {2}}}$ ${\ displaystyle i \, T_ {2}: = {\ frac {TT ^ {*}} {2}}}$ , затем $T 1 T 2 = T 2 T 1 {\ displaystyle T_ {1} T_ {2} = T_ {2} T_ {1}}$ $T_ {1} T_ {2} = T_ {2} T_ {1}$ .

Если N - нормальный оператор, то N и N * имеют одно и то же ядро и один и тот же диапазон. Следовательно, образ N плотен тогда и только тогда, когда N инъективен. Иными словами, ядро нормального оператора является ортогональным дополнением своего образа. Отсюда следует, что ядро оператора N совпадает с ядром оператора N для любого k. Таким образом, каждое обобщенное собственное значение нормального оператора является подлинным. Λ является собственным значением нормального оператора N, если и на ly, если его комплексное сопряжение $λ ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ lambda}}}$ ${\ overline {\ lambda}}$ является собственным значением N *. Собственные векторы нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, а нормальный оператор стабилизирует ортогональное дополнение каждого из его собственных подпространств. Отсюда следует обычная спектральная теорема: любой нормальный оператор в конечномерном пространстве диагонализуем с помощью унитарного оператора. Существует также бесконечномерная версия спектральной теоремы, выраженная в терминах проекционно-значных мер. Остаточный спектр нормального оператора пуст.

Произведение коммутирующих нормальных операторов снова является нормальным; это нетривиально, но непосредственно следует из теоремы Фугледе, в которой говорится (в форме, обобщенной Патнэмом):

Если

N 1 {\ displaystyle N_ {1}}

N_ {1}

N 2 {\ displaystyle N_ {2}}

N_ {2}

- нормальные операторы, и если A - ограниченный линейный оператор такой, что

N 1 A = AN 2 {\ displaystyle N_ {1} A = AN_ {2}}

N_ {1} A = AN_ {2}

, тогда

N 1 ∗ A = AN 2 ∗ {\ displaystyle N_ {1} ^ {*} A = AN_ {2} ^ {*}}

N_ {1} ^ {*} A = AN_ {2} ^ {*}

Норма оператора нормального оператора равна его числовому радиусу и спектральному радиусу.

Нормальный оператор совпадает с его свойствами преобразования Алутге.

в конечномерном случае

Если нормальный оператор T в конечномерном вещественном или комплексном гильбертовом пространстве (внутреннем пространстве произведения) H стабилизирует подпространство V, то он также стабилизирует его ортогональное дополнение V. (Это утверждение тривиально в случае, когда T является самим собой -связанный.)

Доказательство. Пусть P V - ортогональная проекция на V. Тогда ортогональная проекция на V равна 1H−PV. Тот факт, что T стабилизирует V, можно выразить как (1H−PV) TP V = 0 или TP V = P VTPV. Цель состоит в том, чтобы показать, что P VT(1H−PV) = 0.

Пусть X = P VT(1H−PV). Поскольку (A, B) ↦ tr (AB *) является скалярным произведением на пространстве эндоморфизмов H, достаточно показать, что tr (XX *) = 0. Сначала отметим, что

XX ∗ = PVT (1 H - PV) 2 T ∗ PV = PVT (1 H - PV) T ∗ PV = PVTT ∗ PV - PVTPVT ∗ PV {\ displaystyle XX ^ {*} = P_ {V} T ({ \ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) ^ {2} T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ { V}) T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V}}

XX ^ {*} = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) ^ {2} T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) T ^ {*} P_ {V} = P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V } T ^ {*} P_ {V}

Теперь используется Для свойств трассы и ортогональных проекций имеем:

tr ⁡ (XX ∗) = tr ⁡ (PVTT ∗ PV - PVTPVT ∗ PV) = tr ⁡ (PVTT ∗ PV) - tr ⁡ ( PVTPVT ∗ PV) = tr ⁡ (PV 2 TT ∗) - tr ⁡ (PV 2 TPVT ∗) = tr ⁡ (PVTT ∗) - tr ⁡ (PVTPVT ∗) = tr ⁡ (PVTT ∗) - tr ⁡ (TPVT ∗) используя гипотезу, что T стабилизирует V = tr tr (PVTT ∗) - tr ⁡ (PVT ∗ T) = tr ⁡ (PV (TT ∗ - T ∗ T)) = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tr} (XX ^ {*}) = \ operatorname {tr} \ left (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V }\р ight) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V}) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} ^ {2} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} ^ {2} TP_ {V} T ^ {*}) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} TP_ {V} T ^ {*}) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (TP_ {V} T ^ {*}) {\ text {с использованием гипотезы}} T {\ text {стабилизирует}} V \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} T ^ {*} T) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} (TT ^ {*} - T ^ {*} T)) \\ = 0. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tr} (XX ^ {*}) = \ operatorname {tr} \ left (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V} \ right) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*} P_ {V}) - \ operatorname {tr} ( P_ {V} TP_ {V} T ^ {*} P_ {V}) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} ^ {2} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} ^ {2} TP_ {V} T ^ {*}) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} TP_ { V} T ^ {*}) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (TP_ {V} T ^ {*}) {\ text { используя h гипотеза о том, что}} T {\ text {стабилизирует}} V \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} TT ^ {*}) - \ operatorname {tr} (P_ {V} T ^ {*} T) \\ = \ operatorname {tr} (P_ {V} (TT ^ {*} - T ^ {*} T)) \\ = 0. \ end {align}}}

То же самое рассуждение проводится для компактных нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, где можно использовать внутреннего произведения Гильберта-Шмидта, определенного как tr (AB *), интерпретируется соответствующим образом. Однако для ограниченных нормальных операторов ортогональное дополнение к стабильному подпространству может быть нестабильным. Отсюда следует, что гильбертово пространство, вообще говоря, не может быть покрыто собственными векторами нормального оператора. Рассмотрим, например, двусторонний сдвиг (или двусторонний сдвиг), действующий на $ℓ 2 {\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ , что нормально, но не имеет собственных значений.

Инвариантные подпространства сдвига, действующего на пространство Харди, характеризуются теоремой Беллинга.

Нормальные элементы алгебр

Понятие нормальных операторов обобщается на инволютивную алгебру:

Элемент x инволютивной алгебры называется нормальным, если xx * = x * x.

Самосопряженные и унитарные элементы нормальны.

Самый важный случай - это когда такая алгебра является C * -алгеброй.

Неограниченные нормальные операторы

Определение нормальных операторов естественным образом обобщается на некоторый класс неограниченных операторов. Явно замкнутый оператор N называется нормальным, если можно записать

N ∗ N = N N ∗. {\ displaystyle N ^ {*} N = NN ^ {*}.}

N ^ {*} N = NN ^ {*}.

Здесь существование сопряженного N * требует, чтобы область определения N была плотной, а равенство включает утверждение, что область определения N * N равно NN *, что в общем случае не обязательно.

Эквивалентно нормальные операторы - это в точности те, для которых

‖ N x ‖ = ‖ N ∗ x ‖ {\ displaystyle \ | Nx \ | = \ | N ^ {*} x \ | \ qquad}

\ | Nx \ | = \ | N ^ {*} x \ | \ qquad

D (N) = D (N ∗). {\ displaystyle \ qquad {\ mathcal {D}} (N) = {\ mathcal {D}} (N ^ {*}).}

\ qquad {\ mathcal {D}} (N) = {\ mathcal {D}} (N ^ {*}).

Спектральная теорема все еще верна для неограниченных (нормальных) операторов. Доказательства сводятся к ограниченным (нормальным) операторам.

Обобщение

Успех теории нормальных операторов привел к нескольким попыткам обобщения путем ослабления требования коммутативности. Классы операторов, которые включают нормальные операторы (в порядке включения):

Ссылки