Компактный оператор в гильбертовом пространстве

В функциональном анализе концепция компактного оператора на Гильбертовом пространстве является расширением концепции матрицы, действующей в конечномерном векторном пространстве; в гильбертовом пространстве компактные операторы являются в точности замыканием операторов конечного ранга (представляемых конечномерными матрицами) в топологии , индуцированной операторной нормой. Таким образом, результаты теории матриц иногда можно распространить на компактные операторы, используя аналогичные аргументы. Напротив, изучение общих операторов в бесконечномерных пространствах часто требует совершенно иного подхода.

Например, спектральная теория компактных операторов на банаховых пространствах принимает форму, очень похожую на каноническую форму Джордана матриц.. В контексте гильбертовых пространств квадратная матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна. Соответствующий результат верен для нормальных компактных операторов в гильбертовых пространствах. В более общем смысле от предположения о компактности можно отказаться. Но, как указано выше, методы, используемые для доказательства, например, спектральная теорема отличается, включая операторнозначные меры на спектре.

Некоторые результаты для компактных операторов в гильбертовом пространстве будут обсуждаться, начиная с общих свойств перед рассмотрением подклассов компактных операторов.

• 1 Определение
• 2 Некоторые общие свойства
• 3 Компактный самосопряженный оператор
  • 3.1 Спектральная теорема
    • 3.1.1 Идея
    • 3.1.2 Подробности
  • 3.2 Функциональность исчисление
  • 3.3 Одновременная диагонализация
• 4 Компактный нормальный оператор
• 5 Унитарный оператор
• 6 Примеры
• 7 См. также
• 8 Ссылки

Пусть $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$быть гильбертовым пространством, а $L\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (H)\}$быть набором ограниченных операторов на $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$. Тогда оператор $T\; \in \; L\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; in\; L\; (H)\}$называется компактным оператором, если изображение каждого ограниченного множества в разделе $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$является относительно компактным.

В этом разделе мы перечисляем некоторые общие свойства компактных операторов.

Если X и Y являются гильбертовыми пространствами (на самом деле достаточно банаховых X и Y нормированных), то T: X → Y компактно тогда и только тогда, когда оно непрерывно, если рассматривать его как отображение из X с слабая топология в Y (с топологией нормы). (См. (Zhu 2007, теорема 1.14, стр.11) и отметьте в этой ссылке, что равномерная ограниченность будет применяться в ситуации, когда F ⊆ X удовлетворяет (∀φ ∈ Hom (X, K)) sup {x ** (φ) = φ (x): x} < ∞, where K is the underlying field. The uniform boundedness principle applies since Hom(X, K) with the norm topology will be a Banach space, and the maps x** : Hom(X,K) → K are continuous homomorphisms with respect to this topology.)

Семейство компактных операторов является замкнутым по норме двусторонним * -идеалом в L (H). Следовательно, компактный оператор T не может иметь ограниченного обратного, если H бесконечномерно. Если ST = TS = I, то тождественный оператор был бы компактным, противоречие.

Если последовательности ограниченных операторов B n → B, C n → C в сильной операторной топологии и T компактно, тогда $B\; n\; TC\; n\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; TC\_\; \{n\}\; ^\; \{*\}\}$сходится к $BTC\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; BTC\; ^\; \{*\}\}$в норме. Например, рассмотрим гильбертово пространство $l\; 2\; (N),\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{N\}),\}$со стандартным базисом {e n }. Пусть P m будет ортогональная проекция на линейную оболочку {e 1... e m }. Последовательность {P m } сходится к идентификатору tity оператор I сильно, но не равномерно. Определите T как $T\; e\; n\; =\; 1\; n\; 2\; e\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; Te\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}\; e\_\; \{n\}.\}$T является компактным, и, как указано выше, P m T → IT = T в однородной операторной топологии: для всех x

$\Vert \; P\; m\; T\; x\; -\; T\; x\; \Vert \; \le \; (1\; m\; +\; 1)\; 2\; \Vert \; x\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; P\_\; \{m\}\; Tx-Tx\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |.\}$

Обратите внимание, что каждый P m является оператором конечного ранга. Аналогичные рассуждения показывают, что если T компактно, то T - равномерный предел некоторой последовательности операторов конечного ранга.

В силу замкнутости идеала компактных операторов по норме верно и обратное.

Фактор-C * -алгебра L (H) по модулю компактных операторов называется алгеброй Калкина, в которой можно рассматривать свойства оператора с точностью до компактного возмущения.

Ограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H называется самосопряженным, если T = T *, или, что эквивалентно,

$⟨T\; x,\; y⟩\; =\; ⟨x,\; T\; y⟩,\; x,\; y\; \in \; H.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; Tx,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; x,\; Ty\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; quad\; x,\; y\; \backslash \; in\; H.\}$

Отсюда следует, что вещественно для любого x ∈ H, следовательно, собственные значения T, когда они существуют, реальны. Когда замкнутое линейное подпространство L в H инвариантно относительно T, то ограничение T на L является самосопряженным оператором на L, и, более того, ортогональное дополнение L к L также инвариантно относительно T. Например, пространство H можно разложить как ортогональную прямую сумму двух T-инвариантных замкнутых линейных подпространств: ядра пространства T и ортогонального дополнения (ker T) ядра (что равно замыканию образа T для любого ограниченного самосопряженного оператора). Эти основные факты играют важную роль в доказательстве следующей спектральной теоремы.

Результатом классификации эрмитовых матриц размера n × n является спектральная теорема : если M = M *, то M является унитарно диагонализуемым, и диагонализация M имеет вещественные элементы. Пусть T - компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Мы докажем то же утверждение для T: оператор T может быть диагонализован с помощью ортонормированного набора собственных векторов, каждый из которых соответствует действительному собственному значению.

Спектральная теорема

Теорема Для любого компактного самосопряженного оператора T в вещественном или комплексном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис в H, состоящий из собственных векторов оператора T Более конкретно, ортогональное дополнение ядра T допускает либо конечный ортонормированный базис собственных векторов T, либо счетно бесконечный ортонормированный базис {e n } собственных векторов T, с соответствующими собственными значениями {λ n } ⊂ R, такими, что λ n → 0.

Другими словами, компактное само- сопряженный оператор можно унитарно диагонализовать. Это спектральная теорема.

Когда H разделимо, можно смешать базис {e n } с счетным ортонормированным базисом для ядра T, и получить ортонормированный базис {f n } для H, состоящий из собственных векторов T с действительными собственными значениями {μ n } такими, что μ n → 0.

Следствие Для любого компактного самосопряженного оператора T в вещественном или комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве H существует счетно бесконечный ортонормированный базис {f n } в H, состоящий из собственных векторов оператора T, с соответствующими собственными значениями {μ n } ⊂ R, такими, что μ n → 0.

Идея

Обсудим сначала конечномерное доказательство. Доказательство спектральной теоремы для эрмитовой матрицы размера n × n зависит от доказательства существования одного собственного вектора x. Как только это сделано, эрмитичность означает, что и линейная оболочка, и ортогональное дополнение к x (размерности n-1) являются инвариантными подпространствами T. Затем желаемый результат получается индукцией для $T\; x\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{\; x\; ^\; \{\backslash \; perp\}\}\}$.

Существование собственного вектора можно показать (по крайней мере) двумя альтернативными способами:

1. Можно рассуждать алгебраически: характеристический многочлен T имеет комплексный корень, следовательно, T имеет собственное значение с соответствующим собственным вектором.
2. Собственные значения можно охарактеризовать вариационно: наибольшее собственное значение - это максимум на замкнутой единичной сфере функции f: R→ R, определяемой формулой f (x) = x * Tx = .

Примечание. В конечномерном случае часть первого подхода работает в гораздо большей степени; любая квадратная матрица, не обязательно эрмитова, имеет собственный вектор. Это просто неверно для общих операторов в гильбертовых пространствах. В бесконечных измерениях также непросто обобщить концепцию характеристического полинома.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного случая может быть получена аналогично: найти собственный вектор, расширив второй конечномерный аргумент, приведенный выше, а затем применить индукцию. Сначала мы набросаем аргументы в пользу матриц.

Поскольку замкнутая единичная сфера S в R компактна, а f непрерывна, f (S) компактна на вещественной прямой, поэтому f достигает максимума на S на некоторой единице вектор y. По теореме о множителях Лагранжа y удовлетворяет

$\nabla \; f\; =\; \nabla \; y\; \ast \; T\; y\; =\; \lambda \; \cdot \; \nabla \; y\; \ast \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \backslash \; nabla\; y\; ^\; \{*\}\; Ty\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; y\; ^\; \{*\}\; y\}$

для некоторого λ. По эрмитовости Ty = λy.

В качестве альтернативы, пусть z ∈ C - любой вектор. Обратите внимание, что если единичный вектор y максимизирует на единичной сфере (или на единичном шаре), он также максимизирует фактор Рэлея :

$g\; (x)\; =\; ⟨T\; x,\; x⟩\; \Vert \; x\; \Vert \; 2,\; 0\; \ne \; x\; \in \; C\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; Tx,\; x\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; qquad\; 0\; \backslash \; neq\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; ^\; \{n\}.\}$

Рассмотрим функцию:

$\{h:\; R\; \to \; R\; h\; (t)\; =\; g\; (y\; +\; tz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; h:\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{\; R\}\; \backslash \backslash \; h\; (t)\; =\; g\; (y\; +\; tz)\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

По расчетам h ′ (0) = 0, т. Е.

$h ′ (0) = lim t → 0 h (t) - h (0) t - 0 = lim t → 0 g (y + tz) - g (y) t = lim t → 0 1 t (⟨T (y + tz), y + tz⟩). ‖ Y + tz ‖ 2 - ⟨T y, y⟩ ‖ y ‖ 2) = lim t → 0 1 t (⟨T (y + tz), y + tz⟩ - ⟨T y, y⟩ ‖ y ‖ 2) = 1 ‖ y ‖ 2 lim t → 0 ⟨T (y + tz), y + tz⟩ - ⟨T y, y⟩ t = 1 ‖ y ‖ 2 (ddt ⟨T (y + tz), y + tz⟩ ⟨Y + TZ, Y + TZ⟩) (0) знак равно 0. {\ Displaystyle {\ begin {align} h '(0) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {h (t) - h (0)} {t-0}} \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {g (y + tz) -g (y)} {t}} \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {t}} \ left ({\ frac {\ langle T (y + tz), y + tz \ rangle} {\ | y + tz \ | ^ {2 }}} - {\ frac {\ langle Ty, y \ rangle} {\ | y \ | ^ {2}}} \ right) \\ = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {t}} \ left ({\ frac {\ langle T (y + tz), y + tz \ rangle - \ langle Ty, y \ rangle} {\ | y \ | ^ {2}}} \ right) \\ = {\ frac {1} {\ | y \ | ^ {2 }}} \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ langle T (y + tz), y + tz \ rangle - \ langle Ty, y \ rangle} {t}} \\ = {\ frac {1} {\ | y \ | ^ {2}}} \ left ({\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ langle T (y + tz), y + tz \ rangle} {\ langle y + tz, y + tz \ rangle}} \ right) (0) \\ = 0. \ end {align}}}$

Определить:

$m\; =\; ⟨T\; y,\; y⟩\; ⟨y,\; y\; ⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; m\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; Ty,\; y\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; langle\; y,\; y\; \backslash \; rangle\}\}\}$

После некоторой алгебры приведенное выше выражение становится (Re обозначает действительную часть комплексного числа)

$\Re \; (⟨T\; y\; -\; my,\; z⟩)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Re\; (\backslash \; langle\; Ty-my,\; z\; \backslash \; rangle)\; =\; 0.\}$

Но z произвольно, поэтому Ty - my = 0. Это суть доказательства спектральной теоремы в матричном случае.

Обратите внимание, что в то время как множители Лагранжа обобщаются на бесконечномерный случай, компактность единичной сферы теряется. Здесь полезно предположение о компактности оператора T.

Подробности

Утверждение Если T - компактный самосопряженный оператор в ненулевом гильбертовом пространстве H и

$m\; (T):\; =\; sup\; \{|\; ⟨T\; x,\; x⟩\; |\; :\; x\; \in \; H,\; \Vert \; x\; \Vert \; \le \; 1\},\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; (T):\; =\; \backslash \; sup\; \{\backslash \; bigl\; \backslash \; \{\}\; |\; \backslash \; langle\; Tx,\; x\; \backslash \; rangle\; |:\; x\; \backslash \; in\; H,\; \backslash ,\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; 1\; \{\backslash \; bigr\; \backslash \}\},\}$

, то m (T) или −m (T) является собственным значением T.

Если m (T) = 0, то T = 0 с помощью поляризационного тождества , и этот случай ясен. Рассмотрим функцию

$\{f:\; H\; \to \; R\; f\; (x)\; =\; ⟨T\; x,\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f:\; H\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \backslash \backslash \; f\; (x)\; =\; \backslash \; langle\; Tx,\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Заменяя T на −T, если необходимо, можно считать, что верхняя грань f на замкнутом единичном шаре B ⊂ H равна m (T)>0. Если f достигает своего максимума m (T) на B при некотором единичном векторе y, то по тому же аргументу, который используется для матриц, y является собственным вектором T с соответствующим собственным значением λ = <λy, y>= = f (y) = m (T).

По теореме Банаха – Алаоглу и рефлексивности H замкнутый единичный шар B слабо компактен. Кроме того, компактность T означает (см. Выше), что T: X со слабой топологией → X с топологией нормы непрерывно. Из этих двух фактов следует, что f непрерывна на B, снабженном слабой топологией, и поэтому f достигает своего максимума m на B при некотором y ∈ B. По максимальности $\Vert \; y\; \Vert \; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\; =\; 1,\}$, что, в свою очередь, означает, что y также максимизирует фактор Рэлея g (x) (см. Выше). Это показывает, что y является собственным вектором T, и завершает доказательство утверждения.

Примечание. Компактность T имеет решающее значение. Вообще говоря, f не обязательно должен быть непрерывным для слабой топологии на единичном шаре B. Например, пусть T - тождественный оператор, который не является компактным, когда H бесконечномерно. Возьмем любую ортонормированную последовательность {y n }. Тогда y n сходится к 0 слабо, но lim f (y n) = 1 ≠ 0 = f (0).

Пусть T - компактный оператор в гильбертовом пространстве H. Конечная (возможно, пустая) или счетно бесконечная ортонормированная последовательность {e n } собственных векторов T с соответствующими ненулевыми собственными значениями, строится по индукции следующим образом. Пусть H 0 = H и T 0 = T. Если m (T 0) = 0, то T = 0 и построение останавливается, не производя никакого собственного вектора. е п. Предположим, что ортонормированные собственные векторы e 0,..., e n - 1 T были найдены. Тогда E n : = span (e 0,..., e n - 1) инвариантно относительно T, и в силу самосопряженности ортогональный дополнение H n к E n является инвариантным подпространством T. Пусть T n обозначает ограничение T на H n. Если m (T n) = 0, то T n = 0, и построение останавливается. В противном случае, согласно утверждению, примененному к T n, существует норма один собственный вектор e n T в H n с соответствующим ненулевым собственным значением λ n = ± m (T n).

Пусть F = (span {e n }), где {e n } - конечная или бесконечная последовательность, построенная индуктивным процессом; в силу самосопряженности F инвариантно относительно T. Пусть S обозначает ограничение T на F. Если процесс был остановлен после конечного числа шагов с последним вектором e m − 1, то F = H m и S = ​​T m = 0 по построению. В бесконечном случае из компактности T и слабой сходимости e n к 0 следует, что Te n = λ nen→ 0, поэтому λ n → 0. Поскольку F содержится в H n для любого n, отсюда следует, что m (S) ≤ m ({T n }) = | λ n | для любого n, следовательно, m (S) = 0. Отсюда снова следует, что S = 0.

Тот факт, что S = 0, означает, что F содержится в ядре T. Наоборот, если x ∈ ker ( T), то в силу самосопряженности x ортогонален любому собственному вектору {e n } с ненулевым собственным значением. Отсюда следует, что F = ker (T) и что {e n } является ортонормированным базисом для ортогонального дополнения ядра T. Можно завершить диагонализацию T, выбрав ортонормированный базис ядро. Это доказывает спектральную теорему.

Более короткое, но более абстрактное доказательство выглядит следующим образом: согласно лемме Цорна, выберите U как максимальное подмножество H со следующими тремя свойствами: все элементы U являются собственными векторами T, они имеют норму один, и любые два различных элемента U ортогональны. Пусть F - ортогональное дополнение к линейной оболочке U. Если F ≠ {0}, это нетривиальное инвариантное подпространство T, и по первоначальному утверждению должен существовать нормальный, один собственный вектор y для T в F. Но тогда U ∪ {y} противоречит максимальности U. Отсюда следует, что F = {0}, следовательно, span (U) плотно в H. Это показывает, что U является ортонормированным базисом H, состоящим из собственных векторов T.

Функциональное исчисление

Если T компактно в бесконечномерном гильбертовом пространстве H, то T необратимо, следовательно, σ (T), спектр T, всегда содержит 0. Спектральная теорема показывает, что σ (T) состоит из собственных значений {λ n } T и 0 (если 0 еще не является собственным значением). Множество σ (T) является компактным подмножеством комплексных чисел, а собственные значения плотны в σ (T).

Любую спектральную теорему можно переформулировать в терминах функционального исчисления. В данном контексте мы имеем:

Теорема. Пусть C (σ (T)) обозначает C * -алгебру непрерывных функций на σ (T). Существует единственный изометрический гомоморфизм Φ: C (σ (T)) → L (H) такой, что Φ (1) = I и, если f - тождественная функция f (λ) = λ, то Φ (f) = T Кроме того, σ (f (T)) = f (σ (T)).

Отображение функционального исчисления Φ определяется естественным образом: пусть {e n } будет ортонормированным базисом собственных векторов для H с соответствующими собственными значениями {λ n }; для f ∈ C (σ (T)) оператор Φ (f), диагональный относительно ортонормированного базиса {e n }, определяется положением

$\Phi \; (f)\; (en)\; знак\; равно\; f\; (\lambda \; N)\; en\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (f)\; (e\_\; \{n\})\; =\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{n\})\; e\_\; \{n\}\}$

для каждого n. Поскольку Φ (f) диагональна относительно ортонормированного базиса, ее норма равна супремуму модуля диагональных коэффициентов,

$\Vert \; \Phi \; (f)\; \Vert \; =\; sup\; \lambda \; n\; \in \; \sigma \; (T)\; |\; f\; (\lambda \; n)\; |\; =\; \Vert \; F\; \Vert \; C\; (\sigma \; (T)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; Phi\; (f)\; \backslash \; |\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T)\}\; |\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{n\})\; |\; =\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{\; C\; (\backslash \; sigma\; (T))\}.\}$

Остальные свойства Φ легко проверить. Наоборот, любой гомоморфизм Ψ, удовлетворяющий требованиям теоремы, должен совпадать с Φ, когда f - многочлен. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса полиномиальные функции плотны в C (σ (T)), и отсюда = Φ. Это показывает, что Φ единственно.

Более общее непрерывное функциональное исчисление может быть определено для любого самосопряженного (или даже нормального, в комплексном случае) ограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Компактный случай, описанный здесь, является особенно простым примером этого функционального исчисления.

Одновременная диагонализация

Рассмотрим гильбертово пространство H (например, конечномерное C ) и коммутирующее множество $F\; \subseteq \; Hom\; \; (H,\; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (H,\; H)\}$самосопряженных операторов. Затем при подходящих условиях можно одновременно (унитарно) диагонализовать. То есть существует ортонормированный базис Q, состоящий из общих собственных векторов для операторов, то есть

$(\forall \; q\; \in \; Q,\; T\; \in \; F)\; (\exists \; \sigma \; \in \; C)\; (T\; -\; \sigma )\; q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; forall\; \{q\; \backslash \; in\; Q,\; T\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\})\; (\backslash \; exists\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\})\; (T-\; \backslash \; sigma)\; q\; =\; 0\}$

Лемма. Предположим, что все операторы в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$компактны. Тогда каждое замкнутое ненулевое $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$-инвариантное подпространство S ⊆ H имеет общий собственный вектор для $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$.

Доказательство. Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Затем возьмем любой $s\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; S\}$единичной длины. Это общий собственный вектор.

Случай II: существует некоторый оператор $T\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$как минимум с двумя собственными значениями, и пусть $0\; \ne \; \alpha \; \in \; \sigma \; (T\; \upharpoonright \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; neq\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T\; \backslash \; upharpoonright\; S)\}$. Поскольку T компактно и α не равно нулю, мы имеем $S\; \text{'}:\; =\; ker\; \; (T\; \upharpoonright \; S\; -\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\text{'}:\; =\; \backslash \; ker\; (T\; \backslash \; upharpoonright\; S-\; \backslash \; alpha)\}$- конечномерное (и, следовательно, замкнутое) ненулевое $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$-инвариантное подпространство (поскольку все операторы коммутируют с T, у нас есть для $T\; \prime \; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \text{'}\backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$и $x\; \in \; ker\; \; (T\; \upharpoonright \; S\; -\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; ker\; (T\; \backslash \; upharpoonright\; S-\; \backslash \; alpha)\}$, что $(T\; -\; \alpha )\; (T\; \prime \; x)\; =\; (T\; \prime \; (T\; x)\; -\; \alpha \; T\; \prime \; x)\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (T-\; \backslash \; alpha)\; (T\text{'}x)\; =\; (T\; \text{'}(T\; ~\; x)\; -\; \backslash \; alpha\; T\text{'}x)\; =\; 0\}$). В частности, у нас определенно есть Таким образом, мы могли бы в принципе рассуждать по индукции по размерности, получая, что $S\; \prime \; \subseteq \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \text{'}\backslash \; substeq\; S\}$имеет общий собственный вектор для $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$.

Теорема 1. Если все операторы в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \}\}$компактны, то операторы могут быть одновременно (унитарно) диагонализованы.

Доказательство. Следующий набор

$P\; =\; \{A\; \subseteq \; H:\; A\; -\; ортонормированный\; набор\; общих\; собственных\; векторов\; для\; F\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; substeq\; H:\; A\; \{\backslash \; text\; \{-\; ортонормированный\; набор\; общих\; собственных\; векторов\; для\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \},\}$

частично упорядочен включением. Это явно имеет свойство Zorn. Итак, взяв Q в качестве максимального члена, если Q является базисом для всего гильбертова пространства H, мы закончили. Если бы это было не так, то если бы $S\; =\; ⟨Q⟩\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; langle\; Q\; \backslash \; rangle\; ^\; \{\backslash \; bot\}\}$, легко увидеть, что это было бы $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$-инвариантное нетривиальное замкнутое подпространство; и, таким образом, по лемме выше, в нем будет лежать общий собственный вектор для операторов (обязательно ортогональный Q). Но тогда было бы правильное расширение Q в пределах P ; противоречие с его максимальностью.

Теорема 2. Если есть инъективный компактный оператор в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$; тогда операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.

Доказательство. Исправить $T\; 0\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$компактный инъективный. Тогда согласно спектральной теории компактных симметрических операторов в гильбертовых пространствах:

$H\; =\; ⨁\; \lambda \; \in \; \sigma \; (T\; 0)\; ker\; \; (T\; 0\; -\; \sigma )\; ¯,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; bigoplus\; \_\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T\_\; \{0\})\}\; \backslash \; ker\; (T\_\; \{0\}\; -\; \backslash \; sigma)\}\},\}$

где $\sigma \; (T\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (T\_\; \{\; 0\})\}$- дискретное счетное подмножество положительных действительных чисел, и все собственные подпространства конечномерны. Поскольку $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$коммутирующий набор, у нас все собственные подпространства инвариантны. Поскольку все операторы, ограниченные собственными подпространствами (которые конечномерны), автоматически все компактны, мы можем применить теорему 1 к каждому из них и найти ортонормированные базисы Q σ для $ker\; \; (T\; 0\; -\; \sigma )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ker\; (T\_\; \{0\}\; -\; \backslash \; sigma)\}$. Поскольку T 0 симметрично, мы имеем, что

$Q:\; =\; \bigcup \; \sigma \; \in \; \sigma \; (T\; 0)\; Q\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; Q:\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; \backslash \; sigma\; (T\_\; \{\; 0\})\}\; Q\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\}$

- (счетное) ортонормированное множество. Кроме того, согласно разложению, которое мы впервые заявили, это основа для H.

Теорема 3. Если H - конечномерное гильбертово пространство и $F\; \subseteq \; Hom\; \; (H,\; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (H,\; H)\}$коммутативный набор операторов, каждый из которых диагонализуем; тогда операторы можно одновременно диагонализовать.

Доказательство. Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Тогда подойдет любая база для H.

Случай II: зафиксируйте $T\; 0\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$оператор с как минимум двумя собственными значениями, и пусть $P\; \in \; Hom\; \; (H,\; H)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (H,\; H)\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$, так что $P\; -\; 1\; T\; 0\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; T\_\; \{0\}\; P\}$- симметричный оператор. Пусть теперь α - собственное значение $P\; -\; 1\; T\; 0\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; T\_\; \{0\}\; P\}$. Тогда легко увидеть, что оба:

$ker\; \; (P\; -\; 1\; T\; 0\; (P\; -\; \alpha )),\; ker\; \; (P\; -\; 1\; T\; 0\; (P\; -\; \alpha ))\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ker\; \backslash \; left\; (\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; T\_\; \{0\}\; (P-\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \backslash \; ker\; \backslash \; left\; (P\; ^\; \{-\; 1\}\; ~\; T\_\; \{0\}\; (P-\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; \backslash \; bot\}\}$

- нетривиальные $P\; -\; 1\; FP\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; P\}$-инвариантные подпространства. Индукцией по размерности мы получаем, что существуют линейно независимые базисы Q 1, Q 2 для подпространств, которые демонстрируют, что операторы в $P\; -\; 1\; FP\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; P\}$может быть одновременно диагонализируемым на подпространствах. Тогда ясно, что $P\; (Q\; 1\; \cup \; Q\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Q\_\; \{1\}\; \backslash \; cup\; Q\_\; \{2\})\}$демонстрирует, что операторы в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$можно одновременно диагонализовать.

Обратите внимание, что в этом доказательстве нам вообще не приходилось напрямую использовать механизм матриц. Есть и другие версии.

Мы можем усилить сказанное выше для случая, когда все операторы просто коммутируют со своим сопряженным; в этом случае мы убираем термин «ортогональный» из диагонализации. Есть более слабые результаты для операторов, возникающих из представлений Вейля – Петера. Пусть G - фиксированная локально компактная группа Хаусдорфа и $H\; =\; L\; 2\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; L\; ^\; \{2\}\; (G)\}$(пространство суммируемых с квадратом измеримых функций с относительно единственной масштабной меры Хаара на G). Рассмотрим действие непрерывного сдвига:

$\{G\; \times \; H\; \to \; H\; (gf)\; (x)\; =\; f\; (g\; -\; 1\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; G\; \backslash \; times\; H\; \backslash \; to\; H\; \backslash \backslash \; (gf)\; (x)\; =\; f\; (g\; ^\; \{-\; 1\}\; x)\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Тогда, если G была компактной, то существует единственное разложение H в счетную прямую сумму конечномерных, неприводимых, инвариантных подпространства (по сути, это диагонализация семейства операторов $G\; \subseteq \; U\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; substeq\; U\; (H)\}$). Если бы G не был компактным, но был абелевым, то диагонализация не была достигнута, но мы получили бы единственное непрерывное разложение H на одномерные инвариантные подпространства.

Семейство эрмитовых матриц - это собственное подмножество матриц, которые можно диагонализировать унитарно. Матрица M унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна, то есть M * M = MM *. Аналогичные утверждения верны для компактных нормальных операторов.

Пусть T компактно и T * T = TT *. Примените декартово разложение к T: определите

$R\; =\; T\; +\; T\; \ast \; 2,\; J\; =\; T\; -\; T\; \ast \; 2\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\; +\; T\; ^\; \{*\}\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; J\; =\; \{\backslash \; frac\; \{TT\; ^\; \{*\}\}\; \{2i\}\}.\}$

Самосопряженные компактные операторы R и J называются действительной и мнимой частями T соответственно. Т компактно означает, что Т *, следовательно, R и J компактны. Более того, из нормальности T следует, что R и J коммутируют. Следовательно, они могут быть одновременно диагонализованы, из чего следует утверждение.

A гипонормальный компактный оператор (в частности, субнормальный оператор ) является нормальным.

Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности в комплексной плоскости; это может быть весь единичный круг. Однако, если U тождественно плюс компактное возмущение, U имеет только счетный спектр, содержащий 1 и, возможно, конечный набор или последовательность, стремящуюся к 1 на единичной окружности. Точнее, предположим, что U = I + C, где C компактно. Уравнения UU * = U * U = I и C = U - I показывают, что C является нормальным. Спектр C содержит 0 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 0. Поскольку U = I + C, спектр U получается сдвигом спектра C на 1.

• Пусть H = L ([0, 1]). Оператор умножения M определяется формулой

$(M\; f)\; (x)\; =\; xf\; (x),\; f\; \in \; H,\; x\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; (Mf)\; (x)\; =\; xf\; (x),\; \backslash \; quad\; f\; \backslash \; in\; H,\; \backslash ,\; \backslash ,\; x\; \backslash \; in\; [0,1]\}$

- ограниченный самосопряженный оператор на H, который не имеет собственного вектора и, следовательно, по спектральной теореме не может быть компактным.

• Пусть K (x, y) интегрируем с квадратом на [0, 1] и определим T K на H как

$(TK\; f)\; (x)\; =\; \int \; 0\; 1\; K\; (x,\; y)\; f\; (\; y)\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; (T\_\; \{K\}\; f)\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; K\; (x,\; y)\; f\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y.\}$

Тогда T K компактен на H; это оператор Гильберта – Шмидта.

• Предположим, что ядро ​​K (x, y) удовлетворяет условию эрмитовости

$K\; (y,\; x)\; =\; K\; (x,\; y)\; ¯,\; x,\; y\; \in \; [\; 0,\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (y,\; x)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{K\; (x,\; y)\}\},\; \backslash \; quad\; x,\; y\; \backslash \; in\; [0,1].\}$

Тогда T K равно компактный и самосопряженный на H; если {φ n } является ортонормированным базисом собственных векторов с собственными значениями {λ n }, можно доказать, что

, где сумма ряд функций понимается как L-сходимость для меры Лебега на [0, 1]. Теорема Мерсера дает условия, при которых ряд сходится к K (x, y) поточечно и равномерно на [0, 1].

• алгебра Калкина
• Компактный оператор
• Разложение спектра (функциональный анализ). Если снять предположение о компактности, операторы не обязательно должны иметь счетный спектр.
• Разложение по сингулярным значениям # Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах. Понятие сингулярных значений может быть расширено от матриц до компактных операторов.

• J. Бланк, П. Экснер и М. Хавличек, Операторы гильбертова пространства в квантовой физике, Американский институт физики, 1994.
• М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики I: Функциональный анализ, Academic Press, 1972.
• Чжу, Кехе (2007), Теория операторов в функциональных пространствах, Математические обзоры и монографии, Vol. 138, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3965-2