Фактор Рэлея

Как указано во введении, для любого вектора x $R\; (M,\; x)\; \in \; [\lambda \; min,\; \lambda \; max\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (M,\; x)\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; [\backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; min\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; max\}\; \backslash \; right]\}$, где $\lambda \; min,\; \lambda \; max\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; min\},\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$- соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Это происходит сразу после наблюдения, что фактор Рэлея представляет собой средневзвешенное значение собственных значений M:

$R\; (M,\; x)\; =\; x\; \ast \; M\; xx\; \ast \; x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \lambda \; iyi\; 2\; \sum \; i\; =\; 1\; nyi\; 2\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; R\; (M,\; x)\; =\; \{x\; ^\; \{*\}\; Mx\; \backslash \; over\; x\; ^\; \{*\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; y\_\; \{\; i\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; y\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где $(\lambda \; i,\; vi)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{i\},\; v\_\; \{i\})\}$- это $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-я собственная пара после ортонормировки и $yi\; =\; vi\; \ast \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{i\}\; =\; v\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; x\}$- это $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-я координата x в собственном базисе. Затем легко проверить, что границы достигаются на соответствующих собственных векторах $v\; min,\; v\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; min\},\; v\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$.

Тот факт, что частное является средневзвешенным собственных значений можно использовать для идентификации второго, третьего,... наибольших собственных значений. Пусть $\lambda \; max\; =\; \lambda \; 1\; \ge \; \lambda \; 2\; \ge \; \cdots \; \ge \; \lambda \; N\; =\; \lambda \; min\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; max\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; geq\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; min\}\}$- собственные значения в порядке убывания. Если $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$ограничено, чтобы быть ортогональным $v\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{1\}\}$, в этом случае $y\; 1\; =\; v\; 1\; \ast \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; =\; v\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; x\; =\; 0\}$, тогда $R\; (M,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (M,\; x)\}$имеет максимальное значение $\lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\}$, который достигается, когда $x\; =\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; v\_\; \{2\}\}$.

Эмпирическая ковариационная матрица $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$может быть представлен как продукт $A\; \prime \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\text{'}A\}$матрицы данных $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, предварительно умноженное на его транспонирование $A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}\}$. Будучи положительной полуопределенной матрицей, $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$имеет неотрицательные собственные значения и ортогональные (или ортогонализуемые) собственные векторы, что можно продемонстрировать следующим образом.

Во-первых, собственные значения $\lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$неотрицательны:

$M\; vi\; =\; A\; \prime \; A\; vi\; =\; \lambda \; ivi\; \{\backslash \; displaystyle\; Mv\_\; \{i\}\; =\; A\text{'}Av\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\}$

$\Rightarrow \; vi\; \prime \; A\; \prime \; A\; vi\; =\; vi\; \prime \; \lambda \; ivi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; v\_\; \{i\}\; \text{'}A\text{'}Av\_\; \{i\}\; =\; v\_\; \{i\}\text{'}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\}$

$\Rightarrow \; \Vert \; A\; vi\; \Vert \; 2\; =\; \lambda \; я\; \Vert \; vi\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; Av\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}$

$\Rightarrow \; \lambda \; i\; =\; \Vert \; A\; vi\; \Vert \; 2\; \Vert \; vi\; \Vert \; 2\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; Av\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Во-вторых, собственные векторы $vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$ортогональны друг другу:

$M\; vi\; =\; \lambda \; ivi\; \Rightarrow \; vj\; \prime \; M\; vi\; =\; vj\; \prime \; \lambda \; ivi\; \Rightarrow \; (M\; vj)\; \prime \; vi\; =\; \lambda \; jvj\; \prime \; vi\; \Rightarrow \; \lambda \; jvj\; \prime \; vi\; =\; \lambda \; ivj\; \prime \; vi\; \Rightarrow \; (\lambda \; j\; -\; \lambda \; i)\; vj\; \prime \; vi\; =\; 0\; \Rightarrow \; vj\; \prime \; vi\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; Mv\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; v\_\; \{j\}\; \text{'}Mv\_\; \{i\}\; =\; v\_\; \{j\}\text{'}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\; i\}\; v\_\; \{i\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; left\; (Mv\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \text{'}v\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\; \}\; v\_\; \{j\}\; \text{'}v\_\; \{i\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; v\_\; \{j\}\text{'}\; v\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{j\}\; \text{'}v\_\; \{i\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; v\_\; \{j\}\; \text{'}v\_\; \{i\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; v\_\; \{j\}\text{'}\; v\_\; \{i\}\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{\; выровнен\}\}\}$

если собственные значения разные - в случае множественности базис может быть ортогонализирован.

Теперь, чтобы установить, что коэффициент Рэлея максимизируется собственным вектором с наибольшим собственным значением, рассмотрим разложение произвольного вектора $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$на основе собственных векторов $vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$:

$x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \alpha \; ivi,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\; \},\}$

где

$\alpha \; i\; =\; x\; \prime \; vivi\; \prime \; vi\; =\; ⟨x,\; vi⟩\; \Vert \; vi\; \Vert \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\text{'}v\_\; \{i\}\}\; \{\; \{v\_\; \{i\}\}\; \text{'}\{v\_\; \{i\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; x,\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; |\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$

- координата $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, ортогонально проецируемая на $vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$. Следовательно, имеем:

$R (M, x) = x ′ A ′ A xx ′ x = (∑ j = 1 n α jvj) ′ (A ′ A) (∑ i = 1 n α ivi) (∑ j = 1 n α jvj) ′ (∑ i = 1 n α ivi) = (∑ j = 1 n α jvj) ′ (∑ i = 1 n α i (A ′ A) vi) (∑ i = 1 n α я 2 vi ′ vi) знак равно (∑ j = 1 n α jvj) ′ (∑ i = 1 n α i λ ivi) (∑ i = 1 n α i 2 ‖ vi ‖ 2) {\ displaystyle {\ begin {выровнено } R (M, x) = {\ frac {x'A'Ax} {x'x}} \\ = {\ frac {{\ Bigl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j} v_ {j} {\ Bigr)} '\ left (A'A \ right) {\ Bigl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ { i} {\ Bigr)}} {{\ bigl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j} v_ {j} {\ Bigr)} '{\ Bigl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} v_ {i} {\ Bigr)}}} \\ = {\ frac {{\ Bigl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n } \ alpha _ {j} v_ {j} {\ Bigr)} '{\ Bigl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} (A'A) v_ {i} { \ Bigr)}} {{\ bigl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {2} {v_ {i}} '{v_ {i}} {\ Bigr) }}} \\ = {\ frac {{\ Bigl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j} v_ {j} {\ Bigr)} '{\ Bigl (} \ сумма _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ lambda _ {i} v_ {i} {\ Bigr)}} {{\ bigl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ alpha _ {i} ^ {2} \ | {v_ {i}} \ | ^ {2} {\ Bigr)}}} \ end {a ligned}}}$

который в силу ортонормированности собственных векторов становится:

$R\; (M,\; x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \alpha \; i\; 2\; \lambda \; i\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \alpha \; i\; 2\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \lambda \; я\; (x\; \prime \; vi)\; 2\; (x\; \prime \; x)\; (vi\; \prime \; vi)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (M,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{(x\text{'}v\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\}\; \{(x\text{'}x)\; (v\_\; \{i\}\; \text{'}v\_\; \{i\})\}\}\}$

Последнее представление устанавливает, что фактор Рэлея представляет собой сумму квадратов косинусов углов, образованных вектором $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и каждым собственным вектором $vi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{i\}\}$, взвешенный по соответствующим собственным значениям.

Если вектор $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$максимизирует $R\; (M,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (M,\; x)\}$, то любое ненулевое скалярное кратное $kx\; \{\backslash \; displaystyle\; kx\}$также максимизирует $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, поэтому проблема может быть сведена к Задача Лагранжа максимизации $\sum \; i\; =\; 1\; n\; \alpha \; i\; 2\; \lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$при ограничении $\sum \; i\; =\; 1\; n\; \alpha \; i\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\; 2\}\; =\; 1\}$.

Определите: $\beta \; i\; =\; \alpha \; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$. Тогда это становится линейной программой, которая всегда достигает своего максимума в одном из углов области. Максимальная точка будет иметь $\alpha \; 1\; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$и $\alpha \; i\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; =\; 0\}$для всех $i>1\; \{\backslash \; displaystyle\; i>1\}$(когда собственные значения упорядочены по убывающей величине).

Таким образом, собственный вектор Рэлея максимизируется с помощью наибольшее собственное значение.

Формулировка с использованием множителей Лагранжа

В качестве альтернативы этот результат может быть получен методом множителей Лагранжа. Первая часть - показать, что частное постоянна при масштабировании $x\; \to \; cx\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; to\; cx\}$, где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- скаляр

$R\; (M,\; сх)\; знак\; равно\; (сх)\; *\; М\; сх\; (сх)\; *\; сх\; =\; с\; *\; сс\; *\; сх\; *\; М\; хх\; *\; х\; =\; р\; (М,\; х).\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (M,\; сх)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{(сх)\; ^\; \{*\}\; Mcx\}\; \{(cx)\; ^\; \{*\}\; cx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{*\}\; c\}\; \{c\; ^\; \{*\}\; c\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{*\}\; Mx\}\; \{x\; ^\; \{*\}\; x\}\}\; =\; R\; (M,\; x).\}$

Из-за этой инвариантности достаточно изучить частный случай $\Vert \; x\; \Vert \; 2\; =\; Икс\; T\; Икс\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; х\; ^\; \{T\}\; х\; =\; 1\}$. Тогда задача состоит в том, чтобы найти критические точки функции

$R\; (M,\; x)\; =\; x\; TM\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (M,\; x)\; =\; x\; ^\; \{T\}\; Mx\}$,

с учетом ограничения $\Vert \; x\; \Vert \; 2\; =\; x\; T\; x\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; x\; ^\; \{T\}\; x\; =\; 1.\}$В другом словами, это найти критические точки

$L\; (x)\; =\; x\; TM\; x\; -\; \lambda \; (x\; T\; x\; -\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x)\; =\; x\; ^\; \{T\}\; Mx-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{T\}\; x-1\; \backslash \; right),\}$

, где $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- множитель Лагранжа. Стационарные точки $L\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x)\}$находятся в

$d\; L\; (x)\; dx\; =\; 0\; \Rightarrow \; 2\; x\; TM\; -\; 2\; \lambda \; x\; T\; знак\; равно\; 0\; \Rightarrow \; 2\; M\; x\; -\; 2\; \lambda \; x\; =\; 0\; \Rightarrow \; M\; x\; =\; \lambda \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x)\}\; \{dx\}\; \}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; 2x\; ^\; \{T\}\; M-2\; \backslash \; lambda\; x\; ^\; \{T\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; 2Mx-2\; \backslash \; lambda\; x\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; Mx\; =\; \backslash \; lambda\; x\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

и

$\therefore \; R\; (M,\; x)\; =\; x\; TM\; xx\; T\; x\; =\; \lambda \; x\; T\; xx\; T\; x\; =\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; следовательно,\; R\; (M,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{T\}\; Mx\}\; \{x\; ^\; \{T\}\; x\}\}\; =\; \backslash \; lambda\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{T\}\; x\}\; \{x\; ^\; \{\; T\}\; x\}\}\; =\; \backslash \; lambda.\}$

Следовательно, собственные векторы $x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\}$of $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- критические точки отношения Рэлея и соответствующие им собственные значения $\lambda \; 1,\dots ,\; \lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{n\}\}$- это стационарные значения $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$. Это свойство является основой для анализа главных компонент и канонической корреляции.

теория Штурма – Лиувилля касается действия линейного оператора

$L\; (y)\; =\; 1\; вес\; (Икс)\; (-\; ddx\; [p\; (x)\; dydx]\; +\; q\; (x)\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{w\; (x)\}\; \}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; [p\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right]\; +\; q\; (x)\; y\; \backslash \; right)\}$

на внутреннее пространство продукта определяется как

$⟨y\; 1,\; y\; 2⟩\; =\; \int \; abw\; (x)\; y\; 1\; (x)\; y\; 2\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{y\_\; \{1\},\; y\_\; \{2\}\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; w\; (x)\; y\_\; \{1\}\; (x)\; y\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

функций, удовлетворяющих некоторому заданному граничные условия в точках a и b. В этом случае фактор Рэлея равен

$⟨y,\; L\; y⟩\; ⟨y,\; y⟩\; =\; \int \; aby\; (x)\; (-\; ddx\; [p\; (x)\; dydx]\; +\; q\; (x)\; y\; (x))\; dx\; \int \; abw\; (х)\; у\; (х)\; 2\; дх.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; langle\; \{y,\; Ly\}\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; langle\; \{y,\; y\}\; \backslash \; rangle\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; y\; (x)\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; [p\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right]\; +\; q\; (x)\; y\; (x)\; \backslash \; right)\; dx\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{w\; (x)\; y\; (x)\; ^\; \{2\}\}\; dx\}\}.\}$

Иногда это представляется в эквивалентной форме, полученной путем разделения интеграла в числителе и использования интегрирование по частям :

$⟨y, L y⟩ ⟨y, y⟩ = {∫ aby (x) (- ddx [p (x) y ′ (x)]) dx} + {∫ abq (x) y (x) 2 dx} ∫ abw (x) y (x) 2 dx = {- y (x) [p (x) y ′ (x)] | ab} + {∫ aby ′ (x) [p (x) y ′ (x)] dx} + {∫ abq (x) y (x) 2 dx} ∫ abw (x) y (x) 2 dx = { - p (x) y (x) y ′ (x) | a b} + {∫ a b [p (x) y ′ (x) 2 + q (x) y (x) 2] d x} ∫ a b w (x) y (x) 2 d x. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ langle {y, Ly} \ rangle} {\ langle {y, y} \ rangle}} = {\ frac {\ left \ {\ int _ {a } ^ {b} y (x) \ left (- {\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) y '(x) \ right] \ right) dx \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} {q (x) y (x) ^ {2}} \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} \, dx}} \\ = {\ frac {\ left \ {\ left.-y (x) \ left [p (x) y '(x) \ right] \ right | _ {a} ^ {b} \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} y '(x) \ left [p (x) y' (x) \ right] \, dx \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} {q (x) y (x) ^ {2}} \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} w (x) y (x) ^ {2} \, dx}} \\ = {\ frac {\ left \ {\ left.-p (x) y (x) y '(x) \ right | _ {a} ^ {b} \ right \} + \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ left [p (x) y '(x) ^ {2} + q (x) y (x) ^ {2} \ right] \, dx \ right \}} {\ int _ {a} ^ {b} {w (x) y (x) ^ {2}} \, dx}}. \ end {align}}}$

1. Для данной пары (A, B) матриц и данного ненулевого вектора x обобщенное частное Рэлея определяется как:

   $R\; (A,\; B;\; x):\; =\; x\; \ast \; A\; xx\; \ast \; B\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (A,\; B;\; x):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{*\}\; Ax\}\; \{x\; ^\; \{*\}\; Bx\}\}.\}$

   Обобщенный коэффициент Рэлея можно уменьшить до коэффициента Рэлея $R\; (D,\; C\; \ast \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (D,\; C\; ^\; \{*\}\; x)\}$через преобразование $D\; =\; C\; -\; 1\; AC\; \ast \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; C\; ^\; \{-\; 1\}\; A\; \{C\; ^\; \{*\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$где $CC\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; CC\; ^\; \{*\}\}$- это Разложение Холецкого эрмитовой положительно определенной матрицы B.

2. Для данной пары (x, y) ненулевых векторов и данной эрмитовой матрицы H обобщенное частное Рэлея можно определить как:

   $R\; (H;\; x,\; y):\; =\; y\; \ast \; H\; xy\; \ast \; y\; \cdot \; x\; \ast \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (H;\; x,\; y):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{\; *\}\; Hx\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\; ^\; \{*\}\; y\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{*\}\; x\}\}\}\}$

   , который совпадает с R (H, x), когда x = y. В квантовой механике эта величина называется «матричным элементом» или иногда «амплитудой перехода».

• Поле значений
• Теорема Мин-макс
• Фактор Рэлея в анализе колебаний

1. ^Также известно как отношение Рэлея – Ритца ; назван в честь Вальтера Ритца и лорда Рэлея.
2. ^Хорна, Р. А.; Джонсон, К. А. (1985). Матричный анализ. Издательство Кембриджского университета. С. 176–180. ISBN 0-521-30586-1.
3. ^Парлетт Б. Н. (1998). Симметричная проблема собственных значений. Классика прикладной математики. СИАМ. ISBN 0-89871-402-8.
4. ^Костин, Родика Д. (2013). «Среднесрочные заметки» (PDF). Математика 5102 Линейная математика в бесконечных измерениях, конспекты лекций. Университет штата Огайо.

• Ши Ю, Леон-Шарль Траншевент, Барт Моор, Ив Моро, Слияние данных на основе ядра для машинного обучения: методы и приложения в биоинформатике и интеллектуальном анализе текста, Гл. 2, Springer, 2011.