Положительный оператор (гильбертово пространство)

В математике (в частности, линейной алгебре, теории операторов и функциональном анализе ), а также в физике линейный оператор, действующий во внутреннем пространстве продукта, называется положительно-полуопределенным (или неотрицательным), если для каждого, и, где - область оф. Положительно-полуопределенные операторы обозначаются как. Оператор называется положительно-определенным и записывается, если для всех. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathop {\ text {Dom}} (A)}$${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ langle Ax, х \ rangle \ geq 0}$${\ displaystyle \ mathop {\ text {Dom}} (A)}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ geq 0}$${\ displaystyle Agt; 0}$${\ displaystyle \ langle Ax, x \ ranglegt; 0,}$${\ Displaystyle х \ в \ mathop {\ mathrm {Dom}} (А) \ setminus \ {0 \}}$

В физике (особенно в квантовой механике ) такие операторы представляют квантовые состояния с помощью формализма матрицы плотности.

• 1 Неравенство Коши – Шварца
• 2 На H C, если A ≥ 0, то A симметрично
• 3 Если A ≥ 0 и Dom A = H C, то A самосопряжен и ограничен.
• 4 Приложение к физике: квантовые состояния
• 5 ссылки

Если тогда ${\ displaystyle A \ geq 0,}$

${\ displaystyle \ left | \ langle Ax, y \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ langle Ax, x \ rangle \ langle Ay, y \ rangle.}$

В самом деле, пусть применяя неравенство Коши – Шварца к скалярному произведению ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0.}$

${\ displaystyle (x, y) _ {\ varepsilon} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle (A + \ varepsilon \ cdot \ mathbf {1}) x, y \ rangle}$

как доказывает претензию. ${\ displaystyle \ varepsilon \ downarrow 0}$

Отсюда следует, что If определено всюду, и тогда${\ displaystyle \ mathop {\ text {Im}} A \ perp \ mathop {\ text {Ker}} A.}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ langle Ax, х \ rangle = 0,}$${\ displaystyle Ax = 0.}$

Без ограничения общности, пусть внутренний продукт будет антилинейным по первому аргументу и линейным по второму. (Если верно обратное, то вместо этого мы работаем с). Для к идентичности поляризации ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ text {op}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle y, x \ rangle}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathop {\ text {Dom}} A,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle Ax, y \ rangle = {} amp; \ langle A (x + y), x + y \ rangle - \ langle A (xy), xy \ rangle \\ [1 мм] amp; {} - i \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle + i \ langle A (x-iy), x-iy \ rangle \ end {align}}}$

и тот факт, что для положительных операторов, покажите, что это симметрично. ${\ displaystyle \ langle Ax, x \ rangle = \ langle x, Ax \ rangle,}$${\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle,}$${\ displaystyle A}$

В отличие от комплексного случая, положительно-полуопределенный оператор в вещественном гильбертовом пространстве не может быть симметричным. В качестве контрпримера определим как оператор вращения на острый угол Then, но это не симметрично. ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle A: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ varphi \ in (- \ pi / 2, \ pi / 2).}$${\ Displaystyle \ langle Ax, х \ rangle = \ | Ax \ | \ | х \ | \ соз \ varphigt; 0,}$${\ Displaystyle A ^ {*} = A ^ {- 1} \ neq A,}$${\ displaystyle A}$

Симметрия подразумевает, что и Для того, чтобы быть самосопряженными, необходимо, чтобы в нашем случае выполнялось равенство областей, потому что это действительно самосопряженное. Тот факт, что ограниченность вытекает теперь из теоремы Хеллингера-Теплица. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ text {Dom}} A \ substeq \ mathop {\ text {Dom}} A ^ {*}}$${\ displaystyle A = A ^ {*} | _ {\ mathop {\ text {Dom}} (A)}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathop {\ text {Dom}} A = \ mathop {\ text {Dom}} A ^ {*}.}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}} = \ mathop {\ text {Dom}} A \ substeq \ mathop {\ text {Dom}} A ^ {*},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Это свойство не удерживается ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}}.}$

Определение квантовой системы включает в себя комплексное сепарабельное гильбертово пространство и множество положительных след класса операторов на, для которых множество является множеством состояний. Каждый называется состоянием или оператором плотности. Ведь где оператор проекции на оболочку называется чистым состоянием. (Поскольку каждое чистое состояние идентифицируется единичным вектором, некоторые источники определяют чистые состояния как единичные элементы из состояний, которые не являются чистыми, и называются смешанными. ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ cal {S}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ mathop {\ text {Trace}} \ rho = 1.}$${\ displaystyle {\ cal {S}}}$${\ displaystyle \ rho \ in {\ cal {S}}}$${\ displaystyle \ psi \ in H _ {\ mathbb {C}},}$${\ Displaystyle \ | \ psi \ | = 1,}$${\ displaystyle P _ {\ psi}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi \ in H _ {\ mathbb {C}},}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {C}}).}$

• Конвей, Джон (1990), курс функционального анализа, Springer Verlag, ISBN   0-387-97245-5