Резольвентный формализм

редактировать

В математике, то резольвентное формализм представляет собой метод для применения концепции из комплексного анализа для изучения спектра из операторов на банаховых пространствах и более общих пространств. Формальное обоснование манипуляций можно найти в рамках голоморфного функционального исчисления.

Резольвентное захватывает спектральные свойства оператора в аналитической структуре функционала. Для оператора A резольвента может быть определена как

{\ Displaystyle R (z; A) = (A-zI) ^ {- 1} ~.}

R (z; A) = (A-zI) ^ {{- 1}} ~.

Помимо прочего, резольвента может использоваться для решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма ; Обычно используемый подход - это решение рядами Лиувилля – Неймана.

Резольвента А может быть использована, чтобы непосредственно получать информацию о спектральном разложении из A. Например, предположим, что λ является изолированным собственным значением в спектре от А. То есть, предположим, что существует простая замкнутая кривая в комплексной плоскости, которая отделяет А от остальной части спектра А. Тогда остаток ${\ displaystyle C _ {\ lambda}}$ $C _ {\ lambda}$

{\ displaystyle - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C _ {\ lambda}} (A-zI) ^ {- 1} ~ dz}

{\ displaystyle - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C _ {\ lambda}} (A-zI) ^ {- 1} ~ dz}

определяет оператор проектирования на λ подпространство из A.

Дополнительная информация: Ковариантное и голоморфное функциональное исчисление Фробениуса

Хилла-Иосиды теорема относятся резольвентный через преобразование Лапласа к интегралу по однопараметрической группе преобразований, порожденных A. Так, например, если A - эрмитов, то U ( t) = exp ( itA) - однопараметрическая группа унитарных операторов. Резольвента оператора iA может быть выражена как преобразование Лапласа

{\ Displaystyle R (z; iA) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- zt} U (t) ~ dt.}

{\ Displaystyle R (z; iA) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- zt} U (t) ~ dt.}

СОДЕРЖАНИЕ

1 История
2 Тождество резольвента
3 Компактный резольвент
4 См. Также
5 ссылки

История

Первое крупное использование резольвентного оператора в виде ряда в A (ср. Ряды Лиувилля – Неймана ) было сделано Иваром Фредхольмом в знаменательной статье 1903 года в Acta Mathematica, которая помогла основать современную теорию операторов.

Название резольвента было дано Дэвидом Гильбертом.

Резольвентная личность

Для всех z, w в ρ ( A), резольвентном множестве оператора A, верно первое резольвентное тождество (также называемое тождеством Гильберта):

{\ Displaystyle R (z; A) -R (w; A) = (zw) R (z; A) R (w; A) \,.}

R (z; A) -R (w; A) = (zw) R (z; A) R (w; A) \,.

(Обратите внимание, что процитированные Данфорд и Шварц вместо этого определяют резольвенту как ( zI −A) ⁻¹, так что формула выше отличается по знаку от их.)

Второе тождество резольвентного является обобщением первого тождества резольвентного, выше, полезно для сравнения резольвенты два различных операторов. Для операторов A и B, определенных в одном и том же линейном пространстве, и z в ρ ( A) ∩ ρ ( B) выполняется следующее тождество

{\ Displaystyle R (z; A) -R (z; B) = R (z; A) (BA) R (z; B) \,.}

R (z; A) -R (z; B) = R (z; A) (BA) R (z; B) \,.

Компактный резольвент

При изучении замкнутого неограниченного оператора A: H → H в гильбертовом пространстве H, если существует такой, который является компактным оператором, мы говорим, что A имеет компактную резольвенту. Спектр таких A - это дискретное подмножество. Если к тому же является самосопряженным, то и существует ортонормированный базис из собственных векторов А с собственными значениями соответственно. Также не имеет конечной точки накопления. ${\ Displaystyle г \ в \ ро (А)}$ $z \ in \ rho (А)$ ${\ Displaystyle R (г; А)}$ $R (г; А)$ ${\ Displaystyle \ sigma (А)}$ $\ sigma (А)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ ${\ Displaystyle \ сигма (А) \ подмножество \ mathbb {R}}$ $\ sigma (A) \ subset {\ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {v_ {я} \} _ {я \ in \ mathbb {N}}}$ $\ {v_ {i} \} _ {{i \ in {\ mathbb {N}}}}$ ${\ Displaystyle \ {\ лямбда _ {я} \} _ {я \ в \ mathbb {N}}}$ $\ {\ lambda _ {i} \} _ {{i \ in {\ mathbb {N}}}}$ ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {я} \}}$ $\ {\ lambda _ {i} \}$

Смотрите также

использованная литература

^ Тейлор, раздел 9 Приложения А.
^ Dunford и Шварц, Том I, лемма 6, с. 568.
^ Хилле и Филлипс, теорема 4.8.2, с. 126
^ Тейлор, стр. 515.

Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988), Линейные операторы, Часть I Общая теория, Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
Фредхольм, Эрик И. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF), Acta Mathematica, 27: 365–390, doi : 10.1007 / bf02421317
Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1957), Функциональный анализ и полугруппы, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1031-6.
Като, Тосио (1980), Теория возмущений для линейных операторов (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5.
Тейлор, Майкл Э. (1996), Уравнения в частных производных I, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4