Банахова алгебра

редактировать

Особый вид алгебраической структуры

В математике, особенно в функциональном анализе, банахова алгебра, названная в честь Стефана Банаха, является ассоциативной алгеброй A над вещественным или комплексным чисел (или над неархимедовым полным), которое в то же время также является банаховым пространством, то есть нормированным пространством, которое является завершить в метрике, индуцированной нормой. Норма требуется, чтобы удовлетворяли

∀ x, y ∈ A: ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖. {\ displaystyle \ forall x, y \ in A: \ | x \, y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |.}

{\ displaystyle \ forall x, y \ in A: \ | x \, y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |.}

Это гарантирует, что операция умножения будет непрерывный.

Банахова алгебра называется унитальной, если она имеет единичный элемент для умножения, норма которого равна 1, и коммутативной, если ее умножение коммутативно. Любая банахова алгебра $A {\ displaystyle A}$ $A$ (имеет ли она элемент идентичности или нет) может быть изометрически встроена в банахову алгебру с единицей $A e {\ displaystyle A_ {e}}$ $A_ {e}$ так, чтобы образовать замкнутый идеал $A e {\ displaystyle A_ {e}}$ $A_ {e}$ . Часто априори предполагается, что рассматриваемая алгебра унитальна: поскольку можно развить большую часть теории, рассматривая $A e {\ displaystyle A_ {e}}$ $A_ {e}$ и затем применяя результат в исходном алгебра. Однако это не всегда так. Например, нельзя определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества.

Теория реальных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.

Банаховы алгебры также могут быть определены над полями p-адических чисел. Это часть p-адического анализа.

Содержание

1 Примеры
2 Контрпримеры
3 Свойства
4 Спектральная теория
5 Идеалы и персонажи
6 Банах * - алгебры
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

Примеры

Прототипным примером банаховой алгебры является $C 0 (X) {\ displaystyle C_ {0} (X)}$ $C_0(X)$ , пространство (комплекснозначных) непрерывных функций на локально компактном (хаусдорфовом) пространстве, обращающихся в нуль на бесконечности. $C 0 (X) {\ displaystyle C_ {0} (X)}$ $C_0(X)$ является унитальным тогда и только тогда, когда X является компактным. Комплексное сопряжение является инволюцией, $C 0 (X) {\ displaystyle C_ {0} (X)}$ $C_0(X)$ на самом деле является C * -алгеброй. В более общем смысле любая C * -алгебра является банаховой алгеброй.

Набор действительных (или комплексных) чисел представляет собой банахову алгебру с нормой, заданной абсолютным значением.
Набор всех действительных или комплексных n × n матриц становится унитальная банахова алгебра, если мы снабдим ее субмультипликативной матричной нормой.
Возьмем банахово пространство R (или C ) с нормой | | x || = max | x i | и определите умножение покомпонентно: (x 1,..., x n) (y 1,..., y n) = (x 1y1,..., x nyn).
кватернионы образуют 4-мерную действительную банахову алгебру с нормой, задаваемой абсолютным значением кватернионов.
Алгебра всех ограниченных вещественно- или комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремумом нормой), является унитальной банаховой алгеброй.
Алгебра всех ограниченных непрерывные вещественно- или комплекснозначные функции на некотором локально компактном пространстве (опять же с поточечными операциями и нормой супремума) являются банаховой алгеброй.
Алгебра всех непрерывные линейные операторы в банаховом пространстве E (с функциональной композицией как умножение и операторной нормой как нормой) является банаховой алгеброй с единицей. Множество всех компактные операторы на E - банахова алгебра и замкнутый идеал. Он не тождественен, если dim E = ∞.
Если G локально компактный Hau sdorff топологическая группа и μ является ее мерой Хаара, то банахово пространство L (G) всех μ-интегрируемых функций на G становится банаховой алгеброй при свертка xy (g) = ∫ x (h) y (hg) dμ (h) для x, y в L (G).
Равномерная алгебра : банахова алгебра, являющаяся подалгеброй комплексная алгебра C (X) с нормой супремума, которая содержит константы и разделяет точки X (которое должно быть компактным хаусдорфовым пространством).
Естественная банахова функциональная алгебра : равномерная алгебра, все характеры которой являются вычисления в точках X.
C * -алгебра : Банахова алгебра, которая является замкнутой * -подалгеброй алгебры ограниченных операторов на некотором гильбертовом пространстве.
Алгебра меры : A Банахова алгебра, состоящая из всех мер Радона на некоторой локально компактной группе, где произведение двух мер дается сверткой мер.

Контрпримеры

Алгебра кватернионов $H {\ displaystyle \ mathbb {H}}$ $\ mathbb {H}$ - настоящая банахова алгебра, но это не комплексная алгебра (и, следовательно, не комплексная банахова алгебра) по той простой причине, что центр кватернионов - это действительные числа, которые не могут содержать копию комплексной числа.

Свойства

Несколько элементарных функций, которые определены с помощью степенного ряда, могут быть определены в любой банаховой алгебре с единицей; примеры включают в себя экспоненциальную функцию и тригонометрические функции, а в более общем плане любую целую функцию. (В частности, экспоненциальное отображение можно использовать для определения абстрактных индексных групп.) Формула для геометрического ряда остается верной в общих банаховых алгебрах с единицей. Биномиальная теорема также верна для двух коммутирующих элементов банаховой алгебры.

Множество обратимых элементов в любой унитальной банаховой алгебре является открытым множеством, и операция инверсии на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом) так что она образует топологическую группу при умножении.

Если в банаховой алгебре есть единица 1, то 1 не может быть коммутатор ; т.е. $ху - yx ≠ 1 {\ displaystyle xy-yx \ neq \ mathbf {1}}$ $xy - yx \ ne \ mathbf {1}$ для любых x, y ∈ A. Это потому, что xy и yx имеют одинаковые спектр, кроме, возможно, 0.

Различные алгебры функций, приведенные в приведенных выше примерах, имеют очень разные свойства от стандартных примеров алгебр, таких как вещественные числа. Например:

Каждая реальная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, - это комплексы. (Это известно как теорема Гельфанда – Мазура.)
Всякая вещественная банахова алгебра с единицей без делителей нуля и в которой каждый главный идеал замкнут, изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам.
Всякая коммутативная вещественная единица Нётерова банахова алгебра без делителей нуля изоморфна действительным или комплексным числам.
Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
Постоянно особые элементы в банаховых алгебрах являются топологическими делителями нуля, т. Е. С учетом расширений B банаховых алгебр A некоторые элементы, являющиеся сингулярными в данной алгебре A, имеют мультипликативный обратный элемент в расширении банаховой алгебры B. Топологические делители нуля в A постоянно сингулярны в любом банаховом расширении B алгебры A.

Спектральная теория

Банаховы с единицей алгебры над комплексным полем обеспечивают общую основу для развития спектральной теории. Спектр элемента x ∈ A, обозначенного $σ (x) {\ displaystyle \ sigma (x)}$ $\ sigma (x)$ , состоит из всех тех сложных скаляров λ, таких что x - λ 1 необратимо в A. Спектр любого элемента x является замкнутым подмножеством замкнутого диска в C с радиусом || x || и центр 0, и, таким образом, компактный. Кроме того, спектр $σ (x) {\ displaystyle \ sigma (x)}$ $\ sigma (x)$ элемента x непустой и удовлетворяет спектральному радиусу формула:

sup {| λ | : λ ∈ σ (x)} = lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 / n. {\ Displaystyle \ sup \ {| \ lambda |: \ lambda \ in \ sigma (x) \} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | x ^ {n} \ | ^ {1 / n}. }

\ sup \ {| \ lambda | : \ lambda \ in \ sigma (x) \} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ | x ^ n \ | ^ {1 / n}.

Для x ∈ A голоморфное функциональное исчисление позволяет определить ƒ (x) ∈ A для любой функции ƒ , голоморфной в окрестности $σ (x). {\ displaystyle \ sigma (x).}$ $\ sigma (x).$ Кроме того, выполняется теорема о спектральном отображении:

σ (f (x)) = f (σ (x)). {\ displaystyle \ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x)).}

\ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x)).

Когда банахова алгебра A является алгеброй L (X) ограниченных линейных операторов в комплексном банаховом пространстве X (например, алгебра квадратных матриц) понятие спектра в A совпадает с обычным в теории операторов. Для ƒ ∈ C (X) (с компактным хаусдорфовым пространством X) видно, что:

σ (f) = {f (t): t ∈ X}. {\ displaystyle \ sigma (f) = \ {f (t): t \ in X \}.}

\ sigma (f) = \ {f (t): t \ in X \}.

Норма нормального элемента x C * -алгебры совпадает с его спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов.

Пусть A - комплексная банахова алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент x обратим (алгебра с делением). Для любого a ∈ A существует λ ∈ C такое, что a - λ 1 необратимо (поскольку спектр a не пуст), следовательно, a = λ 1 : эта алгебра A естественно изоморфна C (комплексный случай теоремы Гельфанда – Мазура).

Идеалы и символы

Пусть A - унитальная коммутативная банахова алгебра над C . Так как тогда A - коммутативное кольцо с единицей, каждый необратимый элемент A принадлежит некоторому максимальному идеалу кольца A. Поскольку максимальный идеал $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ $\ mathfrak m$ в A замкнуто, $A / m {\ displaystyle A / {\ mathfrak {m}}}$ $A / \ mathfrak m$ - это банахова алгебра, которая является полем, и это следует из Теорема Гельфанда – Мазура о том, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов A и множеством ∆ (A) всех ненулевых гомоморфизмов из A в C . Набор Δ (A) называется «структурным пространством » или «символьным пространством» A, а его члены - «символами».

Характер χ является линейным функционалом на A, который одновременно является мультипликативным, χ (ab) = χ (a) χ (b), и удовлетворяет условию χ (1 ) = 1. Каждый символ автоматически непрерывен от A до C, так как ядро символа является максимальным идеалом, который замкнут. Более того, норма (т.е. операторная норма) персонажа равна единице. Обладая топологией поточечной сходимости на A (т.е. топологией, индуцированной слабой * топологией A), пространство характеров ∆ (A) является хаусдорфовым компактным пространством.

Для любого x ∈ A

σ (x) = σ (x ^) {\ displaystyle \ sigma (x) = \ sigma ({\ hat {x}})}

\ sigma (x) = \ sigma (\ hat x)

где $x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ - представление Гельфанда x, определенное следующим образом: $x ^ {\ displaystyle {\ hat { x}}}$ ${\ hat {x}}$ - непрерывная функция от Δ (A) до C, заданная как $x ^ (χ) = χ (x). {\ displaystyle {\ hat {x}} (\ chi) = \ chi (x).}$ $\ hat x (\ chi) = \ chi (x).$ Спектр $x ^, {\ displaystyle {\ hat {x}},}$ $\ шляпа x,$ в приведенной выше формуле - спектр как элемент алгебры C (Δ (A)) комплексных непрерывных функций на компакте Δ (A). Явно

σ (x ^) = {χ (x): χ ∈ Δ (A)} {\ displaystyle \ sigma ({\ hat {x}}) = \ {\ chi (x): \ chi \ in \ Delta (A) \}}

\ sigma (\ hat x) = \ {\ chi (x): \ chi \ in \ Delta (A) \}

Как алгебра, унитальная коммутативная банахова алгебра полупроста (т. е. ее радикал Джекобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда ее алгебра Гельфанда представление имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная C * -алгебра. Фактически, когда A - коммутативная унитальная C * -алгебра, тогда представление Гельфанда является изометрическим * -изоморфизмом между A и C (Δ (A)).

Банаховы * -алгебры

Банахова * -алгебра A - это банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением *: A → A, обладающим следующими свойствами:

(x *) * = x для все x в A (так что отображение является инволюцией ).
(x + y) * = x * + y * для всех x, y в A.
$(λ x) ∗ = λ ¯ x ∗ {\ displaystyle (\ lambda x) ^ {*} = {\ bar {\ lambda}} x ^ {*}}$ ${\ displaystyle (\ lambda x) ^ {*} = {\ bar {\ lambda}} x ^ {*}}$ для каждого λ в C и каждого x в A; здесь $λ ¯ {\ displaystyle {\ bar {\ lambda}}}$ ${\ bar {\ lambda}}$ обозначает комплексное сопряжение λ.
(xy) * = y * x * для всех x, y в A.

Другими словами, банахова * -алгебра - это банахова алгебра над $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , которая также является * - алгебра.

В большинстве естественных примеров также имеется, что инволюция изометрична, то есть

|| x * || = || x || для всех x в A.

Некоторые авторы включают этот изом этрическое свойство в определении банаховой * -алгебры.