Функция Грина

Эта статья посвящена классическому подходу к функциям Грина. Для современного обсуждения см. Фундаментальное решение. Если известно решение дифференциального уравнения, зависящее от точечного источника, а дифференциальный оператор является линейным, то можно совместить их, чтобы найти решение для общего источника.${\ textstyle {\ hat {L}} (х) G (x, y) = \ дельта (ху)}$${\ textstyle {\ hat {L}} (х)}$${\ textstyle и (х) = \ int f (y) G (x, y) \, \ mathrm {d} y}$${\ textstyle {\ шляпа {L}} (х) и (х) = е (х)}$

В математике, А функция Грина является импульсной характеристикой из неоднородного линейного дифференциального оператора, определенного на области с заданными начальными условиями или граничными условиями.

Это означает, что если L - линейный дифференциальный оператор, то

• функция Грина G является решением уравнения LG  =  δ, где δ - дельта-функция Дирака ;
• решением начальной задачи Ly  =  f является свертка  ( G  *  f), где G - функция Грина.

С помощью принципа суперпозиции, учитывая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), L (решение) = источник, можно сначала решить L (зеленый) = δ s для каждого s и понять, что, поскольку источник является суммой дельта функции, решение является суммой функций Грина, а также, по линейности L.

Функции Грина названы в честь британского математика Джорджа Грина, который впервые разработал эту концепцию в 1820-х годах. В современном исследовании линейных дифференциальных уравнений в частных производных функции Грина изучаются в основном с точки зрения фундаментальных решений.

В теории многих тел этот термин также используется в физике, в частности в квантовой теории поля, аэродинамике, аэроакустике, электродинамике, сейсмологии и статистической теории поля, для обозначения различных типов корреляционных функций, даже тех, которые не соответствуют математическому определению.. В квантовой теории поля функции Грина играют роль пропагаторов.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Определение и использование
• 2 Мотивация
• 3 Функции Грина для решения неоднородных краевых задач
  • 3.1 Структура
  • 3.2 Теорема
  • 3.3 Продвинутые и запаздывающие функции Грина
• 4 Поиск функций Грина
  • 4.1 Единицы
  • 4.2 Разложение по собственным значениям
  • 4.3 Объединение функций Грина
  • 4.4 Таблица функций Грина
• 5.Функции Грина для лапласиана
• 6 Пример
• 7 Дополнительные примеры
• 8 См. Также
• 9 Сноски
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Определение и использование

Функция Грина G ( x, s) линейного дифференциального оператора, действующего на распределения над подмножеством евклидова пространства в точке s, является любым решением уравнения ${\ Displaystyle \ OperatorName {L} = \ OperatorName {L} (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {L} \, G (x, s) = \ delta (sx) \,,}$

( 1)

где δ - дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина можно использовать для решения дифференциальных уравнений вида

${\ Displaystyle \ OperatorName {L} \, и (х) = е (х) ~.}$

( 2)

Если ядро из L нетривиально, то функция Грина не является уникальной. Однако на практике некоторая комбинация симметрии, граничных условий и / или других внешних критериев дает уникальную функцию Грина. Функции Грина можно классифицировать по типу удовлетворяемых граничных условий по номеру функции Грина. Кроме того, функции Грина в целом являются распределениями, а не обязательно функциями действительной переменной.

Функции Грина также являются полезными инструментами при решении волновых уравнений и уравнений диффузии. В квантовой механике функция Грина гамильтониана является ключевым понятием, имеющим важные связи с понятием плотности состояний.

Вместо этого функция Грина, используемая в физике, обычно определяется с противоположным знаком. То есть,

${\ Displaystyle \ OperatorName {L} \, G (x, s) = \ delta (xs) ~.}$

Это определение не меняет существенно никаких свойств функции Грина из-за четности дельта-функции Дирака.

Если оператор инвариантен относительно сдвига, то есть когда имеет постоянные коэффициенты по отношению к x, то функцию Грина можно принять как ядро свертки, то есть ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle G (х, s) = G (хз) ~.}$

В этом случае функция Грина совпадает с импульсной характеристикой линейной инвариантной во времени теории систем.

Мотивация

Смотрите также: Спектральная теория

Грубо говоря, если такая функция G может быть найдена для оператора, то, если мы умножим уравнение ( 1) для функции Грина на f ( s), а затем проинтегрируем по s, мы получим, ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ int \ OperatorName {L} \, G (x, s) \, f (s) \, ds = \ int \ delta (xs) \, f (s) \, ds = f (x) ~.}$

Поскольку оператор является линейным и действует только на переменную x (а не на переменную интегрирования s), можно вынести оператор за пределы интегрирования, получив ${\ Displaystyle \ OperatorName {L} = \ OperatorName {L} (x)}$${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {L} \, \ left (\ int G (x, s) \, f (s) \, ds \ right) = f (x) ~.}$

Это означает, что

${\ Displaystyle и (х) = \ int G (x, s) \, f (s) \, ds}$

( 3)

является решением уравнения ${\ Displaystyle \ OperatorName {L} и (х) = е (х) ~.}$

Таким образом, можно получить функцию u ( x), зная функцию Грина в уравнении ( 1) и истоковый член в правой части уравнения ( 2). Этот процесс зависит от линейности оператора. ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

Другими словами, решение уравнения ( 2) u ( x) может быть определено интегрированием, приведенным в уравнении ( 3). Хотя f ( x) известен, это интегрирование не может быть выполнено, если также не известен G. Теперь проблема состоит в том, чтобы найти функцию Грина G, удовлетворяющую уравнению ( 1). По этой причине функцию Грина также иногда называют фундаментальным решением, связанным с оператором. ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

Не каждый оператор допускает функцию Грина. Функция Грина также можно рассматривать как правый обратный из. Помимо трудностей нахождения функции Грина для конкретного оператора, интеграл в уравнении ( 3) может быть довольно трудным для вычисления. Однако метод дает теоретически точный результат. ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

Это можно рассматривать как расширение f в соответствии с базисом дельта-функции Дирака (проецирование f на ; и наложение решения на каждую проекцию. Такое интегральное уравнение известно как интегральное уравнение Фредгольма, изучение которого составляет Фредгольм теория. ${\ Displaystyle \ дельта (хз) \,}$

Смотрите также: Интегральное уравнение Вольтерра

Функции Грина для решения неоднородных краевых задач

Основное использование функций Грина в математике - решение неоднородных краевых задач. В современной теоретической физике функции Грина также обычно используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана ; термин функция Грина часто используется для обозначения любой корреляционной функции.

Фреймворк

Пусть будет Штурма-Лиувилля оператор, линейный дифференциальный оператор вида ${\ displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ displaystyle \ operatorname {L} = {\ dfrac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ dfrac {d} {dx}} \ right] + q (x)}$

и пусть - вектор- оператор граничных условий ${\ displaystyle {\ vec {\ operatorname {D}}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ operatorname {D}}} \, u = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {1} u '(0) + \ beta _ {1} u (0) \\\ alpha _ {2} u '(\ ell) + \ beta _ {2} u (\ ell) \ end {bmatrix}} ~.}$

Позвольте быть непрерывной функцией в Далее предположим, что задача ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle [0, \ ell] ~.}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {L} \, u amp; = f \\ {\ vec {\ operatorname {D}}} \, u amp; = {\ vec {0}} \ end {align}}}$

является «регулярным», т. е. единственным решением для всех x является. ${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ Displaystyle и (х) = 0}$

Теорема

Есть одно и только одно решение, удовлетворяющее ${\ Displaystyle и (х)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {L} \, u amp; = f \\ {\ vec {\ operatorname {D}}} \, u amp; = {\ vec {0}} \ end {align}}}$

и это дается

${\ Displaystyle и (х) = \ int _ {0} ^ {\ ell} f (s) \, G (x, s) \, ds ~,}$

где - функция Грина, удовлетворяющая следующим условиям: ${\ Displaystyle G (х, s)}$

1. ${\ Displaystyle G (х, s)}$непрерывно в и.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s}$
2. Для,.${\ Displaystyle х \ neq s ~}$${\ Displaystyle \ quad \ OperatorName {L} \, G (x, s) = 0 ~}$
3. Для,.${\ displaystyle s \ neq 0 ~}$${\ displaystyle \ quad {\ vec {\ operatorname {D}}} \, G (x, s) = {\ vec {0}} ~}$
4. Производная «скачок»:.${\ Displaystyle \ quad G '(s_ {0 +}, s) -G' (s_ {0 -}, s) = 1 / p (s) ~}$
5. Симметрия:.${\ Displaystyle \ четырехъядерный G (х, s) = G (s, х) ~}$

Продвинутые и отсталые функции Грина

Смотрите также: функция Грина (теория многих тел) и пропагатор

Иногда функцию Грина можно разбить на сумму двух функций. Один с положительной переменной (+), а другой с отрицательной переменной (-). Это продвинутые и запаздывающие функции Грина, и когда изучаемое уравнение зависит от времени, одна из частей является причинной, а другая анти-причинной. В этих проблемах обычно важна причинная часть. Часто это решения неоднородного уравнения электромагнитной волны.

Поиск функций Грина

Единицы

Хотя он не фиксирует однозначно форму, которую примет функция Грина, выполнение анализа измерений для нахождения единиц, которые должна иметь функция Грина, является важной проверкой работоспособности любой функции Грина, обнаруженной другими способами. Быстрый анализ определяющего уравнения,

${\ Displaystyle LG (х, s) = \ дельта (хз),}$

показывает, что единицы зависят не только от единиц, но также от числа и единиц пространства, элементами которого являются векторы положения и. Это приводит к отношениям: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle [[G]] = [[L]] ^ {- 1} [[\ mathrm {d} x]] ^ {- 1},}$

где определяется как "физические единицы ", а является элементом объема пространства (или пространства-времени ). ${\ displaystyle [[G]]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Например, если и время - единственная переменная, тогда: ${\ Displaystyle L = \ partial _ {t} ^ {2}}$

${\ Displaystyle [[L]] = [[\ mathrm {время}]] ^ {- 2},}$

${\ Displaystyle [[\ mathrm {d} x]] = [[\ mathrm {время}]], \ \ mathrm {и}}$

${\ displaystyle [[G]] = [[\ mathrm {time}]].}$

Если, то оператор Даламбера, и пространство имеет 3 измерения, то: ${\ displaystyle L = \ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2} - \ nabla ^ {2}}$

${\ displaystyle [[L]] = [[\ mathrm {length}]] ^ {- 2},}$

${\ displaystyle [[\ mathrm {d} x]] = [[\ mathrm {время}]] [[\ mathrm {length}]] ^ {3}, \ \ mathrm {и}}$

${\ displaystyle [[G]] = [[\ mathrm {time}]] ^ {- 1} [[\ mathrm {length}]] ^ {- 1}.}$

Разложения по собственным значениям

Если дифференциальный оператор L допускает набор собственных векторов Ψ n ( x) (т. Е. Набор функций Ψ n и скаляров λ n таких, что L Ψ n = λ n Ψ n), который является полным, то можно построить Функция Грина из этих собственных векторов и собственных значений.

«Полный» означает, что набор функций {Ψ n } удовлетворяет следующему соотношению полноты :

${\ displaystyle \ delta (x-x ') = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} ^ {\ dagger} (x) \ Psi _ {n} (x'). }$

Тогда имеет место следующее:

${\ displaystyle G (x, x ') = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ Psi _ {n} ^ {\ dagger} (x) \ Psi _ {n} (x ')} {\ lambda _ {n}}},}$

где представляет собой комплексное сопряжение. ${\ displaystyle \ dagger}$

Применение оператора L к каждой части этого уравнения приводит к предполагаемому соотношению полноты.

Общее исследование функции Грина, записанной в указанной выше форме, и ее связи с функциональными пространствами, образованными собственными векторами, известно как теория Фредгольма.

Есть несколько других методов поиска функций Грина, включая метод изображений, разделения переменных и преобразования Лапласа.

Объединение функций Грина

Если дифференциальный оператор может быть разложен на множители, то функция Грина для может быть построена из функций Грина для и: ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle L = L_ {1} L_ {2}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle L_ {2}}$

${\ Displaystyle G (x, s) = \ int G_ {2} (x, s_ {1}) \, G_ {1} (s_ {1}, s) \, \ mathrm {d} s_ {1}. }$

Вышеупомянутое тождество немедленно следует из того, что оно является представлением правого оператора, обратного к, аналогично тому, как для обратимого линейного оператора, определенного с помощью, представлены его матричные элементы. ${\ Displaystyle G (х, s)}$${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle C = (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1}}$${\ Displaystyle C_ {я, j}}$

Дальнейшее равенство следует для дифференциальных операторов, которые являются скалярными многочленами производной. Основная теорема алгебры, в сочетании с тем, что коммутирует с собой, гарантирует, что многочлен может быть разложен, вкладывая в виде: ${\ Displaystyle L = P_ {N} (\ partial _ {x})}$ ${\ displaystyle \ partial _ {x}}$ ${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ prod _ {я = 1} ^ {N} (\ partial _ {x} -z_ {i}),}$

где нули. Принимая преобразование Фурье по отношению к обоим и дает: ${\ displaystyle z_ {i}}$${\ Displaystyle P_ {N} (г)}$ ${\ Displaystyle LG (х, s) = \ дельта (хз)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ widehat {G}} (k_ {x}, k_ {s}) = {\ frac {\ delta (k_ {x} -k_ {s})} {\ prod _ {i = 1} ^ {N} (ik_ {x} -z_ {i})}}.}$

Фракция может затем быть разделена на сумму с использованием частичного разложения дроби до преобразования Фурье обратно в и пространстве. Этот процесс дает тождества, которые связывают интегралы от функций Грина и их суммы. Например, если тогда одна из форм его функции Грина: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle L = (\ partial _ {x} + \ gamma) (\ partial _ {x} + \ альфа) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} G (x, s) amp; = {\ frac {1} {(\ alpha - \ gamma) ^ {2}}} \ Theta (xs) e ^ {- \ gamma (xs)} - {\ frac {1} {(\ alpha - \ gamma) ^ {2}}} \ Theta (xs) e ^ {- \ alpha (xs)} + {\ frac {1} {\ gamma - \ альфа}} \ Theta (xs) \, (xs) e ^ {- \ alpha (xs)} \\ [5pt] amp; = \ int \ Theta (x-s_ {1}) (x-s_ {1}) e ^ {- \ alpha (x-s_ {1})} \ Theta (s_ {1} -s) e ^ {- \ gamma (s_ {1} -s)} \, \ mathrm {d} s_ {1 }. \ end {выровнены}}}$

Хотя представленный пример поддается анализу, он иллюстрирует процесс, который работает, когда интеграл нетривиален (например, когда является оператором в полиноме). ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Таблица функций Грина

В следующей таблице приведен обзор функций Грина часто возникающих дифференциальных операторов, где,, представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда, является функцией Бесселя, является модифицированная функция Бесселя первого рода, и является модифицированная функция Бесселя второго рода. Там, где в первом столбце указано время ( t), указана расширенная (причинная) функция Грина. ${\ textstyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$${\ textstyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$${\ textstyle \ Theta (t)}$ ${\ textstyle J _ {\ nu} (г)}$ ${\ textstyle I _ {\ nu} (г)}$ ${\ textstyle К _ {\ ню} (г)}$

Дифференциальный оператор L	Функция Грина G	Пример применения
${\ Displaystyle \ partial _ {т} ^ {п + 1}}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {т ^ {п}} {п!}} \ Тета (т)}$
${\ displaystyle \ partial _ {t} + \ gamma}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t}}$
${\ displaystyle \ left (\ partial _ {t} + \ gamma \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) t \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t}}$
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ partial _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ куда ${\ displaystyle \ gamma lt;\ omega _ {0}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t} ~ {\ frac {\ sin (\ omega t)} {\ omega}}}$   с участием   ${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}}$	1D недемпфированный гармонический осциллятор
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ partial _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ куда ${\ displaystyle \ gammagt; \ omega _ {0}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t} ~ {\ frac {\ sinh (\ omega t)} {\ omega}}}$   с участием   ${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}$	Одномерный сверхдемпфированный гармонический осциллятор
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ partial _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ куда ${\ displaystyle \ gamma = \ omega _ {0}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t} t}$	Одномерный гармонический осциллятор с критическим затуханием
2D оператор Лапласа ${\ displaystyle \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2} = \ partial _ {x} ^ {2} + \ partial _ {y} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ rho}$   с участием   ${\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$	2D уравнение Пуассона
3D оператор Лапласа ${\ displaystyle \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2} = \ partial _ {x} ^ {2} + \ partial _ {y} ^ {2} + \ partial _ {z} ^ {2} }$	${\ displaystyle {\ frac {-1} {4 \ pi r}}}$   с участием   ${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$	Уравнение Пуассона
Оператор Гельмгольца ${\ Displaystyle \ набла _ {\ текст {3D}} ^ {2} + к ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {- \ mathrm {e} ^ {- ikr}} {4 \ pi r}} = я {\ sqrt {\ frac {k} {32 \ pi r}}}}$ ${\ displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)}$ ${\ Displaystyle = я {\ гидроразрыва {к} {4 \ pi}} \,}$ ${\ displaystyle h_ {0} ^ {(2)} (kr)}$	стационарное трехмерное уравнение Шредингера для свободной частицы
${\ displaystyle \ nabla ^ {2} -k ^ {2}}$в размерах${\ displaystyle n}$	${\ displaystyle - (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ left ({\ frac {k} {r}} \ right) ^ {n / 2-1} K_ {n / 2-1} (kr)}$	Потенциал Юкавы, пропагатор Фейнмана
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} -c ^ {2} \ partial _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2c}} \ Theta (t- | x / c |)}$	1D волновое уравнение
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi c {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}} \ Theta (t- \ rho / c)}$	2D волновое уравнение
Оператор Даламбера ${\ displaystyle \ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ delta (t - {\ frac {r} {c}})} {4 \ pi r}}}$	Трехмерное волновое уравнение
${\ displaystyle \ partial _ {t} -k \ partial _ {x} ^ {2}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ left ({\ frac {1} {4 \ pi kt}} \ right) ^ {1/2} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2} / 4kt}}$	1D диффузия
${\ displaystyle \ partial _ {t} -k \, \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ left ({\ frac {1} {4 \ pi kt}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ rho ^ {2} / 4kt}}$	2D диффузия
${\ displaystyle \ partial _ {t} -k \, \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle \ Theta (t) \ left ({\ frac {1} {4 \ pi kt}} \ right) ^ {3/2} \ mathrm {e} ^ {- r ^ {2} / 4kt}}$	3D диффузия
${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2} - \ partial _ {x} ^ {2} + \ mu ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left [\ left (1- \ sin {\ mu ct} \ right) (\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x)) + \ му \ Theta (ct- | x |) J_ {0} (\ mu u) \ right]}$   с участием   ${\ displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}}}$	1D уравнение Клейна – Гордона
${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2} + \ mu ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [(1+ \ cos (\ mu ct)) {\ frac {\ delta (ct- \ rho)} {\ rho}} + \ mu ^ {2} \ Theta (ct- \ rho) \ operatorname {sinc} (\ mu u) \ right]}$   с участием   ${\ displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	2D уравнение Клейна – Гордона.
${\ Displaystyle \ квадрат + \ му ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {\ delta \ left (t - {\ frac {r} {c}} \ right)} {r}} + \ mu c \ Theta (ct-r) {\ frac {J_ {1} \ left (\ mu u \ right)} {u}} \ right]}$   с участием   ${\ displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -r ^ {2}}}}$	Трехмерное уравнение Клейна – Гордона.
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ partial _ {t} -c ^ {2} \ partial _ {x} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} е ^ {- \ gamma t} \ left [\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x) + \ Theta (ct- | x |) \ left ({\ frac {\ gamma} {c}} I_ {0} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) + {\ frac {\ gamma t} {u}} I_ { 1} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) \ right) \ right]}$   с участием   ${\ displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}}}$	уравнение телеграфа
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ partial _ {t} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- \ gamma t}} {4 \ pi}} \ left [(1 + e ^ {- \ gamma t} +3 \ gamma t) {\ frac {\ delta (ct - \ rho)} {\ rho}} + \ Theta (ct- \ rho) \ left ({\ frac {\ gamma \ sinh \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right)} { cu}} + {\ frac {3 \ gamma t \ ch \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right)} {u ^ {2}}} - {\ frac {3ct \ sinh \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right)} {u ^ {3}}} \ right) \ right]}$   с участием   ${\ displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	2D релятивистская теплопроводность
${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ partial _ {t} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- \ gamma t}} {20 \ pi}} \ left [\ left (8-3e ^ {- \ gamma t} +2 \ gamma t + 4 \ gamma ^ {2 } t ^ {2} \ right) {\ frac {\ delta (ct-r)} {r ^ {2}}} + {\ frac {\ gamma ^ {2}} {c}} \ Theta (ct- r) \ left ({\ frac {1} {cu}} I_ {1} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) + {\ frac {4t} {u ^ {2} }} I_ {2} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) \ right) \ right]}$   с участием   ${\ displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -r ^ {2}}}}$	3D релятивистская теплопроводность

Функции Грина для лапласиана

Функции Грина для линейных дифференциальных операторов, включающих лапласиан, легко можно использовать, используя второе из тождеств Грина.

Чтобы вывести теорему Грина, начните с теоремы о расходимости (также известной как теорема Гаусса ),

${\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ dV = \ int _ {S} {\ vec {A}} \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} ~.}$

Пусть и подставим в закон Гаусса. ${\ displaystyle {\ vec {A}} = \ varphi \, \ nabla \ psi - \ psi \, \ nabla \ varphi}$

Вычислить и применить правило произведения для оператора ∇, ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} amp; = \ nabla \ cdot (\ varphi \, \ nabla \ psi \; - \; \ psi \, \ nabla \ varphi) \ \ amp; = (\ nabla \ varphi) \ cdot (\ nabla \ psi) \; + \; \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \; - \; (\ nabla \ varphi) \ cdot (\ nabla \ psi) \; - \; \ psi \ nabla ^ {2} \ varphi \\ amp; = \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \; - \; \ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi. \ end {выровненный}}}$

Добавление этого в теорему о расходимости дает теорему Грина,

${\ Displaystyle \ int _ {V} (\ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi - \ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi) \, dV = \ int _ {S} (\ varphi \, \ nabla \ psi - \ psi \ nabla \, \ varphi) \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}.}$

Предположим, что линейный дифференциальный оператор L является лапласианом ² и что существует функция Грина G для лапласиана. Определяющее свойство функции Грина по-прежнему сохраняется:

${\ displaystyle LG (x, x ') = \ nabla ^ {2} G (x, x') = \ delta (x-x ').}$

Пусть во вторую идентичность Грина, см. Тождества Грина. Потом, ${\ displaystyle \ psi = G}$

${\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ varphi (x ') \ delta (x-x') - G (x, x ') \, {\ nabla'} ^ {2} \, \ varphi ( x ') \ right] \ d ^ {3} x' = \ int _ {S} \ left [\ varphi (x ') \, {\ nabla'} G (x, x ') - G (x, x ') \, {\ nabla'} \ varphi (x ') \ right] \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}'.}$

Используя это выражение, можно решить Лапласа уравнение ∇ ²ф ( х) = 0 или Пуассона уравнение ∇ ²ф ( х) = - р ( х), с учетом либо Неймана или Дирихле граничных условий. Другими словами, мы можем решить для φ ( x) всюду внутри объема, где либо (1) значение φ ( x) задано на ограничивающей поверхности объема (граничные условия Дирихле), либо (2) нормальная производная функции φ ( x) задается на ограничивающей поверхности (граничные условия Неймана).

Предположим, что задача состоит в том, чтобы решить для φ ( x) внутри области. Тогда интеграл

${\ displaystyle \ int _ {V} \ varphi (x ') \ delta (x-x') \, d ^ {3} x '}$

сводится к просто φ ( x) из-за определяющего свойства дельта-функции Дирака, и мы имеем

${\ displaystyle \ varphi (x) = - \ int _ {V} G (x, x ') \ rho (x') \ d ^ {3} x '+ \ int _ {S} \ left [\ varphi ( x ') \, \ nabla' G (x, x ') - G (x, x') \, \ nabla '\ varphi (x') \ right] \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '. }$

Эта форма выражает хорошо известное свойство гармонических функций : если значение или нормальная производная известны на ограничивающей поверхности, то значение функции внутри объема известно повсюду.

В электростатики, φ ( х) интерпретируется как электрический потенциал, р ( х) в виде электрического заряда плотности и нормальной производной в качестве нормальной составляющей электрического поля. ${\ displaystyle \ nabla \ varphi (х ') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}'}$

Если задача состоит в том, чтобы решить краевую задачу Дирихле, функция Грина должна быть выбрана так, чтобы G ( x, x ′) обращалась в нуль, когда либо x, либо x ′ находится на ограничивающей поверхности. Таким образом, остается только один из двух членов поверхностного интеграла. Если задача состоит в решении краевой задачи Неймана, функция Грина выбирается так, чтобы ее нормальная производная обращалась в нуль на ограничивающей поверхности, что может показаться наиболее логичным выбором. (См. Классическую электродинамику Джексона Дж. Д., стр. 39). Однако применение теоремы Гаусса к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Грина, дает

${\ displaystyle \ int _ {S} \ nabla 'G (x, x') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '= \ int _ {V} \ nabla' ^ {2} G (x, x ') d ^ {3} x' = \ int _ {V} \ delta (x-x ') d ^ {3} x' = 1 ~,}$

это означает, что нормальная производная G ( x, x ′) не может обращаться в нуль на поверхности, потому что она должна интегрироваться до 1 на поверхности. (Опять же, см. Классическую электродинамику Джексона Дж. Д., стр. 39 для этого и следующих аргументов).

Простейшая форма нормальной производной - это постоянная, а именно 1 / S, где S - площадь поверхности. Поверхностный член в растворе становится

${\ displaystyle \ int _ {S} \ varphi (x ') \, \ nabla' G (x, x ') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}' = \ langle \ varphi \ rangle _ {S} }$

где - среднее значение потенциала на поверхности. Это число, как правило, неизвестно, но часто не имеет значения, поскольку цель часто состоит в том, чтобы получить электрическое поле, задаваемое градиентом потенциала, а не самим потенциалом. ${\ displaystyle \ langle \ varphi \ rangle _ {S}}$

Без граничных условий функция Грина для лапласиана ( функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными ) имеет вид

${\ displaystyle G (x, x ') = - {\ dfrac {1} {4 \ pi | x-x' |}}.}$

Предположим, что ограничивающая поверхность уходит в бесконечность, и подставив это выражение для функции Грина, наконец, получим стандартное выражение для электрического потенциала через плотность электрического заряда:

${\ displaystyle \ varphi (x) = \ int _ {V} {\ dfrac {\ rho (x ')} {4 \ pi \ varepsilon | x-x' |}} \, d ^ {3} x '~.}$

Дополнительная информация: уравнение Пуассона

Пример

Найдите функцию Грина для следующей задачи, номер функции Грина которой равен X11:

${\ displaystyle {\ begin {align} Lu amp; = u '' + k ^ {2} u = f (x) \\ u (0) amp; = 0, \ quad u \ left ({\ tfrac {\ pi} { 2k}} \ right) = 0. \ End {align}}}$

Первый шаг: функция Грина для рассматриваемого линейного оператора определяется как решение

${\ displaystyle G '' (x, s) + k ^ {2} G (x, s) = \ delta (xs).}$

(Ур. *)

Если, то дельта-функция дает ноль, и общее решение ${\ Displaystyle х \ neq s}$

${\ Displaystyle G (x, s) = c_ {1} \ cos kx + c_ {2} \ sin kx.}$

Для граничного условия при следует ${\ displaystyle x lt;s}$${\ displaystyle x = 0}$

${\ Displaystyle G (0, s) = c_ {1} \ cdot 1 + c_ {2} \ cdot 0 = 0, \ quad c_ {1} = 0}$

если и. ${\ displaystyle x lt;s}$${\ displaystyle s \ neq {\ tfrac {\ pi} {2k}}}$

Для граничного условия при следует ${\ displaystyle xgt; s}$${\ Displaystyle х = {\ tfrac {\ pi} {2k}}}$

${\ displaystyle G \ left ({\ tfrac {\ pi} {2k}}, s \ right) = c_ {3} \ cdot 0 + c_ {4} \ cdot 1 = 0, \ quad c_ {4} = 0 }$

Уравнение пропускается по тем же причинам. ${\ Displaystyle G (0, s) = 0}$

Подводя итоги на данный момент:

${\ displaystyle G (x, s) = {\ begin {cases} c_ {2} \ sin kx, amp; {\ text {for}} x lt;s, \\ c_ {3} \ cos kx, amp; {\ text {for}} s lt;x. \ end {case}}}$

Второй шаг: Следующая задача - определить и. ${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {3}}$

Обеспечение преемственности в функции Грина при предполагает ${\ displaystyle x = s}$

${\ displaystyle c_ {2} \ sin ks = c_ {3} \ cos ks}$

Можно обеспечить надлежащий разрыв в первой производной, интегрировав определяющее дифференциальное уравнение (т. Е. Уравнение *) от до и принимая предел по мере приближения к нулю. Обратите внимание, что мы интегрируем только вторую производную, так как оставшийся член будет непрерывным по построению. ${\ Displaystyle х = s- \ varepsilon}$${\ Displaystyle х = s + \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle c_ {3} \ cdot (-k \ sin ks) -c_ {2} \ cdot (k \ cos ks) = 1}$

Два (не) уравнения неразрывности могут быть решены относительно и для получения ${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {3}}$

${\ displaystyle c_ {2} = - {\ frac {\ cos ks} {k}} \ quad; \ quad c_ {3} = - {\ frac {\ sin ks} {k}}}$

Итак, функция Грина для этой задачи:

${\ Displaystyle G (x, s) = {\ begin {cases} - {\ frac {\ cos ks} {k}} \ sin kx, amp; x lt;s, \\ - {\ frac {\ sin ks} {k }} \ cos kx, amp; s lt;x. \ end {case}}}$

Дальнейшие примеры

• Пусть п = 1, и пусть подмножество будет все R. Пусть L будет. Тогда ступенчатая функция Хевисайда H ( x - x 0) является функцией Грина L в точке x 0.${\ Displaystyle \ mathrm {d} / \ mathrm {d} x}$
• Пусть n = 2, и пусть подмножество представляет собой четверть плоскости {( x, y): x, y ≥ 0}, а L - лапласиан. Также предположим, что граничное условие Дирихле наложено при x = 0, а граничное условие Неймана наложено при y = 0. Тогда функция Грина X10Y20 равна

  ${\ displaystyle {\ begin {align} G (x, y, x_ {0}, y_ {0}) = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} amp; \ left [\ ln {\ sqrt {(x -x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2}}} - \ ln {\ sqrt {(x + x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ { 0}) ^ {2}}} \ right. \\ [5pt] amp; \ left. {} + \ Ln {\ sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y + y_ {0}) ^ {2}}} - \ ln {\ sqrt {(x + x_ {0}) ^ {2} + (y + y_ {0}) ^ {2}}} \, \ right]. \ End { выровнено}}}$

• Пусть, и все три являются элементами действительных чисел. Тогда для любой функции от вещественного числа до действительного числа,, с -й производной, интегрируемой на интервале:${\ displaystyle a lt;x lt;b}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle [а, б]}$ $${\ displaystyle {\ begin {align} f (x) amp; = \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} {\ frac {(xa) ^ {m}} {m!}} \ left [{ \ frac {\ mathrm {d} ^ {m} f} {\ mathrm {d} x ^ {m}}} \ right] _ {x = a} + \ int _ {a} ^ {b} \ left [ {\ frac {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ Theta (xs) \ right] \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} f} { \ mathrm {d} x ^ {n}}} \ right] _ {x = s} \ mathrm {d} s \ end {align}} ~.}$$ Функция Грина в приведенном выше уравнении не уникальна. Как изменяется уравнение, если добавляется к, где удовлетворяет для всех (например, с)? Кроме того, сравните приведенное выше уравнение с формой ряда Тейлора с центром в.${\ Displaystyle G (x, s) = {\ гидроразрыва {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ Theta (xs)}$${\ displaystyle g (xs)}$${\ Displaystyle G (х, s)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} g} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} = 0}$${\ Displaystyle х \ в [а, б]}$${\ Displaystyle г (х) = - х / 2}$${\ displaystyle n = 2}$ ${\ Displaystyle х = а}$

Смотрите также

• Бесселевский потенциал
• Дискретные функции Грина - определенные на графиках и сетках
• Импульсная характеристика - аналог функции Грина в обработке сигналов.
• Функция передачи
• Фундаментальное решение
• Функция Грина в теории многих тел
• Корреляционная функция
• Пропагатор
• Личность Грина
• Параметрикс
• Интегральное уравнение Вольтерра
• Резольвентный формализм
• Формализм Келдыша
• Спектральная теория

Сноски

использованная литература

• Баин, СС (2006). Математические методы в науке и технике. Вайли. Главы 18 и 19.
• Эйджес, Леонард (1972). Классическое электромагнитное поле. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN   0-486-63947-9. Глава 5 содержит очень наглядное описание использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.
• Полянин А.Д.; Зайцев, В. Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman amp; Hall / CRC Press. ISBN   1-58488-297-2.
• Полянин, АД (2002). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых. Бока-Ратон, Флорида: Chapman amp; Hall / CRC Press. ISBN   1-58488-299-9.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: В.А. Бенджамин. ISBN   0-8053-7002-1.
• Фолланд, Г. Б. Анализ Фурье и его приложения. Математическая серия. Уодсворт и Брукс / Коул.
• Коул, KD; Бек, СП; Хаджи-Шейх, А.; Литкоухи, Б. (2011). «Методы получения функций Грина». Теплопроводность с использованием функций Грина. Тейлор и Фрэнсис. С. 101–148. ISBN   978-1-4398-1354-6.
• Грин, G (1828). Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма. Ноттингем, Англия: Т. Уилхаус. страницы 10-12.
• Фаряд а, М.; Лахтакия, А. (2018). Двоичные функции Грина в бесконечном пространстве в электромагнетизме. Лондон, Великобритания / Сан-Рафаэль, Калифорния: IoP Science (Великобритания) / Морган и Клейпул (США). Bibcode : 2018idgf.book..... F.

внешние ссылки

• "Функция Грина", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Грина». MathWorld.
• Функция Грина для дифференциального оператора в PlanetMath.
• Функция Грина в PlanetMath.
• Функции Грина и конформное отображение в PlanetMath.
• Введение в технику неравновесных функций Грина Келдыша, автор А.П. Джаухо
• Библиотека функций Грина
• Учебник по функциям Грина
• Метод граничных элементов (для некоторого представления о том, как можно использовать функции Грина с методом граничных элементов для численного решения потенциальных проблем)
• В Citizendium
• Видеолекция MIT о функции Грина
• Боули, Роджер. «Функции Джорджа Грина и Грина». Шестьдесят символов. Brady Харан для Ноттингемского университета.